TUTORIAL DE TOPOLOGÍA TAREA 4 Vitalia Silva Jaque Lunes 28 de septiembre de 2009 ACTIVIDAD: DETERMINAR UNA TOPOLOGÍA PRESENTE EN LA ARITMÉTICA. i) Caso Aritmético Adición de Números Enteros: Completa el siguiente Cuadrado Mágico de modo que: si sumas cada una de las filas, columnas y la diagonal el resultado sea el mismo número. -9
-5 -3
-1
3
ii) Determinando una topología en él Definamos entonces los siguientes conjuntos: X = {x, y, z: x, y, z son números enteros que entre ellos suman -9} = {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} Ø = {ningún número entero} Γx = {Ø, X, {-9, 5, -5}, {1, -3, -7}, {-1, -11, 3}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}} Y con la Topología Discreta. Luego, verifiquemos si (X, Γx) es un Espacio Topológico: Un espacio topológico es un par (X, Γx), donde X es un conjunto y Γ es una familia de subconjuntos de X con las siguientes propiedades: i) Ø y X pertenecen a Γx Sí, por definición de Γx
Si {Oi , i є I} ⊂ Γx ⇒ i є I Oi є Γx Si Ø, X є Γx ⇒ Ø X = X y X є Γx Si Ø, {-9, 5, -5} є Γx ⇒ Ø {{-9, 5, -5} = {{-9, 5, -5} y є Γx Si Ø, {1, -3, -7} є Γx ⇒ Ø {1, -3, -7} = {1, -3, -7} y є Γx Si Ø, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ Ø {-1, -11, 3} = {-1, -11, 3} y є Γx Si Ø, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ Ø {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} y є Γx Si Ø, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ Ø {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si Ø, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ Ø {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} y є Γx ii)
Si X, {-9, 5, -5} є Γx ⇒ X {-9, 5, -5} = X y X є Γx Si X, {1, -3, -7} є Γx ⇒ X {1, -3, -7} = X y, X є Γx Si X, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ X {-1, -11, 3} = X y, X є Γx Si X, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ X {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = X y є Γx Γx Γx
Si X, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ X {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = X y є Si X, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ X {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = X y є
Si {-9, 5, -5}, {1, -3, -7} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} {1, -3, -7}= {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} y є Γx Si {-9, 5, -5}, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} {-1, -11, 3}= {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {-9, 5, -5}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} y є Γx Si {-9, 5, -5}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = X y X є Γx Si {-9, 5, -5}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {1, -3, -7}, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ {1, -3, -7} {-1, -11, 3}= {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {1, -3, -7}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} y є Γx Si {1, -3, -7}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {1, -3, -7}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = X y X є Γx Si {-1, -11, 3}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = X y X є Γx Si {-1, -11, 3}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {-1, -11, 3}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = X y X є Γx Si {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= X y X є Γx Si {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= X y X є Γx Luego, es estable para las uniones arbitrarias. iii) Si O1 y O2 є Tx ⇒ O1 ∩ O2 є Γx Si Ø, X є Γx ⇒ Ø ∩ X = Ø y X є Γx Si Ø, {-9, 5, -5} є Γx ⇒ Ø ∩ {-9, 5, -5} = Ø y Ø є Γx Si Ø, {1, -3, -7} є Γx ⇒ Ø ∩ {1, -3, -7} = Ø y Ø є Γx Si Ø, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ Ø ∩ {-1, -11, 3} = Ø y, Ø є Γx Si Ø, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ Ø ∩ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = Ø y є Γx Si Ø, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ Ø ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = Ø y є Γx Si Ø, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ Ø ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = Ø y є Γx
Si X, {-9, 5, -5} є Γx ⇒ X ∩ {-9, 5, -5} = {-9, 5, -5} y є Γx Si X, {1, -3, -7} є Γx ⇒ X ∩ {1, -3, -7} = {1, -3, -7} y є Γx Si X, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ X ∩ {-1, -11, 3} = {-1, -11, 3} y {-1, -11, 3} є Γx Si X, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7} є Γx ⇒ X ∩ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} y є Γx Si X, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ X ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} = {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} y є Γx Si X, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ X ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} = {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} y є Γx
Si {-9, 5, -5}, {1, -3, -7} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} ∩ {1, -3, -7}= Ø y є Γx Si {-9, 5, -5}, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} ∩ {-1, -11, 3}= Ø y є Γx Si {-9, 5, -5}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} ∩ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} = {-9, 5, -5} y є Γx Si {-9, 5, -5}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}= Ø y Ø є Γx Si {-9, 5, -5}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-9, 5, -5} ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= {-9, 5, -5} y є Γx Si {1, -3, -7}, {-1, -11, 3} є Γx ⇒ {1, -3, -7} ∩ {-1, -11, 3}= Ø y Ø є Γx Si {1, -3, -7}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} ∩ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}= {1, -3, -7} y є Γx Si {1, -3, -7}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}= {1, -3, -7} y є Γx Si {1, -3, -7}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {1, -3, -7} ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= Ø y є Γx Si {-1, -11, 3}, {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} ∩ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}= Ø y Ø є Γx Si {-1, -11, 3}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}= {-1, -11, 3} y є Γx Si {-1, -11, 3}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {-1, -11, 3} ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= {-1, -11, 3} y є Γx Si {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}, {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} ∩ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}= {1, -3, -7} y є Γx Si {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{-9, 5, -5}, {1, -3, -7}} ∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= {-9, 5, -5} y є Γx Si {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}, {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}} є Γx ⇒ {{1, -3, -7}, {-1, -11, 3}}∩ {{-9, 5, -5}, {-1, -11, 3}}= {-1, -11, 3} y є Tx Luego, es estable para las intersecciones arbitrarias. Se verifica entonces que (X, Γx) es efectivamente un Espacio Topológico.