Tarea2_sistema De Ecuaciones Linealesrectasyplanos_grupo_208046_163.docx

Unidad 2: Tarea 2- Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos

GRUPO 208046_163

JULIAN MAURICIO RINCON BARRETO C.C. 14466018 JAVIER ANDRES MENESES C.C. 16893002 JOSE JULIAN ORTIZ C.C CARLOS RAMIRO HURTADO C.C 16849485

CARLOS ANDRES CORTES PALACIOS C.C 16919096

Trabajo escrito presentado al tutor John Mauricio Blanco del curso Algebra Lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA A DISTANCIA 03 Noviembre del 2018

INTRODUCCION

Este documento se encuentra dividido en 5 ejercicios el primero consiste realizar la Conceptualización de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Mediante mapas conceptuales el numero 1 es sobre el sistema de ecuaciones lineales con solución única, Con un número infinito de soluciones, sin solución, consistente e inconsistente. El segundo sobre Diferencia entre los métodos de reducción de Gauss-Jordán y eliminación gaussiana, el tercero sobre Ecuación vectorial de la recta, ecuaciones paramétricas y simétricas, el cuarto sobre la Ecuación del plano y como graficar un plano y por último que son los Planos paralelos y la ecuación de intersección de dos planos. El segundo ejercicio es sobre Aplicación de conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. El tercer ejercicio es acerca de la Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos, el cuarto de Aplicación de conceptos planos en la solución de problemas básicos y el quinto es sobre la Aplicación de conceptos planos en la solución de problemas básicos y por ultimo es un trabajo colaborativo que consiste en la evaluación de cinco Grafica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de soluciones.

MAPAS CONCEPTUALES

Autor: José Julián Ortiz a) Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales: con solución única, Con un número infinito de soluciones, sin solución, consistente e inconsistente.

Autor: Carlos Cortes Palacios b) Diferencia entre los métodos de reducción de Gauss-Jordán y eliminación gaussiana.

Autor: Javier Andrés Meneses C) Ecuación vectorial de la recta, ecuaciones paramétricas y simétricas.

Autor: Carlos Ramiro Hurtado d) Ecuación del plano, como graficar un plano

Autor: Julián Mauricio Rincón e) Planos paralelos, ecuación de intersección de dos planos.

Ejercicio 2 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordán. Valide su resultado por medio de Geogebra*. En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2 ,3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es: 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 En coser se obtiene la siguiente ecuación: 40𝑥 + 50𝑦 + 40𝑧 = 480 En planchar y empaquetar tenemos: 50𝑥 + 50𝑦 + 15𝑧 = 480 Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 40𝑥 + 50𝑦 + 40𝑧 = 480 50𝑥 + 50𝑦 + 15𝑧 = 480 30 MATRIZ (40 50

50 50 50

65 480 40 |480) 15 480

Divido la primera fila en 30 para dar el primer 1

1

1

30 ∗ 30 = 1

𝐹1

1

→ 𝐹1 (40 30 50

5

50 ∗ 30 = 3

5

13

3

6

1

65 ∗ 30 =

13 6

1

480 ∗ 30 = 16

16 | ) 480 50 40 50 15 480

Realizo la ecuación 𝐹2 − 40 × 𝐹1 → 𝐹2 dando como resultado 40 − (40 ∗ 1) = 0 5 50 50 − (40 ∗ ) = − 3 3 40 − (40 ∗

13 140 )=− 16 3

480 − (40 ∗ 16) = −160

1 𝐹2 − 40 × 𝐹1 → 𝐹2

0 (50

5 3 50 − 3 50

13 16 6 140 |480 − 3 480 ) 15

Realizo la ecuación F3 − 50 × F1 → F3 dando como resultado 50 − (50 ∗ 1) = 0 5 100 50 − (50 ∗ ) = − 3 3 15 − (50 ∗

13 280 )=− 16 3

480 − (50 ∗ 16) = −320

1

5

13

3 50

6 140

F3 − 50 × F1 → F3 0

−

0 (

−

3 100 3

− −

3 280 3

16 |−160 −320 )

50

Realizo la ecuación F2/ (− 3 ) → F2 dando como resultado 0 =0 50 (− 3 ) 50 (− 3 ) =1 50 (− 3 ) 140 (− 3 ) 14 = 50 5 (− 3 ) −160 48 = 50 5 (− 3 )

5 3

1 F2/ (−

50 ) → F2 0 3 (0 −

1 100 3

Realizo la ecuación F3 − (− 0 − (−

13 16 6 48 14 | 5 5 280 −320 − ) 3

100 3

∗ 𝐹2) → F3 dando como resultado

100 ∗ 0) = 0 3

−

100 100 − (− ∗ 1) = 0 3 3

−

280 100 14 − (− ∗ )=0 3 3 5

−320 − (−

100 48 ∗− )=0 3 5

5 13 16 3 6 48 100 F3 − (− ∗ 𝐹2) → F3 14 | 3 5 0 1 5 0 (0 0 0 ) 1

5

Realizo la ecuación F1 − (3 ∗ 𝐹2) → F1 dando como resultado 5 1 − ( ∗ 0) = 1 3 5 5 − ( ∗ 1) = 0 3 3 13 5 14 5 −( ∗ )=− 6 3 5 2 5 48 16 − ( ∗ ) = 0 3 5 5 F1 − ( ∗ 𝐹2) → F1 3

{

𝑋1

5 0 2 48 14 | 5 5 0 0 )

1

0 −

0

1

(0

0

5 − 𝑋3 = 0 2 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝑁𝑈𝑀𝐸𝑅𝑂 1 14 48 𝑋2 + 𝑋 = 5 3 5

De la ecuación 2 del sistema 1 encontramos con la variable 𝑋2: 𝑋2 =

48 14 − 𝑋 5 5 3

De la ecuación 1 del sistema 1 encontramos con la variable 𝑋1: 5

𝑋1 = 2 𝑋3 RESPUESTA 5 𝑋1 = 𝑋3 2 𝑋2 =

48 14 − 𝑋 5 5 3

𝑋3 = 𝑋3

PRUEBA EN GEOGEBRA

Descripción del ejercicio 3 a) En una ecuación de recta dada, se han de identificar fácilmente un punto conocido y un vector director, así, si se dan las coordenadas de un punto P de una recta y se conoce la ecuación paramétrica de una segunda recta, sabiendo que las dos rectas son paralelas, ¿que comparten en común dichas rectas? Respuesta Las dos rectas comparten en común la pendiente y el vector director debido a que cumplen la condición de paralelismo, es decir que son rectas paralelas tienen igual dirección y el punto 𝑃(𝑥 , 𝑦) no es Común en las rectas dadas.

b) Dé la ecuación de la recta, que pasa por el punto (1, −1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,0,1), 𝐵(1,2,3). Respuesta Hallamos el vector director de la 𝑙2 .

→ = → = (1, (−2), 2 − 0,3 − 1) = (3,2,2) 𝑉

𝐴𝐵

Entonces la ecuación de 𝑙1 es

𝑙1 :→ + 𝑡 →= (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, −1,1) + 𝑡(3,2,2) 𝑝

𝑣

d) primero hallamos el vector director → = (6 − 5 , 2 − (−1), 5 − 4) = (1,3,1) 𝑣

La ecuación vectorial es L: (x, y, z) = (1,-1, 1) + t (1, 3, 1)

La ecuación paramétrica es:

𝑥 =1+𝑡 {𝑦 = 1 + 3𝑡 𝑡 =1+𝑡

La ecuación simétrica (despejamos t en cada de las tres ecuaciones anteriores e igualando tenemos).

𝑙:

𝑥−1 1

=

𝑦+1 3

=

𝑧−1 1

c) Dados dos puntos cualesquiera en el plano, se requiere el hallar un vector a partir de estos puntos para poder así determinar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. ¿Qué nombre recibe el vector hallado a partir de los puntos dados? Relacione con claridad una fuente de consulta comprobable que argumente la respuesta. Respuesta El nombre del vector es vector director de la recta Fuente: algebra lineal de Stanley I. Grossman 5𝑡𝑎 adición

d) Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos P y Q: 𝑃 = (5, −1, 4) ; 𝑄 = (6, 2, 5) Respuesta

primero hallamos el vector director → = (6 − 5 , 2 − (−1), 5 − 4) = (1,3,1) 𝑣

La ecuación vectorial es 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, −1, 1) + 𝑡 (1, 3, 1)

La ecuación paramétrica es:

𝑥 =1+𝑡 {𝑦 = 1 + 3𝑡 𝑡 =1+𝑡

La ecuación simétrica (despejamos t en cada de las tres ecuaciones anteriores e igualando tenemos).

𝑙:

𝑥−1 1

=

𝑦+1 3

=

𝑧−1 1

Descripción ejercicio 4 Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos: Contenidos a revisar: Rodríguez J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento. Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento a.

Dados los siguientes planos: 𝑘𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 6 𝑧 + 5 = 0

Determinar el valor de k para que sean: a) Paralelos. b) Perpendiculares. Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.

Solución a.

Paralelos. 𝑘𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 5

= 0 = 0

Para que sean paralelos los planos, basta con que los vectores normales de los planos sean múltiplo escalar uno del otro, es decir, Para el plano 𝑘𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 El vector normal es (𝑘, 2, −3) Para el otro plano 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 5 = 0 y su vector normal es (2, −4,6), Entonces 𝑙(2, −4,6) = (𝑘, 2, −3) 2

de esta manera 2𝑙 = 𝑘, −4𝑙 = 2, 6𝑙 = −3, despejando el valor de 𝑙 = −4 = −1/2 con lo cual si sustituimos el valor de 𝑙, entonces 1 1 1 1 (𝑘, 2, −3) = 𝑙(2,4, −6) = (− ) (2, −4,6) = ((− ) 2, (− ) (−4), (− ) (6)) 2 2 2 2 = (−1,2, −3) Respuesta: El valor de 𝑘 = −1. Entonces −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 5 = Prueba de ecuaciones en Geogebra

0 0

b. Perpendiculares para que los planos sean ortogonales el producto interno entre los vectores normales de ambos planos sea igual a cero. Si para el plano 𝑘𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 el vector normal es (𝑘, 2, −3) y para el otro plano 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 5 = 0 y su vector normal es (2, −4,6), entonces (𝑘, 2, −3) ⋅ (2, −4,6) = 2𝑘 − 8 − 18 = 2𝑘 − 26 = 0 solucionando la ecuación 2𝑘 − 26 = 0 2𝑘 = 26 𝑘 = 26/2 = 13 Respuesta: El valor de 𝑘 = 13 13𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 5 = PRUEBA EN GEOGEBRA

0 0

Descripción ejercicio 5. Resolver los siguientes ejercicios: a) Obtener la ecuación del plano que contiene el punto 𝑃0 (1,2,3) y cuyas coordenadas del vector normal son: 𝑛 (1, −1, 1) Decimos que 𝑃0 (1,2,3) es igual a decir que 𝑃0 (𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 ) y el vector normal 𝑛 (1, −1, 1) decimos que es 𝑁 = 1𝑖 − 1𝑗 + 1𝑘 donde 𝑁 = 𝑎𝑖 − 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 Remplazamos en la formula 𝑎(𝑋 − 𝑋1 ) + 𝑏(𝑌 − 𝑌1 ) + 𝑐(𝑍 − 𝑍1 ) = 0 1(𝑋 − 1) − 1(𝑌 − 2) + 1(𝑍 − 3) = 0 𝑋−1−𝑌+2+𝑍−3=0 𝑋−𝑌+𝑍−1+2−3=0 𝑋−𝑌+𝑍 =2 PRUEBA EN GEOGEBRA

b) Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A (1,2,1); B(1, 0,1); C(0, 1, -1). 𝐴𝐵 = 𝐵(1,0,1) − 𝐴(1,2,1) 𝐴𝐵 =< 0, −2,0 > 𝐴𝐶 = 𝐶(0,1, −1) − 𝐴(1,2,1) 𝐴𝐶 =< −1, −1, −2 > Resuelvo el producto cruz de los resultados de los vectores AB y AC 𝑖 𝑗 𝑘 −2 𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐶 = | 0 −2 0 | = | −1 −1 −1 −2

0 0 |𝑖 − | −2 −1

−2 0 0 0 0 𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐶 = | |𝑖 − | |𝑗 + | −1 −2 −1 −2 −1

0 0 −2 |𝑗 + | |𝑘 −2 −1 −1

−2 |𝑘 −1

𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐶 = |4 − 0|𝑖 − |0 − 0|𝑗 + |0 − 2|𝑘 𝐴𝐵 𝑥 𝐴𝐶 = 4𝑖 − 0𝑗 − 2𝑘 Este resultado es llamado el vector normal (n) ósea 𝑛 = 4𝑖 − 0𝑗 − 2𝑘 que es perpendicular a AB y AC 𝑛 = (4,0, −2) Hallo otro vector en el plano llamado 𝑇 = (𝑋, 𝑌, 𝑍) que sale desde el punto A 𝐴𝑇 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1,2,1) 𝐴𝑇 =< 𝑋 − 1, 𝑌 − 2, 𝑍 − 1 > El vector AT es perpendicular a vector n por lo tanto el producto de 𝐴𝑇 . 𝑛 y lo igualamos a 0 asi: 𝐴𝑇 . 𝑛 = 0 < 𝑋 − 1, 𝑌 − 2, 𝑍 − 1 >< 4,0, −2 >= 0 (𝑋 − 1)(4) + (𝑌 − 2)(0) + (𝑍 − 1)(−2) = 0 4𝑋 − 4 − 2𝑍 + 2 = 0 4𝑋 − 2𝑍 − 2 = 0 4𝑋 − 2𝑍 = 2 Divido entre 2 a ambos lados de la igualdad dando como resultado la ecuación del plano que contiene los puntos A (1,2,1); B(1, 0,1); C(0, 1, -1). R// 2𝑋 − 𝑍 = 1

PRUEBA EN GEOGEBRA

Ejercicio 6. Grafica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de soluciones. 3𝑥 + 2𝑦 = −2 −6𝑥 − 4𝑦 = −7

Grafica # 1

𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 + 5𝑦 = 0

Grafica # 2

−6𝑥 − 4𝑦 = −7 −2𝑥 + 3𝑦 = 1

Grafica # 3

𝑥 − 3𝑦 = −4 3𝑥 − 9𝑦 = −12 Grafica # 4

𝑥 + 3𝑦 = 4 𝑥 − 9𝑦 = −6

Grafica # 5

a) Para cada sistema de ecuaciones graficado, analicen cómo son las rectas entre sí. b) Resuelvan los sistemas de ecuaciones anteriores aplicando alguno de los métodos analizados en esta unidad. c) Indiquen en qué casos pudieron encontrar una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. d) d) Clasifiquen las soluciones de cada sistema según las rectas obtenidas.

Soluciones

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟐 −𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟕

Grafica # 1

Por sustitución se tiene que 3𝑥 + 2𝑦 = −2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 −6𝑥 − 4𝑦 = −7 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 Despejando y de la ecuación (1) 𝑦=

−2 − 3𝑥 2

Remplazando en la ecuación (2) se tiene −6𝑥 − 4 (

−2 − 3𝑥 ) = −7 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 2

−6𝑥 − 2(−2 − 3𝑥) = −7 −6𝑥 + 4 + 6𝑥 = −7 0 = −10 Por lo tanto, el sistema no tiene solución es decir es un sistema de ecuaciones lineal inconsistente.

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟎

Grafica # 2

Por sustitución se tiene 𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 2𝑥 + 5𝑦 = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 Despejando 𝑥 de la ecuación 1 se tiene 𝑥 = 1 − 2𝑦 Remplazando en la ecuación 2 2(1 − 2𝑦) + 5𝑦 = 0 2 − 4𝑦 + 5𝑦 = 0 2+𝑦 =0 𝑦 = −2 Entonces 𝑥−4=1 𝑥 =1+4=5 Por lo tanto, la solución del sistema es 𝑥 = 5 y 𝑦 = −2, es decir el sistema es consistente.

−𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟕 −𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏

Grafica # 3

Por sustitución se tiene −6𝑥 − 4𝑦 = −7 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 −2𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 Despejando 𝑥 de (1) 𝑥=

−7 + 4𝑦 −6

(3)

Remplazando en la ecuación (2) −7 + 4𝑦 9𝑦 + =1 3 3 −7 + 4𝑦 + 9𝑦 =1 3 −7 + 13𝑦 = 3 𝑦=

3 + 7 10 = 13 13

Remplazando en (3) 7 ∗ 13 4 ∗ 10 −91 + 40 −51 − 13 + 13 51 13 𝑥= = = 13 = 6 6 −6 78 −1 −1 Entonces la solución del sistema de ecuaciones lineal es 𝑥 =

−1 6

10

y 𝑦 = 13

Es decir, el este es un sistema de ecuaciones lineales consistente.

𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟒 𝟑𝒙 − 𝟗𝒚 = −𝟏𝟐 Grafica # 4

Por sustitución se tiene 𝑥 − 3𝑦 = −4 (1) 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 3𝑥 − 9𝑦 = −12 (2) 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 Despejando 𝑥 de la ecuación (1) 𝑥 = −4 + 3𝑦 Remplazando en (2) 3(−4 + 3𝑦) − 9𝑦 = −12 −12 + 9𝑦 − 9𝑦 = −12 0 = −12 + 12 = 0

Los planos son paralelos por lo tanto el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, es decir el sistema es inconsistente.

𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟒 𝒙 − 𝟗𝒚 = −𝟔

Grafica # 5

Sea 𝑥 + 3𝑦 = 4 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑥 − 9𝑦 = −6 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2

Despejando 𝑥 de (1) se tiene 𝑥 = 4 − 3𝑦 Remplazando en (2) 4 − 3𝑦 − 9𝑦 = −6 10 − 12𝑦 = 0 𝑦=

10 12

Remplazando en (1) 𝑥 + 3(

10 )=4 12

𝑥 =4−

10 3 = 4 2

Entonces la solución del sistema de ecuaciones es 3

10

𝑥 = 2 y 𝑦 = 12 Es decir, el sistema es consistente.

CONCLUSIONES



El propósito de dicha actividad permite identificar perfectamente que es una ecuación, sistema de ecuaciones y sistema de ecuaciones lineales. Esta unidad temática es de carácter teórico- práctico porque se explicaran todas las diferentes definiciones de sistema de ecuaciones lineales, debido a que el estudiante debe comprender la teoría para así poder realizar la parte práctica aplicando en los ejercicios de la guía.



La solución de cada uno de los ejercicios planteados en la guía de actividades permitió el reconocimiento de las temáticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones lineales rectas y planos en el espacio, y así dinamizar el aprendizaje a través de la interacción en el trabajo en equipo.



La Eliminación Gaussiana y el Método de Gauss-Jordán son muy similares. Ambos buscan encontrar el valor de las variables en un sistema de ecuaciones mediante el uso de matrices y operaciones elementales. Sin embargo, lo que los diferencia uno del otro es que la Eliminación Gaussiana busca obtener una matriz escalonada superior, mientras que Gauss-Jordan obtiene una matriz diagonal.



Para hallar la intersección entre un plano y una recta, se reemplazan las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.

BIBLIOGRAFIA



Vadenumeros, (2018),Plano paralelo a otro y perpendicular a una recta Recuperado de: https://www.vadenumeros.es/segundo/plano-paralelo-y-perpendicular.htm  Planos Paralelos - Planos Perpendiculares, Recuperado de: https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/geometria/planos-paralelos-planosperpendiculares-l11132 

Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Disponible en el Entorno de Conocimiento.



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Disponible en el Entorno de Conocimiento.



Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento.



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Disponible en Entorno de Conocimiento.



Rodríguez J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento.