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UNIDAD 2: TAREA 2- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS

Presentado por: Diego Jakov Orjuela Molano 1122129393

Presentado a: Fredy Alonso herrera Tutor

Algebra Lineal Grupo: 100408_311

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Ingeniería de Sistemas Acacias (Meta) Cead Acacias 27/10/2018

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo encontraremos ejercicios propuestos por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia sobre los temas de sistemas de ecuaciones lineales y rectas y planos en el espacios, con los cuales se identificara conceptos como sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, rectas en R3, planos, espacios vectoriales, entre otros.

Ejercicio 1: Conceptualización de Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 2, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: a) Defina qué es un sistema de ecuaciones lineales: con solución única, Con un número infinito de soluciones, sin solución, consistente e inconsistente.

b) Diferencia entre los métodos de reducción de Gauss-Jordan y eliminación gaussiana.

c) Ecuación vectorial de la recta, ecuaciones paramétricas y simétricas.

d) Ecuación del plano, como graficar un plano e) Planos paralelos, ecuación de intersección de dos planos. Ejercicio 2. Aplicación de conceptos de Sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.

En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2 ,3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? SOLUCION: Sea: 𝑥 = 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 1 𝑦 = 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜2 𝑧 = 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 3 Cortar en 8h(480m) 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 Coser en 8h(480m) 40𝑥 + 50𝑦 + 40𝑧 = 480 Planchar y empaquetar en 8h(480m) 50𝑥 + 50𝑦 + 15𝑧 = 480 Sistema de ecuaciones: 30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 {40𝑥 + 50𝑦 + 40𝑧 = 480 50𝑥 + 50𝑦 + 15𝑧 = 480

30 (40 50

50 50 50

1 𝑅1 10 1 𝑅2 10 1 𝑅3 10

65 480 40|480) → 15 480

3 5 (4 5 5 5

1 𝑅1 3 1 𝑅2 4 1 𝑅3 5

1 5/3 13/6 16 𝑅2−𝑅1 13/2 48 𝑅3−𝑅1 1 | 12 ) → 4 |48) → (1 5/4 3/2 48 1 1 3/10 48/5 −12 𝑅2 5 −3 𝑅3 2

1 5/3 13/6 1 16 −7/6 | −4 ) → (0 −5/12 (0 −32/5 0 −2/3 −28/15 0 1 5/3 13/6 16 𝑅1−5𝑅2 1 3 (0 (0 1 14/5|48/5) → 0 0 0 0 0 INFINITAS SOLUCIONES DE LA FORMA

5/3 13/6 16 𝑅3−𝑅2 1 14/5|48/5) → 1 14/5 48/5 0 −5/2 0 1 14/5 |48/5) 0 0 0

48 14 − 𝑧 5 5 5 𝑥= 𝑧 2

𝑦=

Ejercicio 3 Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos a. En una ecuación de recta dada, se han de identificar fácilmente un punto conocido y un vector director, así, si se dan las coordenadas de un punto P de una recta y se conoce la ecuación paramétrica de una segunda recta, sabiendo que las dos rectas son paralelas, ¿que comparten en común dichas rectas? Rta: Si son dos rectas paralelas tiene en común el vector director el cual da la dirección de la recta en el espacio b. Dé la ecuación de la recta, que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A(-2,0,1), B(1,2,3). ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1 − −2,2 − 0,3 − 1) = (3,2,2) 𝐴𝐵 𝑟1 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, −1,1)+∝ (3,2,2) c. Dados dos puntos cualquiera en el plano, se requiere el hallar un vector a partir de estos puntos para poder así determinar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas. ¿Qué nombre recibe el vector hallado a partir de los puntos dados? Relacione con claridad una fuente de consulta comprobable que argumente la respuesta. Vector director: un vector director es un vector que da la dirección de una recta y también la orienta, es decir, le da un sentido determinado, se puede obtener a partir de dos puntos que se encuentren en la recta al trazar un vector con esto puntos. Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226 d. Encuentra las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos P y Q: P=(5, -1, 4) ; Q = (6, 2, 5)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = (6,2,5) − (5, −1,4) = (6 − 5,2 − −1,5 − 4) = (1,3,1) Ecuación vectorial 𝑟2 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5, −1,4) + 𝛽(1,3,1) Ecuación paramétrica 𝑥 =5+𝛽 {𝑦 = −1 + 3𝛽 𝑧 =4+𝛽 Ecuación simétrica 𝛽 =𝑥−5=

𝑦+1 =𝑧−4 3

Ejercicio 4. Aplicación de conceptos planos en la solución de problemas básicos Dados los siguientes planos: 𝑘𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 − 1 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 6 𝑧 + 5 = 0 Determinar el valor de k para que sean: a) Paralelos. Para que los planos sean paralelos sus vectores directores deben ser iguales o múltiplos (𝑘, 2, −3) (2, −4,6) 𝑘 2 −3 = = 2 −4 6 𝑘 −1 −1 = = 2 2 2 𝑘 = −1 Tal que (−1,2, −3) =

−1 (2, −4,6) 2

b) Perpendiculares. Para que los planos sean perpendiculares, el producto punto entre sus vectores directores debe ser igual a 0 (𝑘, 2, −3) ∙ (2, −4,6) = 0 (𝑘)(2) + (2)(−3) + (−3)(6) = 0

(2𝑘) + (−6) + (−18) = 0 2𝑘 − 6 − 18 = 0 2𝑘 = 6 + 18 26 𝑘= 2 𝑘 = 13 Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.

Ejercicio 5. Aplicación de conceptos planos en la solución de problemas básicos Resolver los siguientes ejercicios: Obtener la ecuación del plano que contiene el punto P0 (1,2,3) y cuyas coordenadas del vector normal son: n (1,-1, 1) 𝑃0 (1,2,3)

𝑛⃗(1, −1,1)

𝜋1 : (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 3) ∙ (1, −1,1) = 0 𝜋1 : (𝑥 − 1) − (𝑦 − 2) + (𝑧 − 3) = 0 𝜋1 : 𝑥 − 1 − 𝑦 + 2 − 3 = 0 𝜋1 : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 + 2 − 3 = 0 𝑥−𝑦+𝑧−2 =0

Compruebe gráficamente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.

Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A(1,2,1); B(1, 0,1); C(0, 1, -1). Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab. 𝐴(1,2,1)

𝐵(1,0,1)

𝐶(0,1, −1)

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1,0,1) − (1,2,1) = (0, −2,0) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (0,1, −1) − (1,0,1) = (−1,1, −2) 𝐵𝐶 𝑖 𝑗 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 = | 0 −2 −1 1

𝑘 0 | = 4𝑖 − 2𝑘 = (4,0, −2) −2

𝜋2 : (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 1) ∙ (4,0, −2) = 0 𝜋2 : 4(𝑥 − 1) + 0(𝑦 − 2) − 2(𝑧 − 1) = 0 𝜋2 : 4𝑥 − 4 − 2𝑧 + 2 = 0 𝜋2 : 4𝑥 − 2𝑧 − 4 + 2 = 0 𝜋2 : 4𝑥 − 2𝑧 − 2 = 0 𝜋2 : 2𝑥 − 1𝑧 − 1 = 0

Ejercicio 6. Grafica de sistemas ecuaciones lineales e identificación de tipo de soluciones. En grupo utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos, para graficar cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: 3𝑥 + 2𝑦 = −2 −6𝑥 − 4𝑦 = −7 𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 + 5𝑦 = 0 −6𝑥 − 4𝑦 = −7 −2𝑥 + 3𝑦 = 1

𝑥 − 3𝑦 = −4 3𝑥 − 9𝑦 = −12

𝑥 + 3𝑦 = 4 𝑥 − 9𝑦 = −6 a) Para cada sistema de ecuaciones graficado, analicen cómo son las rectas entre sí. b) Resuelvan los sistemas de ecuaciones anteriores aplicando alguno de los métodos analizados en ésta unidad. c) Indiquen en qué casos pudieron encontrar una única solución, infinitas soluciones o ninguna solución. d) Clasifiquen las soluciones de cada sistema según las rectas obtenidas. {

3𝑥 + 2𝑦 = −2 −6𝑥 − 4𝑦 = −7

Como no se cruzan las rectas, sabemos de antemano que el sistema no tiene solución 1 𝑅1 3 1 − 𝑅2 6

3 2 −2 | )→ −6 −4 −7

(

(

1 2/3 −2/3 𝑅2−𝑅1 1 2/3 −2/3 | )→ ( | ) 1 2/3 7/6 0 0 11/6

NO TIENE SOLUCION 𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 + 5𝑦 = 0

Al cortasen las rectas en el punto (5,-2) sabemos que la solución es x=5, y=-2

1 2 1 𝑅2−2𝑅1 1 2 1 | )→ ( | ) 2 50 0 1 −2

(

𝑦 = −2 𝑥 + 2𝑦 = 1 𝑥 + 2(−2) = 1 𝑥 = 1+4 𝑥=5

SOLUCION UNICA

−6𝑥 − 4𝑦 = −7 −2𝑥 + 3𝑦 = 1

Al cortasen las rectas en el punto (0.66, 0.75) sabemos que la solución es x=0.66, y=0.75

1 − 𝑅1 6 1 − 𝑅2 2

−6 −4 −7 ( | )→ −2 3 1

1 ( 1

6

4/6 7/6 𝑅2−𝑅1 1 4/6 7/6 −13𝑅2 1 4/6 7/6 | )→ ( | )→ ( | ) −5/2 −1/2 0 −13/6 −5/2 0 1 10/13 𝑦=

10 13

4 7 𝑥+ 𝑦= 6 6 4 10 7 𝑥+ ( )= 6 13 6 𝑥=

7 20 17 − = 6 39 26

SOLUCION UNICA

𝑥 − 3𝑦 = −4 3𝑥 − 9𝑦 = −12

Al estar las dos rectas transpuestas, se dice que el sistema tiene soluciones infinitas

1 −3 −4 𝑅2−3𝑅1 1 | )→ ( 3 −9 −12 0

(

−3 −4 | ) 0 0

INFINITAS SOLUCIONES De la forma 𝑥 = −4 + 3𝑦 𝑥 + 3𝑦 = 4 𝑥 − 9𝑦 = −6

Al cortasen las rectas en el punto (1.5, 0.81) sabemos que la solución es x=1.5, y=0.81

−1

1 ( 1

3 4 𝑅2−𝑅1 1 | )→ ( −9 −6 0

3 4 12 𝑅2 1 3 4 | )→ ( | ) −12 −10 0 1 5/6 𝑦=

5 6

𝑥 + 3𝑦 = 4 5 𝑥 + 3( ) = 4 6

𝑥 =4− UNICA SOLUCION

15 3 = 6 2

CONCLUSIONES



Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.



Existen tres diferentes tipos de soluciones para sistemas de ecuaciones lineales (única solución, infinitas soluciones, sin solución)



Existen diferentes formas de expresar la misma recta en el espacio (vectorial, simétrica y paramétrica)



Para encontrar la ecuación de un plano en el espacio se necesitan dos vectores que estén en el plano o bien tres puntos que estén en el plano. Los tres puntos sirven para encontrar dos vectores.

BIBLIOGRAFIA 

Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD. Páginas 1 a la 30. Disponible en el Entorno de Conocimiento.



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Disponible en el Entorno de Conocimiento



Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento.



Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Disponible en Entorno de Conocimiento.