Tarea2 Calculo2 2007

Tarea 2, Calculo II Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes. Prof. Rodrigo Lecaros Auxiliar: Alexis Fuentes Semestre 2007-1 P1.- Sea f : IR2 → IR definida por  f (x, y) = a) b) c) d)

1 ) si xy = 6 0 xy 2 sen( xy 0 si xy = 0

Calcule donde existan las derivadas parciales de f Si xy 6= 0, ¿ es f diferenciable ? ¿ es f diferenciable en (0, 0) ? ¿ es ∂f ∂y continua en (0, 0) ?

P2.- Sea f y g funciones de IR3 → IR. Suponga que f es diferenciable y ∇f (x) = g(x) · x Mostrar que f es constante para las esferas centradas en el origen. P3.- Sea A ∈ M (IR)m×n y b ∈ IRm considere la funci´on 1 f (x) = kAx − bk2 . 2 Determine ∇f P4.-

a) Considere f (x, y) = (tan(x + y), 1 + xy, ex

2 +y

)

g(u, v, w) = sen(uv + πw) sea h = g ◦ f encuentre el plano tangente a h en (0, 0) b) Sea z = φ(x, y) donde φ es diferenciable, suponga que existe F : IR2 → IR, F = F (u, v), diferenciable talque F (x + y + z, ax + by) = 0 con a, b ∈ IR constantes y

∂F ∂u

6= 0. Pruebe que a

∂φ ∂φ −b = cte ∂y ∂x

P5.- Encuentre el plano tangente al grafo de la funci´on s en el punto (~a, s(~a)) donde ~a = (1, 1) sabiendo que 1) s = q ◦ p 2) p : IR2 → IR3 diferenciable en (1, 1) √ 3) q(x, y, z) = (ln(x2 +y 2 ), x y , exyz ) donde q es diferenciable en p(1, 1) = (1, 1, 0) y ademas se tiene que   2 0 Jp (1, 1) =  −1 4  1 3 P6.- Sean u, v talque ∀x > 0 1 u(x, y) = ln(x2 + y 2 ) 2 y v(x, y) = arctan( ) x sea g(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)) donde f = f (u, v) es diferenciable en IR2 . Demuestre que   ∂g ∂g 1 ∂f 2 ∂f 2 ( )2 + ( )2 = 2 ( ) + ( ) ∂x ∂y x + y 2 ∂u ∂v