Tarea1_diego Orjuela_ Grupo 100408_311.docx

Tarea 1 Vectores Matrices y Determinantes

Presentado por: Diego Jakov Orjuela Molano 1122129393

Presentado a: Fredy Alonso herrera Tutor

Algebra Lineal Grupo: 100408_311

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Basicas, Tecnologia e Ingeniería Ingeniería de Sistemas Acacias (Meta) Cead Acacias 15/10/2018

1- Mapa conceptual: Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas

2- Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector

Procedimiento modulo

ℎ2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 →

= 122 + 92

→

= 184 + 81

→

= √225= 15

|A|2

|A|2

|A|2

→

|A|2

= 15

Procedimiento Dirección

12

4

cos 𝜃 = 15 = 5 cos 𝜃 =

4 5

𝜃 = 37°

Sentido Se gráfica cruzando una línea sobre la cual se extiende sobre el vector, representando el sentido con la cabeza de la flecha, con dirección noreste.

a) Dados los siguientes vectores en forma polar |𝑢| = 2 ; 𝜃 = 120° |𝑣| = 3 ; 𝜃 = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: 𝑣̅ − 𝑢̅

5𝑣̅ − 2 𝑢̅

Desarrollo

Componente de x  |𝑢| = 2 ; 𝜃 = 120° 𝑢𝑥 = 2 ∗ cos 120° 1 = 2 (− ) 2 = −1

Componente en y 𝑢𝑦 = 2 ∗ sen 120° = 2(

2√3 √3 )= 2 2

Resultante (−1,

2√3 ) 2

 |𝑣| = 3 ; 𝜃 = 60°

Buscamos las componentes en x 𝑣𝑥 = 3 ∗ cos 60° 1 = 3( ) 2

=

3 2

Buscamos las componentes en y 𝑣𝑦 = 3 ∗ sen 60° √3 = 3( ) 2 =

3√3 2

Resultante 3 3√3 ( , ) 2 2

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ● 𝑣̅ − 𝑢̅ ● 5𝑣̅ − 2 𝑢̅ 5 (−1,

2√3 2

)

3

−2 (2 ,

3√3 2

) (−5, 5√3) + (3, 3√3) (−5 + 3, 5√3 + 3√3) (−2; 8√3)

c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: ● 𝑢̅= 2i + 9j y 𝑣̅ = -6i – 4j

𝐶𝑜𝑠 (𝑢, 𝑣) =

𝑢, ̅ 𝑣̅ |𝑢̅|, | 𝑣̅ |

(𝑢, ̅ 𝑣̅ ) = (2,9) ∗ (−6 − 4) = 2(−6) + 9(−4) = −12 − 36 = −48 |𝑢̅| = √22 + 92 = √4 + 81 = √85 |𝑣̅ | = √(−6)2 + (−4)2 = √36 + 16 = √52 𝐶𝑜𝑠 (𝑢, 𝑣) =

−48 √85, √52

=

−48 −48 = = −0,72 9,21954 ∗ 7,21110 66,4

cos −1(−072) = 136°

d) Encuentre la distancia entre los puntos:

● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) 𝑥1 = (3),

𝑦1 = (−4), 𝑧1 = (7)

𝑥2 = (3),

𝑦2 = (−4), 𝑧2 = (9)

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 𝑑 = √(3 − 3)2 + (−4 − (−4))2 + (9 − 7)2 𝑑 = √(3 − 3)2 + (−4 − (−4))2 + (9 − 7)2 𝑑 = √0 + 0 + 4 𝑑 = √4 𝑑=2

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k 𝑖 → 𝑥 →= |−7 𝑢̅ 𝑣̅ 9

𝑗 𝑘 9 8| 3 8

9 8 −7 8 −7 9 → 𝑥 →= | | → −| |→+| |→ 𝑢̅ 𝑣̅ 3 8 𝑖 9 8 𝑗 9 3 𝑘 → 𝑥 →= [(9) ∗ (8) − (8) ∗ (3)] → − [(−7) ∗ (8) − (8) ∗ (9)] 𝑢̅

𝑣̅

𝑖

→ +[(−7) ∗ (3) − (9) ∗ (9)] → 𝑗

𝑘

→ 𝑥 →= [72 − 24] → − [−56 − 72] → +[−21 − 81] → 𝑢̅

𝑣̅

𝑖

𝑗

𝑘

Respuesta: → 𝑥 →= 48 → + 128 → +102 → 𝑢̅

𝑣̅

𝑖

𝑗

𝑘

→ 𝑥 → = 〈48, 128, 102〉 𝑢̅

𝑣̅

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 2, resuelve el siguiente problema:

Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la

magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

(a) las componentes de cada desplazamiento. 4.13 M SO −(4,13 𝑐𝑜𝑠 45°)𝑖 − (4,13 𝑠𝑒𝑛45°)𝑗 = −4,13

= −4,13

√2 √2 𝑖 − 4,13 𝑗 2 2

√1,41421 √1,41421 𝑖 − 4,13 𝑗 2 2

= −4,13 ∗ 0,7071 𝑖 − 4,13 ∗ 0,7071 𝑗 = −2,92 𝑖 − 2,92 𝑗

5,25𝑚 E = 5,26 𝑖 Y 5,94 m en una dirección de 64° NE (5,94 𝑐𝑜𝑠 64°)𝑖 − (5,94 𝑠𝑒𝑛64°)𝑗 2,60 𝑖 − 5,34 𝑗

(b)las componentes del desplazamiento resultante. Sumamos los vectores hallados arriba: −2,92 𝑖 − 2,92 𝑗 + 5,26𝑖 + 2,60𝑖 + 5,34𝑗 = (−2,92 + 5,26 + 2,60)𝑖 + (−2,92 + 5,34)𝑗 = 4,94 𝑖 + 2,42 𝑗

(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante. Magnitud: √4,942 + 2,422 = √30,26 = 5,50 𝑚 2,42

Dirección: tan−1 (4,94) = tan−1(0,49) = 26.1°

(d)el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. Derivado del punto de arranque que fue el punto de origen, se requiere un desplazamiento un vector opuesto para regresar a la posición actual. Se expresa de la siguiente manera: −(4,94 𝑖 + 2,42 𝑗) −4,94 𝑖 + 2,42 𝑗

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes

Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:

A=

𝑓2 ↔ 𝑓1

1 2 5

1 3 0 −5 5 −2

𝑓2 → 𝑓2 − 2 𝑓1

𝑓3 → 𝑓3 − 5𝑓1

1

𝑓2 → − 5 𝑓2

1 0 0

5 −6 7

3 5 −5 −6 −17 −18

1 3 5 6 0 1 5 0 −17 −18

1 𝑓3 → +17𝑓2

3 5 1 4 −2 7

0 0

3

5 6 1 5 12 0 5

5

𝑓3 → 12 𝑓3

1 3 5 6 0 1 5 0 0 1

- Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus

DET(A) = −2 ∗ [( 0 + 0 + 0) − ( 0 − 240 + 0) = −480 DET(B)= [ ( 0 + 0 + 0) − (6 + 0 + 4) ] = −10 DET(C) = [(210 − 72 + 360) − ( 120 + 810 − 56)] = −376

a- B*c 7 + 0 − 24 9 + 0 − 24 0 + 9 − 32 0 + 3 − 32 14 + 9 + 0 18 + 3 + 0

−17 −15 −23 −29 23 21

DET(C) *DET(A)*B

−5 + 0 + 30 0 + 1 + 40 −10 + 1 + 0

25 41 −9

1 0 3 1 0 −376 ∗ −480 ∗ 0 1 4 = 180480 ∗ 0 1 2 1 0 2 1 −2 −10 7 3*A = 3 0 5 4 0 −10 0 0

0

0 −6 −30 − 1 = 0 −15 0 0 −30 0

6

0

3 180400 4= 0 0 360960

0 180480 180480

541440 721920 0

21 0 12 − 3 0 0 0

0

18

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 3

Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Solución

-

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto

nos da la matriz que buscamos, con las cantidades en gramos

𝐴 40 𝑅 = 160 𝐶𝑎 = 80

𝑚=

𝐵 120 120 120

𝐶 150 80 80

𝑀 26600 𝐴 50 𝐵 80 = 𝑅 25600 𝐶 100 𝐶𝑎21600

Si queremos las cantidades expresadas en KG haremos lo siguiente

1 26600 𝑀 26,6 25600 = 𝑅 25.6 1000 21600 𝐶𝑎21,6 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula

𝑃 2 𝐵 2 𝐶 1

𝑀 1 2 2

𝐴

2 0 0

𝑁 |1 0 6 4| 0 1 3| 0 0

1 6| 1 1 − 3 0 | 2 2 2 0 −2|− 3

0 0 1

0

0

0

1

1 −

2 3

Matriz inversa 1 3 4 − 3 2 3 1 2 − 0 3 3 1 1 1 − 3 2 3 −

Ejercicio 7 El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales, sin embargo es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana, tales como en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, ingenierías. Ejemplo:

Fig 2. Representación vectorial del movimiento del auto entre dos puntos.

el álgebra nos ayuda e expresar, analizar y comprender las diversas situaciones de la vida diaria, como por ejemplo la situación planteada de las compras en el trabajo, el proceso de la realización de una actividad, etc., una aplicación en la vida real es el desplazamiento vectorial, los ángulos de inclinación, trayectoria, y demás del vuelo de las aeronaves

En el área de las ingenierías tener bastante aplicabilidad, ya que al estar íntimamente ligada esta con las matemáticas, es tenía muy en cuenta para la investigación y solución de los diversos problemas expresados y encontrados en esta.

CONCLUSIONES

Luego de haber hecho el presente trabajo he podido concluir:

El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas, que nos permite poder analizar e interpretar diversas situaciones de la vida real.

El álgebra lineal es un área de bastante interés en mi área de estudios, ya que estoy en una ingeniería, en la cual se esa bastante conceptos y procesos lógicos

BIBLIOGRAFIA

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=13&docI D=3200976&tm=1512079046521

Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta

y

a

Distancia.

Páginas

5

a

la

11.

Recuperado

de

:

http://hdl.handle.net/10596/7081

Vargas, J. (2015). Coordenadas polares. [Video].

Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7196

Vargas, J. Operaciones entre vectores Universidad

Nacional

Abierta

y

y ángulo entre ellos. [Video]. a

Distancia.

Recuperado

de http://hdl.handle.net/10596/7108

Alvarez, V. (2017). Vectores en R2. [Video].Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11517

Alvarez Altamiranda, V. (2018). Vectores en R2. [Página Web]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/19256

Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta

y

a

Distancia.

Páginas

81-105.

Recuperado

de

:

http://hdl.handle.net/10596/7081

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Colombia: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 54 a la 87. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=64&docI D=3200976&tm=1512084449256

Martínez, H. (2015). Matrices: Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7194

Gutiérrez, M. (2015). Matriz Escalonada. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7189

Vargas, J. (2015). Cálculo de matrices inversas: Operaciones básicas. [Video].

Universidad

Nacional

de: http://hdl.handle.net/10596/7186

Abierta

y

a

Distancia.

Recuperado

Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas de 131 a 144. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081

Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas

88

a

103.

Recuperado

de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584 265&p00=algebra+lineal

Vargas, J. (2015). Determinante de una Matriz. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7185