Tarea_1_angelagarcia.docx

TAREA 1 – VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

ANGELA PATRICIA GARCIA VILLADA 1054545730

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ADMINISTRACION DE EMPRESAS – ECACEN – 100408-204– ALGEBRA LINEAL MARZO - 2019

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes.

Descripción del ejercicio 1:

d) Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales.

Mentefacto conceptual

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

    

Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos. Encontrar el ángulo entre los vectores. Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Magnitud y Dirección del Vector A. (3,5)

|𝐴| = √(𝐴𝑥)2 + (𝐴𝑦)2

tan 𝜃 = 5⁄3

|𝐴| = √(3)2 + (5)2

𝜃 = tan−1 5/3

|𝐴| = √34 ≈ 5,83

𝜃 = 59,03°

Magnitud y Dirección del Vector B. (-4,1)

|𝐵| = √(𝐵𝑥)2 + (𝐵𝑦)2

tan 𝜃 = 1⁄−4

|𝐵| = √(−4)2 + (1)2

𝜃 = tan−1 1/4

|𝐵| = √17 ≈ 4,12

𝜃 = 165,96°

Angulo entre los Vectores A y B

A = (3,5) B = (-4,1) cos 𝜃 =

𝐴. 𝐵 |𝐴| |𝐵|

𝐴. 𝐵 = 3(−4) + 5(1) 𝐴. 𝐵 = −7 cos 𝜃 =

−7 (5,83). (4,12)

cos 𝜃 =

−7 24,01

cos 𝜃 = −0,291428 𝜃 = cos −1(−0,291428) 𝜃 = 106,94°

Suma entre Vectores A y B; y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. A = (3,5)

B = (-4,1) 𝐴 + 𝐵 = (3 + (−4)) (5 + 1) 𝐶 = (−1, 6) Magnitud Vector C |𝐶| = √𝐶𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 |𝐶| = √(−1)2 + 62 |𝐶| = √37 Dirección Vector C tan 𝜃 =

6 −1

𝜃 = tan−1

6 −1

𝜃 = (−80,53) + 180 𝜃 = 99,46° Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. 𝐴 = |𝐴𝑥𝐵|

A=(3,5) B=(−4,1)

↑ ↑ AxB 3 5 −4 1 ↑

5 1

𝐾 0 0

0 0

↑ (0 − 0)

A x B= 0 ↑ +0 ↑ −23𝐾 =√02 + 02 + (−23) =√529

↑

3 0 −4 0

↑ (0 − 0)

K

3 5 −4 1

K(3 − (−20))

=23𝑈 2 

Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

b) Dados los vectores v ⃗ = 3i − 4j + 2k 

−3v ⃗ + 2w ⃗⃗

⃗ = (3, −4,2) = −3(3, −4,2) = (−9,12, −6) v ⃗w ⃗⃗ = (2,5,4) = 2(2,5,4) = (4,10,8) −3v ⃗ + 2w ⃗⃗ = (−9,12, −6) + (4,10,8) −3v ⃗ + 2w ⃗⃗ = (−5,22,2) 

6(v ⃗ . ⃗w ⃗)

⃗w ⃗⃗ = 2i + 5j + 4k calcular:

⃗ = (3, −4,2) v ⃗w ⃗⃗ = (2,5,4) ⃗ . ⃗w v ⃗ = (3, −4,2) ∗ (2,5,4) = ⃗ . ⃗w v ⃗ = 6 − 20 + 8 ⃗ . ⃗w v ⃗ = −6 6(v ⃗ . ⃗w ⃗ ) = 6(−6) 6(v ⃗ . ⃗w ⃗ ) = −36 

Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. ⃗ = 3i − 4j + 2k v

⃗w ⃗⃗ = 2i + 5j + 4k

⃗ = (3, −4,2) v ⃗w ⃗ = (2,5,4) |v| = √(3)2 + (−4)2 + (2)2 |v| = √9 + 16 + 4 |v| = √29 |v| = 5,38 𝐴𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = |𝑣| 3 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 5,38 3 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 5,38 𝛼 = 56,10 𝐴𝑦 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = |𝑣| −4 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 5,38 −4 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 5,38 𝛽 = 138,020 𝐴𝑧 𝑜𝑠 𝛾 = |𝑣|

2 5,38 2 𝛾 = 𝐶𝑜𝑠 −1 5,38 𝛾 = 68,170 |w| = √(2)2 + (5)2 + (4)2 𝐶𝑜𝑠 𝛾 =

|𝑤| = √4 + 25 + 16 |𝑤| = √45 |w| = 6,7 𝐴𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = |𝑤| 2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 6,7 2 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠 −1 6,7 𝛼 = 72,60 𝐴𝑦 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = |𝑤| 5 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 6,7 5 𝛽 = 𝐶𝑜𝑠 −1 6,7 0 𝛽 = 41,7 𝐴𝑧 𝐶𝑜𝑠 𝛾 = |𝑤| 4 𝐶𝑜𝑠 𝛾 = 6,7 4 𝛾 = 𝐶𝑜𝑠 −1 6,7 0 𝛾 = 53,3 

Calcular el producto cruz y el producto punto. ⃗ = (3, −4,2) v ⃗w ⃗ = (2,5,4) ⃗ Xv u ⃗ 𝑖̂ 𝑗̂̇ 𝑘̂ −4 2 3 −4 3 2 ⃗ Xv u ⃗ = |3 −4 2| = | | 𝑖̂ − | |𝑗 + | |𝑘 5 4 2 5 2 4 2 5 4 = −26𝑖̂ − 8𝑗 + 23𝑘 = (−26, −8, 23) ⃗ = (3, −4,2) v ⃗w ⃗ = (2,5,4) ⃗ . ⃗w v ⃗⃗ = (3, −4,2). (2,5,4) ⃗ . ⃗w v ⃗ = (3)(2) − (4)(5) + (2)(4)

⃗ . ⃗w v ⃗⃗ = 6 − 20 + 8 ⃗ . ⃗w v ⃗ = −6



Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 3 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 2s. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (-4,8) m/s.  ¿Cuánto vale el cambio de velocidad?

v  v2  v1 v   (4,8)  (5, 3)  m / s v   (4  5), (8  3)  m / s v  (9,11)m / s  ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

v (9,11)m / s  t (4  2) s v  9 11     ,  m / s2 t  2 2   Dados: a = (5, 12) y b = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la medida en radianes del ángulo y sea  / 3 .

 a.b cos( )  3 a.b 1 a.b  2 a.b

a.b  (5,12).(1, k )  5  12k

Determinamos las operaciones indicadas. a  52  122  13 b  12  k 2  1  k 2 1 5  12k  Sustituimos. 2 13 1  k 2 13 1  k 2  10  24k



13 1  k 2



2

 10  24k 

2

Ahora, elevamos al cuadrado. 169  169k 2  576k 2  480k  100

407k 2  480k  69  0

k

b  b 2  4ac 2a

480  4802  4(407)(69) Utilizamos la ecuación cuadrática. k  2(407) k1  1,31  k2  0,13

Tenemos dos valores para k.

a  (5,12) b  (1, -1.31) a  (5,12) b  (1, 0.13)

10,72 Verificamos cada uno. (13).(1,65)   120  2 / 3 cos( ) 

6,56 (13).(1, 01)   60   / 3 cos( ) 

Por lo tanto, el único valor de k que satisface las condiciones es k  0,13 .

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Descripción del ejercicio 4 Sean las siguientes matrices:

Realizar las siguientes operaciones, si es posible: a) A * B * C

 1  2    1    5

3 9 5 6     0 2 3 5  5 6 3  1 3 6    . .  4 3 5 4  0 3 8  0 1 3        1 0 9 8  2 3 0  5 7 5   0

2

  9  15 5  2  21 6  6  15      0 2 3 5   18  5  15 10  15  6  21  12  30  18  15   .  4 3 5 4      9  40   5  3  56 6  9  40    1 0  9 8     25  6  3 30  12  9      45  2 3  48  42 72  70  27 120  56  24   24 14  56  3  0 2 3 5    2 40  21   160  21 4  120 6  200  189 10  160  168   .  4 3 5 4     49 48 25 192  25 98  144 147  240  225 245  192  200     1 0 9 8     47 16 33   64  33 94  48 141  80  297 235  64  264  6 169 152   59 139 116 17 338     217 46 612 237     97 142 236 435 

b) 4 B * 2 A

9 5 6   1 1 3 6   2  .2   4 0 1 3   1    5 7 5  5

0 2 5 6 0 3 2 3

3 36 20 24   2 0 4 6  3  4 12 24   4 10 12 6   . 8   0 4 12   2 0 6 16       0   20 28 20   10 4 6 0 

Las dimensiones de las matrices no son compatibles para la multiplicación. El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda.

c) 3C *(7 B) 9 5 6   63 35 42   0 2 3 5  1 3 6   0 6 9 15   7 21 42    12 9 15 12  .    3  4 3 5 4  .( 7)    0 0 1 3   7 21  1 0 9 8     3 0 27 24    5 7 5  35 49 35  42  525 126  63  735 252  189  525      756  63  420 420  189  105  588 504  378  315  420   189  840  105  189  1176 126  567  840  483 546 588    1239 252 777   651 1470 1533 

d) D 2 0 3x 2   3 y 2 1 0 

2  0 3 x 2   3  . 3 y 2 ( x  y )  1 0

9 x 2  2   3 y 2  3  x y 

3x 2 y 2 y 4  9 x2 3x 2

2   3  ( x  y ) 

9 x 2  2( x  y )   3 y 2  3( x  y )  6  ( x  y ) 2  2 

e) D * C 0 3x 2   3 y 2 1 0 

2   0 2 3 5   3  .  4 3 5 4  ( x  y )   1 0 9 8 

12 x 2  2 9 x2 15 x 2  18 12 x 2  16      4 y2  3 3y2  6 5 y 2  18 4 y 2  39   x  y 2 9 x  9 y  3 8 x  8 y  5 

f) C T * D 0  2  3  5

4 1 0 3x 2  3 0  . 3 y2 5 9    1 0 4 8 

11 4 y2  9 3 y 2  6 x2    6 9 x2  5 y 2  2 2  20 15 x  4 y

2   3  ( x  y ) 

12  y  x   13  9  9 y  9x  8x  8 y  2

g) Det ( B )

9 5 6  1 3 6   Det  0 1 3    5 7 5 Solo se puede calcular la determinante de matrices cuadradas.

h) Det ( D) 0 3x 2  Det  3 y 2 1 0 

2   3  ( x  y ) 

3   y2 3 y 2  3  2 3  0   3x    2 1 ( x  y )   0 ( x  y) 1 0   0( xy 2  y 3  0)  3x 2 (3x  3 y  3)  2(0  y 2 )  9 x 3  9 x 2 y  9 x 2  2 y 2

i) ( BT  C )T

 9 1 0 5   0 2 3 5   9 3 3 0  B  C   5 3 1 7    4 3 5 4    9 0 6 3   6 6 3 5  1 0 9 8  7 6 12 13  9 9 7  3 0 6  T T  (B  C)   3 6 12     0 3 13 T

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación en OX, Rotación en OY y Rotación en OZ.

Haciendo la rotación, tomando al eje y como eje de giro, la matriz de rotación R ( y,  ) que se obtiene es:  cos( ) 1 sen( )  R( y,  )   0 1 0    sen( ) 0 cos( ) 

Teniendo en cuenta que:

Pxyz  R( y,  ).Puvw 1  a) Encontrar el vector Pxyz, cuando el punto Puvw  1  con   90 ,con respecto al eje OY.    2 

 cos(90) 1 sen(90)  1   0 1 1  1   . 1    0 1 0  . 1  Pxyz   0 1 0          sen(90) 0 cos(90)   2   1 0 0   2  1  2  Pxyz   1   1  3 Pxyz   1   1

1 a) Encontrar el vector Pxyz, cuando el punto Puvw  1 con   45 ,con respecto al eje OY.   3

 2  cos(45) 1 sen(45)  1  2  . 1   0 Pxyz   0 1 0       sen(45) 0 cos(45)  3  2   2

1 1 0

2  2  1 0  . 1  2  3 2 

 2 2  1   Pxyz   1   2   Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación: Materia prima

Costo $/Kg

% Azúcares

% Grasas

% Proteínas

% Inertes

A B C

2,35 2 1,7

12 10 8

10 10 6

60 50 44

18 30 42

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%. A. Rescribimos la tabla con las condiciones que se requieren para la preparación del alimento. Materia prima

Costo $/Kg

% Azúcares

% Grasas

% Proteínas

% Inertes

A B C

2,35 2 1,7

12 10 8 >=10

10 10 6 <=95

60 50 44 >=52

18 30 42

B. se arma la matriz cuadrada con los coeficientes de los porcentajes que se requieren para los alimentos A, B Y C. 12 10 8  A  10 10 6  60 50 44 

C. Hallar la inversa de la matriz A de acuerdo a la siguiente fórmula:

A1  12 10

1 . Adj ( AT ) A

8

A  10 10 6 60 50 44 A  12

10 6 10 6 10 10  10 8 50 44 60 44 60 50

A  12(440  300)  10(440  360)  8(500  600) A  80  10   50  10 Cof ( A)     50    10  10 140 Cof ( A)   40  20

6 44



10 6 60 44

8 44



12 8 60 44

8 6



12 8 10 6

10 10   60 50  12 10    60 50   12 10   10 10 



80 100  48 0  8 20 

Adj ( A)  Cof ( A)T  140 40 20  Adj ( A)   80 48 8   100 0 20 

 140 40 20  1  A   80 48 8  80  100 0 20  1 1  7  4  2  4   3 1  1  A  1  5 10    1   5 0  4 4  1

D. Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad.

A1 * A  I A1 * A  I  7  4   1    5  4

1 2 3 5



0

1 35 25     21  5  15 5 14  3  11  4 12 10 8   2 2    1   18 22 . 10 10 6    12  6  6 10  6  5 8     10  5 5  60 50 44    1  25 25  15  15   10  11    4  2 2

1 0 0   0 1 0  0 0 1 

E. Compruebe todas las respuestas en GEOGEBRA.

ALGEBRA LINEAL EN LA VIDA COTIDIANA El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de espacios vectoriales y transformaciones lineales, sin embargo es un enfoque de estudio que aplica a casi cualquier cosa de nuestra vida cotidiana. Por ejemplo en la solución de problemas de nuestra vida, en la salud, en los sistemas que a diario manejamos, en la administración, etc.

Usos en la vida cotidiana: En un viaje: Tienes un origen y un destino, conoces tomara llegar al destino. Puedes sacar tiempo en que va llegar al destino, a qué velocidad debes viajar para llegar en un tiempo determinado Jugar Billar: (conociendo el Angulo apropiado), mover un objeto (conocer la fuerza del punto de equilibrio) eventos (conocer costos de operación y precio) El álgebra se aplica cuando hacemos las compras. Como ejemplo; si compramos 5 lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b, nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hacemos un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, ósea 10x puede significar 10 piezas de “x” cosa. Para un Administrador de Empresas es importante ya que se puede llevar un registro de ingreso, gastos, calcular el saldo para un tiempo determinado y llevar un registro detallado de las transacciones a largo tiempo, con estos resultados se puede conocer la situación financiera en que se encuentra en determinado momento y tomar decisiones acertadas a la hora de efectuar cualquier transacción que tenga que ver con la operación de las empresas • Toma de decisiones: Nos proporciona como administradores de empresas instrumentos vitales para la toma de decisiones acertadas en lo que se refiere la optimización de recursos escasos, todo esto hace del Algebra lineal una herramienta vital en la formación de un estudiante de Administración de Empresas.

Referencias Bibliográficas  Hohenwarter, M; Hohenwarter, M. Documento de ayuda Geogebra. [Manual]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7300  Tabara, J. (2016) Geogebra CAS y Matemáticas.Matrices. [Video tutorial]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7255  Tabara, J. (2016) Geogebra CAS y Matemáticas. Sistemas Lineales de Ecuaciones. [Video tutorial]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7299  Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 5 a la 18. Disponible en Entorno de conocimiento  Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 88 a 103. Disponible en Entorno de conocimiento.  Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 31 a 55. Disponible en Entorno de conocimiento.  Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 20 a la 77. Disponible en Entorno de conocimiento.  Zúñiga, C., Rondón, J. (2010) Módulo Algebra lineal. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 92 a la 118. 131 a la 146. Disponible en Entorno de conocimiento.

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