Tarea1

Tarea 1: Soluciones Lineales Integrantes: Thomas Maureira, Felipe Ovalle P1) i) Usando coordenadas polares en la masa m tenemos lo siguiente

r = L =⇒ r˙ = r¨ = 0 ~v = rˆ ˙ r + rθ˙θˆ =⇒ ~v = Lθ˙θˆ Frv = −c~v = −cLθ˙θˆ Fm = f cos(ωt)θˆ DCL:

θˆ)m(rθ¨+2r˙ θ˙)

=

Fm + Frv − mg sin θ mLθ¨ = f cos(ωt) − cLθ˙ − mg sin θ

(1)

rˆ)m(¨ r − rθ˙2 ) = mg cos θ − T −mLθ˙2 = mg cos θ − T Notemos que (1) corresponde a la ecuación de la componente tangencial. La aproximación lineal en torno a

θ ≈ 0(

0

Taylor de orden 2) de

sin θ ≈ sin(0) + sin (0)(θ − 0) + sin θ ≈ 0 + cos(0)θ −

sin θ

es:

00 1 sin (0)(θ − 0)2 2

1 sin(0)θ2 = θ 2

sin θ = θ Con lo que (1) se puede aproximar en torno a

θ ≈ 0:

mLθ¨ = f cos(ωt) − cLθ˙ − mgθ ii) Dividiendo la ecuación (2) por mg:

L¨ f cL ˙ θ= cos(ωt) − θ−θ g mg mg 1

(2)

Al utilizar el cambio de variable

dθ dT

dθ √ g d L t

=

=

q

L dθ d2 θ g dt dT 2

=

T =

pg

L t tenemos que

L d2 θ g dt2

realizando el CV en la ecuación obtenida llegamos a lo siguiente:

L¨ gθ = 2

d θ dT 2

−θ −

c m

= −θ −

q q

c m

L

L ˙ gθ

+

f mg

cos(ωt) q f L dθ L + cos(ω g dT mg g T) s s c L L f ¨ = −Θ − ˙ + Θ Θ cos(ω T) m g mg g

qg

(3)

Esta es la ecuación pedida, ahora veamos que sus posibles parámetros Q, A,

Ω

son adimensionales

kg = c∗m F uerza = masa ∗ aceleraci´ on = c ∗ v ⇒ kg∗m s2 s ⇒c= s q q q √ kg 1 c L m 1 m s2 1 2 1/Q = m m = g =⇒ s kg s 1 m = s s = 1 ( adimensional) s2 q q q √ 1 m s2 1 2 Ω = ω Lg =⇒ 1s m m = s 1 m = s s = 1 ( adimensional) c:

s2

A=

f mg

¨ P2)i)Θ ˆ

=1

( adimensional)

= −Θ −

Caso 1:

1 ˙ QΘ

+ A cos(ΩT )

˙ Q = ∞ A = 0 Ω = 0 Θ(0) = 1 Θ(0) =1

¨ = −Θ ⇒ Θ ¨ +Θ=0 Θ

suponemos solución del tipo

Θ = emt

(m2 + 1)emt = 0 ⇒ m2 + 1 = 0 ⇒ m = ±i con lo que la solución será:

Θ(T ) = C1 cos(T ) + C2 sin(T ) Θ(0) = 1 = C1 cos(0) + C2 sin(0) = C1 ⇒ C1 = 1 ˙ Θ(0) = 1 = −C1 sin(0) + C2 cos(0) = C2 ⇒ C2 = 1 Finalmente

Θ(T ) = cos(T ) + sin(T ) ˆ

(4)

˙ Q = ∞ A = 1 Ω = 0, 707 Θ(0) = 0 Θ(0) =0 ¨ = −Θ + cos(ΩT ) ⇒ Θ ¨ + Θ = cos(ΩT ) Θ

Caso 2:

Solución Homogenea: Idéntico a la parte anterior

Θh (T ) = C1 sin(T ) + C2 cos(T ) Solución Particular: Mediante Coecientes Indeterminados Anulador de

2

2

cos(ΩT ) = D2 + Ω2 luego, 2

(D + Ω )(D + 1)Θ = 0

aplicandolo a la ecuación inicial

raices complejas

m1,2 = ±Ωi

y

Θ2h (T ) = A sin(ΩT ) + B cos(ΩT ) + C sin(T ) + D cos(T ) 2

m3,4 = ±i

Θp (T ) = Θ2h (T ) − Θh (T ) = A sin(ΩT ) + B cos(ΩT ) ya que se toma

C = C1 y D = C2

Θ˙p (T ) = AΩ cos(ΩT ) − BΩ sin(ΩT ) Θ¨p (T ) = −AΩ² sin(ΩT ) − BΩ² cos(ΩT ) reemplazando la ecuación particular en la ecuación inicial

−AΩ² sin(ΩT ) − BΩ² cos(ΩT ) + A sin(ΩT ) + B cos(ΩT ) = cos(ΩT ) ( B − BΩ² = 1 ⇒ B ≈ 2 cos(ΩT )(B−BΩ²)+sin(ΩT )(A−AΩ²) = cos(ΩT ) =⇒ A − AΩ² = 0 ⇒ A = 0 Θp (T ) = 2 cos(ΩT ) Entonces la solución Analítica será de la forma:

Θ(T ) = Θp (T ) + Θh (T )

Θ(T ) = 2 cos(ΩT ) + C1 sin(T ) + C2 cos(T ) Θ(0) = 0 = 2 cos(0) + C1 sin(0) + C2 cos(0) ⇒ C2 = −2 ˙ ) = −2Ω sin(ΩT ) + C1 cos(T ) − C2 sin(T ) Θ(T ˙ Θ(0) = 0 = −2Ω sin(0) + C1 cos(0) − C2 sin(0) ⇒ C1 = 0 Finalmente se tiene que:

Θ(T ) = 2 cos(ΩT ) − 2 cos(T ) ˆ

(5)

˙ Q = 0, 1 A = 0 Ω = 0 Θ(0) = 1 Θ(0) =0 ¨ ˙ ¨ ˙ Θ = −Θ−10Θ =⇒ Θ +10Θ +Θ = 0 suponemos solución del tipo Θ = emt ( √ √ √ m1 = −5 + 2 6 −10± 100−4 √ = −5±2 6 ⇒ m²+10m+1 = 0 =⇒ m = 2 m2 = −5 − 2 6 Caso 3:

Con lo que la solución es de la forma:

Θ(T ) = C1 em1 T + C2 em2 T Θ(0) = C1 + C2 = 1 ⇒ C2 = 1 − C1 ˙ ) = C1 m1 em1 T + C2 m2 em2 T Θ(T ˙ Θ(0) = C1 m1 + C2 m2 = 0 =⇒ C1 m1 + (1 − C1 )m2 = 0 =⇒ C1 (m1 − m2 ) + m2 = 0 =⇒ C1 = −m2 /(m1 − m2 ) C1 =

√ 5+2 √ 6 4 6

=⇒ C2 = 1 −

√ 5+2 √ 6 4 6

=

√ 2 √ 6−5 4 6

Finalmente se tiene que:

Θ(T ) =

√ √ 5 + 2 6 (−5+2√6)T 2 6 − 5 (−5−2√6)T √ e √ e + 4 6 4 6

3

(6)

ii)De la ecuación (4):

Θ(T ) = cos(T ) + sin(T ) =⇒ Θ²(T ) = cos ²(T ) + 2 cos(T ) sin(T ) + sin ²(T ) Θ²(T ) = 2 cos(T ) sin(T ) + 1 ˙ ) = − sin(T ) + cos(T ) =⇒ Θ ˙ ²(T ) = cos ²(T ) − 2 cos(T ) sin(T ) + sin ²(T ) Θ(T ˙ ²(T ) = −2 cos(T ) sin(T ) + 1 Θ 1 2 Θ²(T )

˙ ²(T ) = 1 (2 cos(T ) sin(T ) + 1) + 1 (−2 cos(T ) sin(T ) + 1) + 12 Θ 2 2 1 1˙ Θ²(T ) + Θ ²(T ) = 1 2 2

(7)

Concluimos que la ecuación es constante en el tiempo( E=1). Físicamente podemos interpretar este resultado como el hecho de que es constante debido a que

1 2 Θ²(T )

˙ ²(T ) = 1 /derivando + 12 Θ ˙ ) + Θ(T ˙ )Θ(T ¨ ) = 0 ⇒ Θ(T ˙ )[Θ(T ) + Θ(T ¨ )] = 0 ⇒ Θ(T ¨ ) = −Θ(T ) Θ(T )Θ(T es decir, la aceleración de la particula en Θ es igual a su posición en direccion contraria a esta P3)

ˆ

Caso 1:

Vemos que al no existir roce ni forzamiento, la oscilación es constante en el tiempo con ecuación (4)

4

ˆ

Caso 2:

Al ser un caso con forzante, adopta una forma parecida al caso 1, pero que varia de acuerdo a la forzante en este caso la forzante

Ω

depende principalmente de la frecuencia de la

fuerza motriz(w ) con ecuación (5)

ˆ

Caso 3:

en este caso existe la fuerza de roce viscoso( recordar que Q tiene como parametro a c) por lo que existe una atenuación de la oscilación, la que tiene a (6) como ecuación

5

P4)

ˆ ω = 0.9:

recordando que

Ω

tiene como parametro a

ω

notamos que la frecuen-

cia hace que aumente la oscilación en el tiempo, en este caso existe una resonancia ya que va aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza

ˆ ω = 1:

Análogo al caso anterior, solo que la frecuencia es mucho menor, con lo que el aumento progresivo es más lento que el caso anterior

6

ˆ ω = 5:

ˆ

Aquí la Frecuencia impartida es parecida a la interferencia destructiva de la oscilación, con lo que se genera está especie de ruido en la ecuación (5)

P5)

ˆ

Q=0.3:

En este caso existe la fuerza de roce viscoso( recordar que Q tiene como parametro a c) por lo que existe una atenuación de la oscilación, la que tiene a (6) como ecuación, hasta que se detiene completamente

7

ˆ

Q=0.5:

Análogo al caso anterior, solo que en este caso la atenuación es mucho mayor

ˆ

Q=3:

ˆ

Aquí la atenuación es menor, debido a que en la ecuación 1/Q=0.3, que es menor que los casos anteriores, es decir, la fuerza de roce es menor, y va deteniendo de a poco la oscilación

8