Tarea1 Calculo2 2007

Tarea 1, Calculo II Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes. Prof. Rodrigo Lecaros Auxiliar: Alexis Fuentes Semestre 2007-1 P1.- ConsidereL E = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 | x2 > 0}, se definen las siguientes operaciones en E. La suma : E × E → E tal que: M ∀u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ E, u v = (u1 + v1 , u2 · v2 ) y la ponderaci´on por escalar

J

: E × E → E tal que: K ∀u = (u1 , u2 ) ∈ E, ∀λ ∈ IR, λ u = (λ · u1 , uλ2 )

a) Demuestre que E con las operaciones anteriores es un espacio vectorial sobre el cuerpo IR. b) Considere f (u) =| u1 | + | ln(u2 ) |, ∀u = (u1 , u2 ) ∈ E, demuestre que f es una norma en E. P2.- Considere E un conjunto no vacio y d una metrica en el. Considere la funci´on dm (x, y) = min{d(x, y), 1}. a) Demuestre que dm es metrica sobre E. b) Demuestre que τd la topolog´ıa inducida por d y τdm la topolog´ıa inducida por dm son equivalentes. P3.- Sea E un e.v. y || · ||1 , || · ||2 dos normas equivalentes sobre E. Demuestre que todo abierto con la norma 1 es abierto con la norma 2. P4.- Sea A ⊆ E, donde (E, d) es un e.m. S a) Demuestre que int(A) = {B ⊆ A | B es abierto}. T b) Demuestre que adh(A) = {B ⊇ A | B es cerrado}. P5.- Sea E = {♠, ♣, F, ¨}, considere A = {♣, ¨} y la siguiente familia de subconjuntos de E. τ = {∅, E, {♠}, {F}, {♠, F}, A, {♠} ∪ A, {F} ∪ A, {♠, F} ∪ A} a) Demuestre que τ es topolog´ıa. b) Considere {an }n∈IN ⊆ E ½ an =

♣ si ¨

n es par ∼

Demuestre que an converge y calcule su l´ımite. P6.- Demuestre la siguiente desigualdad de Cauchy-Schwartz : si f , g son funciones continuas [a, b] → IR, entonces ¯Z ¯ ÃZ !1/2 ÃZ !1/2 ¯ b ¯ b b ¯ ¯ 2 2 f (x)g(x)dx¯ ≤ f (x)dx g (x)dx ¯ ¯ a ¯ a a y concluya que

³R

b a

f 2 (x)dx

´1/2

es una norma para estas funciones.