Tarea De Aplicaciones De Derivadas

D E R I VA L A S S I G U I E N T E S F U N C I O N E S

a ) f ( x) = x 2 + 5 x − 6 b) f ( x) = 10 x −1 + 5 x c ) f ( x) = 3 x −3 + 2 x −2 + 12 d ) f ( x ) = 6 x 8 − 4 x − 5 − 9 x −3 e) f ( x ) = x x f ) f ( x) = ( x 2 − 5 x)(2 x 4 + 6 x 3 − 9) g ) f ( x ) = (6 x 3 − 7)(4 x −5 − 8 x −3 + 10) h) f ( x ) = ( 2 x 2 + 6 x − 3)(2 x − 6 x) 4x i) y = x −3 − 2 x − 11 j) y = 5x + 1 3 x −1 k)y = x +2 Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto indicado

1 3 1 2 12 x + x − x; x = −6 20 10 5 x−5 b)Y = 2 ; x = −1 2x + 3 3 5 c) h = 2 + − 6 x + 2; x = 1 x x a ) f ( x) =

Encuentra los puntos de la gráfica de la función f en los que la recta tangente es horizontal

a ) f ( x) = x 2 + 5 x − 1 b) f ( x) = −3 x 2 + 6 x + 4 c) y = x 3 + x 2 − 5 x + 1 Ejercicios y problemas de derivadas 1Calcular las derivadas en los puntos que se indica: 1

en x = -5.

2

3 4

en x = 1.

en x = 2. en x = 3.

2 D a d a l a c u r v a d e e c u a c i ó n f ( x ) = x 2 − 3 x − 1 , h a l l a l a s c o o rd e n a d a s d e l o s p u n t o s d e d i c h a c u r v a e n l o s q u e l a t a n g e n t e f o rm a c o n e l e j e OX u n á n g u l o d e 45°. 3¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación d(t) = 2 − 3 t 2 e n e l q u i n t o s e g u n d o d e s u re c o rr i d o ? E l e s p a c i o s e m i d e e n m e t ro s y e l tiempo en segundos. 4Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón d e b a c t e r i a s n o c o m i e n z a s u re p ro d u c c i ó n h a s t a p a s a d o s d o s m e s e s . L a f u n c i ó n q u e re p re s e n t a l a p o b l a c i ó n d e l a c o l o n i a a l v a r i a r e l t i e m p o ( e x p re s a d o e n m e s e s ) v i e n e d a d a p o r:

Se pide: 1 . Ve r i f i c a r q u e l a p o b l a c i ó n e s f u n c i ó n c o n t i n u a d e l t i e m p o. 2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4]. 3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4. 6. La pendiente de la gráfica de una función lineal

1. Hallar la pendiente de la gráfica de f(x) = 4x + 2 2. ¿La grafica de una función lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos? Justifique su respuesta con un razonamiento grafico. 7. Rectas tangentes a la grafica de una función no lineal 1. Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la grafica de f(x) (-1,2)

=

x2 - 4 en los puntos (0,1) y

8. Calculo de la derivada por el proceso de límite 1. Hallar la derivada de las siguientes funciones: a. f(x) = 2x2 +x -1 b. f(x) = t3 +t2 c. f(x) = x2 + x 9. Uso de la derivada para calcular la pendiente en un punto 1. Hallar f ‘(x) para f(x)= √x. Calcular a continuación la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1,1) y (4,2). Discutir el comportamiento de f en (0,0) Sección B. Reglas Básicas de Derivación En la sección A hemos usado la definición mediante límites para hallar derivadas. En ésta sección se presentan varias reglas de derivación que permiten calcular derivadas sin el uso directo de la definición por límites.

10. Aplicación de la regla de la potenciación 1. Enumere los pasos para poder derivar una función. Justifique con un Ejemplo 11. Pendiente de una grafica 1. Calcular la pendiente de la grafica de f (x) x= 1, x= 0, x= 5; x= 8, x=20

=

x3 , cuando:

12. Usando La Regla del múltiplo constante 1. y = 4/x 2. f(t) = 8t3/5 3. y= 9√x 13. Derivadas que contienen senos y cósenos

14. Hallar la Derivada de la función dada:

a. f(x)= 3(5-x)2 b. f(x)= x2-3x-3x2 c. f(x)= (x2+2x)(x+1)

1. y= 3senx 2. y= x + cosx 14. Differentiate with respect to x (a) (b) 15.

3 − 4x sin x e

dy 2 2 If 2x – 3y = 2, find the two values of dx when x = 5.

3 16. Let f (x) = x .

f (5 + h) − f (5) for h = 0.1. h

(a)

Evaluate

(b)

What number does

f (5 + h) − f (5) approach as h approaches zero? h

17. A rock-climber slips off a rock-face and falls vertically. At first he falls freely, but after 2 seconds a safety rope slows him down. The height h metres of the rock-climber after t seconds of the fall is given by: 2 H = 50 – 5t ,

0 < t< 2

2 H = 90 – 40t + 5t ,

2
(a)

Find the height of the rock-climber when t = 2.

(b)

Sketch a graph of h against t for 0 < t< 5.

(c)

Find the velocity of the rock-climber when t = 2.

(1) (4) (2)

(d)

Find the times when the velocity of the rock-climber is zero.

18.The function f is given by

f ( x) =1 –

2x 1+ x 2

(a)

(b)

(i)

To display the graph of y = f(x) for –10 x 10, a suitable interval for y, a must be chosen. Suggest appropriate values for a and b .

(ii)

Give the equation of the asymptote of the graph.

Show that f ′ ( x) =

2x 2 – 2 (1 + x 2 ) 2

19.The function f is given by f : x (a)

.

e (1 + sin πx ) , x ≥ 0.

Find f´ (x).

20.Consider the function f(x) = k sin x + 3x, where k is a constant. (a)

Find f ´(x).

(b)

When x =

π , the gradient of the curve of f(x) is 8. Find the value of k. 3

y

b

(3)