Tarea-aceros.docx

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN OBRAS CIVILES FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CARRERA: INGENIERIA OBRAS CIVILES

CURSO: DISEÑO EN ACEROS 1 Entrega Tarea de Compresión “Columna de Euler con Carga Excéntrica”

Profesor: Pedro Peñaloza

Integrantes: Daniel Jiménez Fernanda Cubillos Gabriel Riquelme Parra

Fecha de tercera entrega: 18 de Enero de 2019

Enunciado Encontrar expresión para columna de Euler con carga excéntrica. Realizar estudio paramétrico para un perfil W determinado Pcrit, y deformación lateral. Primero variando la carga, y luego variando la excentricidad. Entregar Desarrollo, Excel y conclusiones. Grupo 1: W24X229, L=10 [m].

Desarrollo a) Expresión para la deflexión de una columna de Euler con carga excéntrica: Una columna de largo L comprimida por una carga P con una cierta excentricidad e, medida con respecto al eje de la columna es equivalente a que esta presente una carga P más dos momentos Mo = P*e en sus extremos. Dicho momento se presenta desde el instante en que se aplica la carga, y en consecuencia la columna comienza a deflectarse apenas empieza la carga. Asumiendo que la columna es inicialmente recta, se trabaja en el rango linealmente elástico, y el plano xy es un plano de simetría, podemos definir el momento flexionante desde el extremo inferior como:

𝑀 = 𝑀0 + 𝑃 ∗ (−𝑣) = 𝑃 ∗ 𝑒 − 𝑃 ∗ 𝑣 Donde 𝑣 es la deflexión de la columna (positiva cuando va en la dirección positiva del eje y). La ecuación diferencial de la curva de deflexión es:

𝐸𝐼 ∗ 𝑣" = 𝑀 = 𝑃 ∗ 𝑒 − 𝑃 ∗ 𝑣 𝑃

𝑃

⇾ 𝐸𝐼 ∗ 𝑣 = P*(e - v) ⇾ v" = 𝐸𝐼 ∗ (𝑒 − 𝑣) , considerando 𝑘 2 = 𝐸𝐼 ⇾ 𝑣 = k 2 *e – k 2 *v ⇾ v + 𝑘 2∗ 𝑣 = 𝑘 2 ∗ 𝑒, cuya solución es: 𝑣 = 𝐶1 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥) + 𝐶2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥) + 𝑒

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Donde C1 y C2 son constantes de integración en la solución homogénea y e es la solución particular. Tomando las condiciones de borde en los extremos de la columna:

v (0) = 0 y v (L) = 0 ⇾ 0 = C1 ∗ sen (0) + C2 ∗ cos (0) + e ⇾ 0 = 0 + C2 (1) + e ⇾ C2 = -e ⇾ 0 = C1 ∗ sen (kL) + (−e) ∗ cos (kL) + e ⇾ C1 ∗ sen(kL) = e ∗ cos(kL) – e ⇾ C1 = e ∗

cos (kL)− 1 sen(kL)

= −e ∗

1 − cos(kL) sen(kL)

kL

= −e ∗ tan ( 2 )

Luego la ecuación de la curva pasa a ser:

𝑘𝐿 𝑣 = −𝑒 (tan ( ) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥) − 1) 2 Esta ecuación indica que cada valor de la carga excéntrica P produce un valor definido de la deflexión, así como cada valor de la carga en la viga produce una deflexión definida. En contraste, las ecuaciones de deflexión para columnas cargadas centralmente sólo dan la forma del modo pandeado (cuando P = Pcr), pero con una amplitud indefinida. Al tener sus extremos articulados, la carga crítica de la columna es la siguiente: 𝑃𝑐𝑟 =

π2 𝐸𝐼 𝐿2

La deflexión máxima δ producida por cargas excéntricas ocurre en el punto medio de la columna, y se obtiene igualando x a L/2 en la ecuación de la curva.

𝐿 𝑘𝐿 𝑘𝐿 𝑘𝐿 𝑘𝐿 𝛿 = −𝑣 ( ) = 𝑒 ∗ (𝑡𝑎𝑛 ( ) ∗ 𝑠𝑒𝑛 ( ) + cos ( ) − 1) = 𝑒 ∗ sec ( ) − 1 2 2 2 2 2 Reemplazando k con su equivalente en términos de la carga crítica:

𝑘=√

𝑃 𝑃 𝑃𝑐𝑟 𝑃 1 π2 𝐸𝐼 𝑃 ∗ π2 π 𝑃 =√ ∗ = √ ∗ ∗ 2 = √ = ∗√ 2 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑃𝑐𝑟 𝐸𝐼 𝑃𝑐𝑟 𝐿 𝑃𝑐𝑟 ∗ 𝐿 𝐿 𝑃𝑐𝑟 𝑃 𝑃𝑐𝑟

Luego el término Kl se puede expresar: 𝑘𝐿 = ᴨ ∗ √

ᴨ 2

Y la ecuación para la deflexión máxima es ahora: 𝛿 = 𝑒 ∗ [sec ( ∗ √

𝑃 𝑃𝑐𝑟

− 1)]

Observaciones: 

La deflexión es cero cuando la excentricidad e es cero y la carga P no es igual a la carga crítica Pcr.



La deflexión es cero cuando la carga axial P es cero.



La deflexión se vuelve infinitamente grande cuando P se aproxima a la carga crítica Pcr

2

b) Estudio paramétrico para un perfil W determinado Pcrit, y deformación lateral. Primero variando la carga, y luego variando la excentricidad.

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