Tarea 5 Trigonometria.docx

UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS

ESCUELA DE INGENIERIA Y TECNOLOGIA CARRERA DE: TECNICO EN AGRIMENSURA TEMA: Tarea v

PRESENTADO POR: Flerida cid MATRÍCULA: 17-8410

ASIGNATURA: Trigonometría Esférica

FACILITADOR: Mario L. Dalmasi

Santiago de los Caballeros República Dominicana noviembre, 2018

Ejercicios sobre trigonometría esférica y el triángulo rectángulo esférico. 1) Define triángulo esférico rectilátero y describe sus propiedades. Triangulo esférico rectilátero Si uno de los lados es igual a 90°, se dice que el triángulo esférico es rectilátero. Sea a igual a un recto. De la relación del coseno (2) obtenemos: Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A Cos A = − cotg b cotg c También de la relación del coseno (2): Cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos b = sen c cos B De la relación de los senos: 𝐬𝐞𝐧 𝐁 Sen A = 𝐬𝐞𝐧 𝐛

2) Define triángulo rectángulo esférico, constrúyelo y cita sus elementos y observaciones:

Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° <𝛼 + 𝛽 +𝛾< 540°.

Fórmulas fundamentales Notación 𝛼: Ángulo formado entre los arcos AC y AB 𝛽: Ángulo formado entre los arcos AB y BC 𝛾: Ángulo formado entre los arcos AC y BC Fórmula del coseno SEN CB=COSAC COSAB+SENAC SENAB COS𝜶 Formula del seno

𝒔𝒆𝒏𝑩𝑪 𝒔𝒆𝒏𝜶

=

𝒔𝒆𝒏𝑨𝑪 𝒔𝒆𝒏𝜷

=

𝒔𝒆𝒏𝑨𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜸

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 3) Cita la regla del pentágono de Napier: El pentágono de Napier es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico escocés John Napier, y se construye de la siguiente forma: Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C. Se remplazan los ángulos B, A, y la hipotenusa c por sus complementarios: B por (90° - B) A por (90° - A) c por (90° - c) Se establecen dos reglas:

1. El seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: Sen(a) = tg (b) tg (90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg (b) ctg (B) 2. El seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos: Sen (a) = cos (90° - A) cos (90° - c), o su equivalente: sen(a) = sen (A) sen (c)

4)Cita la fórmula general del teorema de los senos para un triángulo esférico rectilátero.

Teorema de los senos Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces: a b c = = senα senβ senγ

5)Cita las reglas de Neper para triángulos esféricos rectángulos. Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C. Se remplazan los ángulos B, A, y la hipotenusa c por sus complementarios: B por (90° - B) A por (90° - A) C por (90° - c) Se establecen dos reglas: 1. El seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: Sen (a) = tg (b) tg (90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg (b) ctg (B) 2. El seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos: Sen (a) = cos (90° - A) cos (90° - c), o su equivalente: sen (a) = sen (A) sen(c)

6)

Dado el triángulo esférico rectángulo. Determina sus elementos.

Fórmulas fundamentales Notación 𝛼: Ángulo formado entre los arcos AC y AB 𝛽: Ángulo formado entre los arcos AB y BC 𝛾: Ángulo formado entre los arcos AC y BC

7) Resolver el triángulo esférico rectángulo, dados: a = 122º 36’ 07” y

b = 158º 22’ 04”.

Cálculo de C: Neper: cos C = ctg a ctg (90º - b) Cos C=

𝒕𝒂𝒏𝒃 𝒕𝒂𝒏𝒂

C=arccos =(

𝒕𝒂𝒏𝒃

)

𝒕𝒂𝒏𝒂

a = 122º 36’ 07”

b = 158º 22’ 04”. Cos C=

𝑡𝑎𝑛𝑏 𝑡𝑎𝑛𝑎

𝑠𝑖𝑛𝑏

Sin B =

𝑠𝑖𝑛𝑎

Cos C =

𝑐𝑜𝑠𝑏

𝑐𝑜𝑠𝑎

=

−0.3957 −1.56353

=

0.36864

=

−0.53879

0.84243

= 0.25363 → C = 75º 18’ 25”

= 0.43759→B = 154º 02’ 59”

−0.92956

= 0.57961→ c = 54º 34’ 59”

8) Dados los ángulos de un triángulo rectángulo esférico ABC, A= 90º, B= 125º y C= 130º. Determine el exceso esférico. Sean el triángulo esférico ABC sus ángulos: A=90° B=125° C=130 Si A‘B‘C‘ es el triángulo polar, entonces. a‘+A=180°

; a‘+90°=180°

;

a‘=90°

b‘+B=180°

; b‘+125°=180° ;

b‘=55°

c‘+C=180°

; c‘+130°=180°

c‘=50°

;

Luego a‘+ b‘ + c‘= 90°+55°+50°=195°

9) Dados los lados de un triángulo ABC, los lados miden 110º, 100º y 120º. Determine el exceso esférico utilizando la fórmula de Huilier y Serret.

10) Determine el perímetro de un triángulo polar del triángulo esférico cuyos ángulos sean 108º, 110º y 130º. Solución: Sean el triángulo esférico ABC sus ángulos: A=108° B=110° C=130 Si A‘B‘C‘ es el triángulo polar, entonces. a‘+A=180°

;a‘ + 108° = 180°

;a‘ =72°

b‘+B=180°

; b‘ + 110° = 180° ;

b‘ =70°

c‘+C=180°

; c‘+ 130° = 180°

c‘ =50°

Luego a‘+ b‘+ c‘= 72° + 70° + 50° El perímetro. A‘B‘C‘ =192°

;