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Tarea 4 Fecha de entrega: 5 de Abril de 2019 1. A y B son gemelos. A se va de viaje a α-Centauri (ubicada a 4 a˜ nos-luz) ´ viaja a una velocidad 0.6c con respecto a la tierra (ida y y regresa. El vuelta), y transmite una se˜ nal cada 0.01 a˜ no en su marco de referencia. Su gemelo B manda una se˜ nal de igual manera cada 0.01 a˜ no en su propio marco de referencia en reposo. (a) ¿Cu´ antas se˜ nales recibe B emitidas por A antes de dar la vuelta? (b) ¿Cu´ antas se˜ nales recibe A antes de dar la vuelta? (c) ¿Cu´ al es el n´ umero total de se˜ nales que cada gemelo recibe del otro? (d) ¿Cu´ al de los dos gemelos es m´as joven al final del viaje, y por cu´antos a˜ nos? Demostrar que ambos gemelos est´an de acuerdo con el resultado. 2. Un astronauta da la vuelta a la tierra en un radio de 7×106 m (desde el centro) por una semana. ¿Cu´anto es m´as joven con respecto a un gemelo que permanece en tierra cuando aterriza? (Desprecie la rotaci´on de la tierra). 3. Considere tres sistemas de referencia inerciales, S, S’ y S”. Suponga que S’ se desplaza a velocidad v con respecto a S y que S” se desplaza a velocidad v’ con respecto a S’. Las velocidades de los tres sistemas son colineales. a) Escriba las ecuaciones de transformaci´on que relacionan a x, y, z y t con x’, y’, z’, y t’; tambi´en encuentre las que se relacionan a x’, y’, z’ y t’ con x”, y”, z” y t”. B) Demuestre que estas relaciones son equivalentes a la transformaci´ on directa de S a S”, donde la velocidad relativa v” de S” con respecto a S est´ a dada por v 00 =

v + v0 1 + vv 0 /c2

c) Explique por qu´e el an´alisis anterior demuestra que dos transformaciones de Lorentz sucesivas equivalen a una sola transformaci´on directa 4. Es bien sabido que la velocidad de la luz en un medio material transparente es menor que en el vacio. ¿Puede un medio material arrastrar la luz consigo? En el siglo XIX, para respeonder a esta pregunta, se midi´o la velocidad de la luz que pasa por un tubo en el que un l´ıquido fluye con una velocidad V, Se encontr´o emp´ıricamente que la velocidad v de la luz as´ı medida est´ a dada por  1 v = c0 + 1 − 2 V n

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donde c’ es la velocidad de la luz en el l´ıquido en reposo y n es el ´ındice de refracc´ on (n=c/c’). Demuestre que esta f´ormula es consecuencia directa de las trasnformaciones de velocidades. La clave es colocarse en el sistema en reposo del fluido, y luego regresar al sistema del laboratorio (recuerde que V << c). 0

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5. Usando las transformaciones de velocidades, demuestre que vx2 +vy2 +vz2 = vx2 + vy2 + vz2 = c2 , donde c es la velocidad de la luz en cualquier ststema.

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