Tarea 3 Sol

Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Segundo Semestre de 2007

Microeconomía I Soluciones propuestas para los ejercicios de la tarea 3 Profesores: Loreto Lira y Manuel Hermosilla 1. Ejercicio (b) La demanda de mercado es Q=a

bp

(1)

El equilibrio competitivo es a bd ) be + n ae + nd be + n

Qc

= n(

pc

=

La demanda residual es Qr = a

bp

j(p

d) e

(2)

La cantidad que produce el cartel es Qm =

(n j)(a be + 2n

bd) j

(3)

Noten que, dado que Qm > 0; debe cumplirse a

bd > 0

(4)

Luego, el precio de mercado es el que satisface Qr = Qm Esto es p =

dj 2 + 2dnj + abe2 + ane + bdne (j + be) (2n j + be)

(asumiendo b ej 6= 0): Para demostrar que el precio es mayor cuando existe un cartel basta notar lo siguiente @p <0 @j ya que al aumentar j el mercado se está "descartelizando", es decir, está tendiendo al equilibrio competitivo. Para demostrar que lo anterior se p cumple demuestro que @ ln < 0 (que es equivalente). Para esto escribo: @j ln p = ln d(2nj

j 2 ) + abe2 + ane + bdne 1

ln (j + be) ln (2n

j + be)

y calculo @ ln p = @j 2n

1 j + be

(+) ; por z }| { z }|(4){ j n (a bd) =2 j + be | {z } (

1 j + be

d

abe2

d (j 2

2j 2n 2jn) + ane + bdne

)

(+)

(2n j + | {z (+)

0

B 2 be)B @abe |

}

be2 +ne

+ ane + bdne+d(2nj {z } | {z (+)

(+)

1

<0

C j 2 )C }A

(5) Ahora, para demostrar que la cantidad va aumentar cuando el mercado se descarteliza (i.e. j aumenta), sólo hay que recordar lo siguiente: (a)

@Qtot @p

(b)

@p @j

< 0; 8p; por (1).

< 0; j < n; por (5).

(c) lim p = pc j!n

Es decir, si el mercado se descarteliza (i.e. j aumenta), el precio cae, tendiendo hacia el precio del equilibrio competitivo. Si el precio cae, la cantidad aumenta. 2. Ejercicio (c) La cantidad que produce el cartel es Qm =

(n j)(a be + 2n

bd) j

(6)

Si de…nimos = nj -el porcentaje de …rmas que no pertenece al cartelpodemos reescribir la anterior como Qm =

n(1 )(a bd) be + 2n n

(7)

Para demostrar que la producción del cartel cae cuando disminuye el porm centaje de …rmas que pertenece al cartel basta demostrar que @Q > 0: @ Esto es (+) ; por (4) z }| { (a bd) @Qm = n (n + be) (2n n +be)2 < 0 @

2

3. Ejercicio 11 del capítulo 11 PRB La …rma resuelve

31 1 P 2) 3

1 2

maxP (160P P

La CPO es 1 2

80P

=

31 1 P2 2

El precio óptimizador es P =

160 = 5: 161 3 31

4. Ejercicio 12 del capítulo 11 de PRB Voy a partir describiendo el problema que tenemos que resolver en este ejercicio. Nuestro objetivo es minimizar los costos totales en que se incurrirá al producir 10 unidades, independientemente del precio cobrado. Noten que el problema de la …rma es max

fQ1 ;Q2 ;Q3 ;Q4 g

IT (Q1 +Q2 +Q3 +Q4 )

(Q1 )

[C1

(Q2 )

+ C2

(Q3 )

+ C3

(Q4 )

+ C4

]

sujeto a Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 10

(8) El precio, que está …jo, determina la cantidad demandada. En conjunto, precio y cantidad, determinan el ingreso total. O sea, en (8) la primera parte de la función objetivo está …ja, luego no es parte del problema de optimización. En estas condiciones (8) se puede escribir como max

(Q1 )

fQ1 ;Q2 ;Q3 ;Q4 g

[C1

(Q2 )

+ C2

(Q3 )

+ C3

sujeto a Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 10 Q1 ; Q2 ; Q3 ; Q4 2 N0

(Q4 )

+ C4

] (9)

Es decir, minimizar los costos totales de producir las 10 unidades. Nuestra solución debería entregar un valor natural (incluyendo el cero) la producción de cada limonar. Primero escribo la forma funcional de los costos marginales: (Q ) CM g1 1 = 10Q1 (Q ) CM g2 2 = 6Q2 (10) (Q3 ) CM g3 = 12Q23 (Q ) CM g4 4 = 12Q4 Noten que los costos marginales escritos de esta forma no nos van a servir mucho en este ejercicio. La razón: en este ejercicio tenemos cantidades discretas (naturales), no continuas (reales). Para resolver el problema debemos considerar los costos marginales como la diferencia en los costos 3

totales cuando se aumenta en una unidad la producción total de cada limonar. Para resolver el problema parto tabulando los costos totales, medios y marginales cuando se producen hasta 5 unidades. Costos totales

0 0 0 0 0

(Q ) C1 1 (Q ) C2 2 (Q ) C3 3 (Q ) C4 4

1 25 28 19 26

2 40 37 47 44

3 65 52 123 74

4 100 73 271 116

5 145 100 515 170

Costos m edios (Q )

CM e1 1 (Q ) CM e2 2 (Q3 ) CM e3 (Q ) CM e4 4

1 2 25 20 28 18:5 19 23:5 26 22

3 4 5 21:6 25 29 17:3 18:25 20 41 67:75 103 24:6 29 34

Noten que los costos marginales cuando paso de producir 0 unidad a producir 1 unidad incluye el costo …jo de producción. Noten además que la formulación de los costos marginales de (10) entrega un resultado en un punto, no en un intervalo, y por eso que los valores entregados por (10) son intermedios a los entregados por la tabla. Costos m arginales

0 (Q ) CM g1 1 (Q ) CM g2 2 (Q ) CM g3 3 (Q ) CM g4 4

1

1

25 28 19 26

2 15 9 28 18

2

3

3

25 15 76 30

4

35 21 148 42

4

5

45 27 244 54

Nosotros sabemos que la condición de optimalidad de (8) si es que no estuviera sujeto a la restricción de que todas las producciones sean números naturales sería: (Q1 )

CM g1

(Q2 )

= CM g2

(Q3 )

= CM g3

(Q4 )

= CM g4

(11)

Es decir, el mínimo costo de producir 10 unidades se alcanzaría cuando el costo marginal de que cada limonar produzca una unidad adicional sea el mismo. Para resolver nuestro problema discreto (no continuo) tenemos que tratar de aproximarnos lo más posible a esta solución. En particular, si Potencial solución

Limonar Q CM g (Q) 1 3 25 2 4 21 3 1 19 4 2 18 4

C (Q) 65 73 19 44

Noten que en total se producen 10 unidades y el costo total es 201. ¿Es esta la mejor solución? Si no fuera, entonces se podría reacomodar la producción y obtener un costo total menor. Esto signi…ca que disminuir la producción de un limonar y aumentar la de otro ahorrando un monto (un costo marginal) en disminuir la producción de un limonar mayor que el que se incurriría en aumentar la de otro. ¿Es este el caso? No, no se puede reacomodar la producción para disminuir los costos, ya que, hacer que el limonar 1 produzca 1 unidad menos hace ahorrar 25 e implica producir una unidad más, teniendo como mínimo que incurrir en un gasto de 27 (produciendo una unidad más en el limonar 2. Disminuir 1 unidad del limonar 2 ahorra 21 pero implica incurrir en un costo adicional de 28 (limonar 3). Disminuir una unidad del limonar 3 ahorra 19 pero implica costo adicional de 27 (limonar 2). Disminuir una unidad del limonar 4 implica ahorro de 18 pero implica costo adicional de 27 (limonar 2). Costos m arginales

0 (Q )

CM g1 1 (Q ) CM g2 2 (Q ) CM g3 3 (Q4 ) CM g4

1 25 28 19 26

1

2 15 9 28 18

5

2

3 25 15 76 30

3

4 35 21 148 42

4

5 45 27 244 54