Tarea 3_ Julian Andres Toro E.

Informe Individual Tarea 3 – Espacios Vectoriales

Julian Andrés Toro Escobar 14801079 248046_133

Presentado a: Manuel Alejandro Gutiérrez

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería Ingeniería en Electrónica Noviembre 2018

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD: Ejercicio 1: Espacios Vectoriales Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 3, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: Temas a seleccionar: a) b) c) d) e)

Axiomas (suma y multiplicación) de los espacios vectoriales Combinación lineal Independecia y dependencia lineal Espacios generadores Rango de una matriz.

Ejercicio 2 Descripción del ejercicio 2 2 Dados: a) X = < 1,3,5 > ; Y = < 2,4,5>; Z= <1,0,2> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 2 denominado Ley conmutativa de la suma de vectores. b) Siendo α y β variables escalares, demuestre el séptimo y octavo axioma para espacios vectoriales usando los vectores del espacio vectorial V del punto anterior. Use valores de 3 y 4 para α y β respectivamente. α(X + Y + Z) = α X + α Y+ α Z (Primera ley distributiva) (α + β)X = α X + β X (Segunda ley distributiva) .

a) 𝑋 = < 1,3,5),

𝑌 = < 2,4,5),

𝑍 = < 1,0,2)

(1,3,5) + (2,4,5) (3,7,10) (3,7,10) + (1,0,2) (4,7,12) 𝑥 = 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 𝑦 = 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 𝑧 = 𝑥 + 2𝑧 (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 + 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧) + 𝑥 + 2𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 + (2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 𝑥 + 2𝑧) (3𝑥 + 7𝑦 + 10𝑧) + 𝑥 + 2𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 + (3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧) 4𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 = 4𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧 b) ∝=3 𝛽=4

𝑥 = 𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 𝑦 = 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 𝑧 = 𝑥 + 2𝑧 Septimo Axioma ∝ (𝑥 + 𝑦) = ∝ 𝑥+ ∝ 𝑦 3(𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 + 2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 + 𝑥 + 2𝑧) = 3 (𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) + 3(2𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧) + 3(𝑥 + 2𝑧) 3(4𝑥 + 7𝑦 + 12𝑧) = 3𝑥 + 9𝑦 + 15𝑧 + 6𝑥 + 12𝑦 + 15𝑧 + 3𝑥 + 6𝑧 12𝑥 + 21𝑦 + 36𝑧 = 12𝑥 + 21𝑦 + 36𝑧 Octavo axioma (∝ + 𝛽)𝑥 = ∝ 𝑥 + β𝑥 ( 3 + 4 ) ∗ (𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) = 3(𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) + 4(𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) 7 (𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧) = 3𝑥 + 9𝑦 + 15𝑧 + 4𝑥 + 12𝑦 + 20𝑧 7𝑥 + 21𝑦 + 35𝑧 = 7𝑥 + 21𝑦 + 35𝑧

Ejercicio 3: Descripción del ejercicio 3 a) Dado el conjunto 𝑆 = ( 𝑈1 , 𝑈2 ) donde 𝑈1 = (5,1) y 𝑈2 = (-3,-2). Demostrar que S genera a R2 Solución: 𝑥 = (𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑎1 𝑢1 + 𝑏2 𝑢2 = 𝑥 𝑎1 (5,1) + 𝑏2 (−3, −2) = (𝑥1 , 𝑦1 ) (5𝑎1 , 𝑎1 ) + (−3𝑏2 , −2𝑏2 ) = (𝑥1 , 𝑦1 ) 5𝑎1 − 3𝑏2 = 𝑥1

𝑦

𝑎1 − 2𝑏2 = 𝑦1

5 −3 𝐴=( ) = (5(−2) − 1(−3)) = −10 + 3 = −7 1 −2 Como los coeficientes es distiunto de cero, se puede afirmar tiene solución única. Entonces se puede afirmar que S genera a R2. b) Dados los vectores 𝑢 = −6𝑖 + 9𝑗 y 𝑣 = −𝑖 + 9𝑗 ¿es correcto afirmar que el vector 𝑤 = −11𝑖 − 9𝑗 es una combinación lineal de u y v? Justificar la respuesta.

Solución: 3 b) 𝑢 = −6𝑖 + 9𝑗

𝑣 = −𝑖 + 9𝑗

𝑤 = −11𝑖 − 9𝑗

−11𝑗 − 9𝑗 = 𝑘1 (−6𝑖 + 9𝑗) + 𝑘2 (−𝑖 + 9𝑗) −11 = −6𝑘1 − 𝑘2 Ecuación 1 −9 = 9𝑘1 − 9𝑘2 ; −1 = 𝑘1 + 𝑘2 𝑘1 = −𝑘2 − 1 −11 = −6(−𝑘2 − 1) − 𝑘2 −11 = −6𝑘2 + 6 − 𝑘2 −11 = 5𝑘2 + 6 −11 − 6 = 5𝑘2 −17 = 𝑘2 5 𝑘1 =

17 −1 5

𝑘1 =

12 5

Comprobada 12 17 −1 = ( − ) 5 5 −1 = −1 12 17 −11 = −6 ( ) − (− ) 5 5 −11 =

−72 17 + 5 5

−11 = −11 Porque el vector no es una combinación vectorial dado que se cumple 𝑤 = 𝑘1𝑢 + 𝑘2𝑣

Ejercicio 4: De la siguiente matriz que agrupa a tres vectores de un espacio vectorial, calcule:

a) b) c) d)

Determinante Rango Matriz escalonada usando Gauss Jordan Justifique desde cada proceso si hay dependencia o independencia lineal.

Solución: 4a) Determinante

7 3 ||4 7 3

−9 −11 4 −1 −13 −10|| 9 −11 4 −1

−280 + 429 − 36 − (−176 + 91 + 270) −280 + 429 + 36 + 176 − 91 − 270 |𝐴| = 0 4b) Rango Orden 3 Dimensión 3x3 7 [3 4 1 Rango { 2 3𝑥

7 | 3

−9 −11 4 −1 ] −13 −10

−9 | = 28 − (−27) 4 = 28 + 27 = 55

El Rango es 2

4c) Matriz escalonada 7 −9 [3 4 4 −13 1 [ 3 4

−11 −1 ] 𝑓1 → 𝑓1/7 −10

9 11 − 7 7 ] 𝑓2 → 𝑓2 − 3𝑓1 4 −1 𝑓3 → 𝑓3 − 4𝑓1 −13 −10 −

9 7 55 0 7 55 0 − [ 7 1

11 7 7 26 𝑓2 → 𝑓2 ∗ 55 7 26 − ] 7

−

11 7 55 26 𝑓3 → 𝑓3 + 𝑓2 0 1 7 55 55 26 0 − − [ 7 7] 1

−

9 7

−

−

1 0 [0

9 11 − 7 7 26 1 55 0 0 ]

−

4d) Justificación A) El primer proceso (determinante) no hay independencia lineal entre vectores ya que el determinante es cero B) En el segundo proceso (rango) como el rango es 2 y la matriz es 3x3 entonces no hay independencia lineal. C) En el tercer proceso (matriz escalonada) no hay independencia lineal ya que la ultima fila todos sus valores son nulos. Ejercicio 5 Descripción del ejercicio 5 Determine independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). b. V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4). a. V1= (0,2,2). V2= (3,3,3). V3= (0,0,4). 0 3 (2 3 2 3

0 0) 4

3 3

0 ∗ 𝑑𝑒𝑡 (

0 2 ) − 3 ∗ 𝑑𝑒𝑡 ( 4 2

2 3 0 ) + 0 ∗ 𝑑𝑒𝑡 ( ) 2 3 4

0(12 − 0) − 3(8 − 0) + 0(6 − 6) 0(12) − 3(8) + 0(0) −3(8) = −24 b. V1= (6 ,-2, 8 ). V2= (1/2, 4, 0) . V3= (-10, 6, 2). V4=(2,1,4). 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 −6 1/2 −10 2 0 |−2 4 6 1| 0 𝑅1 → 𝑅3 8 0 2 4 0 8 0 (−2 4 6 1⁄2 1

0

2 4 0 6 1) 0 𝑅1 → 𝑅1/8 −10 2 0 1 4

|−2 1 6 1 6 2 −10

1

0 𝑅2 → 𝑅2 + 2𝑅1 1| 0 𝑅3 → 𝑅3 − 6𝑅1 2 0 2

1 |0 0 1 |0 0

0 1/4 1/2 0 4 13/2 2 | 0 𝑅2 → 𝑅2/4 1/2 −23/2 −1 0

0 1/4 1/2 0 1 1 13/8 1/2| 0 𝑅3 → 𝑅3 − 𝑅2 2 1/2 −23/2 −1 0

1 0 1/4 13/8 |0 1 0 0 −197/16

1/2 0 16 1/2 | 0 𝑅3 → 𝑅3 ∗ − 197 −5/4 0

1 0 1/4 1/2 0 1/2 | 0 |0 1 13/8 0 0 1 20/197 0 Como es distinto de cero entonces no hay dependencia lineal

Conclusiones 

Para hablar de espacios vectoriales y sus aplicaciones, tenemos que adquirir varios conceptos, conocimientos y realizar prácticas, las cuales nos permiten afianzar cada día más lo aprendido, por tal motivo en este trabajo se desarrollaron ejercicios que abarcan muchos temas y subtemas, que van a ser de gran ayuda a la hora de ejercer nuestra profesión, por ellos hay que familiarizarse para lograr muy buenos resultados.

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