Tarea 2.1 Problemas De Dinamica Estructural.docx

PRINCIPIOS DE SISMOLOGÍA TAREA 2.1: PROBLEMAS DE REPASO DE DINAMICA ESTRUCTURAL “INGENIERÍA SISMICA I 2019-2” Cristhian Alberto Montiel Amaya

1

PROBLEMA 1 Las propiedades de un edifico de cortante de tres pisos se suponen de la siguiente forma, la masa se concentra en las vigas cuya rigidez es infinita, se muestra en la figura 8.8 a)

Resolver la ecuación determinante, evaluar las frecuencias de vibración no amortiguada.

b) Sobre la base de las frecuencias calculadas, evalúe las formas correspondientes del modo de vibración, normalizándolas a la unidad en el nivel superior. c)

1

Demuestre numéricamente que las formas de modo satisfacen las condiciones de ortogonalidad con respecto a la masa y rigidez.

Estudiante de maestría de tiempo completo, inscrito. Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, Programa de Posgrado en Ingeniería Civil, Estructuras, matrícula: 519008823, [email protected]

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MATRIZ DE MASA Y RIGIDEZ Considerando las hipótesis que en este marco las masas están concentradas al nivel de los pisos hace que de estructura de muchos grados de libertad se transforme a una estructura que tenga el número de grados de libertad como sus masas concentradas y lo podemos representar de la siguiente manera:

Sea:

u=uo∙sen (ωt)

ü =-ω2∙ uo∙sen (ωt) Como no existe fuerzas externas ni movimiento del terreno se considera a la estructura que tendrá vibraciones libres no amortiguadas por lo tanto la ecuación de movimiento debe cumplir con la siguiente expresión:

Mü +Ku=0

Haciendo el equilibrio dinámico de las fuerzas que actúan, las ecuaciones de movimientos quedan de la siguiente manera:

∑F=0 m1ӱ + k1y1-k2(y2-y1) =0 m2ӱ + k2 (y2-y1)-k3(y3-y2) =0 m3ӱ + k3 (y3-y2) =0

2

Escribiendo las masas y rigidices en forma matricial se obtiene lo siguientes matrices:

m1 [M]= [ 0 0 k1+k2 [K]= [ -k2 0

0 m2 0

0 0] m3

-k2 k2+k3 -k3

0 -k3] k3

La siguiente expresión se utiliza para encontrar los eigenvalores y eigenvectores del marco presentado y posteriormente determinar la frecuencia natural y modos de vibrar. CÁLCULO DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

([K]-ω2 [M])A =0 MATRIZ DE MASA Como la masa es la misma en todos los niveles se utilizó una simplificación dejándolo como con valor unitario y mas adelante en el calculo de las frecuencias se sustituyo el valor.

1 0 0 1 0] 𝑚 0 1

[M]= [ 0 0 MATRIZ DE RIGIDECES Las rigideces del sistema son las siguientes

𝑘1 = 400 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛 𝑘2 = 800 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛 𝑘3 = 1200 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛 Por lo tanto, por sencillez se utilizó un factor común

5 [K]= [-2 0

-2 3 -1

0 -1] 𝑘 1

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Sustituyendo en la ecuación determinante:

|𝑲 − ω2 𝑴| =0 Reemplazando λ=

𝜔2 𝑚 𝑘

, se escribe:

5−𝜆 | −2 0

−2 3−𝜆 −1

0 −1 | = 0 1−𝜆

Resolviendo el determinante conduce a la siguiente ecuación cúbica: −𝜆3 + 9𝜆2 − 18𝜆 − 6 = 0

Cuyas soluciones son: 𝜆1 = 0.415 𝑘/𝑚 𝜆2 = 2.294 𝑘/𝑚 𝜆3 = 6.289 𝑘/𝑚 Como k= 400 kips/in y m= 2 kips- sec2/in, entonces las frecuencias son las siguientes: 𝜔1 = √0.415 𝑘/𝑚 = 9.11 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔2 = √2.294 𝑘/𝑚 = 21.419 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔3 = √6.289 𝑘/𝑚 = 35.465 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valore de λ en la expresión (𝐾 − 𝜔2 𝑀)𝐴 = 0 Para λ1= 0.415

5−𝜆 [ −2 0

4.585 [ −2 0

−2 3−𝜆 −1

−2 2.585 −1

𝐴11 0 −1 ] {𝐴21 } = 0 1 − 𝜆 𝐴31 𝐴11 0 −1 ] ∙ [𝐴21 ] = 0 −0.585 𝐴31

Dando un valor unitario al A31, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴11 0.255 {𝐴12 } = {0.585} 1er Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ1 = ω12 𝐴13 1

4

Para λ2= 2.294

5−𝜆 [ −2 0

2.706 [ −2 0

−2 3−𝜆 −1

−2 0.706 −1

𝐴12 0 𝐴 ] { −1 22 } = 0 1 − 𝜆 𝐴32 𝐴12 0 −1 ] ∙ [𝐴22 ] = 0 −1.294 𝐴32

Dando un valor unitario al A32, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴12 −0.95 {𝐴22 } = {−1.294} 2do Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ2 = ω22 𝐴32 1 Para λ3= 6.289

5−𝜆 [ −2 0

−1.289 [ −2 0

−2 3−𝜆 −1

−2 −3.289 −1

𝐴13 0 𝐴 ] { −1 23 } = 0 1 − 𝜆 𝐴33 𝐴13 0 −1 ] ∙ [𝐴23 ] = 0 𝐴33 −5.289

Dando un valor unitario al A32, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴13 8.206 {𝐴23 } = {−5.289} 3er Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ3 = ω32 𝐴33 1

Los periodos fundamentales de vibración del marco se determinan con siguiente expresión: T= 2π/ωi T1=0.689 seg T2=0.293 seg T3= 0.177 seg.

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En la siguiente figura se muestra los modos de vibrar de la estructura:

Figura 1. FORMAS DE VIBRAR DEL MARCO DE CORTANTE

Propiedades de ortogonalidad . a)

Ortogonalidad con respecto a la matriz de masa. Se comprobará la solución constatando la ortogonalidad del primer modo y el tercer modo 𝐴𝑗𝑇 ⋅ 𝑀 ⋅ 𝐴𝑟 = 0

𝐴1𝑇 ⋅ 𝑀 ⋅ 𝐴3 = {0.255

0.585

2 0 0 8.206 2 0] ⋅ {−5.289} = −0.00307 ≈ 0 0 2 1

1} ⋅ [ 0 0

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces Se comprobará la solución constatando la ortogonalidad del primer modo y el segundo modo. 𝐴𝑗𝑇 ⋅ 𝐾 ⋅ 𝐴𝑟 = 0

𝐴1𝑇 ⋅ 𝑀 ⋅ 𝐴2 = {0.255

0.585

2000 -800 0 −0.95 1} ⋅ [ -800 1200 -400] ⋅ {−1.294} = −0.712 ≈ 0 0 -400 400 1

Se puede observar que cumplen con la ortogonalidad.

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PROBLEMA 2 Repita el problema 1 para las propiedades de masa y rigidez del problema 8-13 del libro de Dinámica de Estructuras de Clough. m1=1, m2=2, m3=3 kips-sec2/in k1= k2 =k3=800 kips/in Empleando la ecuación anterior

([K]-ω2 [M])A =0 Para que existan valores de A diferentes de 0, es necesario que el determinante del sistema se anule, esto es

|𝑲 − ω2 𝑴| =0 Por lo tanto, la matriz de masas es la siguiente :

3 0 0 2 0] 𝑚 0 1

[M]= [ 0 0

Y la matriz de rigidez:

2 [K]= [-1 0

-1 2 -1

0 -1] 𝑘 1

Sustituyendo en la expresión

|𝑲 − ω2 𝑴| =0 -1 2 -1

2

|[-1 0 Simplificando y haciendo λ=

𝜔2 𝑚 𝑘

0 3 2 -1] 𝑘 − ω [0 1 0

0

2

0 0 ] 𝑚| = 0

0

1

, se escribe:

2

|[-1 0

-1 2 -1

0 λ3 -1] − [ 0 1 0

0

λ2

0 0] 𝑚| = 0

0

λ

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Posteriormente se obtiene el determinante:

det | 𝑲

2 − 3𝜆 −1 0

− λ𝑴|= |

−1 2 − 2𝜆 −1

0 −1 | = 0 1−𝜆

Resolviendo el determinante conduce a la siguiente ecuación cúbica: −6𝜆3 + 16𝜆2 − 10𝜆 + 1 = 0

Cuyas soluciones son: 𝜆1 = 0.123 𝑘/𝑚 𝜆2 = 0.758 𝑘/𝑚 𝜆3 = 1.78 𝑘/𝑚 Como k= 800 kips/in y m= 1 kips- sec2/in, entonces las frecuencias son las siguientes: 𝜔1 = √0.123 𝑘/𝑚 = 9.919 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔2 = √0.758 𝑘/𝑚 = 24.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔3 = √1.78 𝑘/𝑚 = 37.735 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Para calcular los modos de vibración, se reemplazan los valore de λ en la expresión (𝐾 − 𝜔2 𝑀)𝐴 = 0 Para λ1= 0.123

2 − 3𝜆 [ −1 0

1.631 [ −1 0

−1 2 − 2𝜆 −1

−1 1.754 −1

𝐴11 0 −1 ] {𝐴21 } = 0 1 − 𝜆 𝐴31 𝐴11 0 −1 ] ∙ [𝐴21 ] = 0 0.877 𝐴31

Dando un valor unitario al A31, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴11 0.537 {𝐴12 } = {0.877} 1er Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ1 = ω12 𝐴13 1

8

Para λ2=0.75

2 − 3𝜆 [ −1 0

−1 2 − 2𝜆 −1

−0.274 [ −1 0

−1 0.5 −1

𝐴12 0 𝐴 ] { −1 22 } = 0 1 − 𝜆 𝐴32

𝐴12 0 −1 ] ∙ [𝐴22 ] = 0 −0.242 𝐴32

Dando un valor unitario al A32, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴12 −0.883 {𝐴22 } = { 0.242 } 2do Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ2 = ω22 𝐴32 1 Para λ3= 1.78

2 − 3𝜆 [ −1 0

−3.34 [ −1 0

−1 2 − 2𝜆 −1

−1 −1.56 −1

𝐴13 0 𝐴 ] { −1 23 } = 0 1 − 𝜆 𝐴33 𝐴13 0 −1 ] ∙ [𝐴23 ] = 0 −0.78 𝐴33

Dando un valor unitario al A32, y resolviendo el sistema de ecuaciones, las formas modales quedan de la siguiente manera: 𝐴13 0.233 {𝐴23 } = {−0.78} 3er Modo de vibrar del marco con la frecuencia λ3 = ω32 𝐴33 1

Los periodos fundamentales de vibración del marco se determinan con siguiente expresión: T= 2π/ωi T1=0.63 seg T2=0.25 seg T3= 0.166 seg.

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En la siguiente figura se muestra los modos de vibrar de la estructura:

Figura 2. FORMAS DE VIBRAR DEL MARCO DE CORTANTE PROBLEMA 2.

Propiedades de ortogonalidad En este ejercicio a diferencia del pasado se comprobó la ortogonalidad normalizando los modos de vibrar y cumpliendo con las siguientes condiciones ФTMФ= I Donde I es la matriz identidad. ФTKФ= Ω2 Normalización de modos Se determina la constante de normalización para cada modo de vibrar de la siguiente manera: 𝐶 = √𝐴𝑇 𝑀𝐴

𝐶1 = √〈0.537

0.877

3 1.0〉 [0 0

0 2 0

0 0.537 0] {0.877} = √3.403𝑚 = 1.844√𝑚 1 1.0

𝐶2 = √〈−0.883

0.242

3 1.0〉 [0 0

0 2 0

0 −0.883 0] { 0.242 } = √3.456𝑚 = 1.86√𝑚 1 1.0

10

𝐶3 = √〈0.233

3 1.0〉 [0 0

−0.78

0 2 0

0 0.233 0] {−0.78} = √2.379𝑚 = 1.542√𝑚 1 1.0

Primera forma modal normalizada Φ1 =

Φ1 =

𝐴1 𝐶1

0.291 0.533 ∙ {0.877} = {0.475} 1.844√𝑚 0.542 1.0 1

Segunda forma modal normalizada Φ2 =

Φ2 =

𝐴2 𝐶2

−0.883 −0.474 ∙ { 0.242 } = { 0.130 } 1.86√𝑚 1.0 0.537 1

Tercera forma modal normalizada Φ3 =

Φ3 =

𝐴3 𝐶3

0.233 0.151 ∙ {−0.78} = {−0.505} 1.542√𝑚 1.0 0.648 1

Ahora sustituyendo en la siguiente expresión para comprobar que los modos son ortogonales con respecto a la matriz de masa. ФTMФ= I 0.291 [−0.474 0.151

0.475 0.130 −0.505

3 0.542 1 ∙ [0 0.537] 0.648 √𝑚 0

0 2 0

0 0.291 0] 𝑚 ∙ [0.475 1 0.542

−0.474 0.130 0.537

1 0.151 1 = [0 −0.505] 0 0.648 √𝑚

0 1 0

0 0] 1

El resultado de la matriz identidad no da exactamente 0 y 1 pero si muy aproximado y para una mejor visualización se puso la matriz identidad exacta. Se observa que cumpla con la condición de ortogonalidad con respecto a la matriz de masa. Se comprobará la ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces

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ФTKФ= Ω2 0.291 [−0.474 0.151

0.475 0.130 −0.505

2 0.542 1 ∙ [−1 0.537] 0.648 √𝑚 0 0.123 =[ 0 0

−1 2 −1

0 0.291 1] 𝑘 ∙ [0.475 1 0.542

0 0.755 0

0 0 ]𝑘 1.782

−0.474 0.130 0.537

0.151 1 −0.505] 0.648 √𝑚

Donde k= (28.28)2= 800 kips/in

0.123 =[ 0 0

0 0.755 0

0 98.4 0 ] 800 = [ 0 1.782 0

0 604 0

0 0 ] = 𝜔2 1425.6

Se observa que cumple con la ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces.

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PROBLEMA 3

Se disponen dos vigas idénticas , como se muestra en la figura en el la vista isométrica , para soportar un equipo que pesa 3 Kips, la rigidez a flexión y el peso por metro lineal de las vigas se muestran en la figura , se asume que la masa distribuida se debe agrupar en la mitad de la viga y a ¼ de los extremos, calcular las dos frecuencias y formas modales en términos de las coordenadas de una viga con carga central es

v1 y v2 , (sugerencia: tomar en cuenta que la deflexión central

PL3 . Use la formulación de flexibilidad del método determinante. 48 EI

Analizando el problema, se obtiene la matriz de masa. 1 1 𝑚1 = 𝑚 ̅𝐿 + 𝑚 ̅𝐿 2 4 𝑚2 =

1 𝑊 𝑚 ̅𝐿 + 2 𝑔

Donde: 𝑘 𝑘 − 𝑠2 𝑓𝑡 𝑚 ̅= = 0.009316 ∙ 𝑓𝑡 𝑓𝑡 32.2 2 𝑠 0.3

Sustituyendo para obtener las masas de cada viga se tiene:

𝑚1 =

1 1 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑠 2 (0.009316 )(20) + (0.009316 )(20) = 0.13974 2 4 𝑓𝑡 1 3 𝑘𝑙𝑏 ∙ 𝑠 2 𝑚2 = (0.009316 )(20) + (20) = 0.186 2 32.2 𝑓𝑡

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Matriz de masas: 0.1398 𝑀=[ 0

0 ] 0.186

Para calcular la matriz de flexibilidades se aplican fuerzas unitarias para obtener los desplazamientos en los nodos de interés Nodo 1: 𝛿11 =

𝑃𝐿3 1 = 48𝐸𝐼 360

Por lo tanto, se genera un desplazamiento en el nodo 2 debido a un desplazamiento en el nodo 1. 1 1 𝛿21 = 𝛿11 = 2 720 Nodo 2: 𝛿12 =

𝛿22 =

𝑃𝐿3 1 = 96𝐸𝐼 720

𝑃𝐿3 1 1 + 𝛿12 = 48𝐸𝐼 2 288

Como P= 1, entonces la matriz de flexibilidad queda de la siguiente manera: −3

𝑓̃ = [ 2.777𝑥10 −3 1.3888𝑥10

1.3888𝑥10−3 ] 3.4722𝑥10−3

Aplicando la ecuación 11-8 del libro de Dinámica de estructuras de Clough [

1 𝐼 − 𝑓̃𝑀] 𝜐̂ = 0 𝜔2

Haciendo el producto de la matriz de masas y flexibilidades queda: −3

𝑓̃𝑀 = [ 2.777𝑥10 −3 1.3888𝑥10

1.3888𝑥10−3 ] ∙ [0.1398 0 3.4722𝑥10−3

−4 0 ] = [3.8822𝑥10−4 0.186 1.9815𝑥10

2.5831𝑥10−4 ] 6.4582𝑥10−4

Para obtener las raíces de la ecuación anterior se puede utilizar la siguiente expresión |𝐾 − 𝜔2 𝑀| = 0

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Pero para la formulación de flexibilidad en vibración libre, la ecuación anterior también se puede escribir como [𝐷 −

1 𝐼] = 0 𝜔2

Donde D= 𝑓̃𝑀, y se le conoce como matriz dinámica. Por lo tanto, Remplazando λ=1/𝜔2 −4 [3.8822𝑥10−4 1.9815𝑥10

2.5831𝑥10−4 ] − λ [1 0 6.4582𝑥10−4

−4 −λ [3.8822𝑥10 −4 1.9815𝑥10

0 ] 1

2.5831𝑥10−4 ] 6.4582𝑥10−4 − λ

Resolviendo el determinante conduce a la siguiente ecuación cuadrática: 𝜆2 − 0.00103 𝜆 + 0.0000002 = 0 Cuyas soluciones son: 𝜆1 = 7.7039 𝑥10−4 𝜆2 = 2.596 𝑥10−4 Para encontrar las frecuencias las raíces encontradas son el reciproco de la frecuencia al cuadrado. Por lo tanto,

𝜔1 = √

𝜔2 = √

1 = 36.02 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜆1

1 = 62.065 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜆2

De la siguiente ecuación se determinan los modos de vibrar [

1 𝐼 − 𝑓̃𝑀] 𝜐̂ = 0 𝜔2

−4 −λ [3.8822𝑥10 −4 1.9815𝑥10

2.5831𝑥10−4 ] {𝜐11 } = 0 6.4582𝑥10−4 − λ 𝜐21

Para λ1= 7.7039 𝑥10−4

−4

[−3.8217𝑥10−4 1.9815𝑥10

2.5831𝑥10−4 ] {𝜐11 } = 0 1.2457𝑥10−4 𝜐21

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Haciendo 𝜐11 = 1 y resolviendo el sistema de ecuaciones. −3.8217𝑥10−4 𝜐11 + 2.5831𝑥10−4 𝜐21 = 0 𝜐21 = 1.479

Por lo tanto, realizando el reciproco para encontrar los modos de vibrar de la primera forma modal son: 𝜐11 1.0 {𝜐 } = { } 21 0.676 Para λ2= 2.596 𝑥10−4 −4 [1.2862𝑥10−4 1.9815𝑥10

2.5831𝑥10−4 ] {𝜐12 } = 0 3.8622𝑥10−4 𝜐22

Haciendo 𝜐12 = 1 y resolviendo el sistema de ecuaciones. 1.2862𝑥10−4 𝜐12 + 2.5831𝑥10−4 𝜐22 = 0 𝜐22 = −0.497 Por lo tanto, realizando el reciproco para encontrar los modos de vibrar de la segunda forma modal son: 𝜐11 1.0 {𝜐 } = { } 21 −2.012

1.- ¿Por qué se usa la hipótesis de que el sistema estructural no tiene amortiguamiento para el cálculo de las propiedades dinámicas? Ya que las ecuaciones diferenciales del movimiento son desacopladas por medio de una transformación de coordenadas, que incorpora la propiedad ortogonal de los modos normales. La consideración del amortiguamiento, en el análisis dinámico de estructuras, complica el problema ya que no solamente las ecuaciones diferenciales del movimiento tienen términos adicionales debido a fuerzas de amortiguamiento, sino que, además, para lograr que las ecuaciones se desacoplen mediante una transformación de coordenadas, se hace necesario imponer ciertas imponer ciertas restricciones o condiciones en la expresión funcional de los coeficientes de amortiguación. El amortiguamiento que normalmente existe en una estructura es relativamente pequeña y prácticamente no afecta al cálculo de las frecuencias naturales y de los modos normales. Por lo tanto, el efecto de la amortiguación se desprecia, cuando se determinan las propiedades dinámicas de un sistema estructural. 2.- ¿Cuándo es válido utilizar la hipótesis anterior? Cuando se hace utiliza amortiguamiento clásico y que mantienen el mismo amortiguamiento en todos los niveles.

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