Tarea 2 De Calculo.

Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

∫

√𝑥 𝑑𝑥 3 1 + √𝑥

𝐻𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 = 𝑧 6, 𝑑𝑥 = 6𝑧 5 𝑑𝑧 1

𝑥 2 = 𝑧 3,

1

𝑥 3 = 𝑧 2,

4

𝑥 3 = 𝑧 8,

6

𝑧 = √𝑥

𝑧8 = 6∫ 𝑑𝑧 1 + 𝑧2 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 1 = 6 [∫ 𝑑𝑧 + ∫ 𝑧 6 𝑑𝑧 − ∫ 𝑧 4 𝑑𝑧 + ∫ 𝑧 2 𝑑𝑧 − ∫ 𝑑𝑧] 1 + 𝑧2 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑧7 𝑧5 𝑧3 = 6 [𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 𝑧 + − + − 𝑧] + 𝐶 7 5 3 𝑉𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙: 𝟕 𝟓 𝟑 𝟔 𝟔 𝟔

√𝒙 √𝒙 √𝒙 𝟔 = 𝟔 [𝑨𝒓𝒄𝑻𝒂𝒏 √𝒙 + − + − √𝒙] + 𝑪 𝟕 𝟓 𝟑 𝟔

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥,

𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥,

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥,

𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥,

𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥,

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥,

𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + [𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥] ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶 𝒆𝒙 ∫ 𝒆 𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙 = (𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝑪 𝟐 𝒙

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 4𝑥 𝑥(𝑥 2 − 4𝑥 + 4) 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 2) 𝑥(𝑥 − 2)2 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝐴 𝐵 𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ + + 𝑥(𝑥 − 2)2 𝑥 𝑥 − 2 (𝑥 − 2)2 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎: 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 𝐴(𝑥 − 2)2 + 𝐵𝑥(𝑥 − 2) + 𝐶𝑥 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 𝟏 −1 = 𝐴(−2)2 , 𝑨=− 𝟒 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 𝟏 3(2)4 − 12(2)3 + 12(2)2 + 2 − 1 = 2𝐶, 1 = 2𝐶, 𝑪= 𝟐 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 1 1 1 1 𝟏𝟏 3 − 12 + 12 + 1 − 1 = − − 𝐵 + , 3 + − = −𝐵, 𝑩=− 4 2 4 2 𝟒 𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠: 3𝑥 4 − 12𝑥 3 + 12𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑑𝑥 11𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ − ∫ + ∫ 𝑥(𝑥 − 2)2 4𝑥 4(𝑥 − 2) 2(𝑥 − 2)2 1 𝑑𝑥 11 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 =− ∫ − ∫ + ∫ 4 𝑥 4 (𝑥 − 2) 2 (𝑥 − 2)2

𝟏 𝟏𝟏 𝟏 = − 𝒍𝒙(𝒙) − 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟐) − +𝑪 𝟒 𝟒 𝟐(𝒙 − 𝟐)

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. 5

1

∫ 2

1 𝑑𝑥 4)3

(𝑥 − Ajustamos la integral ya que tenemos un punto no definido, en este caso es 4. Si existe b, a
1

∫ 2

(𝑥 −

4

5

1

∫ 2

1 𝑑𝑥 4)3

1 𝑑𝑥 + ∫

4

(𝑥 − 4)3

1 (𝑥 −

1 𝑑𝑥 4)3

𝑢 = (𝑥 − 4), 5 𝑑𝑢 =∫ 1 2 (𝑢)3 5

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

1

= ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 =[

2 𝑢3 2 3

2

5

] =

2 3(𝑥−4)3

2

2

=[

3(𝑥 − 2

2 4 4)3

] + [

3(𝑥 − 2

2

2 5 4)3

]

4

𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 2

2

2

2

3(4 − 4)3 3(2 − 4)3 3(5 − 4)3 3(4 − 4)3 = − + − 2 2 2 2 =0−

3 2

−

2

2

3(−2)3

3(1)3

2

+

2

−𝟎

2

=

3 2

−

3(−1)3 1

23

2

=

3 2

−

3(−1)3 1

23