Tarea 1_grupo_100412_73.docx

Unidad 1. Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden

Presentado a: Javier Andrés Moreno Tutor

Entregado por: Sandra Fanny Liliana Picón Díaz - Código: 1013692047 Juan Manuel Garzón - Código: 1073505993 Gustavo Adolfo Urdialez - Código: Xxxxx Lizeth Carolna Noguera Molina - Código: 1020757644

Grupo: 100412_73

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD Escuela De Ciencias Básicas, Ingenierías y Tecnologías Curso de Ecuaciones Diferenciales Bogotá D.C. 2019

Tabla de contenido

Introducción ..................................................................................................................................... 3 Objetivos .......................................................................................................................................... 4 General.......................................................................................................................................... 4 Específicos .................................................................................................................................... 4 Paso 2: Elección de ejercicios a desarrollar parte individual ........................................................... 5 Paso 3: Ejercicios individuales ......................................................................................................... 5 Ejercicios 1. Variables separables ................................................................................................ 5 Ejercicios 2 – Ecuaciones diferenciales homogéneas ................................................................. 14 Ejercicios 3 - Ed exactas. ............................................................................................................ 19 Paso 4. Trabajo colaborativo .......................................................................................................... 26 Ejercicio 4. Situación problema................................................................................................. 26 Paso 5. Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada. ................. 29 Paso 8. Tabla links videos explicativos .......................................................................................... 31 Conclusiones .................................................................................................................................. 32 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 33

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Introducción

El presente documento contiene el desarrollo de las actividades propuestas en la unidad uno de la materia ecuaciones diferenciales, en el cual se evidencia el desarrollo de ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables, Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas, Ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas evidenciando en cada desarrollo la explicación de la solución de cada ecuación.

Una ecuación diferencial, se caracteriza porque aparece una función, su derivada y las variables, es un lenguaje matemático donde nos habla la naturaleza; es un proceso que contiene una magnitud y su variación. En este caso se pretende dar una introducción a las ecuaciones diferenciales, resolviendo ejercicios de primer orden y sus aplicaciones.

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Objetivos

General: Interpretar problemas teóricos y prácticos de la ingeniería a través de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Específicos: 

Demostrar las ecuaciones diferenciales de primer orden, con variables separables, homogéneas y exactas, de acuerdo al ejercicio escogido.



Grabar un video donde se explica los procedimientos utilizados para cada ecuación diferencial de primer orden.



Resolver ejercicios, que permitan la aplicabilidad y el uso de las ecuaciones diferenciales en cualquier campo de la ciencia y su interdisciplinariedad.



Solucionar cada uno de los ejercicios propuestos para lograr las competencias propuestas en el curso de ecuaciones diferenciales.

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Paso 2: Elección de ejercicios a desarrollar parte individual Tabla 1: de elección de ejercicios Nombre del estudiante Gustavo Urdialez García

Rol a desarrollar Evaluador

Sandra Fanny Liliana Picón Díaz Juan Manuel Garzón

Alertas

Lizeth Noguera Molina

Compilador

Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios en todos los tres tipos propuestos El estudiante desarrolla los ejercicios b en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios d en todos los tres tipos propuestos Consolidar el documento que se constituye como el producto final del debate

Fuente: tutoría. Paso 3: Ejercicios individuales Ejercicios 1. Variables separables Solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables: Gustavo Urdialez García 𝑎. (𝑥𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑑𝑦

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝒙 = 𝟎, 𝒙 =

−𝟏−𝒚+√−𝟒𝒚𝟒 −𝟕𝒚𝟐 +𝟐𝒚−𝟑 𝟐(−𝟏−𝒚𝟐 )

−𝟏−𝒚−√−𝟒𝒚𝟒 −𝟕𝒚𝟐 +𝟐𝒚−𝟑 𝟐(−𝟏−𝒚𝟐 )

RAZÓN O EXPLICACIÓN

,𝒙 =

; 𝒚 ≠ 𝒊, 𝒚 ≠ −𝒊, 𝒅 ≠ 𝟎

(𝑥𝑦 + 𝑥)𝑎𝑥 − (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥 = (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥(𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥 (𝑥𝑦 + 𝑥)𝑎𝑥 − (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥 = 0

Restamos (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

Simplificamos

5

(𝑥𝑦 + 𝑥)𝑎𝑥 − (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 1)𝑎𝑥: 𝑎𝑥(𝑥 + 𝑦𝑥 − 𝑦 2 −𝑥 2 − 1 − 𝑥 2 𝑦 2 ) (𝑥𝑦 + 𝑥)𝑎𝑥 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 + 𝑦 2 + 1)𝑎𝑥

Factorizamos

= 𝑎𝑥(𝑥 + 𝑦𝑥 − (𝑦 2 + 𝑦 2 + 1 + 𝑦 2 𝑦 2 ))

Factorizamos el termino común ax.

𝑦 + 𝑥𝑦 − (𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 1): 𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 − 𝑥2 − 1 − 𝑥2𝑦2

Expandimos

= 𝑎𝑥(−𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 1) 𝑎𝑥(𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 − 𝑥 2 − 1 − 𝑥 2 𝑦 2 ) = 0 𝑥=0 𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 − 𝑥 2 − 1 − 𝑥 2 𝑦 2 = 0: 𝑥

𝑥=

−𝑦+√−7𝑦2 +4𝑦3 −4𝑦4 +4𝑦−4

−𝑦 − √−7𝑦2 + 4𝑦3 − 4𝑦4 + 4𝑦 − 4 2(−1 −

𝑦2 )

2 2(−1−𝑦 )

,

Resolvemos

; 𝑦 ≠ 𝑖, 𝑦 ≠ −𝑖

𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 − 𝑥 2 − 1 − 𝑥 2 𝑦 2 = 0 −(1 + 𝑦 2 )𝑥 2 + 𝑦𝑥 + 𝑦 − 𝑦 2 − 1 = 0

Escribimos a la forma estándar 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 = 0

las soluciones son:

Resolvemos con la formula general para ecuaciones de 2do grado: para una ecuación de segundo grado de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥1,2 = Para

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 a:

1: 𝑥1.2 = 𝑥=

−1 − 𝑦 2 , 𝑏 = 𝑦, 𝑐 = 𝑦 − 𝑦 2 − −𝑦±√𝑦 2 −4(−1−𝑦 2 )(𝑦−𝑦 2 −1) 2(−1−𝑦 2 )

−𝑦+√𝑦2 −4(−1−𝑦2 )(𝑦−𝑦2 −1) −𝑦+√−7𝑦2 +4𝑦3 −4𝑦4 +4𝑦−4 : 2(1−1𝑦2 ) 2(−1−𝑦2 )

−𝑦 + √𝑦2 − 4(−1 − 𝑦2 )(𝑦 − 𝑦2 − 1) 2(1 − 1𝑦2 ) 𝑦 2 − 4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1): −7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Expandimos

𝑦 2 − 4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) −4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) : − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Expandimos 6

(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1): 2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1

Expandimos

(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) = (−1)𝑦 + (−1)(−𝑦 2 ) + (−1)(−1) + (𝑦 2 )𝑦 + (−𝑦 2 )(−𝑦 2 ) + (−𝑦 2 )(−1)

Aplicamos la siguiente regla de productos notables

+(−𝑎) = −𝑎, (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏

Aplicamos la regla de los signos

= −1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 −1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 : 2𝑦2 3

Simplificamos

4

−𝑦 +𝑦 −𝑦+1

−1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 = 1 ∙ 𝑦2 − 𝑦2𝑦 + 𝑦2𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 − 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 1 1 ∙ 𝑦 2 + 1 ∙ 𝑦 2 = 2𝑦 2

Agrupamos los términos semejantes Sumamos elementos similares

= 2𝑦 2 − 𝑦 2 𝑦 + 𝑦 2 𝑦 2 − 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 1 𝑦2𝑦 = 𝑦3 𝑦2𝑦 𝑦 2 𝑦 = 𝑦 2+1 = 𝑦 3 = 𝑦3

Aplicamos las leyes de los exponentes 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑐

𝑦2𝑦2 = 𝑦4 𝑦2𝑦2 𝑦 2 𝑦 2 = 𝑦 2+2 = 𝑦 4 = 𝑦4

Aplicamos las leyes de los exponentes 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐

1∙𝑦=𝑦 1∙𝑦

7

=𝑦

Multiplicamos 1∙ 𝑦 = 𝑦

1∙1=1 1∙1 =1

Multiplicamos los números 1 ∙ 1 = 1

= 2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1 = −4(2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1) −4(2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1) : − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Expandimos

−4(2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1) = (−4) ∙ 2𝑦 2 + (−4)(−𝑦 3 ) + (−4)𝑦 4 + (−4)(−𝑦) + (−4) ∙ 1

Aplicamos la siguiente regla de productos notables

= −4 ∙ 𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1

Aplicamos regla de los signos +(-a)= -a,(-a)(-b)=ab

−4 ∙ 2𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1: − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Simplificamos

−8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1

Multiplicamos los números 4 ∙ 2 = 8

= −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Multiplicamos los números 4 ∙ 1 = 4

= −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = 𝑦 2 − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = −7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Sumamos elementos similares 𝑦2 − 8 = 𝑦 2 = −7 = 𝑦 2

−𝑦 + √−4𝑦4 + 4𝑦3 − 7𝑦2 + 4𝑦 − 4 = 2(−𝑦2 − 1) 𝑥=

−𝑦 − √𝑦2 − 4(−1 − 𝑦2 )(𝑦 − 𝑦2 − 1) ∶ 2(−1 − 𝑦2 )

8

−𝑦 − √−7𝑦2 + 4𝑦3 − 4𝑦3 − 4𝑦4 + 4𝑦 − 4 2(−1 − 𝑦2 ) −𝑦 − √𝑦2 − 4(−1 − 𝑦2 )(𝑦 − 𝑦2 − 1) 2(−1 − 𝑦2 ) 𝑦 2 − 4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1): −7𝑦2 + 4𝑦3 − 4𝑦4 + 4𝑦 − 4

Expandimos

𝑦 2 − 4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) −4(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) : − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 − 4𝑦 − 4

Expandimos

(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1): 2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 3 + 𝑦 4 − 𝑦 + 1

Expandimos

(−1 − 𝑦 2 )(𝑦 − 𝑦 2 − 1) = (−1)𝑦 + (−1)(− 𝑦2 ) + (−1)(−1) + (−𝑦2 )𝑦 + (−𝑦2 )(𝑦2 ) + (−𝑦2 )(−1)

Aplicamos la siguiente regla de productos notables

= −1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2

Aplacamos la regla de los signos +(-a)= -a,(-a)(b)=ab

= −1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 : 2𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4

Simplificamos

−1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 1 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 = 1 ∙ 𝑦2 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 1

Agrupamos términos semejantes

= 2𝑦2 − 𝑦2 𝑦 + 𝑦2 𝑦2 − 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 1

Sumamos elementos similares 1 ∙ 𝑦2 + 1 ∙ 𝑦2 = 2𝑦2

𝑦2𝑦 = 𝑦3 𝑦2𝑦 𝑦 2 𝑦 = 𝑦 2+1 = 𝑦 3 𝑦3

Aplicamos las leyes de los exponentes 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐

𝑦2𝑦2 = 𝑦4 𝑦2𝑦2

9

𝑦 2 𝑦 2 = 𝑦 2+2 = 𝑦 4

Aplicamos las leyes de los exponentes 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐

= 𝑦4

1∙ 𝑦 = 𝑦 1∙𝑦 Multiplicamos 1 ∙ 𝑦 = 𝑦

=𝑦 1∙1=1

Multiplicamos los números 1 ∙ 1 = 1

=1 = 2𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 − 𝑦 + 1 = 2𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 − 𝑦 + 1 = −4(2𝑦2 − 𝑦3 + 𝑦4 − 𝑦 + 1)

= (−4) ∙ 2𝑦2 + (−4)(−𝑦3 ) + (−4)𝑦4 + (−4)(−𝑦) + (−4) ∙ 1

Aplicamos las reglas de los signos +(-a)= -a,(-a)(-b)=ab

= −4 ∙ 2𝑦2 + 4𝑦3 − 4𝑦4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1 −4 ∙ 2𝑦2 + 4𝑦3 + −4𝑦4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1:

2

3

Expandimos

4

− 8𝑦 + 4𝑦 − 4𝑦 + 4𝑦 − 4

Simplificamos

= −4 ∙ 2𝑦2 + 4𝑦3 − 4𝑦4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1 = −8𝑦 2 + 4𝑦 3 + −4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ∙ 1

Multiplicamos los números 4 ∙ 2 = 8

= −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

Multiplicamos los números 4 ∙ 1 = 4

= −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = −8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = 𝑦 2 − 8𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4

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Sumamos los elementos similares 𝑦 2 − 8𝑦 2 = −7𝑦 2

= −7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 =

=

−𝑦 − √−4𝑦 4 + 4𝑦 3 − 7𝑦 2 + 4𝑦 − 4 2(−𝑦 2 − 1)

−𝑦 − √−7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ,𝑥 2(−1 − 𝑦 2 ) 2 −𝑦 − √−7𝑦 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = ; 𝑦 ≠ 𝑖, 𝑦 ≠ −𝑖 2(−1 − 𝑦 2 )

−𝑦 − √−7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 ,𝑥 2(−1 − 𝑦 2 ) −𝑦 − √−7𝑦 2 + 4𝑦 3 − 4𝑦 4 + 4𝑦 − 4 = ; 𝑦 ≠ 𝑖, 𝑦 ≠ −𝑖, 𝑎 2(−1 − 𝑦 2 ) ≠0 𝑥 = 0, 𝑥 =

Las soluciones finales a la ecuación de segundo grado son

La solución final es:

Sandra Fanny Liliana Picón Díaz 𝑑𝑦 (𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 − 3) = 𝑑𝑥 (𝑥𝑦 − 2𝑥 + 4𝑦 − 8) PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZON O EXPLICACION MATEMÁTICA 𝑑𝑦 (𝑥𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 − 3) Forma original de la E.D = Se identifica que se resuelve por variables 𝑑𝑥 (𝑥𝑦 − 2𝑥 + 4𝑦 − 8) separables. [(𝑥𝑦 + 3𝑥) − (𝑦 + 3)] 𝑑𝑦 Se agrupan términos = [(𝑥𝑦 − 2𝑥) + (4𝑦 − 8)] 𝑑𝑥 𝑏.

[𝑥(𝑦 + 3𝑥) − 1(𝑦 + 3)] 𝑑𝑦 = [𝑥(𝑦 − 2𝑥) + 4(𝑦 − 8)] 𝑑𝑥 (𝑦 + 3)(𝑥 − 1) 𝑑𝑦 = (𝑦 − 2)(𝑥 + 4) 𝑑𝑥 𝑦−2 𝑥−1 ( ) 𝑑𝑦 = ( ) 𝑑𝑥 𝑦+3 𝑥+4 𝑦−2 𝑥−1 ∫( ) 𝑑𝑦 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 𝑦+3 𝑥+4 𝑦 + 2 − (𝑦 + 3) ∫( + 1) 𝑑𝑦 𝑦+3 𝑥 − 1 − (𝑥 + 4) = ∫( + 1) 𝑑𝑥 𝑥+4

Factorizando (se aplica factor por agrupación de términos)

Separando términos (se tiene en cuenta que todo está multiplicándose y/o dividiendo). En un lado de la ecuación todo lo relacionado con la variable X y en el otro lado todo con Y Se integra en ambos términos de la Ecuación Diferencial Resolviendo las integrales básicas, con regla de la suma.

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𝑦−2−𝑦−3 ∫( + 1) 𝑑𝑦 𝑦+3 𝑥−1−𝑥+4 = ∫( + 1) 𝑑𝑥 𝑥+4 −5 −5 ∫( + 1) 𝑑𝑦 = ∫ ( + 1) 𝑑𝑥 𝑦+3 𝑥+4 −5 −5 ∫( ) 𝑑𝑦 + ∫ 1 𝑑𝑦 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥 𝑦+3 𝑥+4 −5𝑙𝑛|𝑦 + 3| + 𝑦 + 𝑐= − 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 𝑥 + 𝑐

5𝑙𝑛|𝑦 + 3| + 𝑦 = 5𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 𝑥 + 𝐾 𝑒 5ln| 𝑦+3|+𝑦 = 𝑒 5ln| 𝑥+4|+𝑥+𝐾

C2 – C1 = K, la suma o resta de dos constantes; da como resultado otra constante y el signo en la igualdad es positivo. Aplicando e en ambos lados la Ecuación Diferencial. Aplicando e en ambos lados la Ecuación Diferencial. Propiedad del inverso 𝑒 𝐿𝑛 = 1 Propiedad de los exponentes 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 𝑒 𝐾 = 𝐾; (e) elevado a una constante da como resultado otra constante.

Juan Manuel Garzón 𝑑. 3𝑒 𝑥 𝑡𝑔(𝑦)𝑑𝑥 + (2 − 𝑒 𝑥 )𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 3ex tg(y)dx + (2 − ex )sec 2 (y)dy = 0

Sea y la variable dependiente, dividir entre dx:

3ex tg(y) + (2 − ex )sec 2 (y)y ′ = 0

Reescribir como una EDO de primer orden de variables separables:

N(y) =

sec 2 (y) 3ex , M(x) = − tg(y) 2 − ex

Resolver:

sec 2 (y) ′ 3ex y =− tg(y) 2 − ex

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In(tg(y)) = 3In(2 − ex ) + c1

Despejar y:

y = −arctan(ec1 (ex − 2)3 )

Simplificar las constantes:

y = −arctan(c1 (ex − 2)3 )

Lizeth Carolina Noguera

𝑒 .

𝑑𝑦 1 = −2 𝑑𝑥 𝐿𝑛 (2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1 RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑦=

1 −2 𝐿𝑛 (2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1

𝑑𝑦

Se sustituye 𝑑𝑥 con y

2 ln(2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1 + (ln(2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1)𝑦 =0

Se reescribe como una ecuación diferencial exacta.

𝑀(𝑥, 𝑦) + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑦 = 0

Las condiciones se cumplen: Ψ𝑥 + Ψ𝑦 ∗ 𝑦¨ =

Ψ𝑥 = (𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦) = 2 ln(2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1,

𝑑Ψ(x,y) dx

, La solución general es Ψ = (x, y) = C

Ψ𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑛(𝑥, 𝑦) = ln(2𝑥 + 𝑦 + 3) + 1 ∂M(X, Y) ∂N(X, Y) = ∂y ∂x Ψ = (x, y): Ψ(x, y) = yln(y + 2x + 3) + 2xln(y + 2x + 3) + 3 ln(y + 2x + 3) − x + c1

Se verifica que sea verdadero Se encuentra Ψ = (x, y): Ψ(x, y)

Ψ = (x, y) = c2 𝑦𝑙𝑛 = (𝑦 + 2𝑥 + 3) + 2𝑥𝑙𝑛(𝑦 + 2𝑥 + 3) + 3 ln(𝑦 + 2𝑥 + 3) − 𝑥 + 𝑐1 = 𝑐2 yln(y + 2x + 3) + 2xln(y + 2x + 3) + 3 ln(y + 2x + 3) − x = c1

Se combinan las constantes

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Ejercicios 2 – Ecuaciones diferenciales homogéneas Solución de las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas.

Gustavo Urdialez García

𝑎. 𝑥(𝐿𝑛(𝑥) − 𝐿𝑛(𝑦))𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

−𝑦𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑦(ln(𝑥) − ln(𝑦))

Agrupamos los términos de las ecuaciones diferenciales

𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦(ln(x) − ln(𝑦))

Agrupamos los términos de las ecuaciones diferenciales

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(𝑥 ln(𝑥) − 𝑥 ln(𝑦))

Multiplicamos 𝐥𝐧(𝒙) + − 𝐥𝐧(𝒚)) 𝒑𝒐𝒓 𝒙

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(ln(𝑦 −𝑥 ) + 𝑥 ln(𝑥))

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa.

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(ln(𝑦 −𝑥 ) + 𝑥 ln(𝑥 𝑥 ))

Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(ln(𝑦 −1 )𝑥 ) + ln(𝑥 𝑥 ))

Reescribimos el exponente como la potencia de una potencia.

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(ln(𝑦 −𝑥 ) + 𝑥 ln(𝑥 𝑥 ))

Aplicamos la regla de potencia de una potencia

𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝑥(ln(𝑦 −𝑦 ) + 𝑥 ln(𝑥 𝑥 ))

Solución final.

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Sandra Fanny Liliana Picón Díaz

𝑏. (𝑥 − 𝑦 + 1)𝑑𝑦 − (𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (𝑥 − 𝑦 + 1)𝑑𝑦 − (𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Forma original de la E.D Se identifica que se resuelve por ecuaciones diferenciales homogéneas.

(𝑥 − 𝑦 + 1)𝑑𝑦 = (𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥

Se agrupan términos

𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 − 1 = 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑦 + 1

Pasando al otro lado de la igualdad a dx Gráfica Se hallan los puntos de corte de las dos rectas

𝑟1 = 𝑥 + 𝑦 − 1 𝑟2 = 𝑥 − 𝑦 + 1 𝑦=1 𝑦−1=0

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𝑌 =𝑦−1

Se utiliza una Y y una X para reemplazar en la ecuación y se transforma la ecuación diferencial homogénea

𝑋=𝑥 𝑑𝑦 𝑥 + (𝑦 − 1) = 𝑑𝑥 𝑥 − (𝑦 + 1) 𝑑𝑦 𝑋 + 𝑌 = 𝑑𝑥 𝑋 − 𝑌 𝑋 − 𝑌 𝑑𝑥 = 𝑋 + 𝑌 𝑑𝑦

Se coloca en función de x minúscula

𝑑𝑥 𝑋 − 𝑌 = 𝑑𝑦 𝑋 + 𝑌 𝑌 𝑌 𝑌

𝑑𝑣 𝑣𝑌 − 𝑌 +𝑣 = 𝑑𝑦 𝑣𝑌 + 𝑌

Se reemplaza X = vY como nuevo cambio de variable

𝑑𝑣 𝑌(𝑣 − 1) 𝑣 = − 𝑑𝑦 𝑌(𝑣 + 1) 1

𝑑𝑣 𝑣 − 1 − 𝑣(𝑣 + 1) = 𝑑𝑦 𝑣+1

𝑑𝑣 𝑣 − 1 − 𝑣 2 + 𝑣 𝑌 = 𝑑𝑦 𝑣+1 𝑌

𝑑𝑣 𝑣2 + 1 = −( ) 𝑑𝑦 𝑣+1

1+𝑣 𝑑𝑦 ( ) 𝑑𝑣 = − 2 1+𝑣 𝑦 −∫

𝑑𝑦 1+𝑣 =∫( ) 𝑑𝑣 𝑦 1 + 𝑣2

Se transforma en una ecuación de variables separables y se intercambia signo negativo

Se aplica integral a ambos lados

1 𝑣 − ln|𝑦| + 𝑐 = ∫ ( + 2 ) 𝑑𝑣 2 1+𝑣 𝑣 =∫

1 𝑣 𝑑𝑣 + ∫ 𝑑𝑣 2 1+𝑣 1 + 𝑣2

− ln|𝑦| + 𝑐 = arctan(𝑣) +

1 𝑙𝑛|1 + 𝑣| + 𝑐 2

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− ln|𝑦| = arctan(𝑣) +

1 𝑙𝑛|1 + 𝑣| + 𝐾 2

C2 – C1 = K, la suma o resta de dos constantes; da como resultado otra constante y el signo en la igualdad es positivo. Propiedad de los exponentes 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 𝑒 𝐾 = 𝐾; (e) elevado a una constante da como resultado otra constante.

Juan Manuel Garzón

d. (xy + 4y 2 + 2x 2 )dx − x 2 dy = 0 si y(1) =

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA (xy + 4y 2 + 2x 2 )dx − x 2 dy = 0 si y(1) =

√2 2

√2 2

Simplificar la suma:

(xy + 4y 2 + 2x 2 )dx − x 2 dy

Simplificar el producto:

(xy + 4y 2 + 2x 2 )dx

Ordenar los factores de los −x 2 dy

(2x 2 + 4y 2 + yx)dx − dyx 2 = 0 =

Expandir el término:

√2 2

Unir dx y 2x 2 Unir dx y 4y 2 Unir dx y yx

dx ∙ 2x 2 + dx ∙ 4y 2 + dxyx − dyx 2 = 0 =

√2 2

Simplificar el producto:

dx2x 2

Ordenar los factores de:

dx4y 2

Simplificar el producto dxyx:

17

(2x 2 + 4y 2 + yx)dx − dyx 2 = 0 =

Simplificar la suma:

√2 2

d ∙ 2x 3 − dyx 2 + 4dxy 2 + dyx 2 = 0 =

dx2x 2 + dx4y 2 + yx − dxyx − dyx 2 √2 2

Ordenar los factores:

d2x 3

Cancelar:

−dyx 2

Simplificar la suma: d2x 3 − dyx 2 + 4dxy 2 + dyx 2

2dx 3 + 4dxy 2 = 0 =

√2 2

Lizeth Carolina Noguera 𝑑𝑦 𝑦(2𝑥 3 − 𝑦 3 ) 𝑒. = 𝑑𝑥 𝑥(2𝑥 3 − 3𝑦 3 ) PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑦(2𝑥 3 −𝑦 3 )

𝑦(2𝑥 3 −𝑦3 )

= 𝑥(2𝑥 3 −3𝑦 3 ) = 𝑦 = 𝑥(2𝑥 3 −3𝑦 3) (𝑢𝑥)¨ =

𝑢𝑥 (2𝑥 3 − (𝑢𝑥)3 ) 𝑥(2𝑥 3 − 3(𝑢𝑥)3 )

(𝑢𝑥)¨ =

𝑢(−𝑢3 + 2) 2 − 3𝑢3

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se sustituye

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑛 𝑦¨

Se sustituye 𝑦 = 𝑢𝑥, siendo u la función de x

Se simplifica

(𝑢𝑥)¨ = 𝑥𝑢¨ + 𝑢

𝑥𝑢¨ + 𝑢 = 𝑥𝑢¨ + 𝑢 =

−

1

𝑢(−𝑢3 + 2) 2 − 3𝑢3

𝑢(−𝑢3 + 2) 1 3 : − 3 − ln(𝑢) 3 2 − 3𝑢 3𝑢 2 = ln(𝑥) + 𝑐1

3 𝑦 𝑦 3 − ln ( ) = ln(𝑥) + 𝑐1 2 𝑥 3( )

𝑦

Se sustituye en la ecuación 𝑢 = 𝑥

𝑥

18

𝑥3 3 𝑦 − 3 − ln ( ) = ln(𝑥) + 𝑐1 3𝑦 2 𝑥

Se simplifica

Ejercicios 3 - Ed exactas. Solución de las siguientes Ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas

Gustavo Urdialez Garcia

𝑎. 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20)𝑑𝑦 = 0;

𝑠í 𝑦(1) = 1

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝒙𝒚𝒂𝒙 + (𝟐𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝟎)𝒂𝒙: 𝒂𝒙𝟐 𝒚 + 𝟑𝒂𝒙𝒚𝟐 − 𝟏𝟔𝒂𝒙 𝒙𝒚𝒂𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝒚𝒂𝒙 𝑦𝑥 = 𝑥1+1 = 𝑥 2 𝑎𝑥 2 𝑦

Aplicamos las leyes de los exponentes 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐

(22 + 3𝑦 2 − 20)𝑎𝑥 = 𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16) (22 + 3𝑦 2 − 20)𝑎𝑥 22 = 4 = 𝑎𝑥(3𝑦 2 + 4 − 20) = 𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16)

Restamos 4-20=-16

𝑎𝑥 2 𝑦 + 𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16) 𝑎𝑥 2 𝑦 + 𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16) 𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16): 3𝑎𝑦𝑦 2 − 16𝑎𝑥

Expandimos

𝑎𝑥(3𝑦 2 − 16)

19

𝑎 = 𝑎𝑥, 𝑏 = 3𝑦 2 , 𝑐 = 16

Ponemos los paréntesis utilizando: 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

= 𝑎𝑥 ∙ 3𝑦 2 − 𝑎𝑘 ∙ 16 = 3𝑎𝑥𝑦 2 − 16𝑎𝑥 = 𝑦𝑎𝑦 2 + 3𝑎𝑥𝑦 2 − 16𝑎𝑥 𝑎𝑥 2 𝑦 + 3𝑎𝑥𝑦 2 − 16𝑎𝑥 = 1

𝑎𝑥 2 𝑦 + 𝑎𝑥 2 𝑦 − 𝑎𝑥 2 𝑥 − 1 = 1 − 1

Restamos 1 de ambos lados

𝑎𝑥 2 𝑦 + 𝑎𝑥 2 𝑦 − 𝑎𝑥 2 𝑥 − 1 = 0

Simplificamos

𝑎 = 𝑎𝑥, 𝑏 = 3𝑎𝑦 2 − 16𝑎, 𝑐 = −1: 𝑥1,2 2

=

−(3𝑎𝑦 − 16𝑎) ±

√(3𝑎𝑦 2

−

16𝑎)2

− 4𝑎𝑦(−1)

2𝑎𝑦

𝑥 =

−(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎) + √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 − 4𝑎𝑦(−1) −3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 + √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 − 4𝑎𝑦 : 2𝑎𝑦 2𝑎𝑦

Resolvemos con la formula general para ecuaciones de segundo grado, para una ecuación de segundo grado de forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 las cuales son 𝑥1,2 =

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

−(3𝑎𝑦 2 −16𝑎)+√(3𝑎𝑦 2 −16𝑎)2 −4𝑎𝑦(−1) 2𝑎𝑦

=

Aplicamos la regla – (-a)=a

−(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎) + √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 − 4𝑎𝑦 ∙ 1 2𝑎𝑦

−(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎) + 4𝑎𝑦 + (3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 = 2𝑎𝑦

Multiplicamos los números 4∙1=4

−(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎) : − 3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 −(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎) = −3𝑎𝑦 2 − (−16𝑎)

Ponemos los paréntesis

= −3𝑎𝑦 2 + 16𝑎

Aplicamos la regla de los signos −(𝑎) = 𝑎, −(𝑎) = −𝑎

=

−3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 + √4𝑎𝑦 + (3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 2𝑎𝑦

𝑥=

−3𝑎𝑦 2 +16𝑎−√(3𝑎𝑦 2 −16𝑎)2 −4𝑎𝑦(−1) −3𝑎𝑦 2 +16𝑎−√(3𝑎𝑦 2 −16𝑎)2 −4𝑎𝑦 2𝑎𝑦

:

2𝑎𝑦

20

−3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 − √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 − 4𝑎𝑦(−1) 2𝑎𝑦 Aplicamos la regla −(−𝑎) = 𝑎

−3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 − √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 − 4𝑎𝑦 ∙ 1 2𝑎𝑦 =

−(3𝑎𝑦 2 + 16𝑎) − √4𝑎𝑦 + (3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 2𝑎𝑦

Multiplicamos los números 4∙1=4

−(3𝑎𝑦 2 + 16𝑎) : − 3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 −(3𝑎𝑦 2 + 16𝑎) = −3𝑎𝑦 2 + (16𝑎)

Ponemos los paréntesis

= −3𝑎𝑦 2 + 16𝑎

Aplicamos las reglas de los signos −(𝑎) = 𝑎, −(𝑎) = −𝑎

=

−3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 − √4𝑎𝑦 + (3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 2𝑎𝑦

𝑥=

−3𝑎𝑦 2 + 16𝑎 + √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 + 4𝑎𝑦 3𝑎𝑦 2 − 16𝑎 − √(3𝑎𝑦 2 − 16𝑎)2 + 4𝑎𝑦 ;𝑥 = ; 𝑎𝑦 ≠ 0 2𝑎𝑦 2𝑎𝑦

Las soluciones finales a la ecuación de segundo grado son.

Sandra Fanny Liliana Picón Díaz

𝑏. 2𝑥𝑦𝐿𝑛(𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 2𝑥𝑦𝐿𝑛(𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 + 1)𝑑𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Forma original de la E.D Se identifica que se resuelve por ecuaciones diferenciales homogéneas.

𝛿𝑀 𝛿𝑁 = 𝛿𝑦 𝛿𝑋

Criterios para definir la exactitud en la ecuación diferencial

𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 ln(𝑦)

Representación de cada derivada parcial

21

𝑁(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )√𝑦 2 + 1 𝛿𝑀 𝛿2𝑥𝑦 ln(𝑦) = = 2𝑥[ln(𝑦) + 1] 𝛿𝑦 𝛿𝑦

Se deriva en función de cada variable

𝛿𝑁 (𝑥 2 + 𝑦 2 )√𝑦 2 + 1 = = 2𝑥 𝛿𝑋 𝛿𝑋

𝛿𝑀 𝛿𝑁 ≠ 𝛿𝑦 𝛿𝑋 𝑢̈ |𝑦|𝑅(𝑥, 𝑦) + 𝑢̈ |𝑦|

𝑑𝑦(𝑥) 𝑆(𝑥, 𝑦) = 0 𝑑𝑥

𝛿 𝛿 |𝑢̈ (𝑦)(𝑅(𝑥, 𝑦)| |𝑢̈ (𝑦)𝑆(𝑥, 𝑦)| 𝛿𝑦 𝛿𝑥 2𝑥𝐿𝑛(𝑦)

Tenido en cuenta el resultado de las derivadas parciales la ecuación diferencial no es exacta Para volverla exacta, se busca un factor de integración μ(y)-

Es exacta, significa que:

𝑑𝑢̈ |𝑦| 𝑥 + 2𝑢̈ |𝑦|𝑥 + 2 ln(𝑦) 𝑑𝑦 𝑢̈ (𝑦)𝑥 = 2𝑢̈ (𝑦)𝑥 𝑑𝑢̈ (𝑦)

1 ∫ = ∫− 𝑢̈ (𝑦) 𝑦

Se integra a ambos lados

𝑑𝑦

ln|𝑢̈ (𝑦)| = − ln(𝑦) 𝑢̈ (𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 + 1) 2𝑥𝑙𝑛 |𝑦(𝑥)| + (

1 𝑦

𝑑𝑦(𝑥) + 2𝑥𝑦(𝑥) 𝑙𝑛|𝑥(𝑥)| = 0 𝑑𝑥

Se toman exponentes de ambos lados.

Se multiplica en ambos lados por μ (x(x))

𝑥2 𝑑𝑦(𝑥) √𝑦(𝑥 2 ) + 1𝑦 |𝑥|) =0 𝑦(𝑥) 𝑑𝑥

𝑥2 𝑝(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝐿𝑛(𝑦) 𝑦 𝑞|𝑥, 𝑦| = + 𝑦√𝑦 2 + 1 𝑦 𝛿𝑝 (𝑥, 𝑦) 2𝑥 𝛿𝑞 (𝑥, 𝑦) = = 𝛿𝑦 𝑦 𝛿𝑥

Por lo tanto

Es una ecuación exacta porque

22

𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝑦 = 𝑞(𝑥, 𝑦) 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝛿𝑥 Se define, donde c1, es una constante arbitraria

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐1

Se integra con respecto a (x), en orden, entre f8x,y)

𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝛿𝑥

𝑓 (𝑥, 𝑦) = ∫ 2𝑥𝐿𝑛(𝑦)𝑥𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑦) (𝑥 2 + 𝑔𝑦) Donde g(y) es una función arbitraria de y 𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝛿 𝑥 2 𝑑𝑔(𝑥) (ln|𝑦|𝑥 2 + 𝑔(𝑦)) = = + 𝛿𝑦 𝛿𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝛿𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝛿𝑦

𝑥 2 𝑑𝑔(𝑦) 𝑥 2 + = + 𝑦√𝑦 2 + 1 𝑦 𝑑𝑦 𝑦

Diferenciamos f (x, y), con respecto a (y), en orden para encontrar a g(y) Se sustituye dentro

Se resuelve para 𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑔(𝑦) = 𝑦√𝑦 2 + 1 𝑑𝑦 𝑔(𝑦) = ∫ 𝑦√𝑦 2 + 1 𝑑𝑦 =

3 1 2 (𝑦 + 1)2 3

3 1 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛|𝑦|𝑥 2 + (𝑦 2 + 1)2 3

Se integra

Se sustituye g (y), dentro de f (x, y) Con relación a la constante C1

𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝐶1 3 1 𝑙𝑛|𝑦|𝑥 2 + (𝑦 2 + 1)2 = 𝐶1 3 3

(𝑦 2 + 1)2 𝑥 2 𝑙𝑛(𝑦) + = 𝑐1 3

Que es lo mismo a ambos lados

23

3

3

(𝑦 2 + 1)2 (𝑦 2 + 1)2 𝑥 2 𝑙𝑛(𝑦) + = 𝑥 2 𝑙𝑛(𝑦) + 3 3 3

(𝑦 2 + 1)2 2 𝑥 𝑙𝑛(𝑦) + + 𝑐1 = 0 3

Ecuación diferencial exacta

Su solución general es:

Juan Manuel Garzón d. xdy − ydx + (y 2 − 1)dy = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

xdy − ydx + (y 2 − 1)dy = 0

Expandir el término:

Unir dy y y 2

Ordenar los factores de:

Unir dy y − 1 xdy

Simplificar la suma: xdy − ydx + (y 2 − 1)dy

dy𝑦 2 − dy ∙ 1 + dyx − ydx = 0

Multiplicar:

y y y2

Simplificar el producto

−dy1

Simplificar la suma: dy𝑦 2 − dy1 + dyx − ydx

d𝑦 3 + dyx − ydx − dy = 0

24

Lizeth Carolina Noguera 𝑒. (𝑥𝑦 3 + 1)𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

La ecuación diferencial de Bernoulli tiene la forma 𝑦′ + 𝑝 (𝑥)𝑦 = 𝑞 (𝑥)𝑦 𝑛 𝑥𝑦 3 + 1 + 𝑥 2 𝑦 2

𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥

𝑥𝑦 3 + 1 + 𝑥 2 𝑦 2 y¨ = 0 y¨ +

1 1 𝑦 = − 2 𝑦 −2 x 𝑥

Y es la variable dependiente, esta se divide entre dx 𝑑𝑦 𝑑𝑥

se sustituye por y¨

Se reescribe la ecuación diferencial

y¨ + p(x)y = q(x)y 𝑛 𝑝(𝑥) =

1 , 𝑥

𝑞(𝑥) =

1 , 𝑥2

𝑛 = −2

1 𝑣¨ 𝑣 1 𝑣¨ + 𝑝(𝑥)𝑣 = 𝑞(𝑥): + = − 2 1−𝑛 3 𝑥 𝑥

Se convirtió

𝑣¨ 𝑣 1 −3𝑥 2 + 𝑐1 + =− 2=𝑣= 3 𝑥 𝑥 2𝑥 3

Se soluciona

𝑣 = 𝑦3 = 𝑦3 = 2

3

−3𝑥 2 + 𝑐1 2𝑥 3

23 √−3𝑥 2 + 𝑐1 𝑦 2𝑥

Se sustituye en la ecuación Se despeja

25

Paso 4. Trabajo colaborativo Ejercicio 4. Situación problema A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.

Problema: Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque?

a. b. c. d.

28 minutos 30 segundos 35 minutos 50 segundos 30 minutos 20 segundos 41 minutos 40 segundos PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑅 2 = 𝑥 2 + (𝑅 − ℎ)2

Se extrae el triángulo rectángulo del tanque hemisférico y se aplica el teorema de Pitágoras:

Se resuelve el binomio: 𝑅 2 = 𝑥 2 + 𝑅 2 −2𝑅ℎ + ℎ2 𝑆𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑅 2 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑥 2 𝑥 2 = 2𝑅ℎ − ℎ2

R=radio del tanque= 4 pulgadas; y = h; x = r Altura = R-h R = hipotenusa 4-y=(R-h)

R=4

26

x=r

𝐴(ℎ) = 𝜋𝑥 2 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 2 = 2𝑅ℎ − ℎ2

Área (A) de la sección circular en función de la altura (h)

𝐴(ℎ) = 𝜋(2𝑅ℎ − ℎ2 )

𝑑𝑉 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑣 = 𝑐√2𝑔ℎ

𝑑𝑣 = −𝑎𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡 ℎ

𝑉 = ∫ 𝐴(ℎ)𝑑ℎ 0

El teorema de Torricelli, es una aplicación del principio de Bernoulli y es el flujo de un líquido a través de un pequeño orificio, por la acción de la gravedad: dV= Diferencial del volumen dt= Diferencial del tiempo

Derivando respecto a (t)

v= velocidad de salida del líquido

𝑑𝑉 𝑑𝑡

-a= área del orificio de salida, con sentido negativo

𝑑ℎ = 𝐴(ℎ) 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑡

c = agujero circular = 0.6; c=1.0

Reemplazando nos queda 𝐴(ℎ)

𝑑ℎ = −𝑎𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡

Que es la ecuación original

𝜋(2𝑅ℎ − ℎ2 )𝑑ℎ = −𝜋𝑟 2 𝑐√2𝑔ℎ 𝑑𝑡

Se sustituye: 𝐴(ℎ) = 𝜋(2𝑅ℎ − ℎ2 )𝑦 = 𝑎𝜋𝑟 2

(2𝑅ℎ − ℎ2 )𝑑ℎ = −𝑐𝑟 2 √2𝑔ℎ 𝑑𝑡 2𝑅ℎ − ℎ2 √ℎ 2𝑅ℎ − ℎ2 √ℎ

𝑑ℎ = −𝑐𝑟 2 √2𝑔 𝑑𝑡 𝑑ℎ = −𝑐𝑟 2 √2𝑔 𝑑𝑡

El tiempo t=0 la altura h=R; se determina el tiempo de vaciado tv que es el tiempo para el cual la altura

27

ℎ(0) = 𝑅

del líquido del tanque 0. Se plantea el problema del valor de la frontera

ℎ(𝑡𝑣 ) = 0 𝑅

∫ 0

2𝑅ℎ − ℎ2 √ℎ

0

Integrando desde t=0 y t= tv (tiempo de vaciado y h=R h=0

2

𝑑ℎ = −𝑐𝑟 √2𝑔 ∫ 𝑑𝑡 𝑡𝑣

𝑅

𝑅

0

2𝑅 ∫ ℎ1/2 𝑑ℎ − ∫ ℎ3/2 𝑑ℎ = 𝑐𝑟 2 √2𝑔 ∫ 𝑑𝑡 0

0

𝑡𝑣

4 5 2 5 𝑅 2 − 𝑅 2 = 𝑐𝑟 2 √2𝑔 𝑡𝑣 3 5 5

El termino (-) al otro lado de la igualdad

El resultado de la integral

5

(20 𝑅 2 − 6 𝑅 2 )/15 = 𝑐𝑟 2 √2𝑔 𝑡𝑣 5

Se despeja tiempo de vaciado tv

14 𝑅 2 = 𝑐𝑟 2 √2𝑔 𝑡𝑣 15 5

14 𝑅 2 15𝑐𝑟 2 √2𝑔

= 𝑡𝑣 𝑅

5 𝑅 4 2𝑔 14 𝑅 2 √ 𝑡𝑣 = = 15𝑐𝑟 2 15𝑐𝑟 2

𝑅 𝑡𝑣 = 14 𝑅 2 /15𝑐𝑟 2 √ 2𝑔

Es la ecuación a utilizar

48 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑡𝑣 = 14 (48𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠)2 /15(1,0)(0,5 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠)2 √ 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 2(386 ) 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜2

𝑡𝑣 = 14 (2304 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 2 ) 48𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 2 /15(0,25𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 )√ 772 2

Datos del problema: tv= tiempo de vaciado dato a obtener c= 1,0 (orificio circular) R = (4 pies) (12 pulgadas) = 48 pulgadas, es el radio del tanque. r = 0.5 pulgadas, radio del orificio de salida

Se cancelan unidades de pulgada al cuadrado 𝑡𝑣 = (

32256 )√0,0622𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 2 3,75

g= 386 pulgadas/seg2, es la gravedad. Se reemplazan los valores en la ecuación obtenida

𝑡𝑣 = (8601,06)( 0.2494𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠) 28

𝑡𝑣 = 2145,24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑣 =

(2145,24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠)(1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜) 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Se convierten a minutos

𝑡𝑣 = 35,75 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑣 = 35 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 45 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Paso 5: Ejercicio 5. Análisis y evaluación de la solución de una situación planteada. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación problema: Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente. Si desde un principio hay 50 Miligramos (mg) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original, se solicita hallar: a. Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t. b. La masa después de 5 horas. EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA Modificación:

Solución planteada: Sea necesita 𝑥(𝑡); 𝑀𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛La𝑒𝑙ecuación 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒no𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡 del signo (+) La ecuación corresponde a: 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = +𝑘𝑥(𝑡) = 𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Transponiendo términos se tiene; Se procede por variables separables: 𝑑𝑥 transponiendo los miligramos / 𝑥(𝑡) a dividir y la = +𝑘𝑑𝑡 derivada del tiempo 𝑑𝑡 a multiplicar 𝑥(𝑡) Aplicando propiedades algebraicas tenemos:

29

∫

𝑑𝑥 𝑥(𝑡)

= ∫ 𝑘𝑑𝑡

Resolviendo las integrales se obtiene: ln(𝑥(𝑡)) = −𝑘𝑑𝑡 − 𝑐. Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que 𝑥(𝑡) = −𝑐𝑒 −𝑘𝑡 Por lo tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t Cuando 𝑡 = 0; se tiene: 𝑥(𝑜) = 50; por ende, 50 = 𝑐 Ahora bien, cuando 𝑡 = 2 Se tiene 𝑥(𝑜) = 40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así: 40 = 𝑐𝑒 −2𝑘 45 = 40𝑒 −2𝑘 Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos: 45 −2𝑘 = 𝑙𝑛 | | 40 45

𝑘=

𝑙𝑛 |40| −2

Por lo que el valor de la constante c, corresponde a: 𝑘 = 0,0526803 Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación. 𝑥(𝑡) = 45𝑒 −0,0526803𝑡 Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es: 𝑥(5) = 45𝑒 −0,0526803(−5) Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede

𝑑𝑥 = 𝑘𝑑𝑡 𝑥(𝑡) Se aplica la integral indefinida a ambos lados de la igualdad: 𝑑𝑥 ∫ = ∫ 𝑘𝑑𝑡 𝑥(𝑡) Resolviendo la integral: ln|𝑥(𝑡)| = 𝑘𝑡 + 𝑐 Aplicando e en ambos lados la Ecuación Diferencial y teniendo en cuenta: Propiedad del inverso 𝑒 𝐿𝑛 = 1 Propiedad de los exponentes 𝑎𝑚+𝑛 = 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 𝐾 𝑒 = 𝐾; (e) elevado a una constante da como resultado otra constante. 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐 = 𝑒 𝑘𝑡 𝑒 𝑐 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 Por lo tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t. Cuando 𝑡 = 0; se tiene: 𝑥(0) = 𝑐𝑒 𝑘(0) 𝑒0 = 1 𝑥(𝑜) = 50; por ende 50 = 𝑐 Ahora bien, cuando 𝑡 = 2 Se tiene 𝑥(2) = 45; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así: 45 = 𝑐𝑒 2𝑘 45 = 50𝑒 2𝑘 Se obtiene el valor de k 45/50 = 𝑒 2𝑘 Se aplica ln a ambos lados de la ecuación: 45 𝑙𝑛 | | = 2𝑘 50 ln 0.9 = 2𝑘 −0,105360515 = 2𝑘 0,105360515 − =𝑘 2 𝑘 = −0.0526803 Es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación. 30

de forma positiva y pueda resolver la 𝑥(𝑡) = 50𝑒 −0,0526803𝑡 situación. Se halla la masa después de 5 horas es: 𝑥(5) = 50𝑒 −0,0526803(5) Por lo tanto, la masa después de 5 horas 𝑥(5) = 50𝑒 −0,2634 corresponde a: 𝑥(5) = 50(0.76843) 𝑥(5) = 40,5 𝑚𝑚 𝑥(5) = 38,422 𝑚𝑔 Que es la masa después de 5 horas

Paso 6 – Compilación trabajo final. En el transcurso de la última semana del trabajo colaborativo, los estudiantes del grupo compilan los ejercicios en un documento Word en anexo 1 encontrara la plantilla de entrega. Paso 7 – Elaboración de un video explicativo con uno de los aportes presentados. El tutor a cargo asignará en el foro a cada estudiante un solo ejercicio de los seleccionados en la tabla del paso 2 para sustentar por medio de un video explicativo.

Paso 8. Tabla links videos explicativos

Nombre Estudiante

Ejercicios Link video explicativo sustentados Gustavo Urdialez García Literal b de todos los tipos de ejercicios Sandra Fanny Liliana Picón Literal b de Díaz todos los tipos de ejercicios. Juan Manuel Garzón

Literal d de todos los tipos de ejercicios

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Conclusiones Con el desarrollo de esta actividad individual, en la resolución de los ejercicios planteados, se reconoció una ecuación diferencial de primer orden y sus métodos de resolución. En el video se explicará paso por paso los resultados obtenidos. Con relación al trabajo colaborativo, se pudo determinar las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales de primer orden, en cualquier campo de la ciencia y su interdisciplinaridad, transdisciplinariedad. En este trabajo presentamos una forma alternativa de resolver una ecuación diferencial con factores lineales bajo ciertas condiciones, evitando los procesos largos, los cuales ocurren cuando se resuelven con los métodos clásicos.

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Referencias Bibliográficas García, G. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Editorial Instituto Politécnico Nacional. (pp. 109-115). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95). Recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID=32275 78&tm=1536935311791 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 2-10). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-39). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 53-58). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7384

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