Tarea 1 Grupo 208646_26.docx

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Algebra lineal

Jimmy Efrain Franco García Daniel Rodrigo Madrigal Edgar Raúl Giraldo Daniel Arturo Fajardo José Julián Torres

Grupo 208046_26

Unidad 1 Vectores, matrices y determinantes

Tutor Leonardy Herrera

BOGOTA 05/10/2018

INTRODUCCION

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes: Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero: a) Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector. b) Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. c) Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices. d) Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales. e) Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas. LINK PRESENTACION PREZI. http://prezi.com/hldvzd4zhvdl/?utm_campaign=share&utm_medium=c NOTA: PARA VER LA PRESENTACION COPIAR LINK Y PEGAR EN BARRA DEL BUSCADOR. NO EJECUTAR CON TECLA Ctrl desde el enlace a veces no realiza la animación.

MAPA CONCEPTUAL. Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales.

Jimmy Franco García

Edgar Giraldo

Daniel Arturo Fajardo

Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:

Fig 1. Representación gráfica de un vector. SOLUCIÓN Modulo ℎ2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 |𝐴⃗| = √122 + 92 |𝐴⃗| = √144 + 81 |𝐴⃗| = √225 |𝐴⃗| = 15

Dirección 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑐𝑎 ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃 =

12 15

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 36° Sentido Noroeste (+,+)

a) Dados los siguientes vectores en forma polar 

|𝑢| = 2 ; 𝜃 = 120°



|𝑣| = 3 ; 𝜃 = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes: ● 𝑣̅ − 𝑢̅ ● 5𝑣̅ − 2 𝑢̅ SOLUCIÓN 𝑈𝑥 = 2 ∗ cos(120°) 1 = 2 ∗ (− ) 2 = −1 𝑈𝑦 = 2 ∗ sen(120°) √3 =2∗( ) 2 = √3 Componentes U 𝑅 = (−1, √3)

𝑉𝑥 = 3 ∗ cos(60°)

1 𝑉𝑥 = 3 ∗ ( ) 2 𝑉𝑥 =

3 2

𝑉𝑦 = 3 ∗ 𝑠𝑒𝑛(60°) √3 =3∗( ) 2

=

3 ∗ √3 2 3√3 2

Componentes V 3 3√3 𝑅=( , ) 2 2

⃗⃗ − 2𝑈 ⃗⃗ 5𝑉 ⃗⃗ : − 2( −1, √3) 𝑈 3 3√3 ⃗⃗ : 5 ( , 𝑉 ) 2 2 15 15√3 (2, −2√3) + ( , ) 2 2

(2 +

15 15√3 , −2√3 + ) 2 2

(9.5,

11 √3 ) 2

11

2

Resultante: √9.52 + ( 2 √3) = √90.25 + 90.75 = 13.45

c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores: ●

𝑢̅= 2i + 9j y 𝑣̅ = -6i – 4j SOLUCIÓN ⃗⃗ ∗ 𝑉 ⃗⃗ = −12 − 36 = −48 𝑈

⃗⃗ ∗ 𝑉 ⃗⃗ = |𝑈 ⃗⃗||𝑉 ⃗⃗ | 𝐶𝑂𝑆𝜃 𝑈

−48 = √4 + 81 ∗ √36 + 16 ∗ 𝐶𝑂𝑆𝜃

−48 = √85 ∗ √52 ∗ 𝐶𝑂𝑆𝜃

𝐶𝑂𝑆𝜃 =

𝜃 = sin−1

−48 √85 ∗ √52

−48 √85 ∗ √52

= 136.21°

d) Encuentre la distancia entre los puntos: ● (3,-4, 7) ; (3,-4,9) (𝑋1 , 𝑌1 , 𝑍1 ) ; (𝑋2 , 𝑌2 , 𝑍2 )

SOLUCIÓN

𝐷 = √(𝑋2 − 𝑋1 )2 + (𝑌2 − 𝑌1 )2 + (𝑍2 −𝑍1 )2

2

𝐷 = √(3 − 3)2 + (−4 − (−4)) + (9 − 7)2

𝐷 = √0 + 0 + 16

D= √4 = 2

e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar. ● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k

𝑖 𝑗 ⃗𝑈⃗ ∗ 𝑉 ⃗⃗ = −7 9 9 3

𝑘 −8 −8

Calcular determinar

⃗⃗ ∗ 𝑉 ⃗⃗ = |9 −8| 𝑖 − |−7 −8| 𝑗 + |−7 9| 𝑘 𝑈 3 −8 9 −8 9 3

= [(9)(−8) − (3)(−8)]𝑖 − [(−7)(−8) − (9)(−8)]𝑗 + [(−7)(3) − (9)(9)]𝑘

= [(−72) − (24)]𝑖 − [(56) + 72]𝑗 + [(−21) − (−81)]𝑘

⃗⃗ ∗ 𝑉 ⃗⃗ = −48𝑖 − 128𝑗 + 102𝑘 𝑈

a) Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:

2 1 4 A= (1 3 5) 5 −2 7

2 1 4 A= (1 3 5) 5 −2 7

La fila dos cambia por un medio de la fila 1 más la fila 2, además la fila tres cambia por menos 5 medios la fila uno más la fila 3

2

1 5 0 = 2 9 0 − 2 (

4 3 7 )

La fila tres cambia por nueve quintos de la fila 2 más la fila 3 2 0 0 (

1 5 2 0

4 3 62 5)

b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de sarrus

A=

B=

C=

Y realice las siguientes operaciones si es posible: a)

B*C

b)

DET(C)*DET(A)*B

c) d)

3*A Compruebe todas sus respuestas en Geogebra SOLUCIÓN B*C 1 𝐵 = |0 2

0 3 1 4| 1 0

7 9 −5 𝐶=| 9 3 1| −8 −8 10

((1 ∗ 7) + (0 ∗ 9) + (3 ∗ (−8)) = |((0 ∗ 7) + (1 ∗ 9) + (4 ∗ (−8))

((1 ∗ 9) + (0 ∗ 3) + 3 ∗ (−8)) ((0 ∗ 9) + (1 ∗ 3) + 4 ∗ (−8))

((1 ∗ (−5) + (0 ∗ 1) + (3 ∗ 10)) ((0 ∗ (−5) + (1 ∗ 1) + (4 ∗ 10))|

((2 ∗ 7) + (1 ∗ 9) + (0 ∗ (−8))

((2 ∗ 9) + (1 ∗ 3) + 0 ∗ (−8))

((2 ∗ (−5) + (1 ∗ 1) + (0 ∗ 10))

−17 𝐵 ∗ 𝐶 = |−23 23

−15 25 −29 41 | 21 −9

Comprobación con Geogebra

a) DET(C)*DET(A)*B

Determinante C:

7 9 −5 𝐶=| 9 3 1| −8 −8 10

3 1 9 1 9 3 ) − 9( ) + (−5) ( ) −8 10 −8 10 −8 −8

7(

((7)(30 − (−8)) − (9(90 − (−8)) + (−5(−72 − (−24)) (7 )(38) − (9)(98) + (−5)(−48)

266 − 882 + 240 = −376

Determinante A:

−2 −10 7 0 −5 4 𝐴=| 0 −10 0 0 0 0

0 −1 | 0 6

−5 −(−2) ( −10 0

0 4 −1 4 −1 0 0 0 ) + (−10) (0 0 0 ) − 7 (0 0 0 6 0 6 0

−(−2)((−5) (

−5 −1 −10 0 ) 0 6

0 0 −10 0 −10 0 ) − 4( ) + (−1) ( )−0+0 0 6 0 6 0 0

−(−2)((0 − (−4)(−60) + 0 −(−2)(−240) = −480

DET(C)*DET(A)*B

1 0 3 −376 ∗ −480 ∗ |0 1 4| 2 1 0

1 0 3 180480 ∗ |0 1 4| 2 1 0

180480 =| 0 360960

0 180480 180480

541440 721920| 0

Comprobación con GeoGebra Matrices

c)

−2 −10 7 0 −5 4 3∗| 0 −10 0 0 0 0

3*A

0 −6 −30 −1 0 −15 | = | 0 0 −30 6 0 0

Comprobación con Geogebra

21 12 0 0

0 −3 | 0 18

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 5

Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

SOLUCIÓN

Organizamos los datos que tenemos en dos matrices sus productos nos da la matriz que buscamos con las cantidades en gramos

𝐴 𝐵 𝐶 𝑀 40 120 150 𝑅 (160 120 80 ) 𝐶𝑎 80 120 80

𝑀 26600 𝐴 50 ( ) = 𝑅 (25600) 𝐵 80 𝐶 100 𝐶𝑎 21600

Para transformar cantidades de gramos en kilogramos: 𝑀 26.6 1 26600 (25600) = 𝑅 (25.6) 100 21600 𝐶𝑎 21.6

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 6

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula ● Compruebe todas las respuestas en Geogebra

Solución Inversa:

2

𝐴 2 1 𝐵 (1 2 𝐶 6 2

6 4) 3

−1

43 21

− 43

=

10

(

43

9

− 46

8

30

43 2

43 2

43 3

1

= − 43

− 43 − 43 )

Con los datos se crea la primera matriz de las frutas en donde cada fila es una persona siendo A, B y C y cada columna es una fruta siendo peras, manzanas y naranjas. y el nombre de la matriz la vamos a llamar F de frutas:

2 1 6 𝐹 = (1 2 4 ) 6 2 3 Hallamos la determinante:

2 1 (1 2 6 2

6 4) 3

= (2 ∗ 2 ∗ 2) + (1 ∗ 4 ∗ 6) + (6 ∗ 1 ∗ 2) − (6 ∗ 2 ∗ 6) − (2 ∗ 4 ∗ 2) − (3 ∗ 1 ∗ 1) = −43

7 ejercicio aportes al foro sobre preguntas. Jimmy Franco García.

Usos del álgebra lineal en la vida cotidiana. La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Algebra Lineal. Ejemplo: cuando realizamos una compra, compro 10 gaseosas y 20 tortas en nuestra mente se representa 10a + 20b, y si conocemos los valores de a y b se nos facilita para realizar el cálculo total del valor a pagar. Cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio escogido (aplicación) En la ingeniería electrónica utilizamos los pc para programación de software en PLC y componentes electrónicos que llevamos a cabo desarrollar automatizaciones, atreves de gráficos vectoriales, algoritmos en registros de desplazamiento, desarrolló de ejercicios para comunicación de redes eléctricas de los cuales necesitamos determinantes para el cálculo de una red de comunicación y vectores para la distancia de cableado que necesitamos de punto inicial a punto final y dirección donde quedara instalado.

Daniel Arturo Fajardo El álgebra lineal se encarga de estudiar los vectores en el espacio y sus relaciones lineales. Nosotros generamos vectores todos los días y casi en todo momento siempre y cuando nos estemos desplazando, bien sea a pie o en alguna clase de vehículo. El adecuado entendimiento de nuestro vector de desplazamiento, su velocidad y posición frente a todas las personas, objetos, edificaciones, vehículos, obstáculos y demás a los que nos enfrentamos a diario es lo que nos permite elegir las rutas de desplazamiento más adecuadas. Esta habilidad se nos presenta muy natural, casi automática. Sin embargo, algunos tienen mayor destreza que otros para, por ejemplo, cambiar de carril al conducir, para comprender su posición, la de los demás conductores y las diferencias de velocidades entre varios vehículos que se mueven en la misma dirección, pero, en este caso, con vectores de diferente magnitud. En el área de estudio considero que se emplea bastante el álgebra lineal y personalmente me interesa mucho su uso dentro de la programación y el desarrollo de gráficos de simulación. Allí, los vectores son utilizados para almacenar posiciones, direcciones y velocidades. A pesar de ser solamente un número (o un par), un vector nos indica la dirección de una línea, que bien podría ser un disparo, o la posición de un edificio a dos kilómetros de distancia. La adición de vectores es un factor indispensable en el desarrollo de conceptos cinemáticos virtuales. Todo objeto virtual creado al interior de un programa de tres dimensiones debe, muy probablemente, tener vectores de posición, velocidad y aceleración. Luego, para cuadro de “animación”, debemos integrar estos tres valores para generar la simulación tridimensional que deseemos.

Podemos utilizar estos conceptos para recrear algunas leyes físicas a las que estamos sujetos en la tierra, pero también podemos experimentar con estas variables.