Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´atica C´alculo III apoyado con software Tarea # 1 Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios usando Graphing Calculator y Mathematica. Se debe entregar el Martes 14 de abril del 2009 en horas lectivas. Ese martes se har´ a el examen corto correspondiente a esta tarea. Mathematica puede usarse (tambi´en) como editor1 de textos. Use un solo archivo de Mathematica para la soluci´ on y los gr´ aficos generados con GC. La tarea puede hacerse hasta en grupos de cinco personas. Indique claramente los nombres de los integrantes. La tarea puede ser entregada en forma escrita o bien en forma digital mediante un disco compacto. El asistente nos brindar´ a la pr´ oxima semana una direcci´ on electr´ oncia para tener tambi´en la opci´ on de enviarla por correo electr´ onico. No se recibir´ an otros dispositivos de almacenamiento tales como disquetes, llaves mayas, dvd, etc. Nota: Dado que los estudiantes acostumbrar a dividir los ejercicios entre los miembros del grupo es importante advertir que el u ´ltimo requiere mucho m´ as tiempo, conocimiento y esfuerzo. 1. Las curva |x − 2| + |y + 1| = 2 y la curva x + y = 1 se cortan en el punto (a) (−2, 3) (b) (−3, −2) (c) (3, −2) (d) (3, 2) (e) (0, 0) Inidique la gr´ afica y los puntos de intersecci´ on. 2. Sea f (x) = x2 sen x + 2 cos x. Sea g(x) = f 0 (x) + f 00(x). Un punto extremo de g es (a) (1.09, −2.52) (b) (1.09, 11.4) (c) (−1.09, 2.52) (d) (1.09, 2.52) (e) (−2.4, −11.4) Indique la gr´ afica y el punto extremo. 3. En cu´ al de los siguientes intervalos, la gr´ afica de y = sen (x + y) se halla por encima de la gr´ afica de y = cos (x + y). (a) ]2, 3[ (b) ]0.078, 4.63[ (c) ] − 0.0023, 0.0034[ 1
Use diferentes celdas para separar el texto de los c´ alculos.
(d) ] − 1.64, 0[ (e) ]1, 4.543[ Dibuje la regi´ on en cuesti´ on. 4. Suponga que 1 ≤ n ≤ 10. Conforme se var´ıa n, la par´ abola y = nx2 + (n − 2)x + 1 presenta diferentes v´ertices. Indique cu´ al es el v´ertice con componente y m´ as peque˜ na (m´ınima). (a) n = 0, V´ertice (0.5, 0.75) (b) n = 8.2, V´ertice (−0.37, −185) (c) n = 2.8, V´ertice (−0.14, 0.94) (d) n = 10, V´ertice (−0.4, −0.6) (e) n = 2, V´ertice (0, 1) Muestre la gr´ afica que le permite llegar a la soluci´ on.
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5. Suponga que 0 ≤ n ≤ 5. Dibuje el paralep´ıpedo con q esquinas diagonalmente opuestas dadas por
(0, 0, 0) y (1, 1, 1). Trace luego la superfice z = x3 + y 3 + n2 . Para qu´e valor de n, estas dos superficies no se intersecan (es decir, no se “cortan”). (a) n = 0 (b) n = 1 (c) n = 1.5 (d) n = 0.5 (e) n = 0.25
Muestre la gr´ afica. 6. ¿Cu´ al es la suma de los primeros 100 n´ umeros primos? (a) 23133 (b) 24033 (c) 24233 (d) 24133 (e) 24143 Indique el c´ odigo en Mathematica. 7. Al factorizar −4 + 41 x2 − 46 x4 + 9 x6 se obtiene: (a) (3x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)(3x − 1) (b) (3x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 2)(x + 2)(3x − 1) (c) (4x + 1)(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x + 2)(3x − 1) (d) (3x + 1)(x − 2)(5x − 1)(x + 1)(x + 2)(3x − 1) (e) (3x + 1)(x − 2)(x − 1)(2x + 1)(x + 2)(3x − 1) Indique el c´ odigo en Mathematica 8. Al resolver 8 + 2 x + 3 x2 − 9 x3 − 2 x4 − 3 x5 + x6 > 0, obtenemos: (a) ] − ∞, 0[ ∩ ]2, +∞[ (b) ] − ∞, 1[ ∪ ]4, +∞[ (c) ] − ∞, 1[ ∪ ]2, +∞[ (d) ] − ∞, 1[ ∩ ]4, +∞[ (e) ] − ∞, 0[ ∪ ]4, +∞[ Indique el c´ odigo en Mathematica
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9. Sea f (x) = sen3 x + cos3 x. La derivada n´ umero 8 de f , evaluada en el punto x = π/4, es 3278 (a) √ 2 −3278 (b) √ 2 3279 (c) √ 3 −3279 (d) √ 2 −3279 (e) √ 3 Indique el c´ odigo en Mathematica 10. ¿Cu´ antos n´ umeros primos son mayores que 1000 pero menores que 2000? (a) 83 (b) 101 (c) 523 (d) 135 (e) 145 11. Determine los puntos de intersecci´ on de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4) y la curva con x2 y 2 ecuaci´ on + = 2. Indique el c´ odigo y la gr´ afica. 2 3 12. Escriba el c´ odigo necesario para dibujar el ´ area encerrada por la curva y = x4 − 1 y la curva y = 10 X (−1)k xk . Indique el c´ odigo y la gr´ afica. k! k=0 13. Sea 1 ≤ n ≤ 50 un valor entero. Determine cu´ ales valores de n hacen que
Z
n
x2 sen x dx > 1000.
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1 14. Sea A = x3 x6
cos x x−2 sen x x5 . Calcule el determinante de A. x7 x8
15. Sea A una matriz cuadrada de tama˜ no 500 × 500. La matriz A es una matriz algo curiosa. En la primera fila est´ an los primero 500 n´ umeros primos, en la segunda fila los siguientes 500 n´ umeros primos y as´ı sucesivamente hasta completar las 500 filas. Calcule el determinante de A. Ayuda: Construya una matriz de tama˜ no n × n y compruebe sus conjeturas para valores “peque˜ nos” de n, digamos n = 3, 4, 5. Cuando est´e seguro que trabaja bien para esos valores, haga el c´ alculo para n = 500.
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