Tare A 2
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TUTORIAL DE TOPOLOGÍA TAREA 2 Vitalia Silva Jaque Lunes 14 de septiembre de 2009 ACTIVIDAD La idea griega de la descomposición de la materia, suponía que ésta podía subdividirse infinitamente en trozos más pequeños. Más tarde, Demócrito (460-370 a.C.) sostenía que, por el contrario, la materia estaba constituida por partículas muy pequeñas llamadas átomos (a=sin, tomos=división). John Dalton (1766-1844), 2000 años después logró demostrar experimentalmente lo planteado por Demócrito. El error de Dalton fue afirmar que los átomos eran esferas, invisibles e indestructibles. El descubrimiento de la electricidad y de la radiactividad, permitió a los científicos del siglo XX determinar que los átomos están formados por partículas aún más pequeñas. Las tres más importantes, aunque no las únicas, son los electrones, los protones y los neutrones.
DEMUESTRE QUE LA ACTIVIDAD ANTERIOR ES EFECTIVAMENTE UN ESPACIO TOPOLÓGICO. Un espacio topológico es un par (X, Γ), donde X es un conjunto y Γ es una familia de subconjuntos de X con las siguientes propiedades: i) Ø y X pertenecen a Γ ii) Si {Oi , i є I} ⊂ Γ ⇒ i є I Oi є Γ iii) Si O1 y O2 є T ⇒ O1 ∩ O2 є Γ Luego, definimos: X = {protones, neutrones} Ø = {ninguna partícula en la materia} Γx = {Ø, X, {protones}, {neutrones}} y, X con la Topología Discreta, Verifiquemos entonces si (X, Γx) es un Espacio Topológico: i)
Ø y X є Γx Sí, por definición de Γx
i)
Si Ø, X є Γx ⇒ Ø X = X y X є Γx Si Ø, {protones} є Γx ⇒ Ø {protones} = {protones} y {protones} є Γx Si Ø, {neutrones} є Γx ⇒ Ø {neutrones} = {neutrones} y {neutrones} є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X {protones} = X y X є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X {neutrones} = X y X є Γx Si {protones}, {neutrones} є Γx ⇒ {protones} {neutrones} = X y Ø є Γx Luego, se cumple la condición.
ii)
Si Ø, X є Γx ⇒ Ø ∩ X = Ø y Ø є Γx ⇒ Si Ø, {protones} є Γx Ø ∩ {protones} = Ø y Ø є Γx Si Ø, {neutrones} є Γx ⇒ Ø ∩ {neutrones} = Ø y Ø є Γx
Si X, {protones} є Γx ⇒ X ∩ {protones} = {protones} y {protones} є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X ∩{neutrones} = {neutrones} y{neutrones} є Γx Si {protones}, {neutrones} є Γx ⇒ {protones} ∩ {neutrones} = Ø y Ø є Γx Luego, se cumple la condición. Se verifica entonces que (X, Γx) es efectivamente un Espacio Topológico.
DEMUESTRE QUE LA ACTIVIDAD ANTERIOR ES EFECTIVAMENTE UN ESPACIO TOPOLÓGICO. Un espacio topológico es un par (X, Γ), donde X es un conjunto y Γ es una familia de subconjuntos de X con las siguientes propiedades: i) Ø y X pertenecen a Γ ii) Si {Oi , i є I} ⊂ Γ ⇒ i є I Oi є Γ iii) Si O1 y O2 є T ⇒ O1 ∩ O2 є Γ Luego, definimos: X = {protones, neutrones} Ø = {ninguna partícula en la materia} Γx = {Ø, X, {protones}, {neutrones}} y, X con la Topología Discreta, Verifiquemos entonces si (X, Γx) es un Espacio Topológico: i)
Ø y X є Γx Sí, por definición de Γx
i)
Si Ø, X є Γx ⇒ Ø X = X y X є Γx Si Ø, {protones} є Γx ⇒ Ø {protones} = {protones} y {protones} є Γx Si Ø, {neutrones} є Γx ⇒ Ø {neutrones} = {neutrones} y {neutrones} є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X {protones} = X y X є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X {neutrones} = X y X є Γx Si {protones}, {neutrones} є Γx ⇒ {protones} {neutrones} = X y Ø є Γx Luego, se cumple la condición.
ii)
Si Ø, X є Γx ⇒ Ø ∩ X = Ø y Ø є Γx ⇒ Si Ø, {protones} є Γx Ø ∩ {protones} = Ø y Ø є Γx Si Ø, {neutrones} є Γx ⇒ Ø ∩ {neutrones} = Ø y Ø є Γx
Si X, {protones} є Γx ⇒ X ∩ {protones} = {protones} y {protones} є Γx Si X, {protones} є Γx ⇒ X ∩{neutrones} = {neutrones} y{neutrones} є Γx Si {protones}, {neutrones} є Γx ⇒ {protones} ∩ {neutrones} = Ø y Ø є Γx Luego, se cumple la condición. Se verifica entonces que (X, Γx) es efectivamente un Espacio Topológico.
