Tallers

TALLER Nº 1 REPASO

1. Realizar las siguientes operaciones:

a)

b)

1 1 2 + = =1 2 2 2 1 1 1+ 2 3 + = = 2 1 2 2

c)

1 1 4−2 2 1 − = = = 2 4 8 8 4

d)

1 1 1 * = 8 9 72

e)

f)

g)

10 4 = 10 = 5 2 8 4 1  1 4  1  2 + 8  1 10 1 20 + 4 24 12 6 3 = = = = =3  + + = + = + = 8 8 4 2 1 2 2 2  4  2 4 2 1 10 = 3 4 40 3

h)

2

i)

2

2

2

2   48 + 2   50  2500  2 2   4 +  = 16 +  =   =  = 3  3  3   3  9 

1. Calcular el valor de la incógnita: (X) a)

c)

e)

1 16 + 2 3 3 + 32 X= 6 35 X= 6

b)

2 X + 3 X − 16 = 20 2 X + 3 X = 20 + 16 5 X = 36 36 X= 5

d)

X=

20 18 X − 10 = 2 20 18 X = + 10 2 20 + 20 18 X = 2 40 20 18 X = = 2 1 18 X = 20 20 10 X= = 18 9

f)

3  12 +  2  =1 X 3   24 + 3  27  12 +    27 2  2   X= = = 2 = 1 1 1 2 3 X + 4 = 29 3 X = 29 − 4 3 X = 25 25 X= 3 X 2 + 4 = 16 X 2 = 16 − 4 X 2 = 12 X = 12 X = 3,48

1. Para cada una de las funciones determinar:



F( X ) = X 3 − X 2 + 6 a)

c)

F ( 0 ) = 03 − 0 2 + 6 F ( 0) = 6

b)

F ( − 2) = −23 − 2 2 + 6 F ( − 2) = −8 − 4 + 6 F ( − 2) = 6

F ( a ) = a3 − a 2 + 6 F ( a) = a + 6

 3X 2 − 8   F ( X ) =   X − I  

a)

b)

(3( 3)

2

)

−8 3 −1 ( 3 × 9 − 8) F ( 3) = 2 27 − 8 F ( 3) = 2 19 F ( 3) = 2 F ( 3) =

(3( − 1) F ( − 1) =

2

−8 −1 −1 ( 3 − 8) F ( − 1) = −2 5 F ( − 1) = − 2 5 F ( − 1) = 2

)

c)

(3( x − 2)

2

)

−8 ( x − 2) − 1 ( 3( x − 2)( x − 2) − 8) F ( x − 2) = ( x − 2) − 1 F ( x − 2) =

F ( x − 2) = F ( x − 2) = F ( x − 2) =

(3( x

2

(3( x

2

(3x

2

) )

2x − 2x + 4 − 8 ( x − 2) − 1

) )

− 4x + 4 − 8 ( x − 2) − 1

− 12 x + 12 − 8 ( x − 2) − 1

F ( x − 2) =

3 x 2 − 12 x + 4 ( x − 2) − 1

F ( x − 2) =

3 x 2 − 12 x + 4 x−3

)



a)

c)

F (1) = 3(1) − 12 F (1) = 3 − 1 F (1) = 2

b)

F ( a ) = 3( a ) − a 2

d)

F ( a ) = 3a − a 2

F ( − 2) = 3( − 2 ) − ( − 2 ) F ( − 2) = −6 − 4 F ( − 2 = ) − 10

1 1 1 F  = 3 −   h h h 1 3 1 F  = − 2 h h h

TALLER Nº 2 OFERTA Y DEMANDA

2

2

1. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan graficas de demanda?, ¿Cuáles son graficas de oferta?, ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (supóngase que (y) es el precio y (x) la cantidad.)

a)

X Y

X − 2Y = 0 −X Y= −2 X Y= 2

1 5 10 0.5 2.5 5

6 5 4 3

Serie1

2 1 0 0

b)

5

3 X + 4Y = 0 + 10 4Y = 10 − 3 X 10 − 3 X Y= 4 10 − 3 * (2) 14 Y= = = 3.5 4 4



10

X Y

15

2 4 3.5 7

6 10.5

12 10 8 6

Serie1

4

10 − 3 * (4) 28 Y= = =7 4 4

2 0 0

2

4

6

8

 

Y=

a)

Y −4=0 Y = 0+4 Y =4

10 − 3 * (6) 42 = = 10.5 4 4

X Y

1 4

2 4

3 4

5 4 3

Serie1

2 1 0 0

1

2

3

4

b) X − 3 = 0

X = 0+3 X =3 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

X Y

3 1

3 2

3 3

X Y

1 1

2 3 1.6 2.3

Serie1

0

c)

1

2

3

4

2 X − 3Y + 1 = 0 2 X + 1 = 0 + 3Y 2X +1 =Y 3 

2,5

2 * (1) + 1 3 = =1 3 3

2 1,5

Serie1

1 0,5

a)



2 * ( 2) + 1 5 = = 1 .6 3 3



2 * (3) + 1 7 = = 2 .3 3 3

0 0

1

2

3

4

X Y

2 X + 5Y + 4 = 0 2 X + 5Y = 0 − 4 − 4 − 2X Y= 5

10 20 -12 -24

0



− 4 − 2 * (10) − 60 = = −12 5 5 − 4 − 2 * (20) − 160 = = −32 5 5

0

10

20

30

40

-10 -20 -30 -40

Serie1

30 -36

 

− 4 − 2 * (30) − 180 = = −36 5 5

X 1 Y -3.75

2 3 -7.5 -11.25

3 X + 4Y − 12 = 0 a) LKJHGHJKLÑ´ 3 X + 4Y = 0 + 12 − 12 − 3 X Y= 4 

− 12 − 3 * (1) − 15 = = −3.75 4 4

0 -2 0

1

2

3

4

-4 -6





Serie1

-8

− 12 − 3 * (2) − 30 = = −7.5 4 4

-10 -12

− 12 − 3 * (3) − 45 = = −11.25 4 4

a) 5 X − Y − 10 = 0

5 X − 10 = 0 + Y Y = 5 X − 10 Y = 5 * (1) − 10 = −5





Y = 5 * (2) − 10 = 0

X Y

1 -5

2 0

3 5

6 4 2 0 -2 0

Serie1 1

2

3

4

-4 -6



Y = 5 * (3) − 10 = 5

X Y

a) 2Y + 3 X + 2 = 0

2Y + 3 X = 0 + 2 − 2 − 3X Y = Y = − 2 − 3 * (1) = − 5 = − 2.5 2 2 2

0 0

Y=

− 2 − 3 * (2) − 10 = = −5 2 2

-4 -6

Y=

− 2 − 3 * (3) − 15 = = − 7 .5 2 2

1

2

3

4

-2

-8

Serie1

1 -2.5

2 -5

3 -7.5







X Y

1 1

2 2

3 3

a)

X − 3Y = 0 X − 3Y = 0 + 3 3X Y= 3 3 * (1) 3 3

=

3

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Serie1

0

=1

1

2

3

4

3 * ( 2) 6 1. Para cada = uno =2 de los siguientes 3 3 recta:

pares de

3 * (3) 9 = =3 3 3

• • •

a)

Determine cual es la curva de demanda y cual es la curva de oferta. Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de equilibrio del mercado. Resuelva algebraicamente las ecuaciones y verifique la estimación realizada para el precio y la cantidad para el equilibrio del mercado. * Y = 3 X +1 2

Y = 10 − 2 X Y = 10 − 2 * (1) = 8

3 6 Y = * (1) + 1 = = 3 2 2

Y = 10 − 2 * (2) = 6

3 9 Y = * (2) + 1 = = 4.5 2 2

Y = 10 − 2 * (3) = 4

3 12 Y = * (3) + 1 = =6 2 2 X Y

1 8

2 6

3 4

X Y

1 3

2 3 4.5 6

9 8 7 6 5

Serie1

4

Serie2

3 2 1 0 0

1

2

3

4

PUNTO DE EQUILIBRIO Oferta= Demanda Y =

Y =10 −2 x

3 X +1 = Y = 10 − 2 X 2

Y =10 −2 X

3 X + 2 X = 10 −1 2

Y =10 −2 * 2.5

3 2 X + X =9 2 1

Y =10 −5 = Y =5

3+ 4 7 =9= =9 2 2 9 1 7 = 18 = 2.5 2 7

b) LUISAY = 6 =

*

X = 3Y − 3

Y = 0+6

3 + X = 3Y

Y =6

3+ X =Y 3

X X Y Y

1 22 3 3 1 6 6 2 1.336 1.66

3 + (1) 4 = = 1.33 3 3 3 + ( 2) 5 = = 1.66 3 3 3+3 6 = =2 30 3

7 6 5 4

Serie1

3

Serie2

2 1 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

PUNTO DE EQUILIBRIO Oferta= Demanda Y = 6 = X = 3Y − 3 15 = 3 * (6) − 3 X +3 = 3 6 *3 = X + 3 18 − 3 c) = X X = 15 − 3Y 15 Y =6=

15 = 18 − 3 15 = 15 *

X = 2Y − 3

X − 15 − 3 = Y

3 X = 2Y

X − 15 =Y −3

X +3 =2 2

(1) − 15 − 14 Y= = = 4 .6 −3 − 13

Y=

(1) + 3 4 = =2 2 2

Y=

(2) − 15 − 13 = = 4 .3 −3 −3

Y=

( 2) + 3 5 = = 2 .5 2 2

Y=

(3) − 15 − 12 = =4 −3 −3

Y=

(3) + 3 6 = =3 2 2

X Y

1 4.6

2 4.3

3 4

X Y

1 2

2 2.5

5 4 3

Serie1 Serie2

2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

PUNTO DE EQUILIBRIO

Oferta= Demanda

X = 15 − 3Y = X = 2Y − 3 2Y + 3 X = 0 d) 15 − 3Y + 3 = 2Y 15 + 3 = 2Y +Y 3=Y

X = 15 − 3 * 3.6 = *

X = 4Y − 6 15 − 10.8 = 4.2

− 3X = 2

X +6 =Y 4

18 − 3 * (1) = 3.6 = Y Y= = − 1 .5 5 2 Y=

− 3 * ( 2) = −3 2

Y=

− 3 * (3) X 1 2 = − 4 .5 2 Y -1.5 -3

(1) + 6 = 1.75 4 ( 2) + 6 =2 4 3 -4.5

(3) + 6 2 = 2X.25 1 4 Y 1.75 2

3 2.5

3 3

3 2 1 0 -1,5

-1

-0,5

-1 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

Serie1

3,5

Serie2

-2 -3 -4 -5

PUNTO DE EQUILIBRIO Oferta= Demanda 2Y + 3 X = 0 = X = 4Y − 6 Y=

X +6 =Y 4

− 3X X + 6 = 2 4

− 0.25 + 6 = 4

4− 6 = X + 3X 2

1 .4 = Y

−2 = 4X 2

−1 = 4 X −1 =X 4 0.25 = X

1. Un traficante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m) por artículo. a) ¿Cuál es el ingreso total al vender 5000 unidades del producto?, ¿Cuál es la ecuación para la función del ingreso? Grafique la función. I = PV * Q I = 5 − 5000 I = 25000

I I I I I

= 5 *1000 = 5000 = 5 * 2000 = 10000 = 5 * 3000 = 15000 = 5 * 4000 = 20000 = 5 * 5000 = 25000

b) Los costos fijos son constantes en 3000 (u.m) independientemente del número de artículos producidos, superponga la grafica de esta función a la grafica correspondiente a la parte a.

C F

= 3 0 0 0

c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total. ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5000 unidades del producto? Grafique la función con superposición a la grafica de la parte a. CT : CF + (CV * Q) CT = 3000 + 10000 = 13000 P * Q = 3000 (2 + Q) 5Q = 3000 + 2Q 5Q = 3000 + 2Q 5Q − 2Q = 3000 3Q = 3000 3000 Q= = 1000 3

25000 * 40% = 10000 10000 / 5000 = 2

I = PV * Q I = 5 − 5000 I =CT 25000 = CF + (CV * Q) CT = 3000 + 6000 CT = 9000

CT = CF + (CV * Q) CT = 3000 + (20000) 1. Identifique cual de las siguientes ecuaciones representa una curva de demanda y cual es CT = 23000 una curva de oferta, determine el punto de equilibrio y trace las curvas. a)

X +Y = 5

b)

Y = X −5 Y = 5 − (1) = 4 Y = 5 − ( 2) = 3 Y = 5 − (3) = 2

X Y

X Y

1 4

2 3

3 2

1 2 3 -3.5 -1.5 -0.5

2 X −Y = 5.5 2 * (1) − 5.5 = Y 2 − 5.5 = Y − 3.5 = Y 2 * (2) − 5.5 = Y − 4 − 5.5 = Y −1.5 = Y 2 * (3) − 5.5 = Y 6 − 5.5 = Y − 0.5 = Y

4,5 4 3,5 3 Serie1

2,5 2

Serie2

1,5 1 0,5 0 0

2

4

6

8

PUNTO DE EQUILIBRIO Oferta= Demanda 2 X −Y =5.5 = X +Y =5 2 X −5.5 =5 − X 2 X + X =5 +5.5 3 X =10 .5

1. Cambie la

10 .5 =3.5 3 ecuación (b) X =

del problema anterior a (2X-Y=6).grafique la ecuación e identifíquela como de oferta o de demanda. ¿aumento o disminuyo la cantidad de equilibrio con respecto a la del problema 4? X +Y = 5 * 2X −Y = 6 Y Y Y Y

= X −5 = 5 − (1) = 4 = 5 − ( 2) = 3 = 5 − (3) = 2

2 * (1) − 6 = Y 2−6 =Y −4 =Y

X Y

1 4

2 3

3 2

X Y

1 -4

2 -2

3 0

2 * (2) − 6 = Y −4−6 =Y −2 =Y 2 * (3) − 6 = Y 6−6 =Y 0=Y

4 3 2 1

Serie1 Serie2

0 -1 -2 -3

0

1

2

3

4

5

PUNTO DE EQUILIBRIO Oferta= Demanda

*

2X −Y = 6 = X + Y = 5 2X − 6 = 5 − X 2X + X = 5 + 6 3 X = 11 X=

11 = 3 .6 3

2. Suponga que el costo fijo de producción de un artículo es de 45.000 dólares. Así mismo, el costo variable es 60% del precio de venta, que es de 15 dólares unidad. ¿Cuál es la cantidad que corresponde al punto de equilibrio? P.E = P * Q = CF + (CV * Q) 15Q = 45000 + (9Q) 15Q − 9Q = 45000 6Q = 45000 45000 Q= = 7500 = PE / Unids 6 7500 *15 = 112500 = PE / Total

X +Y = 5 X = 5 − 3.6 1.4 = X

GUIA Nº 5

1.

2 X + Y − 10 = 0 2 X = 10 − Y 

Y 2 − 8X − 4 = 0 8 X = Y 2 − 4 = 8 X = −4 + Y 2 − 4(2 X = 10 − Y ) 8 X = −4 + Y 2

Y=

− b ± b 2 − 4ac 2a

− 4 ± 4 2 − 4(1)(−44) Y= 2(1) − 4 ± 16 + 176 2 − 4 ± − 192 Y= 2 − 4 + 14 10 Y= = =5 2 2 − 4 − 14 − 18 Y= = = −9 2 2 Y=

− 8 X = −40 + 4Y 8 X = −4 + Y 2 = Y 2 + 4Y − 44 B C 0 = −44 + 4Y + Y 2 A

X Y Y 2 − 8X − 4 = 0

3 3.5

8 1



8X = Y 2 − 4 Y2 −4 8 25 − 4 21 X = = = 2.6 8 8 X =

X=

10 − Y = 2

Y2 −4 X= 8

X=

10 − (3) = 3 .5 2

(3) 2 − 4 X= = 0 .6 8

X=

10 − (8) =1 2

(8) 2 − 4 X= = 7 .5 8 X Y

8 7 6 5

Serie1

4

Serie2

3 2 1 0 0

2

2 X = 10 − Y X=

10 − Y 5 = 2 2 X 2 + 5X − Y +1 = 0

X = 2 .5 Y = X 2 + 5X +1 Y = 2X 2 − 9 0 = 3X 2 + 5X − 8 (3 X + 8)( X − 1) = 0

4

6

8

10

3 0.6

8 7.5

1. 

−Y = 2X 2 − 9 − Y = 2(1) 2 − 9 −Y = 2 − 9 −7 −Y = −1 2 X + 5 X − Y Y+ 1==70

3X 2 B + 5 X −C8 A

2X 2 + Y − 9 = 0

3X + 8 = 0 X −1 = 0 X =1

*

Y = −2 X 2 + 9



Y = X 2 − 5X −1

Y = −2(3) 2 + 9 Y = −18 + 9 Y = −9

Y = 2 2 − 5(2) − 1 Y = 4 − 10 − 1 Y = −7

Y = − 2( 4) 2 + 9 Y = −32 + 9 Y = −23

Y = 4 2 − 5(4) − 1 Y = 16 − 20 − 1 Y = −5

Y = −2(5) 2 + 9 Y = −50 + 9 Y = −41

Y = 6 2 − 5(6) − 1 Y = 36 − 30 − 1 Y =5

Y = − 2( 6) 2 + 9 Y = −72 + 9 Y = −63

Y = 82 − 5(8) − 1 Y = 64 − 40 − 1 Y = 23

X Y

3 -9

4 -23

5 -41

6 -63

X Y

10 5 0 -5

0

1

2

-10 -15 -20

Y -22 5+ Y + X − 20 = 0 − X = Y 2 + Y − 20 X = 2Y 2 − 3Y − 4 0 = 3Y 2 − 2Y − 24

3

4

5

6

7

Serie1 Serie2

2 -7

4 -5

6 5

8 23

1.

3Y 2 + 2Y − 24 A B C

− b ± b 2 − 4ac 2a

Y=

− (−2) ± 2 2 − 4(3)(−24) 2(3)

2 ± 4 + 288 6 2 ± 292 Y= 6 + 2 + 17.08 19.08 Y= = = 3.18 6 6 Y=

X = 2Y 2 − 3Y − 4 X = 2(3.18) 2 − 3(3.18) − 4 X = 20.22 − 9.54 − 4 X = 6.68



Y=

*

Y 2 + Y + X − 20 = 0 X = −Y 2 − Y + 20

4)(32680175 Y X = − 268041 46 2

X = −(−2) 2 + (−2) + 20 X = 14 X = −(−4) 2 + (−4) + 20 X = −0 X = −(−6) 2 + (−6) + 20 X = −22 X = −(−8) 2 + (−8) + 20 X = −52

X Y

14 -2

0 -4

-22 -6

-52 -8

X Y

-2 2

16 4

50 6

116 8

20 15 10 Serie1

5

Serie2

0 -100

-5

0

100

200

300

400

-10

1. 

( X + 12)(Y + 6) = 169 ( X + 12)( X + 6 + 6) = 169 ( X + 12)( X + 12) = 169

*

X 2 + 12 X + 12 X + 144 = 169 X 2 + 24 X = 169 − 144 X 2 + 12 X = 25 ( X + 25)( X − 1)

X −1 = 0 X =1

X + 25 = 0 X = −25 X +6 =Y 1+ 6 = 7

X Y

y = (1) + 6 = 7

1.

y = ( 0) + 6 = 6 y = ( 2) + 6 = 8 y = (3) + 6 = 9 Y 1( P ) = 80 X 1(Q ) = 10 Y 2( P) = 60 X 2(Q ) = 20

( X + 12)(Y + 6) = 169 X −Y + 6 = 0 2Y + 12 + 12Y + 72 = 169 14Y + 84 = 169 14Y = 169 − 84 = 85 Y= =6 14

14 -2

X Y

M=

Y 2 − Y 1 60 − 80 − 20 = = = −2 X 2 − X 1 20 − 10 10

P − Y 1 = M (Q − X 1) = −80 = −2 * Q *10) = − 80 − 20 = 2Q 2Q = 80 + 20 = 100 = 2Q + 100

0 -4

-22 -6

-52 -8

P = M ( X 1) + 100 P = −2(10) + (100) − 20 + 100 = 80

2.

Y 1( P ) = 100 X 1(Q) = 0 Y 2( P ) = 0 X 2(Q) = 50

M=

Y 2 − Y 1 0 − 100 = = −2 X 2 − X 1 50 − 0

P − Y 1 = M (Q − X 1) = −100 = −2 * Q * 0) = − 100 − 0 = 2Q 2Q = 100 + 0 = 100 = 2Q + 100 P = M ( X 1) + 100 P = −2(0) + (100) P = 0 + 100 P = 100

3.

Y 1( P ) = 50 X 1(Q) = 50 Y 2( P ) = 75 X 2(Q) = 100

M=

Y 2 − Y1 75 − 50 15 = = = 0.5 X 2 − X 1 100 − 50 50

P − Y 1 = M (Q − X 1) = 50 = 0.5(0 * 50) 0.5 − 25 + 50 P = 0.5Q + 25 P = M ( X 1) + 25 P = 0.5(50) + 25 P = 25 + 25 P = 50 4.

Y 1( P ) = 25 X 1(Q ) = 0 Y 2( P) = 35 X 2(Q ) = 20

M=

Y 2 − Y 1 32 − 25 10 = = = 0.5 X 2 − X 1 20 − 0 20

P − Y 1 = M (Q − X 1) = 25 = 0.5(Q * 0) P = 0.5Q + 25 P = M ( X 1) + 25 P = 0.5(0) + 25 P = 0 + 25 P = 25

GUÍA N’ 6

1.

cv = 7 cf = 150 q = 100 ct = ? función yc = 150 + 7 x y = 150 + 7(100) y = 150 + 700 y = 800

2. y1 − y2 800 − 700 120 − 100 5 = pendiente A y − y1 = m( x − x1 ) y=

y − 700 = 5( x − 100) y − 700 = 5 x − 500 y = 5 x − 500 + 700 y = 5 x + 200 B CF = 200 CV = 5

3.

120 −75 45 = =3 25 −10 15 Y −Y1 = M ( X − X 1 M =

Y −75 = 3( X −10 ) Y −75 = 3 X −30 Y = 3 X −30 + 75 Y = 3 X + 45 B Y = 3( 20 ) + 45 Y = 60 + 45 =105 C CV = 3 CF = 45

100 − 70 30 m= = 25 − 15 10 3 pendiente 4. y − 70 = 3( x − 15) y − 70 = 3 x − 45 y = 3 x − 45 + 70 y = 3 x + 25 y = 3(1) + 25 y = 28

5.

6.

cf = 300 ct = 410 q = 20 30 semanales

110 =x 20 x = 5,5cvxu 110cvt

410 = x(20) + 300 410 = =20 x + 300 410 − 300 = 20 x

y = 5,5(30) + 300 y = 165 + 300 y = 465

ct = 5 + 20.q ct = 5 + 20(2) ct = 45 ct = 5 + 20(5) ct = 105

7.

10 personas cf = 150 ct ct ct ct

8.

= 10 x + 150 = 10(5) + 150 = 50 + 150 = 200

m=

60 − 40 20 = =5 6−2 4

y − 40 = 5( x − 2) y − 40 = 5 x − 10 y = 5 x − 10 + 40 y = 5 x + 30

CV= 90 Centavos CF=240 PV= 1,20 Q=?

cf= 5000 cv=3,50 pv=6 pe=?

9.

10 6Q = 5000(3.5Q) 1000 = 6Q − (5000 + (3.5Q)) 6Q = 5000 + 3.5Q1000 = 2.5Q − 5000 6Q − 3.5Q = 50006000 = 2.5Q 6000 2.5Q = 5000 =Q 2.5 5000 Q= 2400 = Q 2 .5 Q = 2000 1500 ⋅ 6 = 5000 + (3.5 ⋅1500) 5000) + 5250 6(2000) = 5000 +9000 (3.5 ⋅=2000 9000 = 10250 12000 = 5000 + 7000 12000 = 12000 − 1250

11.

YC = 2.8 X + 600 pv = 4 pe = ? 4 x = 600 + (2.8 x) 1.2 x = 600 600 x= 1 .2 x = 500 4(500) = 600 + (2.8(500)) 2000 = 2000

450 p = 600(2.8 ⋅ 450) 450 p = 600 + 1260 1860 p= 450 p = 4.13

CV=0,85 CF=280 PV=1,10 PE=?

12. 1.10 Q = 280 + (0.85 Q ) 1.10 Q = 280 + 0.85 Q 1.10 Q −0.85 Q = 280 0.25 Q = 280 280 0.25 Q =1120 Q=

1.10Q =13 350 + (0.70Q) CV=0,70 0.4Q = 350 CF=350 350 =Q PV=1,10 0.4 PE=? Q = 875 No es viable disminuir costos variables, puesto que corresponden a materias primas y otros dependientes de la producción, lo que después del proceso implica la disminución de producidos. 14.

7Q = 1000 + (5Q) 2Q = 1000 Q = 500

Q=? 7 X = 1200 + 1. (4 X ) YC=1000+5X 3 X = 1200 PV=? 1200 X= 3 X = 400

No le conviene porque disminuye la producción y la compra de materias primas

15. yc = 80 + 4 x + 0.1x 2 0 = 0.1x 2 + 4 x +80 −10 x 0.1x 2 − 6 x + 80 −

6 ± ( −6) 2 − 4(0,1)( 80 ) 2(0.1)

− 6 ± 36 − 32 0.2 −6 4 0.2 − (−6) ± 2 = 40 0.2 4 − (−6) − 2 = = 20 0.2 p.q = cf +)(cv.q ) 10(20) = 80 + (6(20)) 200 = 200

16.

yc = 2000 + 100 x yc = 2000 + 100 x1/ 2 y = 2000 + 100 x1/ 2 −10 x −

( −10) ± ( −10 ) 2 − 4(100 ) (2000 ) 2(100 )

−10 ± 100 − 800000 200 10 ± 10 − 894 .4 200 10 + 884 .4 − 874 .4 = = −4.372 200 200 10 − (−884 .4) = 4.472 200 yc = 2000 + 100 4.4 2000 + 100 (2.09 ) 2000 + 209 .7 yc =1000 +20 x +8 x −20 x y = 2209y.7 =1000 +20 x1 / 2 +8 x −20 x y =1000 +20 x1 / 2 −12 x

17.

x = −( −12 ) ± ( −12 ) 2 −4( 20 )(1000 ) 2( 20 ) x = −12 ± 144 −80000 40 −12 ± 144 − 80000 12 ±12 −283 − 40 12 ±12 −283 −259 = = −6.5 40 40 12 ±12 −283 −283 = = −7,075 40 40

No tiene solución puesto que los valores son aproximados, y no se pueden producir mercancías por fracciones.

GUIA N° 8

1.

x 5 = 5x 4 2. x

3.

3

= x ( 3)

1

= ( 3)

1

1 = t3 =

2

2

( x) ( 2)

1

2

( )

t 3 ( 0) − 1 3t 2

(t )

3 2

0 − 3t 2 t6 − 3t 2 = 6 t =

4.

4 = u4 =

( )

u 4 ( 0 ) − 4 4u 3

(u )

4 2

0 − 16u 3 = u8 − 16u 3 = 5. 1 = u8 5 5u 5u 5 ( 0 ) − 1 25u 4 = 2 5u 5

( ( )

6.

4 x 7= 0 − 25u = 5u10 7 7 − 25u 64 == 7 710x − x ( 0) 5u ( 7 ) 2

( )

=

49 x 6 − 0 49

)

1

7. 3

x2

= =

= =

1 x

2

x

3

2

3

[

( 0) − 1 2 3 ( x ) 3 (1) −1

 x 2 3   

2

[ 3 ( x) ] −1

0 −1 2

x −2

4

3

( x) 3 x

4

3

−1

3

3

8. 2 x − x 3 = 2 − 3x 2

9.

4 x3 − 3x 2 + 7 = 12 x 2 − 6 x

10.

5 − 2x2 + x4 = −4 x + 4 x 3

11. 3 x 4 − 7 x 3 + 5 x 2 + 8 = 12 x 3 − 21x 2 + 10 x

1 x x( 0) − 1(1) = 12 x 2 + x2 0 −1 = 12 x 2 + 2 x  −1  = 12 x 2 +  2  x  3 3u 2 + 2 u 13. u 2 ( 0 ) − 3( 2u ) = 6u + 2 u2 0 − 6u = 6u + u4 12.

4 x3 + 2 +

( )

]

14.

x6 6 + 6 x6 6 6 x 5 − x 6 ( 0 ) x 6 ( 0) − 6 6 x 5 = + 2 62 x6

( )

( )

( )

36 x − 0 0 − 36 x + 36 x12 36 x 5 − 0  − 36 x 5  = +  12  36  x  5

=

15.

5

x1, 2 +

1 x 0, 6

= 1,2 x

0, 2

+

(

x 0, 6 ( 0 ) − 1 0,6 x −0, 4

(x )

0,6 2

)

0 − 0,6 x −0, 4 x1, 2  − 0,6 x −0, 4   = 1,2 x 0, 2 +  1, 2  x  = 1,2 x 0, 2 +

16.

x 0, 4 − x −0, 4

(

= 0,4 x −0, 6 − − 0,4 x −1, 4 17.

2 x+

)

2 x

1 2 = 2 x 2  + 1   x 2 1 −1 = 2 x 2  + 2 x 2     

= 2x =x

18.

−1

1

2

2

+ 2x

−1

+  − x 

2

−1

2

 

1 7 + 7x + + 7 7 x x 7  x ( 0) − 1 7 x 6   + 7 +  x( 0) − 7(1)  = 7 x6 +  2   x2   x7    0 − 7 x6  0−7  + 7 +  2  = 7 x 6 +  14  x   x  x7 +

( )

( )

19.

2

2 x3 +

x3

3 2 = 2 x 2  + 3   x 2 3 −3 = 2 x 2  + 2 x 2     

20.

= 2x

3

= 3x

1

2 t−3

+ 2x

2

−3

2

+  − 3 x 

2

−5

2

 

3 t

1 3 = 2 t 2  − 1   t 3 −1 1 = 2 t 2  − 3 t 3     

= 2t 21.

22.

1

2

− 3t

−1

3

  +−4x− t4 3    1 1 = 3x 2 + 5x 4

=2 xt

3

5 −4

−31 22

x−3

=x

1

=x

1

3

3

1 x 1

−

1

x 3 −1 − 1 x 3   

=1 x 3

−2

=1 x 3

.− 2

3

3

− 1x

−1

3

−  − 1 x  3

−4

3

 

23.

3 x 4 + ( 2 x − 1)

2

= 12 x 3 + 2( 2 x − 1)( 2 ) = 12 x 3 + 4( 2 x − 1)

24.

25.

26.

( y − 2)( 2 y − 3) = ( y − 2)( 2 ) + ( 2 y − 3)(1) = ( 2 y − 4 ) + ( 2 y − 3) ( x − 7 )( 2 x − 9) = ( x − 7 )( 2 ) + ( 2 x − 9 )(1) = ( 2 x − 14 ) + ( 2 x − 9 ) 1  x+  x 

2

1  x( 0) − 1(1)   = 2 x + 1 +  x  x2   1  0 − 1   = 2 x + 1 + 2  x  x   1    − 1   = 2 x +  1 +  2  x    x  

27.

( u + 1)( 2u + 1) = ( u + 1)( 2) + ( 2u + 1)(1) = ( 2u + 2 ) + ( 2u + 1)

28.

1    x+  x 

2

2

1   12 1   = x +   x + 1  x   x 2 2

1   1 2  −12   = x +  x + 1 x    x    1   12  −1 2   = 2 x +  x +  x    x    = 2 x 

1

2

−3 −1 −1 + 1 x 2   1 x 2 +  − 1 x 2   2 2     

29.

( t + 1)( 3t − 1) 2 2 = ( t + 1) 2( 3t − 1)( 3) + ( 3t − 1) (1) 2 = ( t + 1) 6( 3t + 1) + ( 3t − 1) 2 = ( t + 1)(18t − 6 ) + ( 3t − 1)

30.

( u − 2) 3 2 = 3( u − 2 ) (1) 2 = 3( u − 2 )

31.

( x + 2) 3 2 = 3( x + 2 ) (1) 2 = 3( x + 2 )

32.

( x + 1)( x − 1) 2 2 = ( x + 1) 2( x − 1)(1) + ( x − 1) (1) 2 = ( x + 1) 2( x − 1) + ( x − 1) 2 = ( x + 1)( 2 x − 2 ) + ( x − 1)

33.

 x +1    x 

3

 x + 1   x(1) − ( x + 1)(1)  = 3    x2  x    2

 x + 1   x − ( x + 1)  = 3    x2  x    2

34.

 2t − 1     2t 

3

 2t − 1  = 3   2t 

2

 2 y ( 2 ) − ( 2t − 1)( 2)    ( 2t ) 2  

 2t − 1   4t − ( 4t − 2 )  = 3    4x2  2t    2

35.

3

 y+2  y−2   +    y   y 

3

 y+2  = 3  y 

2

 y (1) − ( y + 2 )(1)   y + 2    + 3  y2    y 

 y+2  = 3  y 

2

 y − ( y + 2)   y + 2    + 3  y2    y 

2

2

 y (1) − ( y − 2 )(1)    y2  

 y − ( y − 2)    y2  

36. 2 y2 + 3y − 7 y = =

37.

(

)

y ( 4 y + 3) − 2 y 2 + 3 y − 7 (1) y2

(4 y

2

) (

− 3y − 2 y2 + 3y − 7 y2

=

4 y2 − 3y − 2 y2 − 3y + 7 y2

=

2 y2 + 7 y2

)

( x + 1) 2 ( xx+ 1) 2 2 x[ 2x( x + 1)(1) ] − ( x + 1) (1) = x2 2 x[ 2( x + 1) ] − ( x + 1) = x2 2 2 x( x + 1) − ( x + 1) = x2

38.

x 2 − 3x + 1 x 2 x − 3x + 1 = 1 x 2 =

=

x

1

2

[

( 2 x − 3) − ( x 2 − 3x + 1) 12 ( x ) 2 (1)  x 12   

x

1

2

−1

]

2

( 2 x − 3) − ( x 2 − 3x + 1)( 12 ( x ) 2 (1) )

 2 x =

−1

1

2

(

x

)(

−1 − 3 x 2  − x 2 − 3 x + 1 1 ( x ) 2 2  x 1

)

39.

t+

=

3 t t 3 t

t+ t

1

2

3 −1 = t +  t 2   t t ( 0 ) − 3(1)  − 1 −3 2  = 1+  2t    t2 −3 0−3 = 1 + 2  − 1 t 2  2  t  −3  −3 = 1 +  2  − 1 t 2    t  2 40. ( x + 1) 2 + ( x − 1) 2

=

x2 2 2 x 2 [ 2( x + 1)(1) + 2( x − 1)(1) ] − ( x + 1) + ( x − 1) ( 2 x )

(x )

2 2

=

x 2 [ 2( x + 1) + 2( x − 1) ] − ( x + 1) + ( x − 1) ( 2 x ) x4

=

x 2 ( 2 x + 2) + ( 2 x − 2) − 2 x 2 + 2 x + ( x − 1) x4

2

(

( 2x =

41.

3

)

)

(

2

)

2

+ 2 x 2 + ( 2 x − 2 ) − 2 x 2 + 2 x + ( x − 1) x4 2

2

( 2t + 3) 2 + ( 2t − 3) 2 4t 2 2 4t [ 2( 2t + 3)( 2 ) − 2( 2t − 3)( 2 ) ] − ( 2t + 3) − ( 2t − 3) ( 4) = 4t 2 2 2 4t [ 4( 2t + 3) − 2( 2t − 3) ] − ( 2t + 3) − ( 2t − 3) ( 4 ) = 4t 2 2 2 4t ( 8t + 12 ) − ( 8t − 12 ) − ( 8t + 3) − ( 2t − 3) = 4t 2 2 2 32t 2 + 48t − ( 8t − 12) − ( 8t + 3) − ( 2t − 3) = x1,6 4t 2 x 3 − 2,3 x x 2,3 1,6 x 0, 6 − x1,6 2,3 x1,3 2 = 3x − 2 x 2,3

(

42.

2

)

(

)

( )

1,6 x 2,9 − 2,3 x 2,9 x 4, 6  − 0,7  = 3 x 2 −  4,6   x  = 3x 2 −

(

)

43.

2 y + (3y) = 2y =y =y =y

44.

1

−1 −1 −1

(8 y)

2

2

2 2

−1

+ (3y)

−1

[ ] + [− 3( 3 y ) ] + − 1( 3 y )

−2

−2

2

+ ( − 9 y)

−2

3

+ (8 y)

3

−2

[

−5 ( 8 y ) −13 ( 8) + − 2 3 ( 8 y ) 3 ( 8) 3 −5 −1 = 16 ( 8 y ) 3 + − 16 ( 8 y ) 3 3 3

=2

45.

(16t )

[

3

4

− (16t )

−3

]

4

[

]

−7 −1 = 3 (16t ) 4 (16 ) − − 3 (16t ) 4 (16 ) 4 4 −7 −1 = 48 (16t ) 4 − − 48 (16t ) 4 4 4

[

1 x3 x 3 ( 0 ) − 1 3x 2 2 y = 3x + 3 2 47. Calcule dy/dx si y = x 3 + 1x/ x 3 0 − 3x 2 2 y = 3 x + 1 3 27t 2 − x6 3 2 27t  − 3x 2  y1= 3 x 2 +  6  2 = 27t 3 −  x  2 3 27t 46.

dy = dx

]

]

y = x3 +

( )

= 27t

2

= 27t

2

= 18t = 18t

3

− 1( 27t )

3

− ( 27t )

−1

−1

3

3

−2

−2

3

3

[ 3 ( 27t ) ( 27) ] − [− 18( 27t ) ] − −2

−5

−5

3

3

( )

48. Determine du/dx si du = dx

5 x x( 0) − 5(1) u = 2x − 7 + x2 0−5 u = 2x − 7 + 2 x  −5 u = 2x − 7 +  2  x 

u = x2 − 7x +

49. Calcule dy/du si dy = du

u = x2 − 7x + 5 / x

y = u 3 − 5u 2 +

7 +6 3u 2

7 +6 3u 2 3u 2 ( 0 ) − 7( 6u ) y = 3u 2 − 10u + 2 3u 2 0 − 42u y = 3u 2 − 10u + 3u 4  − 42u  y = 3u 2−10u +  4   3u 

y = u 3 − 5u 2 +

( )

50. Determine dx/dt si dx = dt

x= x= x=

(t

x = (t 3 − 5t 2 + 7t − 1) / t 2

)

− 5t 2 + 7t − 1 t2 t 2 3t 2 − 10t + 7 − t 3 − 5t 2 + 7t − 1 ( 2t ) 3

(

(3t

) ( (t ) + 7t ) − ( 2t

)

2 2

4

− 10t 3

2

4

4

− 10t 3 + 14t 2 − 2t

t 3t − 10t + 7t − 2t 4 + 10t 3 − 14t 2 + 2t x= t4 t 4 − 7t 2 + 2t x= t4 4

3

2

)

51. Si

que y = pruebe x

52. Si

que u = 1 / pruebe x

2 y ( dy / dx) = 1

2u −3 (du / dx) + 1 = 0

GUIAN N° 9 Aplicación de derivadas Costo marginal

aumento del costo para producir una unidad adicional del bien "cambio en el costo total derivado de la produccion de u

1

es el par

(( x ) = 100 + 2 x (( x ) = 2

2 (( x) = 40 + (in) x 2 (cx ) = 0 + in2( 2 x) + x 2 (1 / 2) c ' = ( x) = 2 xin 2 +

x2 2

3

(( x) = 0.0001x 3 − 0.09 x 2 + 20 + 200 (( x) = 3(0.0001) x 2 − 2(0.09 x) + 20 (( x) = 0.003 x 2 − 018 x + 20

4 ((x) = 10 -6 X 3 − (3 *10 3 ) X 2 + 36 X + 2000 (( X ) = 0.000010 X 3 − (0.030) X 2 + 36 X + 2000 (( X ) = 3(0.00001. X 2 ) − 2(0.030 X + 36 (( X ) = 0.000030 X 2 − 0.060 X + 36

GUÍA N° 7 1.

y = 2 x3 + 4 x 2 − 5x + 8 y = 6 x 2 + 8x − 5

R( x) = x − 0.01x32 2 5 + 3x − x − 7 x 3 2. Ry( x=) − = 1 − 0.02 x2 R( x) = 1 −60.02 x(1) 2 y = 3 − x − 21x 2 R( x) = 0.98

3.

(

y = 2x 2 + 4x − 5

(

)

6

) ( 4 x + 4) + 4 x − 5) 5/ 2

y = 6 2x 2 + 4x − 5

(

5

5

y = 24 x + 24 2 x 2

R ( x) = 5 x − 0.01 x

R ( x) = 5 − 5 / 2(0.01 x 4 / 2 4.

1 52 1 32 x + 0x.05 x 4 / 2 R ( x)5 = 5 −3 y=

2

3

1

5 1  2 3 1  2 y =  x  0+.05 x 4 / 2 R ( x)2 = (1) 23  55 − 2 5 3 2 3 12 y= x + 0.x05 R ( x)10= 5 − 6

4

R( x) = 5.

(

19 .95 = 4.99 4 1 2

y = 1− x

)

2

(1 − x ) ( − 2 x ) y = − x (1 − x ) y= 1

2

2

2

−1

−1

2

2

R ( x ) = 0.1x − 10 −3 − 10 −5 x 5 / 2 6.

R ( x ) = 0.1 − 0.010 x 2 − 0.00010 x 5 / 2 R ( x ) = 0.1 − 2(0.010 x) − 5 / 2(0.00010 x 4 / 2 R ( x ) = 0.1 − 0.20 x − 0.00025 x 4 / 2 R ( x ) = 0.1 − 0.020 x(1) − 0.00025 (1) 4 / 2 R 7.( x ) = 0.1 − 0.1 − 0.20 − 0.00050 R ( x ) = 0.1 − 0.0795

R ( x ) = 100 x − (1095 ) x 3 (1 + 1 R ( x ) = 100 − x 3 (1 + x 1 / 2 )

x)

R ( x ) = 100 R ( x ) = 100 R ( x ) = 100 8.R ( x ) = 100

R ( x ) = 100 R ( x ) = 100

− x 1 −1 / 2 x 5 2 − x 3 −1 / 2 x 10 − x 3 1/ 2 x 10 − 13 −1 / 2 x 10 −1 / 2 1 1 − 10 1 − 0.10 −1 / 2

R ( x ) = 100 − 0.050 R ( x ) = 100 = 99 .95

9.

R ( x ) = x + ap = 100 x = 100 − 4 p I = p*q 10. I = P * (100 − 4 p ) I = 100 − 4 p 2 I = 100 P − 8 P P = 92 P

11.

x + p = 10

I = P *Q

x 1 / 2=10 x = (10 − P ) 2 x12. = (10 − p ) 2 x = (10 p − p) 2 x = 2(10 p − 2)(10 − 2 p ) x = (10 p − p 2 ) − ( 20 − 40) = 10 p * (20)(40 p) 2 ( 20 p 2 ) x = 200 p − 40 p 2 − 20 p 2 + 4 p 3 = 200 p − 60 p 2 + 4 p 3 x = 200(1) − 60(1) 2 + 4(1) 3 x = 200 − 60 + 4 = 144

x 3 / 2+ + 50 p = 1000 → x = (1000 − 50 P) 2 / 3 − 100

3 x = (1000 − 50 p ) (−33.3) x = (−33.300 − 1665 p ) 1/ 3

1/ 3

x = (−33.300 − 165(16)1/ 3 → x(−33.300 − 26.640)1/ 3 x = (59.940)1/ 3 x = −19980 13.

10 p + x + +0.01x 2 = 700 x=Q I = p*q

c( x ) = 100 + 5 x p( xp)−=100p 2 − 0.01x 2 p I = 7000 I = p (700 − 10 p − 0.01x 2 )

I = 700(10) − 10(10) 2 − 0.01(1) 2 (10) I14. = 7000 − 100 − 0.1 I = 6899.0 p*q = 0 p * (−13 = 0) p = 0 + 13 p = 13 p * ( x) = 0 p * (83) = 0 p = 0 − 83 p = −83

u = 9 2 − 100 + 5 x) u = 9 2 − 100 + (54)(1) u = 9 2 − 105 2 −2 y= x −x 15. u = (−13) y = −2 x 2 − x

(

)

(

) ( 2 x − 1) p=4 x=5 y = −4 x + 2x(1x= −4 x ) q = 100 −3

−3

2

p=5

y1 = 100

→

5−4 4 = 80 − 100 − 20

1 y 2 = 80 q = 80 y= 2 1 −1 y = x 2( x + 1) 2 16.u = 144x −−160 9 +x −2 −1 y = x 2 2− 1( x 1+ 1) (1)+ ( x +21) ( 2−1x ) 2 1) 1 u = 140x +−(60 + 9 y( 0−−) 2−y11 = 1( xx0 − − 9x−11 ) 2 ( 2 x )  2 2 2   = x −−61 1( x=+83 1) + 2 x + 2 x = u yy= 144 2 y − 4 = −01.05( x − 100) 2 y =(−x13 ( )− x − 1) −2 +x 22−x92 +22x −1 u= y − 4 = 0.05x + 5 −1 2 x + 9 0 − 1 x x 2y−=90.05    y = 17. y = 0.05(1) + 9 x2 − 9 y =−01 .05 + 9 − 1 x x 2 − 9 2   y =  2 3/ 2 c ( x ) = 50 + x x ;15000 −9 ) ( q;20000)(1.50 3/ 2 −1 2 −−19 2 + 25) cv =x 0=.80 x .x980 − 9− (50 y= 2 = −19.x980 cf =x 10000 − 9− (50 + (7812)

( (

) )

(

(( )

(

)

(

(

)

)

(

)

)

)

x = −27.842 1.50 − 100 0.50 = = 0.0001 15000 − 20000 − 5000 y − 1 = 0.0001( x − 20000) y −c1(=x)0=.0001 2) + 0.1x 2 ) 6899( x.9−−((−1000 y −c1(=x)0=.0001 6899( x.9+−2(1000 + 0.1(100) 2 y −c1(=x)0=.0001 6899( x.9+−3(1000 + 0.1(10000) y +c0(.x0001 x = 3.9 − (1000.1)(10.000) ) = 6899 − y − (1000.1 c( x)x ==683.999 0.0001 .0001 c( x) = −04100 .2

I = p *Q 3−9 i = p( ) 0.0001 (0.0001)(3 − 2 p) − (3 p − p 2 ) = (0) IM = 0.00000001 0.0003 − 0.002 p IM = → ingresom arg inal 0.00000001 y=

1

u = 9 * q − cf (cv2 *12q ) 18.

(16 − x )

3 p − p2 2 1 −1 2 u=( ( 16 −)x−)(10000 ( 0 ) − 1+ 10.80 ( 16q−)utilidad x2 ) 2 ( − 2x)   2  0.0001 y= 2 1 0.003 − 0.0002 p 2 2 u= ( 160.−80xutilidadm − )  arg inal 0.00000001 −1 0.0003 2 2 0 − 1−0−.0002 x (16 −−x 0 )  p= . 080   y0 =.00000001 2 0.0001 16 − x p= − 0.80 0.00000001 p = 10000 − 0.80 = 9999.2 → precio

(

− 1 − x 16 − x 2 y=  16 − x 2

(

)

x 16 − x 2 y= 16 − x 2

19. y =

−1

)

−1

2

 

2

x

( x )+−1) (12 .80) 2 3(1.80 u= − (10000 + 0.80q ) 1 −1 ( x0.+0001 1) 2 (1) − x 1 ( x + 1) 2 (1) 2 5y.4= − 3.24 1 2 u= − 10000 ( x + 1)+20.80q 0.0001 ( x + 1) 12 − x 12 ( x + 1) −12 2.16 u= y= − (10000 + 0.080q ) 0.0001 x +1 1 u = 21600 − 10000 ( x + 1) 2 − x 2+ (0x.80 ) −12 + 1q y= u = 116000 .80q → x + 1funcion 1

[

[(

(

]

)]

)

u = 3(1.90)(1.90) 2 − (10000 + 0.80q) 5.7 − 3.61 u= − (10000 + 0.80q) 0.0001 u = 20900 − 10000 − 0.80q u = 10900 − 0.80 → funcion2

3( 2) * (2) 2 − (10000 + 0.80q ) 0.0001 2 u= − +(10000 + 0.80q ) 0.0001 u = 20000 − 10000 − 0.80q u = 10000 − 0.80q → funicion3 20.

(x y=

2

+2 x

)

1

2

(

x 1 x2 + 2  2 y= 

(

) ( 2 x )  − ( x −1

2

)

(

)

(

(

)

+2

) (1) 1

2

x2

−1 x x x 2 + 2 2  − x 2 + 2  y=  2 c( x) = ax 2 + bx−1+xc 1 2 x 2 ++ b 2 2 − x2 + 2 2 c( xy) == x2ax x 2c ax bx 1 c( x) = 2 + −12 + 2 y = xx + 2 x − xx + 2 2

(

2

)

1

2

)

(

)

(2ax + b)( ax + b + c) = 0 2axc bc 2a 2 x 2 + 2axb + + axb + b 2 + ≠0 x x 2axb 2c 2a 2 x 2 + 3a 2 x 2b + ≠0 2x 5ax 2bc 2a 2 x 2 b 2 +2 x ≠0 2 1 x 21. y = 5 + 10 ) 82bc ≠ 0 2a 2 x 2 b( x2 + 5ax ( x 5 + 10) 18 ( 2) − 2 x  18 ( x 5 + 10) −7 8 ( 5 x )  y= 2 ( x 5 + 10) 18    ( 2 x5 + 20) 18 − 2 x 5 x 4 8 ( x 5 + 10) −7 8  y=

y=

(2x

(x

5

) + 20 ) − 10 x ( x 8 ( x + 10) 1 8

5

+ 10 5

5

2

8

2

8

5

+ 10

)

−7

8

1/ 3

c(i ) = 4 + 36i + 0.481 in = 10000000000

(

)

2 22. y = ( x + 2) x + 1 3

(

−1

) ( 2 x ) + ( x + 1) 3( x + 2) (1) y = ( x + 2) − 2 x( x + 1) + ( x + 1) 3( x + 2 ) y = ( x + 2) ( − 2 x − 2 x ) + ( x + 1) ( 3 x + 6 ) y = ( x + 2) − 1 x 2 + 1 3 3

2

3

3

−2

−1

2

−2

2

−1

2

−2

2

−1

2

10

 x 2 + 10   y =  23.  x 

 x 210   y = 10 x  

9

 x( 2 x ) − x 2 + 10(1)    2 x  

 x 210   y = 10  x 

9

 2 x 2 − x 2 + 10    x2  

 x 210   y = 10  x 

9

 x 2 + 10    2  x 

9

 x 210   (10 ) y = 10  x   x 210   y = 100 x   24.

y=

y=

(x (x

9

2

3 3

) − 4 ) ( 0 ) − 3 2 ( x  3 −4

2 2

3 3

(

)

3

 x3 − 4 23    −1 0 − 3 2 x x 3 − 4 3    y= 4 3 x −4 3

(

y=

(

)

(

− 6x x3 − 4

(x

3

−4

)

4

)

3

)

−1

3

2

−4 2

) ( 3x )  −1

3

25.

(x y=

2

)

+1

1

2

( 2 x + 4 ) 14 ( 2 x + 4) 14  1 2 ( x 2 + 1) 2 ( 2 x )  − ( x 2 + 1) −1

y=



[( 2x + 4) ] 1

26. y = ( x + 2)

y = ( x + 2)

−3 −3

(3x

2

)

+1

2

)

y = x3 x 2 + 3

)

−3

2

(

)

+ 3x 2 + 1 − 3

( x + 2) 2

−5

2

−1

[ ( ) ( 2x) ] + ( x + 3) (3x ) y = x [− 2 x( − x − 3) ] + ( 3x + 9 x ) −2

y = x3 −1 x 2 + 3 3

(

−2

(

y = − 2 x 6 − 6 x3

6 28. y = x + x

4

3

1

3

−2

−2

+ 6x

y = 6x5 + 4 x 3

du = dy

)

)

1

−1

2

2

y = x3 − 2x3 − 6x

29.

2

4

−5

(

(

2

( 6 x ) + (3x 2 + 1) − 3 2 ( x + 2) 2 (1)

2

y = 6 x 2 + 12 x

27.



1

2 −1

4

(

+ 3x 4 + 9 x 2

(

+ 3x 4 + 9 x 2

2

)

)

−1

−1

2

+ 3x

−1

2

u = x2 x=

du  y   = dy  ( y + 1) 2 

y ( y + 1) 2 2

 y  ( y + 1) 2 (1) − y[ 2( y + 1)(1) ]  du  = 2 2  2  dy ( y + 1) 2  ( y + 1)  

[

]

 y  ( y + 1) 2 − y[ 2( y + 1) ]  du   = 2 2  4  dy ( y + 1 ) ( y + 1 )     y  ( y + 1) 2 − 2 y ( y + 1)  du   = 2 2  4  dy ( ) ( ) y + 1 y + 1   

[ 14 ( 2 x + 4)

−3

4

( 2)

]

30. dy =

x x+2

y=

du

x = u3 − 5 dy u3 − 5 = 3 du u − 5 + 2 dy u 3 − 5 = du u 3 − 3 dy u 3 − 3 3u 2 − u 3 − 5 3u 2 = 2 du u3 − 3

( ) ( ) ( )

dy 3u 5 − 9u 2 − 3u 5 − 15u 2 = 2 du u3 − 3

(

)

dy − 24u = du u 3 − 3 2 2

(

31. dv

dx

)

v = y −3

=

y = x2 + 2x

(

)

−3 dv = x2 + 2x dx −4 dv = −3 x 2 + 2 x ( 2 x + 2 ) dx −4 dv = −6 x − 6 x 2 + 2 x dx

(

)

(

32.

dx = dv

)

x = y3 + 2 y −1 y=v

−1

2

dx  −1 2 3  −1 2  =  v  + 2 v  − 1    dv  −1 dx  −1 2  =  v  + 2v 2 − 1  dv  2 −3 −3 − 1 dx = 3 v 2  − 1  v 2  +  − v 2     2     dv

33. dy =

y=v

dx

−1

2

v = x2 + 5 dy dx dy dx dy dx dy dx

= x2 + 5

(

)

(x 2

2

= −1

(

−1

2

+5

= −x x2 + 5

)

−3

−3

(

)

34. dx = du

x=

= − x3 − 5x

) ( 2x) 2

2

−3

2

3y −1 y+7

y = u 2 − 5u

(

)

dx 3 u 2 − 5u − 1 = 2 du u − 5u + 7 dx 3u 2 − 15u − 1 = 2 du u − 5u + 7 dx u 2 − 5u + 7 ( 6u − 15) − 3u 2 − 15u − 1 ( 2u − 5) = 2 du u 2 − 5u + 7

( (

)

(

(

)

)

) (

dx 6u − 15u − 30u + 75u + 42u − 105 − 6u 3 − 15u 2 − 30u 2 + 75u − 2u + 5 = 2 du u 2 − 5u + 7 3

2

2

(

)

dx 6u 3 − 15u 2 − 30u 2 + 75u + 42u − 105 − 6u 3 + 15u 2 + 30u 2 − 75u + 2u − 5 = du u 4 − 25u 2 + 49 dx − 44u − 110 = 4 du u − 25u 2 + 49

)

TALLER NÚMERO 10

1. Calcule la elasticidad de la demanda si la ecuación de demanda es x=k/p, con k alguna constante positiva.

x=

k p

x = 500(10 − p )

 p  dx  E =    a) P = 2  x  dp  x = 500(10  − 2 )   x = 4000 p  dx  E =     x  dp    p  dx E =   p   x  dp2 

 p  dx   E = p  dx  E =   x  dp       x  dp 

 p (0) − x(1)   2 p dx  E =E =     2  4000   x dp   p 2

 2   (10x− p) ) E =   p2( 500 E 4000 =    − 2  x p   2   E = ( − 1 ) + (10 − P)(0)] [ 500 2  4000xp 

E=−

xp 2 E = −1

 2  E = [ − 500]  4000  1000 E=− 4000 E = −0.25 b) P = 5 x = 500(10 − 5) x = 2500  5  E = [ − 500]  2500  2500 E=− 2. Determine la elasticidad de la demanda si x=500(10-p) para cada valor de p 2500 E = −1

P=2

p=5

b) P = 6 x = 500(10 − 6) x = 1200  6  E = [ − 500]  1200  3000 E=− 2000 E = −1.5

p=6

x = 400 − 100 p a) P = 1 x = 400 − 100(1) x = 300  P  dx  E =     x  dp   1  E = ( 400 − 100P )  300   1  E = ( − 100)  300   − 100  E =   300  E = −0.33 b) P = 2 x = 400 − 100(2) x = 200  P  dx  E =     x  dp   2  E = ( 400 − 100P )  200  3. Si la2relación de demanda es x=400-100p, determine la elasticidad de la demanda cuando  ( ) E = − 100   p=1 300 p=2  p=3  − 200  E =   200  E = −1 c) P = 3 x = 400 − 100(3) x = 100  P  dx  E =     x  dp   3  E = ( 400 − 100P )  100   3  E = ( − 100)  100   − 300  E =   100  E = −3

4. Si la relación de demanda es x/1000+p/8=1 calcule la elasticidad de la demanda cuando p=2 p=4 p=6

p x + =1 1000 8  P x = 1 − 1000  8 a) P = 2  2 x = 1 − 1000  8 x = (1 − 0.25)10000 x = 750  p  dx  E =     x  dp b) P = 4     2   P  E =  1 − 1000  750   8    4  x = 1 − 1000  − p (0) − 8(1)   82   P   E =    1 − (0) + 1000 2  ( )   8  8 x = (1 − 0750 .5)10000   x = 5000 8  2  E =  1000 −  64   750    p 2dx 63992 E E= =       x 750  dp  64    4 2 [ 999.875] E E= =  [ 999.875]  750  5000 .875  [ 999 .875  999  ] E E= =    750   5000 2.66 E E= = 0.19 c) P = 6  6 x = 1 − 1000  8 x = (1 − 0.75.)10000 x = 2500  p  dx  E =     x  dp   6  E = [ 999.875]  2500   999.875  E =   2500  E = 0.39

x = 250 − 30P + P 2 P = 12 incremento en el precio es de 8.5% x = 250 − 30P + P 2 x = 250 − 360 + 144 x = 34  p  dx  E =     x  dp   12  E =   250 − 30P + P 2  34 

(

)

5. La ecuación de demanda para un producto es x=250-30p+exp2, donde x unidades pueden venderse a un precio p cada una. Determine la elasticidad de la demanda cuando p=12. Si el precio p es incrementado en un 8.5% encuentre el cambio porcentual aprox. En la demanda.  12 

E =  ( − 30 + P )  34  − 360 + 24P E= 34 − 360 + 24(12) E= 34 − 72 E= = −2.11 34

C%D C%P E * C %P = C %D − 2.11* 8.5 = C % D C % D = −17.9% E=

6. La ecuación de demanda para un producto es p=300-0.5x. Un aumento en el precio incrementaría o disminuiría el ingreso total si la demanda semanal es:

P =200 300unidades − 0.5 x A:

B: 400 unidades

a ) P = 300 − 0.5( 200) P = 200  200  0.5(1) − ( p − 300)(0)  E =   ( 0.5) 2  200    200  0.5  E =    200  0.25   200  E = ( 2 )  200  400 E= 2 E=2 I = 300x − 0.5 x 2 I = 300( 200) − 0.5(200) 2 I = 60000− 20000 I = 40000

b) P = 300 − 0.5(400) P = 100  100  E = ( 2 )  400  200 E= 400 E = 0.5 I = P*x I = (300 − 0.5 x) x I = 300x − 0.52 I = 300( 400) − 0.5(400) 2 i = 120000− 80000 I = 40000

7. La ecuación de demanda de cierto producto es x=raíz cuadrada de (4100-pexp.2) Un aumento en el precio, incrementaría o disminuiría el ingreso total en el nivel de demanda de: A: 40 unidades B: 50 unidades x = 4100 − P 2

(x ) = ( 2

4100 − P 2

)

2

x 2 = 4100 − P 2 x 2 = 4100 − P

(

)

− 1 x 2 − 4100 = (− P) − 1 − x + 4100 = P − x + 4100 = P 2

a) x = 40 P = 4100 − x P = 4100 − 40 P = 4060  P  dx  E =     x  dp 

(

 4060  2 E =  4100 − P  40 

)

1  4060   2  E =   4100 − P 2   40   

(

)

 4060   1 2 E =   4100 − P 40 2  

(

)

 2P  1 −  4100 − P 2 2  

 4060   E =  P  40  

(

)

−

1 2

 −P  4060   E =   2 40    4100 − P   − 4060  4060   E =    40   4100 − (4060) 2  − 4060   4060   E =    40   4100 − 16483600  4060   − 4060  E =    40   − 16479500  4060   − 4060  E =    40   − 4059.4  16483600 E= 1623 E = 10156.25

TALLER 11

Xi

Fi

F Fri Fia 90 90 0,45 0,45 72 162 0,36 0,81 26 188 0,13 0,94 8 196 0,04 0,98 0,01 0,99 3 199 5 5 0,99 0 199 0 5 0,00 1 200 5 1 200 1

0 1 2 3 4 5 6

Rango:

41

Yi

Xi

3)

2 1 2 2 3

5 1 4 4

7 3 4 8

Fi

4 7

Fri

50 60 70 80 90

3 8 5 3 1 20

Xi

Fi 0 1

5 9

Fra 0,15 0,4 0,25 0,15 0,05 1

0,15 0,55 0,8 0,95 1

Fri 6 10

Fra 0,12 0,2

0,12 0,32

7

8

9

2 3 4 5 6 7

4)

9 11 7 4 2 1 50

0,18 0,22 0,14 0,08 0,04 0,02 1

0,5 0,72 0,86 0,94 0,98 1

R K Rango : VMaximo − VMinimo R : 28.6 − 6.2 R : 22.4 22.4 A: 5.90 A : 3.80 A=

Xi

Fx

Fi

F

Fri

6,2 10,1

10 13,9

3 6

3 9

14

17,8

7

16

17,9

21,7

5

21

21,8

25,6

5

26

25,7

29,7

4 30

30

Fra

0,1 0,1 0,2 0,3 0,233333 0,533333 33 33 0,166666 67 0,7 0,166666 0,866666 67 67 0,133333 33 1 1

Taller 12

Rang 1) o: 60 INTERPRETACIÓN: Las ciudades que se encuentran mas contaminadas son las que se 1 1 9 8 2 5 7 4 2 hallan en un rango entre el 20-30 con un 22%. 2 8 0 2 1 9 8 3 3 3 1 5 3 0 2 2 4 2 7 4 0 7 5 3 1 0 6 3 5 0 1 0 5 6 4 3 6 8 3 1 8 5 5 7 6 7 0 1 Xi

Fi

Fai

10

8

0

20

11

11

30

6

17

40

8

25

50

7

32

60

8

40

70

2

42

50

Fri 0,1 6 0,2 2 0,1 2 0,1 6 0,1 4 0,1 6 0,0 4 1

Fra Xifi 0,1 6 80 0,3 8 220 0,5 180 0,6 6 320 0,8 350 0,9 6 480 1 140 177 0

16 % 22 % 12 % 16 % 14 % 16 % 4%

Calcular medidas de tendencia central e interpretar

Media : ( Xifi / n) 1770 M: = 35,4 50 Mediana: lir(n / 2 − Fai − 1) / fi) * ci 20 + ((25 − 0) / 11) = 22,3 Moda : Lir + ( Fi − fi − 1 /( fi − fi − 1) + ( fi − fi + 1)) * Ci 20 + (11 − 8 /(11 − 8) + (11+ 6) = 20,2

}}}

2) Xi 0 20 40 60 80 100 120

Fi 19,9 39,9 59,9 79,9 99,9 119,9 139,9

Fai 16 38 35 20 11 4 1 125

0 38 73 93 104 108 109

Fri 0,128 0,304 0,28 0,16 0,088 0,032 0,008 1

Fra Promedio 0,128 9,95 0,432 29,95 0,712 49,95 0,872 69,95 0,96 89,95 0,992 109,95 1 129,95

13% 30% 28% 16% 9% 3% 1%

¿Cuantas de las muestras pesan como máximo 59,9 gr? Como maximo hay 89 muestras

¿Cunatas de las muestras pesan mas de 59,9 gr? 36 muestras pesan mas de 59,9 gr

3)

Rango:

valor maximo-valor

minimo 4,7 k:

7,12

Amplitud:

Xi 4,6 5,3

Fi

0,66011236

Fai 9

0

5,4 6,1

5

5

0,07

0,2

5,73

7%

6,1 6,8

11

16

0,16

0,36

6,43

16%

6,9 7,6

20

36

0,29

0,64

7,23

29%

7,6 8,3

18

54

0,26

0,9

7,93

26%

8,4 9,1

2

56

0,03

0,93

8,73

3%

9,2 9,9

5

61

0,07

1

9,53

7%

70

Fia Promedio 0,13 4,95

Porcentaj e 13%

Fri 0,13

Xifi 44,55 28,65028 09 70,73061 8 144,6011 24 142,7410 11 17,46011 24 47,65028 09 496,3834 27

Media: Media na: Moda:

7,09119 181 7,69213 483 26,9980 025

TALLER 13

POBLACIÓN (Miles de habitantes) Año 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Población 34.834 35.530 36.208 36.863 37.490 38.077 38.646 39.201 39.746 40.282 40.806 41.327 41.847 42.368 42.889 43.405 43.926 44.450

fecha de nacimiento: rango: Cantidad de intervalos: Amplitud:

28/05/1991 9.617 5,57727251 1724,26791

Xi 34.834 36.559 38.284 40.009 41.734 43.459

FI 36.558 38.283 40.008 41.733 43.458 45.183

F 3 3 3 3 3 3 18

0 3 6 9 12 15

Fri 0,166666667 0,166666667 0,166666667 0,166666667 0,166666667 0,166666667 1

Fia 0,166666667 0,333333333 0,5 0,666666667 0,833333333 1

Promedio 35695,7 37421,1 39146,1 40871,1 42596,1 44321,1

Banco de la República - Índice de Precios al Consumidor (IPC) Total Nacional 1/ - Histórico Información Disponible a partir del mes de Julio de 1954 (Base: Diciembre 2008=100)

AÑO 2007

2008

2009 2/

MES

INDICE

Variación Mensual

Variación Año Corrido

Variación Anual

Enero

88,54

0,77

0,77

4,71

Febrero

89,58

1,17

1,95

5,25

Marzo

90,67

1,21

3,18

5,78

Abril

91,48

0,90

4,11

6,26

Mayo

91,76

0,30

4,42

6,23

Junio

91,87

0,12

4,55

6,03

Julio

92,02

0,17

4,72

5,77

Agosto

91,90

-0,13

4,58

5,22

Septiembre

91,97

0,08

4,67

5,01

Octubre

91,98

0,01

4,68

5,16

Noviembre

92,42

0,47

5,17

5,41

Diciembre

92,87

0,49

5,69

5,69

Enero

93,85

1,06

1,06

6,00

Febrero

95,27

1,51

2,58

6,35

Marzo

96,04

0,81

3,41

5,93

Abril

96,72

0,71

4,15

5,73

Mayo

97,62

0,93

5,12

6,39

Junio

98,47

0,86

6,02

7,18

Julio

98,94

0,48

6,53

7,52

Agosto

99,13

0,19

6,74

7,87

Septiembre

98,94

-0,19

6,53

7,57

Octubre

99,28

0,35

6,90

7,94

Noviembre

99,56

0,28

7,20

7,73

Diciembre

100,00

0,44

7,67

7,67

Enero

100,59

0,59

0,59

7,18

Febrero

101,43

0,84

1,43

6,47

Marzo

101,94

0,50

1,94

6,14

Abril

102,26

0,32

2,26

5,73

2. Rango: Cantidad de intervalos: Amplitud:

13,72 5,8 2,38

Xi 88,54 88,64 88,7 95,9 96,0 96,1

Fi 88,54 88,6 88,7 95,9 96,0 96,1

Grafica De ojiva

Grafica circular

F 3 9 2 3 8 3 28

Fri 0 9 11 14 22 25

Fia 0,11 0,32 0,07 0,11 0,29 0,11 1,00

0,11 0,43 0,50 0,61 0,89 1,00

Promedio 132,81 132,96 133,11 143,85 144,00 144,15

% 11% 32% 7% 11% 29% 11%

3)

Rango Cantidad de intervalos Amplitud

Xi 3,5 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10

0 6,64 0,00

Fi 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10

Fri

F 2 5 6 18 12 5 2 50

0 5 11 29 41 46 48

R= Es cuantitativa continua

0,04 0,1 0,12 0,36 0,24 0,1 0,04

Fia

Promedi o

0,04 0,14 0,26 0,62 0,86 0,96 1

3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,10

TALLER 14

PUNTO 1 Y

X 13,9 17,8 15,6

-6 -5 -4

XY -83,4 -89 -62,4

X2 36 25 16

21,7 26,9 24,9 31,2 35,3 39,6 44 46,5 44 361,4

∑ XY B= ∑X 2

514,5 B= 182 B = 2,82

C=

∑Y

n 361,4 C= 12 C = 30,11

Y14 = BX + C

Y15 = BX + C

Y14 = 69,59

Y15 = 72,41

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0

-65,1 -53,8 -24,9 31,2 70,6 118,8 176 232,5 264 514,5

Y13 = BX + C

9 4 1 1 4 9 16 25 36 182

Y13 = 2,82(13) + 30,11 Y13 = 66,77

Y14 = 2,82(14) + 30,11Y15 = 2,82(15) + 30,11

PUNTO 2 AÑO 2005 2006 2007 2008

Y $ 13.798.160, 43 $ 19.790.880, 08 $ 28.611.030, 48 $ 40.419.536, 11 $ 102.619.607 ,10

X

DEMANA US $ 13.798.160, 43 $ 19.790.880, 08 $ 28.611.030, 48 $ 40.419.536, 11

LOG Y

X2

X (LOGY)

-3

7,14

9

-21,42

-1

7,30

1

-7,30

1

7,46

1

7,46

3

7,61

9

22,82

0

29,50

20

1,56

 ∑ LOGY A = ANTLOG  N   29,50  A = ANTLOG    4  A = ANTLOG 7,37 A = 23442288,15

   

 ∑ XLOGY B = ANTLOG   ∑X2   1,56  B = ANTLOG    20  B = ANTLOG 0,078 B = 1,19

   

GUÍA 15 PROYECCIÓN DE VENTAS

Y5 = AB

X

Y5 = 23442288,15(1,195 ) Y5 = 55792645,8

1.

Y7 = AB X

Y5 = 23442288,15(2,38) MESES

1 2 3 4 Y9 = AB X 5 9 Y9 = 23442288,15(1,19 ) 6 Y9 = 23442288,15(4,78) 7 8 Y9 = 112054137,4 9 10 11 12 X 13 Y13 = AB 14 Y13 = 23442288,15(1,1913 ) 15 Y13 = 23442288,15(9,59)16 Y13 = 224811541,9 17 18 19 20

Y7 = 23442288,15(1,197 )

PESOS

Y7 = 23442288,15(3,37)

13 169 2.197 X = AB 28.561 11 = 23442288,15(1,19 ) 371.293 4.826.809 = 23442288,15(6,77) 62.748.517 = 158704289,8 815.730.721 10.604.499.373 137.858.491.849 1.792.160.394.037 23.298.085.122.481 302.875.106.592.253 3.937.376.385.699.290 51.185.893.014.090.800 665.416.609.183.180.000 8.650.415.919.381.340.000 112.455.406.957.957.000.000 1.461.920.290.375.450.000.000

Y7 = 79000511,07 Y11 Y11 Y11 Y11

19.004.963.774.880.800.000.000

C

265.157.638.525.667.000.0 00 1.029.435.537.806.340.000. 000

Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y 6

3.946.169.561.588.690.000. 000 4.211.327.200.114.350.000. 000 4.476.484.838.640.020.000. 000 4.741.642.477.165.690.000. 000 5.006.800.115.691.360.000. 000 5.271.957.754.217.020.000. 000

B

S X S Y

6 4.262.268.061.218.160.000. 000 265.157.638.525.667.000.0 M 00 R X

38,60%

Y

X

13

-10

XY

X2

Y2

10 -130 0

169

-1.521 81

28.561

169

-9

2.197 28.561 371.293 4.826.809 62.748.517 815.730.721

-8 -7 -6 -5 -4 -3

-17.576 -199.927 -2.227.758 -24.134.045 -250.994.068 -2.447.192.163

10.604.499.373

-2

-21.208.998.746

4

112.455.406.951.957.000.000

137.858.491.849 1.792.160.394.037 23.298.085.122.481

-1 1 2

-137.858.491.849 1.792.160.394.037 46.596.170.244.962

1 1 4

19.004.963.774.880.800.000.000 3.211.838.877.954.860.000.000.000 542.800.770.374.371.000.000.000.000

302.875.106.592.253

3

908.625.319.776.759

9

91.733.330.193.268.600.000.000.000.000

3.937.376.385.699.290

4

15.749.505.542.797.200 16

51.185.893.014.090.800 665.416.609.183.180.000

5 6

255.929.465.070.454.000 25 3.992.499.655.099.080.000 36

8.650.415.919.381.340.000 112.455.406.957.957.000.0 00 1.461.920.290.375.450.000 .000 19.004.963.774.880.800.00 0.000 20.588.710.756.126.900.00 0.000

7

60.552.911.435.669.400.000

8

899.643.255.663.656.000.000 13.157.282.613.379.000.000.0 00 190.049.637.748.808.000.000. 000 204.171.381.664.764.000.000. 000

9 10 0

64 49 36 25 16 9

4.826.809 815.730.721 137.858.491.849 23.298.085.122.481 3.937.376.385.699.290 665.416.609.183.180.000

15.502.932.802.662.400.000.000.000.000.000

2.619.995.643.649.950.000.000.000.000.000.000 442.779.263.776.841.000.000.000.000.000.000.000 74.829.695.578.286.100.000.000.000.000.000.000.00 49 0 12.646.218.554.079.700.000.000.000.000.000.000.00 64 0.000 2.137.210.935.411.440.000.000.000.000.000.000.000. 81 000.000 10 361.188.648.084.532.000.000.000.000.000.000.000.0 0 00.000.000 77 363.338.580.513.607.000.000.000.000.000.000.000.0 0 00.000.000

2.

Producc Meses ion 1 1500 2 1550 3 1500 4 1560 5 1570 6 1700 7 1700 8 1650 9 1550 10 1500 11 1550 12 1600

SX

4

SY

1.579

M

4

RX

0,99%

B C

4,01 1577,50

Y1 1605,58 Y2 1609,59 Y3 1613,60 Y4 1617,61 Y5 1621,62 Y6 1625,63 Y7 1629,64 Y8 1633,65 Y9 1637,66 Y1 Y1641,68 01500 Y11550 1645,69 1 Y11500 1649,70 21560 1570 1700 1700 1650 1550 1500 1550 1600 18930

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

XY -9000 -7750,0 -6000 -4680 -3140 -1700 1700 3300 4650 6000,0 7750 9600

X2 36 25 16 9 4 1 1 4 9 16 25 36

0

730

182

Y2 2250000 2402500 2250000 2433600 2464900 2890000 2890000 2722500 2402500 2250000 2402500 2560000 2991850 0

3. Meses Ventas Enero 9.000.000 Febrero 7.166.667 Marzo 5.666.667 Abril 4.500.000 Mayo 3.666.667 Junio 3.166.667 Julio 3.000.000 Agosto 3.166.667 Septiembre 3.666.667 Octubre 4.500.000 Noviembre 5.666.667 Diciembre 7.166.667 Enero 9.000.000 Y 27.798.255, Febrero 11.166.667 1 81 Y Marzo 31.100.169, 13.666.667 16.500.000 2 Abril49 Mayo Y 34.794.288, 19.666.667 3 Junio85 23.166.667 Y 38.927.200, Julio 27.000.000 4 Agosto 62 31.166.667 Y 43.551.025, Septiembre 35.666.667 5 12 Y 48.724.073, A 6,93 6 8554465,03 62 Y 54.511.583, B 1,06 0,02 7 69 Y 60.986.541, 8 88 Y 68.230.604, 9 18

Y 9.000.00 0 7.166.66 7 5.666.66 7 4.500.00 0 3.666.66 7 3.166.66 7 3.000.00 0 3.166.66 7 3.666.66 7 4.500.00 0 5.666.66 7 7.166.66 7 9.000.00 0 11.166.6 67 13.666.6 67 16.500.0 00 19.666.6 67 23.166.6 67 27.000.0 00 31.166.6 67 35.666.6 67

X

logY

X2

XlogY

-19

6,95

361

-132,13

-17

6,86

289

-116,54

-15

6,75

225

-101,30

-13

6,65

169

-86,49

-11

6,56

121

-72,21

-9

6,50

81

-58,51

-7

6,48

49

-45,34

-5

6,50

25

-32,50

-3

6,56

9

-19,69

-1

6,65

1

-6,65

0

6,75

0

0,00

1

6,86

1

6,86

3

6,95

9

20,86

5

7,05

25

35,24

7

7,14

49

49,95

9

7,22

81

64,96

11

7,29

121

80,23

13

7,36

169

95,74

15

7,43

225

111,47

17

7,49

289

127,39

19 0

7,55 145,58

361 2660

143,49 64,83