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- Pages: 17
132
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CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Eligiendo c1 1 y c2 0, se encuentra de y u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es e P(x) d x y2 y1(x) dx. (5) y21(x) Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se define en (5) satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
EJEMPLO 2
Una segunda solución por la fórmula (5)
La función y1 x2 es una solución de x2y 3xy 4y 0. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ). SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación,
encontramos de (5)
y
3 y x
y2
x2 x2
4 y x2 e3
0,
d x /x
x4 dx x
dx
; e3
d x /x
eln x
3
x3
x 2 ln x.
La solución general en el intervalo (0, ) está dada por y c1 y1 c2 y2; es decir, y c1x 2 c2 x 2 ln x.
COMENTARIOS i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fórmula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden. ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x) siempre que se conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas 17 a 20 en los ejercicios 4.2.
EJERCICIOS 4.2
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución y2(x). 1. y 4y 4y 0; 2. y 2y y 0; 3. y 16y 0;
y1 e y1 xe
x
y1 cos 4x
4. y 9y 0; y1 sen 3x
2x
7. 9y 12y 4y 0; y1 e 2x/3 8. 6y y y 0; y1 e x/3 9. x 2y 7xy 16y 0; y1 x 4 10. x 2y 2xy 6y 0; y1 x 2 11. xy y 0; y1 ln x 12. 4x 2y y 0; y1 x 1/2 ln x
5. y y 0; y1 cosh x
13. x 2y xy 2y 0; y1 x sen(ln x)
6. y 25y 0; y1 e 5x
14. x 2y 3xy 5y 0; y1 x 2 cos(ln x)
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4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
15. (1 2x x 2)y 2(1 x)y 2y 0; y1 x 1 16. (1 x 2)y 2xy 0; y1 1 En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método de reducción de orden para determinar una segunda solución y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea dada. 17. y 4y 2; y1 e 2x 18. y y 1; y1 1 y1 e x
y1 e
x
Problemas para analizar 21. a) Proporcione una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b, y c constantes, tiene siempre cuando menos una solución de la forma y1 em1 x , m1 es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial que se proporciona en el inciso a) debe tener una segunda solu-
4.3
ción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x , m1 y m2 son constantes. c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5? 22. Compruebe que y1(x) x es una solución de xy – xy y 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución y2(x) en la forma de una serie infinita. Estime un intervalo de definición para y2(x). Tarea para el laboratorio de computación
19. y 3y 2y 5e 3x; 20. y 4y 3y x;
133
●
23. a) Compruebe que y1(x) ex es una solución de xy (x 10)y 10y 0. b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solución y2(x). Usando un SAC realice la integración que se requiere. c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2, por qué la segunda solución puede escribirse en forma compacta como 10 1 n y2(x) x. n 0 n!
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES REPASO DE MATERIAL ● Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5. ● Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales. INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogéneas ay by 0, donde los coeficientes a 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución, uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación: despejando y de la ecuación ay by 0 se obtiene y ky, donde k es una constante. Esta observación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial emx. Ahora el nuevo método de solución: si sustituimos y emx y y memx en ay by 0, se obtiene amemx bemx 0 o emx (am b) 0. Como e nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 0. Para este único valor de m, y emx es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2y 5y 0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y emx en la ED; sólo se tiene que 5 5x/2 formar la ecuación 2m 5 0 y despejar m. De m es una solución 2 se concluye que y e 5x/2 de 2y 5y 0, y su solución general en el intervalo (, ) es y c1e . En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las ED lineales homogéneas de orden superior, (1) an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y 0, donde los coeficientes ai, i 0, 1, . . . , n son constantes reales y an 0. mx
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CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
braicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el equipo de cómputo necesario para resolver de manera eficaz ecuaciones tales como 4.317
d 4y dx4
2.179
d 3y dx3
1.416
d 2y dx2
1.295
dy dx
3.169y
(13)
0.
Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13). Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en el resultado, Mathematica genera la solución general (aproximada) y
c1e
0.728852x
cos(0.618605x)
0.728852x
c2e
c3e0.476478x cos(0.759081x)
sen(0.618605x)
c4e0.476478x sen(0.759081x).
Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en, digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con las cuatro incógnitas (c1, c2, c3 y c4 en la solución general). Si se emplea un SAC para resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 59 y 60 del ejercicio 4.3 y el problema 35 en Repaso del capítulo 4. *
McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
EJERCICIOS 4.3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada. 1. 4y y 0
2. y 36y 0
3. y y 6y 0
4. y 3y 2y 0
5. y 8y 16y 0
6. y 10y 25y 0
7. 12y 5y 2y 0
8. y 4y y 0
9. y 9y 0
10. 3y y 0
11. y 4y 5y 0
12. 2y 2y y 0
13. 3y 2y y 0
14. 2y 3y 4y 0
20.
d 3x dt3
d 2x dt2
4x
0
21. y 3y 3y y 0 22. y 6y 12y 8y 0 23. y (4) y y 0 24. y (4) 2y y 0 25. 16
d 4y dx4
24
d 2y dx2
9y
26.
d 4y dx4
7
d 2y dx2
18y
En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada.
27.
d 5u dr5
5
d 4u dr4
2
15. y 4y 5y 0
28. 2
16. y y 0
d 5x ds5
7
d 4x ds4
0 0
d 3u dr3 12
d 3x ds3
10
d 2u dr2 8
d 2x ds2
du dr
5u
0
0
17. y 5y 3y 9y 0
En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores iniciales
18. y 3y 4y 12y 0
29. y 16y 0,
3
19.
d u dt3
2
d u dt2
y(0) 2, y(0) 2
2
2u
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0
30.
d y d 2
y
0, y
3
0, y
3
2
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4.3
d 2y 31. dt2
dy 4 dt
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
0, y(1)
0, y (1)
139
y
45. 5y
●
2
32. 4y 4y 3y 0, y(0) 1, y(0) 5
x
33. y y 2y 0, y(0) y(0) 0 34. y 2y y 0, y(0) 5, y(0) 10 35. y 12y 36y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7 36. y 2y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1 En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado.
FIGURA 4.3.4 Gráfica del problema 45.
46.
y
37. y 10y 25y 0, y(0) 1, y(1) 0 38. y 4y 0,
y(0) 0, y(p) 0
39. y
y (0)
y
0,
0, y
2
0
x
FIGURA 4.3.5 Gráfica del problema 46.
40. y 2y 2y 0, y(0) 1, y(p) 1 En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11). 41. y 3y 0, 42. y y 0,
47.
y
π
y(0) 1, y(0) 5
x
y(0) 1, y(1) 0
En los problemas 43 a 48 cada figura representa la gráfica de una solución particular de una de las siguientes ecuaciones diferenciales. a) y 3y 4y 0 b) y 4y 0 c) y 2y y 0 d) y y 0 e) y 2y 2y 0 f) y 3y 2y 0
FIGURA 4.3.6 Gráfica del problema 47.
48.
y
Relacione una curva solución con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su razonamiento. 43.
π
y
x
x
FIGURA 4.3.2 Gráfica del problema 43.
FIGURA 4.3.7 Gráfica del problema 48. Problemas para analizar
44.
49. Las raíces de una ecuación cúbica auxiliar son m1 4 y m2 m3 5. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? Analice: ¿su respuesta es única?
y
x
FIGURA 4.3.3 Gráfica del problema 44.
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50. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica con coeficien1 tes reales son m1 y m2 3 i. ¿Cuál es la ecua2 ción diferencial lineal homogénea correspondiente?
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●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
51. Determine la solución general de y 6y y 34y 0 si se sabe que y1 e4x cos x es una solución.
diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución general, simplifique el resultado y si es necesario, escriba la solución en términos de funciones reales.
52. Para resolver y (4) y 0, es necesario encontrar las raíces de m4 1 0. Este es un problema trivial si se utiliza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que m4 1 (m2 1)2 2m2. ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación diferencial.
55. y 6y 2y y 0 56. 6.11y 8.59y 7.93y 0.778y 0 57. 3.15y (4) 5.34y 6.33y 2.03y 0 58. y (4) 2y y 2y 0
53. Compruebe que y senh x 2 cos(x p兾6) es una solución particular de y(4) y 0. Reconcilie esta solución particular con la solución general de la ED.
En los problemas 59 y 60 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes ci, i 1, 2, 3, 4 que resulta cuando se aplican las condiciones iniciales a la solución general.
54. Considere el problema con valores en la frontera y ly 0, y(0) 0, y(p兾2) 0. Analice: ¿es posible determinar valores de l tal que el problema tenga a) soluciones triviales?, b) ¿soluciones no triviales?
59. 2y (4) 3y 16y 15y 4y 0, y(0) 2, y(0) 6, y(0) 3, y(0)
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 55 a 58 use una computadora ya sea como ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para obtener de forma directa la solución general de la ecuación
4.4
1 2
60. y (4) 3y 3y y 0, y(0) y(0) 0, y(0) y(0) 1
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN * REPASO DE MATERIAL ● Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea a n y (n)
an
1y
(n
1)
a1 y
a0 y
g(x),
(1)
se debe hacer dos cosas: • encontrar la función complementaria yc y • encontrar alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea (1). Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es y yc yp. La función complementaria yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir, an y (n)
an
1y
(n 1)
a1 y
a0 y
0.
En la sección 4.3 vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares.
*
Nota para el profesor: En esta sección el método de coeficientes indeterminados se desarrolla desde el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Elija el que convenga.
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CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
COMENTARIOS i) En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide resolver problemas con valores iniciales y en los problemas 37 a 40 se pide resolver problemas con valores en la frontera. Como se muestra en el ejemplo 8, asegúrese de aplicar las condiciones iniciales o condiciones en la frontera a la solución general y yc yp. Los estudiantes con frecuencia cometen el error de aplicar estas condiciones sólo a la función complementaria yc porque ésta es la parte de la solución que contiene las constantes c1, c2, . . . , cn. ii) De la “Regla de la forma para el caso I” de la página 145 de esta sección, se ve por qué el método de coeficientes indeterminados no es muy adecuado para ED lineales no homogéneas cuando la función de entrada g(x) es algo distinta de uno de los cuatro tipos básicos resaltados en color azul en la página 141. Por ejemplo, si P(x) es un polinomio, entonces la derivación continua de P(x)eax sen bx genera un conjunto independiente que contiene sólo un número finito de funciones, todas del mismo tipo, en particular, un polinomio multiplicado por eax sen bx o un polinomio multiplicado por eax cos bx. Por otro lado, la derivación sucesiva de funciones de entrada como g(x) ln x o g(x) tan1x genera un conjunto independiente que contiene un número infinito de funciones: 1 1 2 derivadas de ln x: , 2 , 3 , . . . , x x x derivadas de tan1 x:
EJERCICIOS 4.4
1 1
2x , 2 2 x (1 x2 ) 2 (1 ,
6x2 , . . . . x2 ) 3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
16. y 5y 2x 3 4x 2 x 6 17. y 2y 5y e x cos 2x 18. y 2y 2y e 2x(cos x 3 sen x)
1. y 3y 2y 6
19. y 2y y sen x 3 cos 2x
2. 4y 9y 15 3. y 10y 25y 30x 3 4. y y 6y 2x 5. 1 y y y x 2 2x 4 6. y 8y 20y 100x 2 26xe x
20. y 2y 24y 16 (x 2)e 4x 21. y 6y 3 cos x 22. y 2y 4y 8y 6xe 2x 23. y 3y 3y y x 4e x 24. y y 4y 4y 5 e x e 2x
7. y 3y 48x 2e 3x
25. y (4) 2y y (x 1) 2
8. 4y 4y 3y cos 2x
26. y (4) y 4x 2xex
9. y y 3
En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado.
10. y 2y 2x 5 e2x 11. y
y
1 y 4
3
e x/2
27. y 4y 2,
y
1 ,y 2 8
8
2
12. y 16y 2e 4x
28. 2y 3y 2y 14x2 4x 11, y(0) 0, y(0) 0
13. y 4y 3 sen 2x
29. 5y y 6x,
14. y 4y (x 2 3) sen 2x
30. y 4y 4y (3 x)e2x,
15. y y 2x sen x
31. y 4y 5y 35e
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y(0) 0, y(0) 10 4x
,
y(0) 2, y(0) 5
y(0) 3, y(0) 1
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4.4
32. y y cosh x, d 2x dt 2 d 2x 34. dt 2
33.
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
y(0) 2, y(0) 12
v 2x
F0 sen t,
x(0) 0, x(0) 0
v 2x
F0 cos t,
x(0) 0, x(0) 0
35. y y 2y y y y 2 24e x 40e5x, 5 9 y (0) 2, y (0) 2 36. y 8y 2x 5 8e2x, y(0) 4
y(0)
1 2,
y(0) 5, y(0) 3,
y
a)
y(0) 0, y(p) p
39. y 3y 6x,
y(0) 0, y(1) y(1) 0
40. y 3y 6x,
y(0) y(0) 0, y(1) 0
FIGURA 4.4.1 Curva solución.
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada g(x) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que y y y sean continuas en x p兾2 (problema 41) y en x p (problema 42).]
g(x)
x
y(0) 5, y(1) 0
38. y 2y 2y 2x 2,
41. y 4y g(x),
149
45. Sin resolver, relacione una curva solución de y y f(x) que se muestra en la figura con una de las siguientes funciones: i) f (x) 1, ii) f (x) ex, x iii) f (x) e , iv) f (x) sen 2x, v) f (x) e x sen x, vi) f (x) sen x. Analice brevemente su razonamiento.
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y y x 2 1,
●
y(0) 1, y(0) 2, sen x, 0 0, x
x
FIGURA 4.4.2
>2 c)
42. y 2y 10y g(x),
y
donde
>2
x
b)
y(0) 0, y(0) 0,
Curva solución. y
donde x
g(x)
20, 0 0, x
x FIGURA 4.4.3
Problemas para analizar 43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx, donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociada es am2 bm c 0. a) Si k no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Aekx, donde A 1兾(ak2 bk c). b) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad uno, muestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Axekx, donde A 1兾(2ak b). Explique cómo se sabe que k b兾2a. c) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad dos, demuestre que podemos encontrar una solución particular de la forma y Ax2ekx, donde A 1兾(2a). 44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección para encontrar una solución particular de y y sen x cos 2x. Lleve a cabo su idea.
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d)
Curva solución. y
x
FIGURA 4.4.4
Curva solución.
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 46 y 47 determine una solución particular de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para realizar las derivadas, simplificaciones y álgebra. 46. y 4y 8y (2x 2 3x)e 2x cos 2x (10x 2 x 1)e 2x sen 2x 47. y (4) 2y y 2 cos x 3x sen x
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156
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR La ecuación diferencial L(y) g(x) tiene coeficientes constantes y la función g(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax, senos y cosenos. i) Encuentre la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y) 0. ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) g(x) con un operador diferencial L1 que anula la función g(x). iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden superior L1L(y) 0. iv) Elimine de la solución del paso iii) los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso i). Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de L(y) g(x). v) Sustituya yp encontrada en el paso iv) en L(y) g(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los coeficientes desconocidos de yp. vi) Con la solución particular encontrada en el paso v), forme la solución general y yc yp de la ecuación diferencial dada.
COMENTARIOS El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni tampoco es aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) es una función tal que g(x)
ln x,
g(x)
1 , x
g(x)
tan x,
g(x)
sen 1 x,
etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la siguiente sección.
EJERCICIOS 4.5
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y) g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L. 1. 9y 4y sen x 3. 5. 7. 8. 9. 10.
2. y 5y x2 2x
y 4y 12y x 6 4. 2y 3y 2y 1 y 10y 25y e x 6. y 4y e x cos 2x x y 2y 13y 10y xe y 4y 3y x 2 cos x 3x y (4) 8y 4 y (4) 8y 16y (x 3 2x)e 4x
En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial anula las funciones indicadas. 11. D 4;
y 10x 3 2x
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12. 2D 1;
y 4e x/2
13. (D 2)(D 5); 14. D 2 64;
y e 2x 3e5x
y 2 cos 8x 5 sen 8x
En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada. 15. 1 6x 2x 3
16. x 3(1 5x)
17. 1 7e 2x
18. x 3xe 6x
19. cos 2x
20. 1 sen x
21. 13x 9x 2 sen 4x
22. 8x sen x 10 cos 5x
23. ex 2xe x x 2e x
24. (2 e x) 2
25. 3 e x cos 2x
26. ex sen x e 2x cos x
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4.6
En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente independientes que anulan el operador diferencial dado.
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
157
●
55. y 25y 20 sen 5x
56. y y 4 cos x sen x
57. y y y x sen x
58. y 4y cos2x
27. D 5
28. D 2 4D
59. y 8y 6x 2 9x 2
29. (D 6)(2D 3)
30. D 2 9D 36
60. y y y y xe x ex 7
31. D 2 5
32. D 2 6D 10
33. D 3 10D 2 25D
34. D 2(D 5)(D 7)
61. y 3y 3y y e x x 16 62. 2y 3y 3y 2y (e x ex) 2 63. y (4) 2y y e x 1
En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
64. y (4) 4y 5x 2 e 2x
35. y 9y 54
36. 2y 7y 5y 29
37. y y 3
38. y 2y y 10
En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales.
39. y 4y 4y 2x 6
65. y 64y 16,
40. y 3y 4x 5
66. y y x,
y(0) 1, y(0) 0
y(0) 1, y(0) 0
41. y y 8x 2
42. y 2y y x 3 4x
67. y 5y x 2,
43. y y 12y e 4x
44. y 2y 2y 5e 6x
68. y 5y 6y 10e 2x,
45. y 2y 3y 4e x 9
y(0) 0, y(0) 2 y(0) 1, y(0) 1
69. y y 8 cos 2x 4 sen x,
46. y 6y 8y 3e2x 2x 47. y 25y 6 sen x 48. y 4y 4 cos x 3 sen x 8 49. y 6y 9y xe 4x
70. y 2y y xe x 5, y(0) 1 71. y 4y 8y x 3, 72. y y x e , y(0) 0 (4)
50. y 3y 10y x(e x 1) 51. y y x 2e x 5
x
y
2
1, y
0
2
y(0) 2, y(0) 2,
y(0) 2, y(0) 4 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0,
52. y 2y y x 2ex
Problemas para analizar
53. y 2y 5y e sen x
73. Suponga que L es un operador diferencial lineal que se factoriza pero que tiene coeficientes variables. ¿Conmutan los factores de L? Defienda su respuesta.
x
54. y
y
1 y 4
4.6
ex(sen 3x
cos 3x)
VARIACIÓN DE PARÁMETROS REPASO DE MATERIAL ●
La variación de parámetros se introdujo por primera vez en la sección 2.3 y se usó de nuevo en la sección 4.2. Se recomienda dar un repaso a estas secciones.
INTRODUCCIÓN El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular yp de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x), (1) comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar y P(x)y Q(x)y f (x) (2) dividiendo entre el coeficiente principal a2(x). La ecuación (2) es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: dy兾dx P(x)y f(x). En (2) se supone que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto en la sección 4.3, no hay dificultad para obtener la función complementaria yc, la solución general de la ecuación homogénea asociada de (2), cuando los coeficientes son constantes.
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4.6
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
161
●
Las primeras n 1 ecuaciones de este sistema, al igual que y1u 1 y2u 2 0 en (4), son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que yp u1(x)y1(x) un(x)yn(x) se sustituye en (9). En este caso usando la regla de Cramer se obtiene Wk uk , k 1, 2, . . . , n, W donde W es el Wronskiano de y1, y2, . . . , yn y Wk es el determinante que se obtiene al remplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de (10), es decir, la columna que consta de (0, 0, . . . , f(x)). Cuando n 2, se obtiene la ecuación (5). Cuando n 3, la solución particular yp u1 y1 u2 y2 u3 y3 , donde y1, y2 y y3 constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y u1, u2 y u3 se determinan a partir de u1
W1
0 y2 0 y p 2 f (x) y 2
y3 y3 p , y3
W2
W1 , W
y1 0 y3 y 0 y p 1 3p, y 1 f (x) y 3
W2 , W
u2
W3
y1 y p 1 y1
W3 , W
u3
y2 0 y2 0 p, y 2 f (x)
y
(11)
W
y1 y p 1 y1
y2 y2 y2
y3 y3 p . y3
Véanse los problemas 25 y 26 de los ejercicios 4.6.
COMENTARIOS i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre produce una solución particular yp , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Este método no se limita a una función f (x) que es una combinación de las cuatro clases que se listan en la página 141. Como se verá en la siguiente sección, la variación de parámetros, a diferencia de los coeficientes indeterminados, es aplicable a ED lineales con coeficientes variables. ii) En los problemas siguientes, no dude en simplificar la forma de yp. Dependiendo de cómo se encuentren las antiderivadas de u1 y u2 , es posible que no se obtenga la misma yp que se da en la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de 1 1 1 los ejercicios 4.6 tanto yp 12 sen x 2 x cos x como yp 2 x cos x 4 sen x son respuestas válidas. En cualquier caso la solución general y yc yp se simplifica a y c1 cos x c2 senx 12 x cos x . ¿Por qué?
EJERCICIOS 4.6
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros.
11. y 12. y
3y 2y
2y
1 ex
1 ex
y
1. y y sec x
2. y y tan x
3. y y sen x
4. y y sec u tan u
1 x2 13. y 3y 2y sen e x
5. y y cos 2x
6. y y sec 2x
14. y 2y y e t arctan t
7. y y cosh x
8. y y senh 2x
15. y 2y y et ln t
16. 2y
2y
y
41x
17. 3y 6y 6y e sec x x
9. y
4y
e2x x
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10. y
9y
9x e3x
18. 4y
4y
y
ex/2 11
x2
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162
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales y(0) 1, y(0) 0.
30. Encuentre la solución general de x 4y x 3y 4x 2y 1 dado que y1 x2 es una solución de la ecuación homogénea asociada.
19. 4y y xe x/2
31. Suponga que yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x), donde u1 y u2 están definidas por (5) es una solución particular de (2) en un intervalo I para el que P, Q y f son continuas. Demuestre que yp se puede escribir como
20. 2y y y x 1 21. y 2y 8y 2e2x ex 22. y 4y 4y (12x 2 6x)e 2x En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución general de la ecuación homogénea. 23. x2 y
xy
(x2
1 4
)y
24. x y xy y sec(ln x); y 1 cos(ln x), y 2 sen(ln x) 2
En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de tercer orden usando variación de parámetros. 26. y 4y sec 2x
Problemas para analizar En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo sus ideas. 27. 3y 6y 30y 15 sen x e x tan 3x 28. y 2y y 4x 2 3 x 1e x 29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué el intervalo de definición de la solución del problema 24 no es (0, ).
4.7
G(x, t)f (t) dt,
(12)
y1(t)y2(x) y1(x)y2(t) , W(t)
(13)
x0
donde x y x0 están en I, G(x, t)
x3/2;
y 1 x 1/2 cos x, y 2 x 1/2 sen x
25. y y tan x
x
yp(x)
y W(t) W(y1(t), y2(t)) es el Wronskiano. La función G(x, t) en (13) se llama la función de Green para la ecuación diferencial (2). 32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada en (8) en términos de la solución particular (12). 33. Compruebe que (12) es una solución del problema con valores iniciales d 2y dx2
dy dx
P
Qy
f(x),
y(x0)
0,
y (x0)
0
en el intervalo I. [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz para derivar bajo un signo de integral.] 34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función de Green encontrada del problema 32 para encontrar una solución del problema con valores iniciales y
y
e2x,
y(0)
0,
y (0)
0
usando (12). Evalúe la integral.
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER REPASO DE MATERIAL ● Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3. INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es encontrar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar.
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168
CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 4.7
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada.
36. x 3y 3x 2y 6xy 6y 3 ln x 3
1. x y 2y 0
2. 4x y y 0
3. xy y 0
4. xy 3y 0
5. x 2y xy 4y 0
6. x 2y 5xy 3y 0
7. x 2y 3xy 2y 0
8. x 2y 3xy 4y 0
2
2
9. 25x 2y 25xy y 0
10. 4x 2y 4xy y 0
11. x 2y 5xy 4y 0
12. x 2y 8xy 6y 0
13. 3x 2y 6xy y 0
14. x 2y 7xy 41y 0
15. x 3y 6y 0
16. x 3y xy y 0
17. xy (4) 6y 0 3
19. xy 4y x 4 20. 2x 2y 5xy y x 2 x 21. x 2y xy y 2x
22. x 2y 2xy 2y x 4e x 1 xy y 24. x2 y x 1
23. x 2y xy y ln x
En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Use una aplicación para graficar y obtenga la gráfica de la curva solución.
26. x 2y 5xy 8y 0, y(2) 32, y(2) 0 27. x y xy y 0, y(1) 1, y(1) 2 28. x 2y 3xy 4y 0, y(1) 5, y(1) 3
5xy
38. x 2y 4xy 6y 0,
y(2) 8, y(2) 0
Problemas para analizar 39. ¿Cómo podría utilizar el método de esta sección para resolver 2)2 y
(x
2)y
y
0?
x, y(1) 8y
1, y (1) 8x6,
y
1 2
1 2
0, y
Lleve a cabo sus ideas. Exprese un intervalo en el cual esté definida la solución. 40. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de CauchyEuler de orden mínimo con coeficientes reales si se sabe que 2 y 1 i son raíces de su ecuación auxiliar? Lleve a cabo sus ideas. 41. Las condiciones iniciales y(0) y0, y(0) y1 se aplican a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: x 2y 0, x 2y 2xy 2y 0, x 2y 4xy 6y 0.
42. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la curva solución que se muestra en la figura 4.7.1? ¿Cuántas in1 tersecciones con el eje x hay en 0 x 2?
2
30. x2 y
y(1) 2, y(1) 4
¿Para qué valores de y0 y y1 cada problema con valores iniciales tiene una solución?
25. x 2y 3xy 0, y(1) 0, y(1) 4
y
37. 4x 2y y 0,
2
En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial dada por variación de parámetros.
29. xy
En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales dado en el intervalo (, 0).
(x
18. x y 6x y 9x y 3xy y 0 4 (4)
35. x 2y 3xy 13y 4 3x
Tarea para el laboratorio de computación 1 2
0
En los problemas 31 a 36 use la sustitución x et para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5.
En los problemas 43 al 46 resuelva la ecuación diferencial dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas) de la ecuación auxiliar. 43. 2x 3y 10.98x 2y 8.5xy 1.3y 0 44. x 3y 4x 2y 5xy 9y 0 45. x 4y (4) 6x 3y 3x 2y 3xy 4y 0
31. x 2y 9xy 20y 0
46. x 4y (4) 6x 3y 33x 2y 105xy 169y 0
32. x 2y 9xy 25y 0
47. Resuelva x 3y x 2y 2xy 6y x 2 por variación de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados en (10) de la sección 4.6.
33. x 2y 10xy 8y x 2 34. x 2y 4xy 6y ln x 2
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172
CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 3
Volver a tratar un problema de mezclas
En (3) de la sección 3.3 vimos que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden dx1 dt dx2 dt
2 x 25 1 2 x 25 1
1 x 50 2 2 x 25 2
es un modelo para la cantidad de libras de sal x1(t) y x2(t) en mezclas de salmuera en los tanques A y B, respectivamente, que se muestran en la figura 3.3.1. En ese momento no podíamos resolver el sistema. Pero ahora, en términos de operadores diferenciales, el sistema anterior se puede escribir como D
2 x 25 1 2 x 25 1
D
1 x 50 2
0
2 x 25 2
0.
Operando con D 252 la primera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por 501 , se suman y simplifican, y se obtiene (625D 2 100D 3)x1 0. De la ecuación auxiliar 625m 2
libras de sal
20
x1(t)
x1(t)
(25m
1)(25m
3)
0
10
0
c1e
20
40 60 Tiempo
80
x1(t)
100
tanques A y B.
EJERCICIOS 4.8
25 e 2
2x
y
2.
x y x
3t / 25
,
x2(t)
2c1 e
t / 25
3t / 25
2c2 e
.
t t
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4.
dx dt dy dt dx dt dy dt
4x
7y
x
2y
4y
1
x
t / 25
25 e 2
3t / 25
,
x2 (t)
25e
t / 25
25e
3t / 25
.
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-6.
En los problemas 1 a 20 resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado por eliminación sistemática.
dx dt dy dt
c2 e
En la figura 4.8.1 se muestran las gráficas de ambas ecuaciones. Consistentes con el hecho que se bombea agua pura al tanque A en la figura vemos que x1(t) : 0 y x2(t) : 0 conforme t : .
FIGURA 4.8.1 Libras de sal en los
dx dt dy dt
t / 25
En el análisis original de la página 107 se supuso que las condiciones iniciales eran x1(0) 25 y x2(0) 0. Aplicando estas condiciones a la solución se obtiene c1 c2 25 y 2c1 2c2 0. Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se obtiene c1 c2 252. Por último, una solución del problema con valores iniciales es
15
5 x (t) 2
3.
3
se observa inmediatamente que x1(t) c1et/25 2 c2e3t/25. Ahora se puede obtener x2(t) usando la primera ED del sistema en la forma x2 50(D 252 )x1. De esta manera se encuentra que la solución del sistema es
25
1.
100m
2
5. (D 2 5)x 2y 0 2 2x (D 2)y 0 6. (D 1)x (D 1)y 2 3x (D 2)y 1 7.
9.
d 2x dt2 d 2y dt2
4y
et
4x
et
8.
d 2 x dy dt2 dt dx dy dt dt
5x x
4y
Dx D 2y e3t (D 1)x (D 1)y 4e3t
6/4/09 12:18:32 PM
4.8
10. 11. 12. 13.
14.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
D 2x Dy t (D 3)x (D 3)y 2 (D 2 1)x y 0 (D 1)x Dy 0 (2D 2 D 1)x (2D 1)y 1 (D 1)x Dy 1 dx dy 2 5x et dt dt dx dy x 5et dt dt dx dy et dt dt d2 x dx x y 0 dt2 dt
15. (D 1)x (D 2 1)y 1 (D 2 1)x (D 1)y 2 16. D 2x 2(D 2 D)y sen t x Dy 0 17. Dx y 18. Dx z et Dy z (D 1)x Dy Dz 0 Dz x x 2y Dz e t dx dx x z 19. 20. 6y dt dt dy dy y z x z dt dt dz dz x y x y dt dt En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales. dx dx y 1 21. 22. 5x y dt dt dy dy 3x 2y 4x y dt dt x(1) 0, y(1) 1 x(0) 0, y(0) 0 Modelos matemáticos 23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de una pistola tiene un peso w mg y una velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa su trayectoria de movimiento. Véase la figura 4.8.2. Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] y
v mg x
FIGURA 4.8.2 Trayectoria del proyectil del problema 23.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173
●
173
24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire Determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resistencia del aire es una fuerza retardadora k (de magnitud k) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero opuesta a su movimiento. Véase la figura 4.8.3. Resuelva el sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, digamos, cv.] v
θ
k
FIGURA 4.8.3 Fuerzas en el problema 24. Problemas para analizar 25. Examine y analice el siguiente sistema:
(D
Dx 1)x
2Dy 2(D 1)y
t2 1.
Tarea para el laboratorio de computación 26. Examine de nuevo la figura 4.8.1 del ejemplo 3. Luego utilice una aplicación para determinar raíces para saber cuando el tanque B contiene más sal que el tanque A. 27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3. En ese problema se pidió demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales dx1 dt dx2 dt dx3 dt
1 x 50 1 1 x 50 1 2 x 75 2
2 x 75 2 1 x 25 3
es un modelo para las cantidades de sal en los tanques de mezclado conectados A, B y C que se muestran en la figura 3.3.7. Resuelva el sistema sujeto a x1(0) 15, x2(t) 10, x3(t) 5. b) Use un SAC para graficar x1(t), x2(t) y x3(t) en el mismo plano coordenado (como en la figura 4.8.1) en el intervalo [0, 200]. c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque A, es 1ógico que en algún momento la sal salga de los tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal x1(t), x2(t) y x3(t) simultáneamente menores o iguales que 0.5 libras?
6/4/09 12:18:32 PM
RES-4
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
●
EJERCICIOS 3.3 (PÁGINA 110) 1. x(t) x0 e 1 t x0
y(t)
1
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
z(t)
1t
(e
2
e
2t
e
1t
EJERCICIOS 4.1 (PÁGINA 128)
)
1 2
x0 1 2
1 2
1
e
2
t
1
3. 5, 20, 147 días. El tiempo cuando y(t) y z(t) son iguales tiene sentido porque se ha ido la mayor parte de A y la mitad de B ha desparecido así que se debe haber formado la mitad de C. 5.
dx1 dt dx2 dt
2 25
6 2 25
1 50
x1 2 25
x1
x2
x2
x2 x1 dx1 3 2 dt 100 t 100 t dx2 x1 x2 2 3 dt 100 t 100 t b) x1(t) x 2(t) 150; x 2(30) 47.4 lb
7. a)
di2 dt di3 L2 dt
13. L1
(R1
R2 )i2
R1 i3
E(t)
R1 i2
(R1
R3 ) i3
E(t)
15. i(0) i 0 , s(0) n i 0 , r(0) 0
EJERCICIOS 4.2 (PÁGINA 132) 1. 5. 9. 13. 17.
REPASO DEL CAPÍTULO 3 (PÁGINA 113) 1. dPdt 0.15P 3. P(45) 8.99 miles de millones 5. x
BT1 7. a) 1 b) T(t)
11. x(t)
y2
1 2 5t ,
0
ac1eak1 t , 1 c1eak1t
t t y(t)
1100
r(x)g y
T2 k(1 e B
B)t
10 10 c2 (1
c1 eak1 t ) k2 /k1
1 K
08243_13_answers.indd 4
g Ky
Kp ; q(x) dx
1. 5. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25.
1 2
y 2 sen 4x y 2 xe 2x/3 y2 1 y2 x 2 x 2 y2 e2x, yp 52 e3x
r(x)
y c1 c2ex/4 3. y c1e 3x c 2e2x y c1e4x c2 xe4x 7. y c1e 2x/3 c 2ex/4 y c1 cos 3x c 2 sen 3x y e 2x(c1 cos x c 2 sen x) y e x /3 c1 cos 13 12 x c2 sen 13 12 x y c1 c 2 ex c 3 e 5x y c1ex c 2 e 3x c 3 xe 3x u c1 e t et (c2 cos t c3 sen t) y c1 ex c2 x ex c3 x 2 ex y c1 c2 x e x /2 c3 cos 12 13 x c4 sen 12 13 x y c1 cos 12 13 x c2 sen 12 13 x
(
Kp B2(CKp bgx)
27. 29. 31. 33.
)
(
c3 x cos 12 13 x
q(x) dx
b) El cociente está aumentando; el cociente es constante d) r(x)
3. 7. 11. 15. 19.
y2
13. x y 1 c 2ey 15. a) p(x)
y 2 xe 2x y 2 senh x y 2 x 4 lnx y 2 x cos (ln x) y2 e2x, yp
EJERCICIOS 4.3 (PÁGINA 138)
T2 BT1 T2 , B 1 B BT1 T2 T1 1 B 1 4t 20,
9. i(t)
1100 y
10
10 ln
1 1 1. y 2 ex 2 e x 3. y 3x 4x ln x 9. (, 2) e senhx (ex e x ) 11. a) y b) y 2 e 1 senh 1 13. a) y e x cos x e x sen x b) ninguna solución c) y e x cos x ep/2e x sen x d) y c2e x sen x, donde c2 es arbitraria 15. dependiente 17. dependiente 19. dependiente 21. independiente 23. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(e3x, e 4x ) 7e x 0; y c1 e3x c2 e 4x. 25. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(e x cos 2x, e x sen 2x) 2e 2x 0; y c1e x cos 2x c2 e x sen 2x. 27. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(x 3, x 4 ) x 6 0; y c1 x 3 c2 x 4. 29. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(x, x2, x2 ln x) 9x6 0; y c1 x c2 x2 c3 x2 ln x. 2x2 6x 13 e2x 35. b) yp x 2 3x 3e 2x; y p
)
c4 x sen 12 13 x
u c1e r c 2re r c 3er c4rer c5e5r y 2 cos 4 x 12 sen 4x 1 5(t 1) 1 (t 1) y 3 e 3 e y0
6/4/09 12:35:28 PM
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
41. y y
1 1 2
1 6
6x
5 e 13
xe
6x
1 1 2
13x
5 e13x; 13
5 senh 13x 13
cosh 13 x
EJERCICIOS 4.4 (PÁGINA 148) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31.
y c 1e x c 2e 2x 3 y c1 e5 x c 2 xe5x 65 x 35 y c1 e 2x c2 xe 2x x2 4x 72 y c1 cos 13x c2 sen 13x 4x2 4x 43 e3x y c 1 c2e x 3x y c1 ex/2 c 2 xex/2 12 12 x2 ex/2 y c1 cos 2x c2 sen 2 x 34 x cos 2x y c1 cos x c2 sen x 12 x2 cos x 12 x sen x y c1 ex cos 2x c2 ex sen 2x 14 xex sen 2x y c1 e x c2 xe x 12 cos x 12 9 25 sen 2x 25 cos 2x y c1 c2 x c3 e6x 14 x2 376 cos x 371 sen x y c1 ex c2 xex c3 x2 ex x 3 23 x3 ex y c1 cos x c 2 sen x c 3x cos x c 4x sen x x 2 2x 3 y 12 sen 2 x 12 y 200 200ex/5 3x 2 30x y 10e2x cos x 9e2x sen x 7e4x
(
)
F0 F0 sen t t cos t 2 2 2 35. y 11 11ex 9xex 2x 12x2 ex 37. y 6 cos x 6(cot 1) sen x x 2 1 39. y 41. y
cos 2x 2 3 cos 2x
5 6
sen 2x 5 6 sen 2x,
1 3
8x2
5
13 13 x c2 sen x 2 2 sen x 2 cos x x cos x 11 2 7 3 1 4 c1 c2 x c3 e 8x 256 x 32 x 16 x c1 ex c2 xex c3 x2 ex 16 x3 ex x 13 c1 c2 x c3 ex c4 xex 12 x2 ex 12 x2 5 8x 1 5 8x 8e 4 8e 1 2 9 41 41 5x e 10 x 25 x 125 125 cos x 113 sen x 83 cos 2x 2x cos x 2e2x cos 2x 643 e2x sen 2x 18 x3 163 x2 e
x/2
c1 cos
x x
>2 >2
3 32 x
EJERCICIOS 4.6 (PÁGINA 161) 1. y c1 cos x c2 sen x x sen x cos x ln cos x 3. y c1 cos x c2 sen x 12 x cos x 5. y c1 cos x c2 sen x 12 16 cos 2x 7. y c1 ex c2 e x 12 x senh x c1 e2x x0
(3D 2)(3D 2)y sen x (D 6)(D 2)y x 6 D(D 5) 2y e x (D 1)(D 2)(D 5)y xex D(D 2)(D 2 2D 4)y 4 D4 17. D(D 2) D2 4 21. D 3(D 2 16) 3 (D 1)(D 1) 25. D(D 2 2D 5) 2 3 4 1, x, x , x , x 29. e 6x, e3x/2 cos 15x, sen 15x 33. 1, e 5x, xe 5x
08243_13_answers.indd 5
y y y y y y y
1 5x 2e
EJERCICIOS 4.5 (PÁGINA 156) 1. 3. 5. 7. 9. 15. 19. 23. 27. 31.
8 3 3x
y c 1 cos 5x c 2 sen 5x 2x cos 5x
57. y
59. 61. 63. 65. 67. 69. 71.
1
y c 1ex c 2e 3x e x 3 y c1 cos 5x c2 sen 5x 14 sen x 2 4x y c1 e 3x c2 xe 3x 491 xe4x 343 e 1 3 x 1 2 x 1 x x x y c1 e c2 e 6x e 4x e 4 xe 1 y ex (c1 cos 2x c2 sen 2x) 3 ex sen x
9. y
2x sen x, 0
y c 1e3x c 2 e 3x 6 y c 1 c 2ex 3x y c1 e 2x c2 x e 2x 12 x y c1 c2 x c3 e x 23 x4 y c1 e 3x c2 e4x 17 xe4x
x
33. x
4 sen 13x sen 13 13 cos 13
35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55.
11. 13. 15. 17.
c2 e
2x
1 4
e2x ln x
e
2x x0
0
y c 1ex c 2e2x (ex e2x) ln(1 e x) y c 1e2x c 2 ex e2x sen e x y c1 e t c2 te t 12 t2 e t ln t 34 t2 e t y c1 ex sen x c2 ex cos x 13 xex sen x 1 x 3 e cos x ln cos x
19. y
1 x/2 4e
3 x/2 4e
21. y
4 4x 9e
25 2x 36 e
1 2 x/2 8x e 1 2x 4e
1 x/2 4 xe 1 x 9e
23. y c 1x 1/2 cos x c 2x 1/2 sen x x 1/2 25. y c1 c2 cos x c3 sen x ln cos x sen x ln sec x tan x
e4t dt , t
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
5 35. y 365 36 e 37. y e 5x xe 5x 39. y 0
RES-5
●
EJERCICIOS 4.7 (PÁGINA 168) 1. y c 1x 1 c 2 x 2 3. y c 1 c 2 ln x 5. y c 1 cos(2 ln x) c 2 sen(2 ln x)
6/4/09 12:35:30 PM
RES-6
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
●
7. y
c1 x(2
16)
9. y
c1 cos
( 15 ln x)
16)
c2 x(2
c2 sen
( 15 ln x)
11. y c 1x 2 c 2x 2 ln x
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
13. y 15. y
[c1 cos(16 13 ln x) c1 x3 c2 cos( 12 ln x ) x
(
)] c3 sen ( 12 ln x )
c2 sen 16 13 ln x
1/2
17. y c 1 c 2 x c 3 x 2 c 4 x 3 19. y
c1
c2 x
1 5 5x
5
33. y
c1 x
1
1 2 4x
35. y
x2 [c1 cos(3 ln x)
cc2 x2 x
10 10
2
4 13
c2 sen(3 ln x)]
3 10 x
y
1 2 c2
sen t
c1 sen t
7. x
c1 e2t
y
2t
c2 e
2t
c2 e
2t
c1 e
c3 sen 2t
1 t 5e
c4 cos 2t
1 t 5e
c3 sen 2t
9. x
c1
c2 cos t
c3 sen t
y
c1
c2 sen t
c3 cos t
4 3t 15 e
cos 12 13t
c3 e
y
c1 et
(
c2 e
3 2 c2
1 2
t/2
13. x
15. x y
3 4t 4 c1 e
(c1
c2
2)
(c 2
t/2
sen 12 13t
17. x
c1 et
c2 e
y
c1 et
(
1 2 c2
1 2 1 2 c3
z
( 12 13c2 c1 et ( 12 c 2 ( 12 13c2
1)t
)
t/2
)
)e
t/2
t/2
1 2
3 2
x
c21 x2
c2
1 2 2x
1 3 2x
1 4 6x
1 5 10 x
15. y
1
x
1 2 2x
2 3 3x
1 4 4x
7 5 60 x
11
17. y
x2
REPASO DEL CAPÍTULO 4 (PÁGINA 178) 1. 3. 5. 7.
y0 falso (, 0); (0, ) y c1e3x c2e5x c3xe5x c4ex c5xex c6x2ex; y c 1x 3 c 2 x 5 c 3 x 5 ln x c 4 x c 5 x ln x c 6 x (ln x) 2 c1 e(1
13) x
t/2
c2 e(1
c1 e 3x / 2
e
x/3
e
(c2 cos
13) x
c2 e2x
17. y
c1
cos 12 13t
19. y
e x (c1 cos x
sen 12 13t sen 12 13t
cos 12 13t
1 2
3x / 2
(c2 cos 12 17x
111x
c3 sen 12
)
c3 sen 12 17x
)
111x
4 3 5x
36 2 25 x
222 625
1 2 2t
t
cos 12 13t
13c3 e
1 2 c3
c4 e
t/2
),
1 2x
46 125 x
c3 e
13c3 e
)e
1 2
t
(14
1 11 c1
1 2 2t
c3 et
c2
x
15. y
c2 t
x
c2
11. y c 1 c 2 e5x c 3xe5x
5et c4 e
tan
1 x c1
1
1
13. y c2
c1 y
c2
13. y
9. y
) t / 2 cos 12 13t 3 t/2 sen 12 13t 2 c3) e
c1
08243_13_answers.indd 6
sen 12 13t
4 t 3e
c1 e4t
y
t/2
13c3 e
( 12 13c2
1 3 3y
x)
c4 cos 16t
c4 cos 2t 17 3t 15 e
11. x
2c4 cos 16t
c3 sen 16t
c2 cos t
ln cos (c1 1 ln c1 x c21
11. y
2c3 sen 16t
cos t
7.
9. y
EJERCICIOS 4.8 (PÁGINA 172) 1. x c 1e t c 2 te t y (c 1 c 2)e t c 2 te t 3. x c 1 cos t c 2 sen t t 1 y c 1 sen t c 2 cos t t 1 1 2 c1
3. y 5. y
37. y 2(x) 1/2 5(x) 1/2 ln(x), x 0
5. x
c4
EJERCICIOS 4.9 (PÁGINA 177)
2
1 2 30 x
8
c2 x
c3 t
ln x
31. yy c 11xx 31.
ln x
29. y
1 2 2 gt
y
21. y c 1x c 2 x ln x x(ln x) 2 23. y c 1x 1 c 2 x ln x 25. y 2 2x 2 27. y cos(ln x) 2 sen(ln x) 3 4
19. x 6c 1et 3c 2 e 2t 2c 3e3t y c 1e t c 2 e 2t c 3e 3t z 5c 1e t c 2 e2t c 3 e 3t 21. x e 3t3 te 3t3 y e 3t3 2te 3t3 23. mx 0 my mg; x c 11t c 22
c3 e3x
1 5 sen x
c2 sen x)
21. y c 1x 1/3 c 2 x 1/2 23. y c 1x 2 c 2x 3 x 4 x 2 ln x 25. a) y c1 cos x c2 sen x B sen x, ; y c1 cos x c2 sen x Bx sen x,
1 5 cos
x
e x cos x ln sec x
4 3x
tan x
A cos x Ax cos x
6/4/09 12:35:32 PM
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Eligiendo c1 1 y c2 0, se encuentra de y u(x)y1(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es e P(x) d x y2 y1(x) dx. (5) y21(x) Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se define en (5) satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
EJEMPLO 2
Una segunda solución por la fórmula (5)
La función y1 x2 es una solución de x2y 3xy 4y 0. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ). SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación,
encontramos de (5)
y
3 y x
y2
x2 x2
4 y x2 e3
0,
d x /x
x4 dx x
dx
; e3
d x /x
eln x
3
x3
x 2 ln x.
La solución general en el intervalo (0, ) está dada por y c1 y1 c2 y2; es decir, y c1x 2 c2 x 2 ln x.
COMENTARIOS i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fórmula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe conocer los primeros principios de la reducción de orden. ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de una ecuación no homogénea a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x) siempre que se conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas 17 a 20 en los ejercicios 4.2.
EJERCICIOS 4.2
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una segunda solución y2(x). 1. y 4y 4y 0; 2. y 2y y 0; 3. y 16y 0;
y1 e y1 xe
x
y1 cos 4x
4. y 9y 0; y1 sen 3x
2x
7. 9y 12y 4y 0; y1 e 2x/3 8. 6y y y 0; y1 e x/3 9. x 2y 7xy 16y 0; y1 x 4 10. x 2y 2xy 6y 0; y1 x 2 11. xy y 0; y1 ln x 12. 4x 2y y 0; y1 x 1/2 ln x
5. y y 0; y1 cosh x
13. x 2y xy 2y 0; y1 x sen(ln x)
6. y 25y 0; y1 e 5x
14. x 2y 3xy 5y 0; y1 x 2 cos(ln x)
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 132
6/4/09 12:18:07 PM
4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
15. (1 2x x 2)y 2(1 x)y 2y 0; y1 x 1 16. (1 x 2)y 2xy 0; y1 1 En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método de reducción de orden para determinar una segunda solución y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea dada. 17. y 4y 2; y1 e 2x 18. y y 1; y1 1 y1 e x
y1 e
x
Problemas para analizar 21. a) Proporcione una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b, y c constantes, tiene siempre cuando menos una solución de la forma y1 em1 x , m1 es una constante. b) Explique por qué la ecuación diferencial que se proporciona en el inciso a) debe tener una segunda solu-
4.3
ción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x , m1 y m2 son constantes. c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5? 22. Compruebe que y1(x) x es una solución de xy – xy y 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una segunda solución y2(x) en la forma de una serie infinita. Estime un intervalo de definición para y2(x). Tarea para el laboratorio de computación
19. y 3y 2y 5e 3x; 20. y 4y 3y x;
133
●
23. a) Compruebe que y1(x) ex es una solución de xy (x 10)y 10y 0. b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solución y2(x). Usando un SAC realice la integración que se requiere. c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2, por qué la segunda solución puede escribirse en forma compacta como 10 1 n y2(x) x. n 0 n!
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES REPASO DE MATERIAL ● Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5. ● Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales. INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogéneas ay by 0, donde los coeficientes a 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución, uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación: despejando y de la ecuación ay by 0 se obtiene y ky, donde k es una constante. Esta observación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial emx. Ahora el nuevo método de solución: si sustituimos y emx y y memx en ay by 0, se obtiene amemx bemx 0 o emx (am b) 0. Como e nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 0. Para este único valor de m, y emx es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2y 5y 0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y emx en la ED; sólo se tiene que 5 5x/2 formar la ecuación 2m 5 0 y despejar m. De m es una solución 2 se concluye que y e 5x/2 de 2y 5y 0, y su solución general en el intervalo (, ) es y c1e . En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las ED lineales homogéneas de orden superior, (1) an y(n) an 1 y(n 1) a2 y a1 y a0 y 0, donde los coeficientes ai, i 0, 1, . . . , n son constantes reales y an 0. mx
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138
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
braicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el equipo de cómputo necesario para resolver de manera eficaz ecuaciones tales como 4.317
d 4y dx4
2.179
d 3y dx3
1.416
d 2y dx2
1.295
dy dx
3.169y
(13)
0.
Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13). Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en el resultado, Mathematica genera la solución general (aproximada) y
c1e
0.728852x
cos(0.618605x)
0.728852x
c2e
c3e0.476478x cos(0.759081x)
sen(0.618605x)
c4e0.476478x sen(0.759081x).
Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en, digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con las cuatro incógnitas (c1, c2, c3 y c4 en la solución general). Si se emplea un SAC para resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 59 y 60 del ejercicio 4.3 y el problema 35 en Repaso del capítulo 4. *
McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
EJERCICIOS 4.3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada. 1. 4y y 0
2. y 36y 0
3. y y 6y 0
4. y 3y 2y 0
5. y 8y 16y 0
6. y 10y 25y 0
7. 12y 5y 2y 0
8. y 4y y 0
9. y 9y 0
10. 3y y 0
11. y 4y 5y 0
12. 2y 2y y 0
13. 3y 2y y 0
14. 2y 3y 4y 0
20.
d 3x dt3
d 2x dt2
4x
0
21. y 3y 3y y 0 22. y 6y 12y 8y 0 23. y (4) y y 0 24. y (4) 2y y 0 25. 16
d 4y dx4
24
d 2y dx2
9y
26.
d 4y dx4
7
d 2y dx2
18y
En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada.
27.
d 5u dr5
5
d 4u dr4
2
15. y 4y 5y 0
28. 2
16. y y 0
d 5x ds5
7
d 4x ds4
0 0
d 3u dr3 12
d 3x ds3
10
d 2u dr2 8
d 2x ds2
du dr
5u
0
0
17. y 5y 3y 9y 0
En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores iniciales
18. y 3y 4y 12y 0
29. y 16y 0,
3
19.
d u dt3
2
d u dt2
y(0) 2, y(0) 2
2
2u
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0
30.
d y d 2
y
0, y
3
0, y
3
2
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4.3
d 2y 31. dt2
dy 4 dt
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
0, y(1)
0, y (1)
139
y
45. 5y
●
2
32. 4y 4y 3y 0, y(0) 1, y(0) 5
x
33. y y 2y 0, y(0) y(0) 0 34. y 2y y 0, y(0) 5, y(0) 10 35. y 12y 36y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7 36. y 2y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1 En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado.
FIGURA 4.3.4 Gráfica del problema 45.
46.
y
37. y 10y 25y 0, y(0) 1, y(1) 0 38. y 4y 0,
y(0) 0, y(p) 0
39. y
y (0)
y
0,
0, y
2
0
x
FIGURA 4.3.5 Gráfica del problema 46.
40. y 2y 2y 0, y(0) 1, y(p) 1 En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11). 41. y 3y 0, 42. y y 0,
47.
y
π
y(0) 1, y(0) 5
x
y(0) 1, y(1) 0
En los problemas 43 a 48 cada figura representa la gráfica de una solución particular de una de las siguientes ecuaciones diferenciales. a) y 3y 4y 0 b) y 4y 0 c) y 2y y 0 d) y y 0 e) y 2y 2y 0 f) y 3y 2y 0
FIGURA 4.3.6 Gráfica del problema 47.
48.
y
Relacione una curva solución con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su razonamiento. 43.
π
y
x
x
FIGURA 4.3.2 Gráfica del problema 43.
FIGURA 4.3.7 Gráfica del problema 48. Problemas para analizar
44.
49. Las raíces de una ecuación cúbica auxiliar son m1 4 y m2 m3 5. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? Analice: ¿su respuesta es única?
y
x
FIGURA 4.3.3 Gráfica del problema 44.
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50. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica con coeficien1 tes reales son m1 y m2 3 i. ¿Cuál es la ecua2 ción diferencial lineal homogénea correspondiente?
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140
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
51. Determine la solución general de y 6y y 34y 0 si se sabe que y1 e4x cos x es una solución.
diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución general, simplifique el resultado y si es necesario, escriba la solución en términos de funciones reales.
52. Para resolver y (4) y 0, es necesario encontrar las raíces de m4 1 0. Este es un problema trivial si se utiliza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que m4 1 (m2 1)2 2m2. ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación diferencial.
55. y 6y 2y y 0 56. 6.11y 8.59y 7.93y 0.778y 0 57. 3.15y (4) 5.34y 6.33y 2.03y 0 58. y (4) 2y y 2y 0
53. Compruebe que y senh x 2 cos(x p兾6) es una solución particular de y(4) y 0. Reconcilie esta solución particular con la solución general de la ED.
En los problemas 59 y 60 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes ci, i 1, 2, 3, 4 que resulta cuando se aplican las condiciones iniciales a la solución general.
54. Considere el problema con valores en la frontera y ly 0, y(0) 0, y(p兾2) 0. Analice: ¿es posible determinar valores de l tal que el problema tenga a) soluciones triviales?, b) ¿soluciones no triviales?
59. 2y (4) 3y 16y 15y 4y 0, y(0) 2, y(0) 6, y(0) 3, y(0)
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 55 a 58 use una computadora ya sea como ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para obtener de forma directa la solución general de la ecuación
4.4
1 2
60. y (4) 3y 3y y 0, y(0) y(0) 0, y(0) y(0) 1
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN * REPASO DE MATERIAL ● Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1). INTRODUCCIÓN
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea a n y (n)
an
1y
(n
1)
a1 y
a0 y
g(x),
(1)
se debe hacer dos cosas: • encontrar la función complementaria yc y • encontrar alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea (1). Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es y yc yp. La función complementaria yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir, an y (n)
an
1y
(n 1)
a1 y
a0 y
0.
En la sección 4.3 vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares.
*
Nota para el profesor: En esta sección el método de coeficientes indeterminados se desarrolla desde el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Elija el que convenga.
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CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
COMENTARIOS i) En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide resolver problemas con valores iniciales y en los problemas 37 a 40 se pide resolver problemas con valores en la frontera. Como se muestra en el ejemplo 8, asegúrese de aplicar las condiciones iniciales o condiciones en la frontera a la solución general y yc yp. Los estudiantes con frecuencia cometen el error de aplicar estas condiciones sólo a la función complementaria yc porque ésta es la parte de la solución que contiene las constantes c1, c2, . . . , cn. ii) De la “Regla de la forma para el caso I” de la página 145 de esta sección, se ve por qué el método de coeficientes indeterminados no es muy adecuado para ED lineales no homogéneas cuando la función de entrada g(x) es algo distinta de uno de los cuatro tipos básicos resaltados en color azul en la página 141. Por ejemplo, si P(x) es un polinomio, entonces la derivación continua de P(x)eax sen bx genera un conjunto independiente que contiene sólo un número finito de funciones, todas del mismo tipo, en particular, un polinomio multiplicado por eax sen bx o un polinomio multiplicado por eax cos bx. Por otro lado, la derivación sucesiva de funciones de entrada como g(x) ln x o g(x) tan1x genera un conjunto independiente que contiene un número infinito de funciones: 1 1 2 derivadas de ln x: , 2 , 3 , . . . , x x x derivadas de tan1 x:
EJERCICIOS 4.4
1 1
2x , 2 2 x (1 x2 ) 2 (1 ,
6x2 , . . . . x2 ) 3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 26 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
16. y 5y 2x 3 4x 2 x 6 17. y 2y 5y e x cos 2x 18. y 2y 2y e 2x(cos x 3 sen x)
1. y 3y 2y 6
19. y 2y y sen x 3 cos 2x
2. 4y 9y 15 3. y 10y 25y 30x 3 4. y y 6y 2x 5. 1 y y y x 2 2x 4 6. y 8y 20y 100x 2 26xe x
20. y 2y 24y 16 (x 2)e 4x 21. y 6y 3 cos x 22. y 2y 4y 8y 6xe 2x 23. y 3y 3y y x 4e x 24. y y 4y 4y 5 e x e 2x
7. y 3y 48x 2e 3x
25. y (4) 2y y (x 1) 2
8. 4y 4y 3y cos 2x
26. y (4) y 4x 2xex
9. y y 3
En los problemas 27 a 36 resuelva el problema con valores iniciales dado.
10. y 2y 2x 5 e2x 11. y
y
1 y 4
3
e x/2
27. y 4y 2,
y
1 ,y 2 8
8
2
12. y 16y 2e 4x
28. 2y 3y 2y 14x2 4x 11, y(0) 0, y(0) 0
13. y 4y 3 sen 2x
29. 5y y 6x,
14. y 4y (x 2 3) sen 2x
30. y 4y 4y (3 x)e2x,
15. y y 2x sen x
31. y 4y 5y 35e
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y(0) 0, y(0) 10 4x
,
y(0) 2, y(0) 5
y(0) 3, y(0) 1
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4.4
32. y y cosh x, d 2x dt 2 d 2x 34. dt 2
33.
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
y(0) 2, y(0) 12
v 2x
F0 sen t,
x(0) 0, x(0) 0
v 2x
F0 cos t,
x(0) 0, x(0) 0
35. y y 2y y y y 2 24e x 40e5x, 5 9 y (0) 2, y (0) 2 36. y 8y 2x 5 8e2x, y(0) 4
y(0)
1 2,
y(0) 5, y(0) 3,
y
a)
y(0) 0, y(p) p
39. y 3y 6x,
y(0) 0, y(1) y(1) 0
40. y 3y 6x,
y(0) y(0) 0, y(1) 0
FIGURA 4.4.1 Curva solución.
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema con valores iniciales dado en el que la función de entrada g(x) es discontinua. [Sugerencia: Resuelva cada problema en dos intervalos y después encuentre una solución tal que y y y sean continuas en x p兾2 (problema 41) y en x p (problema 42).]
g(x)
x
y(0) 5, y(1) 0
38. y 2y 2y 2x 2,
41. y 4y g(x),
149
45. Sin resolver, relacione una curva solución de y y f(x) que se muestra en la figura con una de las siguientes funciones: i) f (x) 1, ii) f (x) ex, x iii) f (x) e , iv) f (x) sen 2x, v) f (x) e x sen x, vi) f (x) sen x. Analice brevemente su razonamiento.
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado. 37. y y x 2 1,
●
y(0) 1, y(0) 2, sen x, 0 0, x
x
FIGURA 4.4.2
>2 c)
42. y 2y 10y g(x),
y
donde
>2
x
b)
y(0) 0, y(0) 0,
Curva solución. y
donde x
g(x)
20, 0 0, x
x FIGURA 4.4.3
Problemas para analizar 43. Considere la ecuación diferencial ay by cy ekx, donde a, b, c y k son constantes. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociada es am2 bm c 0. a) Si k no es una raíz de la ecuación auxiliar, demuestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Aekx, donde A 1兾(ak2 bk c). b) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad uno, muestre que se puede encontrar una solución particular de la forma yp Axekx, donde A 1兾(2ak b). Explique cómo se sabe que k b兾2a. c) Si k es una raíz de la ecuación auxiliar de multiplicidad dos, demuestre que podemos encontrar una solución particular de la forma y Ax2ekx, donde A 1兾(2a). 44. Explique cómo se puede usar el método de esta sección para encontrar una solución particular de y y sen x cos 2x. Lleve a cabo su idea.
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d)
Curva solución. y
x
FIGURA 4.4.4
Curva solución.
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 46 y 47 determine una solución particular de la ecuación diferencial dada. Use un SAC como ayuda para realizar las derivadas, simplificaciones y álgebra. 46. y 4y 8y (2x 2 3x)e 2x cos 2x (10x 2 x 1)e 2x sen 2x 47. y (4) 2y y 2 cos x 3x sen x
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156
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO DEL ANULADOR La ecuación diferencial L(y) g(x) tiene coeficientes constantes y la función g(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales eax, senos y cosenos. i) Encuentre la función complementaria yc para la ecuación homogénea L(y) 0. ii) Opere ambos lados de la ecuación no homogénea L(y) g(x) con un operador diferencial L1 que anula la función g(x). iii) Determine la solución general de la ecuación diferencial homogénea de orden superior L1L(y) 0. iv) Elimine de la solución del paso iii) los términos que se duplican en la solución complementaria yc encontrada en el paso i). Forme una combinación lineal yp de los términos restantes. Esta es la forma de una solución particular de L(y) g(x). v) Sustituya yp encontrada en el paso iv) en L(y) g(x). Iguale los coeficientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones para determinar los coeficientes desconocidos de yp. vi) Con la solución particular encontrada en el paso v), forme la solución general y yc yp de la ecuación diferencial dada.
COMENTARIOS El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni tampoco es aplicable a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) es una función tal que g(x)
ln x,
g(x)
1 , x
g(x)
tan x,
g(x)
sen 1 x,
etcétera. Las ecuaciones diferenciales en las que la entrada g(x) es una función de esta última clase se consideran en la siguiente sección.
EJERCICIOS 4.5
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial en la forma L(y) g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L. 1. 9y 4y sen x 3. 5. 7. 8. 9. 10.
2. y 5y x2 2x
y 4y 12y x 6 4. 2y 3y 2y 1 y 10y 25y e x 6. y 4y e x cos 2x x y 2y 13y 10y xe y 4y 3y x 2 cos x 3x y (4) 8y 4 y (4) 8y 16y (x 3 2x)e 4x
En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial anula las funciones indicadas. 11. D 4;
y 10x 3 2x
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12. 2D 1;
y 4e x/2
13. (D 2)(D 5); 14. D 2 64;
y e 2x 3e5x
y 2 cos 8x 5 sen 8x
En los problemas 15 a 26 determine el operador diferencial lineal que anula la función dada. 15. 1 6x 2x 3
16. x 3(1 5x)
17. 1 7e 2x
18. x 3xe 6x
19. cos 2x
20. 1 sen x
21. 13x 9x 2 sen 4x
22. 8x sen x 10 cos 5x
23. ex 2xe x x 2e x
24. (2 e x) 2
25. 3 e x cos 2x
26. ex sen x e 2x cos x
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4.6
En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente independientes que anulan el operador diferencial dado.
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
157
●
55. y 25y 20 sen 5x
56. y y 4 cos x sen x
57. y y y x sen x
58. y 4y cos2x
27. D 5
28. D 2 4D
59. y 8y 6x 2 9x 2
29. (D 6)(2D 3)
30. D 2 9D 36
60. y y y y xe x ex 7
31. D 2 5
32. D 2 6D 10
33. D 3 10D 2 25D
34. D 2(D 5)(D 7)
61. y 3y 3y y e x x 16 62. 2y 3y 3y 2y (e x ex) 2 63. y (4) 2y y e x 1
En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.
64. y (4) 4y 5x 2 e 2x
35. y 9y 54
36. 2y 7y 5y 29
37. y y 3
38. y 2y y 10
En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales.
39. y 4y 4y 2x 6
65. y 64y 16,
40. y 3y 4x 5
66. y y x,
y(0) 1, y(0) 0
y(0) 1, y(0) 0
41. y y 8x 2
42. y 2y y x 3 4x
67. y 5y x 2,
43. y y 12y e 4x
44. y 2y 2y 5e 6x
68. y 5y 6y 10e 2x,
45. y 2y 3y 4e x 9
y(0) 0, y(0) 2 y(0) 1, y(0) 1
69. y y 8 cos 2x 4 sen x,
46. y 6y 8y 3e2x 2x 47. y 25y 6 sen x 48. y 4y 4 cos x 3 sen x 8 49. y 6y 9y xe 4x
70. y 2y y xe x 5, y(0) 1 71. y 4y 8y x 3, 72. y y x e , y(0) 0 (4)
50. y 3y 10y x(e x 1) 51. y y x 2e x 5
x
y
2
1, y
0
2
y(0) 2, y(0) 2,
y(0) 2, y(0) 4 y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0,
52. y 2y y x 2ex
Problemas para analizar
53. y 2y 5y e sen x
73. Suponga que L es un operador diferencial lineal que se factoriza pero que tiene coeficientes variables. ¿Conmutan los factores de L? Defienda su respuesta.
x
54. y
y
1 y 4
4.6
ex(sen 3x
cos 3x)
VARIACIÓN DE PARÁMETROS REPASO DE MATERIAL ●
La variación de parámetros se introdujo por primera vez en la sección 2.3 y se usó de nuevo en la sección 4.2. Se recomienda dar un repaso a estas secciones.
INTRODUCCIÓN El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular yp de una ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x), (1) comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar y P(x)y Q(x)y f (x) (2) dividiendo entre el coeficiente principal a2(x). La ecuación (2) es la análoga de segundo orden de la forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: dy兾dx P(x)y f(x). En (2) se supone que P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto en la sección 4.3, no hay dificultad para obtener la función complementaria yc, la solución general de la ecuación homogénea asociada de (2), cuando los coeficientes son constantes.
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4.6
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
161
●
Las primeras n 1 ecuaciones de este sistema, al igual que y1u 1 y2u 2 0 en (4), son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que yp u1(x)y1(x) un(x)yn(x) se sustituye en (9). En este caso usando la regla de Cramer se obtiene Wk uk , k 1, 2, . . . , n, W donde W es el Wronskiano de y1, y2, . . . , yn y Wk es el determinante que se obtiene al remplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado derecho de (10), es decir, la columna que consta de (0, 0, . . . , f(x)). Cuando n 2, se obtiene la ecuación (5). Cuando n 3, la solución particular yp u1 y1 u2 y2 u3 y3 , donde y1, y2 y y3 constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones de la ED homogénea asociada y u1, u2 y u3 se determinan a partir de u1
W1
0 y2 0 y p 2 f (x) y 2
y3 y3 p , y3
W2
W1 , W
y1 0 y3 y 0 y p 1 3p, y 1 f (x) y 3
W2 , W
u2
W3
y1 y p 1 y1
W3 , W
u3
y2 0 y2 0 p, y 2 f (x)
y
(11)
W
y1 y p 1 y1
y2 y2 y2
y3 y3 p . y3
Véanse los problemas 25 y 26 de los ejercicios 4.6.
COMENTARIOS i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre produce una solución particular yp , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada. Este método no se limita a una función f (x) que es una combinación de las cuatro clases que se listan en la página 141. Como se verá en la siguiente sección, la variación de parámetros, a diferencia de los coeficientes indeterminados, es aplicable a ED lineales con coeficientes variables. ii) En los problemas siguientes, no dude en simplificar la forma de yp. Dependiendo de cómo se encuentren las antiderivadas de u1 y u2 , es posible que no se obtenga la misma yp que se da en la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de 1 1 1 los ejercicios 4.6 tanto yp 12 sen x 2 x cos x como yp 2 x cos x 4 sen x son respuestas válidas. En cualquier caso la solución general y yc yp se simplifica a y c1 cos x c2 senx 12 x cos x . ¿Por qué?
EJERCICIOS 4.6
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros.
11. y 12. y
3y 2y
2y
1 ex
1 ex
y
1. y y sec x
2. y y tan x
3. y y sen x
4. y y sec u tan u
1 x2 13. y 3y 2y sen e x
5. y y cos 2x
6. y y sec 2x
14. y 2y y e t arctan t
7. y y cosh x
8. y y senh 2x
15. y 2y y et ln t
16. 2y
2y
y
41x
17. 3y 6y 6y e sec x x
9. y
4y
e2x x
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10. y
9y
9x e3x
18. 4y
4y
y
ex/2 11
x2
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162
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales y(0) 1, y(0) 0.
30. Encuentre la solución general de x 4y x 3y 4x 2y 1 dado que y1 x2 es una solución de la ecuación homogénea asociada.
19. 4y y xe x/2
31. Suponga que yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x), donde u1 y u2 están definidas por (5) es una solución particular de (2) en un intervalo I para el que P, Q y f son continuas. Demuestre que yp se puede escribir como
20. 2y y y x 1 21. y 2y 8y 2e2x ex 22. y 4y 4y (12x 2 6x)e 2x En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución general de la ecuación homogénea. 23. x2 y
xy
(x2
1 4
)y
24. x y xy y sec(ln x); y 1 cos(ln x), y 2 sen(ln x) 2
En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de tercer orden usando variación de parámetros. 26. y 4y sec 2x
Problemas para analizar En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo sus ideas. 27. 3y 6y 30y 15 sen x e x tan 3x 28. y 2y y 4x 2 3 x 1e x 29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué el intervalo de definición de la solución del problema 24 no es (0, ).
4.7
G(x, t)f (t) dt,
(12)
y1(t)y2(x) y1(x)y2(t) , W(t)
(13)
x0
donde x y x0 están en I, G(x, t)
x3/2;
y 1 x 1/2 cos x, y 2 x 1/2 sen x
25. y y tan x
x
yp(x)
y W(t) W(y1(t), y2(t)) es el Wronskiano. La función G(x, t) en (13) se llama la función de Green para la ecuación diferencial (2). 32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada en (8) en términos de la solución particular (12). 33. Compruebe que (12) es una solución del problema con valores iniciales d 2y dx2
dy dx
P
Qy
f(x),
y(x0)
0,
y (x0)
0
en el intervalo I. [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz para derivar bajo un signo de integral.] 34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función de Green encontrada del problema 32 para encontrar una solución del problema con valores iniciales y
y
e2x,
y(0)
0,
y (0)
0
usando (12). Evalúe la integral.
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER REPASO DE MATERIAL ● Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3. INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es encontrar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar.
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168
CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 4.7
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada.
36. x 3y 3x 2y 6xy 6y 3 ln x 3
1. x y 2y 0
2. 4x y y 0
3. xy y 0
4. xy 3y 0
5. x 2y xy 4y 0
6. x 2y 5xy 3y 0
7. x 2y 3xy 2y 0
8. x 2y 3xy 4y 0
2
2
9. 25x 2y 25xy y 0
10. 4x 2y 4xy y 0
11. x 2y 5xy 4y 0
12. x 2y 8xy 6y 0
13. 3x 2y 6xy y 0
14. x 2y 7xy 41y 0
15. x 3y 6y 0
16. x 3y xy y 0
17. xy (4) 6y 0 3
19. xy 4y x 4 20. 2x 2y 5xy y x 2 x 21. x 2y xy y 2x
22. x 2y 2xy 2y x 4e x 1 xy y 24. x2 y x 1
23. x 2y xy y ln x
En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores iniciales. Use una aplicación para graficar y obtenga la gráfica de la curva solución.
26. x 2y 5xy 8y 0, y(2) 32, y(2) 0 27. x y xy y 0, y(1) 1, y(1) 2 28. x 2y 3xy 4y 0, y(1) 5, y(1) 3
5xy
38. x 2y 4xy 6y 0,
y(2) 8, y(2) 0
Problemas para analizar 39. ¿Cómo podría utilizar el método de esta sección para resolver 2)2 y
(x
2)y
y
0?
x, y(1) 8y
1, y (1) 8x6,
y
1 2
1 2
0, y
Lleve a cabo sus ideas. Exprese un intervalo en el cual esté definida la solución. 40. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de CauchyEuler de orden mínimo con coeficientes reales si se sabe que 2 y 1 i son raíces de su ecuación auxiliar? Lleve a cabo sus ideas. 41. Las condiciones iniciales y(0) y0, y(0) y1 se aplican a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales: x 2y 0, x 2y 2xy 2y 0, x 2y 4xy 6y 0.
42. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la curva solución que se muestra en la figura 4.7.1? ¿Cuántas in1 tersecciones con el eje x hay en 0 x 2?
2
30. x2 y
y(1) 2, y(1) 4
¿Para qué valores de y0 y y1 cada problema con valores iniciales tiene una solución?
25. x 2y 3xy 0, y(1) 0, y(1) 4
y
37. 4x 2y y 0,
2
En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial dada por variación de parámetros.
29. xy
En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores iniciales dado en el intervalo (, 0).
(x
18. x y 6x y 9x y 3xy y 0 4 (4)
35. x 2y 3xy 13y 4 3x
Tarea para el laboratorio de computación 1 2
0
En los problemas 31 a 36 use la sustitución x et para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las secciones 4.3 a 4.5.
En los problemas 43 al 46 resuelva la ecuación diferencial dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas) de la ecuación auxiliar. 43. 2x 3y 10.98x 2y 8.5xy 1.3y 0 44. x 3y 4x 2y 5xy 9y 0 45. x 4y (4) 6x 3y 3x 2y 3xy 4y 0
31. x 2y 9xy 20y 0
46. x 4y (4) 6x 3y 33x 2y 105xy 169y 0
32. x 2y 9xy 25y 0
47. Resuelva x 3y x 2y 2xy 6y x 2 por variación de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados en (10) de la sección 4.6.
33. x 2y 10xy 8y x 2 34. x 2y 4xy 6y ln x 2
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172
CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 3
Volver a tratar un problema de mezclas
En (3) de la sección 3.3 vimos que el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden dx1 dt dx2 dt
2 x 25 1 2 x 25 1
1 x 50 2 2 x 25 2
es un modelo para la cantidad de libras de sal x1(t) y x2(t) en mezclas de salmuera en los tanques A y B, respectivamente, que se muestran en la figura 3.3.1. En ese momento no podíamos resolver el sistema. Pero ahora, en términos de operadores diferenciales, el sistema anterior se puede escribir como D
2 x 25 1 2 x 25 1
D
1 x 50 2
0
2 x 25 2
0.
Operando con D 252 la primera ecuación y multiplicando la segunda ecuación por 501 , se suman y simplifican, y se obtiene (625D 2 100D 3)x1 0. De la ecuación auxiliar 625m 2
libras de sal
20
x1(t)
x1(t)
(25m
1)(25m
3)
0
10
0
c1e
20
40 60 Tiempo
80
x1(t)
100
tanques A y B.
EJERCICIOS 4.8
25 e 2
2x
y
2.
x y x
3t / 25
,
x2(t)
2c1 e
t / 25
3t / 25
2c2 e
.
t t
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 172
4.
dx dt dy dt dx dt dy dt
4x
7y
x
2y
4y
1
x
t / 25
25 e 2
3t / 25
,
x2 (t)
25e
t / 25
25e
3t / 25
.
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-6.
En los problemas 1 a 20 resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado por eliminación sistemática.
dx dt dy dt
c2 e
En la figura 4.8.1 se muestran las gráficas de ambas ecuaciones. Consistentes con el hecho que se bombea agua pura al tanque A en la figura vemos que x1(t) : 0 y x2(t) : 0 conforme t : .
FIGURA 4.8.1 Libras de sal en los
dx dt dy dt
t / 25
En el análisis original de la página 107 se supuso que las condiciones iniciales eran x1(0) 25 y x2(0) 0. Aplicando estas condiciones a la solución se obtiene c1 c2 25 y 2c1 2c2 0. Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones se obtiene c1 c2 252. Por último, una solución del problema con valores iniciales es
15
5 x (t) 2
3.
3
se observa inmediatamente que x1(t) c1et/25 2 c2e3t/25. Ahora se puede obtener x2(t) usando la primera ED del sistema en la forma x2 50(D 252 )x1. De esta manera se encuentra que la solución del sistema es
25
1.
100m
2
5. (D 2 5)x 2y 0 2 2x (D 2)y 0 6. (D 1)x (D 1)y 2 3x (D 2)y 1 7.
9.
d 2x dt2 d 2y dt2
4y
et
4x
et
8.
d 2 x dy dt2 dt dx dy dt dt
5x x
4y
Dx D 2y e3t (D 1)x (D 1)y 4e3t
6/4/09 12:18:32 PM
4.8
10. 11. 12. 13.
14.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ED LINEALES POR ELIMINACIÓN
D 2x Dy t (D 3)x (D 3)y 2 (D 2 1)x y 0 (D 1)x Dy 0 (2D 2 D 1)x (2D 1)y 1 (D 1)x Dy 1 dx dy 2 5x et dt dt dx dy x 5et dt dt dx dy et dt dt d2 x dx x y 0 dt2 dt
15. (D 1)x (D 2 1)y 1 (D 2 1)x (D 1)y 2 16. D 2x 2(D 2 D)y sen t x Dy 0 17. Dx y 18. Dx z et Dy z (D 1)x Dy Dz 0 Dz x x 2y Dz e t dx dx x z 19. 20. 6y dt dt dy dy y z x z dt dt dz dz x y x y dt dt En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales. dx dx y 1 21. 22. 5x y dt dt dy dy 3x 2y 4x y dt dt x(1) 0, y(1) 1 x(0) 0, y(0) 0 Modelos matemáticos 23. Movimiento de un proyectil Un proyectil disparado de una pistola tiene un peso w mg y una velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignorando la resistencia del aire y las fuerzas que actúan sobre el proyectil excepto su peso, determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa su trayectoria de movimiento. Véase la figura 4.8.2. Resuelva el sistema. [Sugerencia: Use la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] y
v mg x
FIGURA 4.8.2 Trayectoria del proyectil del problema 23.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 173
●
173
24. Movimiento del proyectil con resistencia del aire Determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describa la trayectoria de movimiento en el problema 23 si la resistencia del aire es una fuerza retardadora k (de magnitud k) que actúa tangente a la trayectoria del proyectil pero opuesta a su movimiento. Véase la figura 4.8.3. Resuelva el sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de velocidad, digamos, cv.] v
θ
k
FIGURA 4.8.3 Fuerzas en el problema 24. Problemas para analizar 25. Examine y analice el siguiente sistema:
(D
Dx 1)x
2Dy 2(D 1)y
t2 1.
Tarea para el laboratorio de computación 26. Examine de nuevo la figura 4.8.1 del ejemplo 3. Luego utilice una aplicación para determinar raíces para saber cuando el tanque B contiene más sal que el tanque A. 27. a) Lea nuevamente el problema 8 de los ejercicios 3.3. En ese problema se pidió demostrar que el sistema de ecuaciones diferenciales dx1 dt dx2 dt dx3 dt
1 x 50 1 1 x 50 1 2 x 75 2
2 x 75 2 1 x 25 3
es un modelo para las cantidades de sal en los tanques de mezclado conectados A, B y C que se muestran en la figura 3.3.7. Resuelva el sistema sujeto a x1(0) 15, x2(t) 10, x3(t) 5. b) Use un SAC para graficar x1(t), x2(t) y x3(t) en el mismo plano coordenado (como en la figura 4.8.1) en el intervalo [0, 200]. c) Debido a que se bombea agua pura hacia el tanque A, es 1ógico que en algún momento la sal salga de los tres tanques. Utilice una aplicación de un SAC para encontrar raíces para determinar el tiempo cuando la cantidad de sal en cada recipiente sea menor o igual que 0.5 libras. ¿Cuándo son las cantidades de sal x1(t), x2(t) y x3(t) simultáneamente menores o iguales que 0.5 libras?
6/4/09 12:18:32 PM
RES-4
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
●
EJERCICIOS 3.3 (PÁGINA 110) 1. x(t) x0 e 1 t x0
y(t)
1
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
z(t)
1t
(e
2
e
2t
e
1t
EJERCICIOS 4.1 (PÁGINA 128)
)
1 2
x0 1 2
1 2
1
e
2
t
1
3. 5, 20, 147 días. El tiempo cuando y(t) y z(t) son iguales tiene sentido porque se ha ido la mayor parte de A y la mitad de B ha desparecido así que se debe haber formado la mitad de C. 5.
dx1 dt dx2 dt
2 25
6 2 25
1 50
x1 2 25
x1
x2
x2
x2 x1 dx1 3 2 dt 100 t 100 t dx2 x1 x2 2 3 dt 100 t 100 t b) x1(t) x 2(t) 150; x 2(30) 47.4 lb
7. a)
di2 dt di3 L2 dt
13. L1
(R1
R2 )i2
R1 i3
E(t)
R1 i2
(R1
R3 ) i3
E(t)
15. i(0) i 0 , s(0) n i 0 , r(0) 0
EJERCICIOS 4.2 (PÁGINA 132) 1. 5. 9. 13. 17.
REPASO DEL CAPÍTULO 3 (PÁGINA 113) 1. dPdt 0.15P 3. P(45) 8.99 miles de millones 5. x
BT1 7. a) 1 b) T(t)
11. x(t)
y2
1 2 5t ,
0
ac1eak1 t , 1 c1eak1t
t t y(t)
1100
r(x)g y
T2 k(1 e B
B)t
10 10 c2 (1
c1 eak1 t ) k2 /k1
1 K
08243_13_answers.indd 4
g Ky
Kp ; q(x) dx
1. 5. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25.
1 2
y 2 sen 4x y 2 xe 2x/3 y2 1 y2 x 2 x 2 y2 e2x, yp 52 e3x
r(x)
y c1 c2ex/4 3. y c1e 3x c 2e2x y c1e4x c2 xe4x 7. y c1e 2x/3 c 2ex/4 y c1 cos 3x c 2 sen 3x y e 2x(c1 cos x c 2 sen x) y e x /3 c1 cos 13 12 x c2 sen 13 12 x y c1 c 2 ex c 3 e 5x y c1ex c 2 e 3x c 3 xe 3x u c1 e t et (c2 cos t c3 sen t) y c1 ex c2 x ex c3 x 2 ex y c1 c2 x e x /2 c3 cos 12 13 x c4 sen 12 13 x y c1 cos 12 13 x c2 sen 12 13 x
(
Kp B2(CKp bgx)
27. 29. 31. 33.
)
(
c3 x cos 12 13 x
q(x) dx
b) El cociente está aumentando; el cociente es constante d) r(x)
3. 7. 11. 15. 19.
y2
13. x y 1 c 2ey 15. a) p(x)
y 2 xe 2x y 2 senh x y 2 x 4 lnx y 2 x cos (ln x) y2 e2x, yp
EJERCICIOS 4.3 (PÁGINA 138)
T2 BT1 T2 , B 1 B BT1 T2 T1 1 B 1 4t 20,
9. i(t)
1100 y
10
10 ln
1 1 1. y 2 ex 2 e x 3. y 3x 4x ln x 9. (, 2) e senhx (ex e x ) 11. a) y b) y 2 e 1 senh 1 13. a) y e x cos x e x sen x b) ninguna solución c) y e x cos x ep/2e x sen x d) y c2e x sen x, donde c2 es arbitraria 15. dependiente 17. dependiente 19. dependiente 21. independiente 23. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(e3x, e 4x ) 7e x 0; y c1 e3x c2 e 4x. 25. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(e x cos 2x, e x sen 2x) 2e 2x 0; y c1e x cos 2x c2 e x sen 2x. 27. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(x 3, x 4 ) x 6 0; y c1 x 3 c2 x 4. 29. Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo ya que W(x, x2, x2 ln x) 9x6 0; y c1 x c2 x2 c3 x2 ln x. 2x2 6x 13 e2x 35. b) yp x 2 3x 3e 2x; y p
)
c4 x sen 12 13 x
u c1e r c 2re r c 3er c4rer c5e5r y 2 cos 4 x 12 sen 4x 1 5(t 1) 1 (t 1) y 3 e 3 e y0
6/4/09 12:35:28 PM
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
41. y y
1 1 2
1 6
6x
5 e 13
xe
6x
1 1 2
13x
5 e13x; 13
5 senh 13x 13
cosh 13 x
EJERCICIOS 4.4 (PÁGINA 148) 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31.
y c 1e x c 2e 2x 3 y c1 e5 x c 2 xe5x 65 x 35 y c1 e 2x c2 xe 2x x2 4x 72 y c1 cos 13x c2 sen 13x 4x2 4x 43 e3x y c 1 c2e x 3x y c1 ex/2 c 2 xex/2 12 12 x2 ex/2 y c1 cos 2x c2 sen 2 x 34 x cos 2x y c1 cos x c2 sen x 12 x2 cos x 12 x sen x y c1 ex cos 2x c2 ex sen 2x 14 xex sen 2x y c1 e x c2 xe x 12 cos x 12 9 25 sen 2x 25 cos 2x y c1 c2 x c3 e6x 14 x2 376 cos x 371 sen x y c1 ex c2 xex c3 x2 ex x 3 23 x3 ex y c1 cos x c 2 sen x c 3x cos x c 4x sen x x 2 2x 3 y 12 sen 2 x 12 y 200 200ex/5 3x 2 30x y 10e2x cos x 9e2x sen x 7e4x
(
)
F0 F0 sen t t cos t 2 2 2 35. y 11 11ex 9xex 2x 12x2 ex 37. y 6 cos x 6(cot 1) sen x x 2 1 39. y 41. y
cos 2x 2 3 cos 2x
5 6
sen 2x 5 6 sen 2x,
1 3
8x2
5
13 13 x c2 sen x 2 2 sen x 2 cos x x cos x 11 2 7 3 1 4 c1 c2 x c3 e 8x 256 x 32 x 16 x c1 ex c2 xex c3 x2 ex 16 x3 ex x 13 c1 c2 x c3 ex c4 xex 12 x2 ex 12 x2 5 8x 1 5 8x 8e 4 8e 1 2 9 41 41 5x e 10 x 25 x 125 125 cos x 113 sen x 83 cos 2x 2x cos x 2e2x cos 2x 643 e2x sen 2x 18 x3 163 x2 e
x/2
c1 cos
x x
>2 >2
3 32 x
EJERCICIOS 4.6 (PÁGINA 161) 1. y c1 cos x c2 sen x x sen x cos x ln cos x 3. y c1 cos x c2 sen x 12 x cos x 5. y c1 cos x c2 sen x 12 16 cos 2x 7. y c1 ex c2 e x 12 x senh x c1 e2x x0
(3D 2)(3D 2)y sen x (D 6)(D 2)y x 6 D(D 5) 2y e x (D 1)(D 2)(D 5)y xex D(D 2)(D 2 2D 4)y 4 D4 17. D(D 2) D2 4 21. D 3(D 2 16) 3 (D 1)(D 1) 25. D(D 2 2D 5) 2 3 4 1, x, x , x , x 29. e 6x, e3x/2 cos 15x, sen 15x 33. 1, e 5x, xe 5x
08243_13_answers.indd 5
y y y y y y y
1 5x 2e
EJERCICIOS 4.5 (PÁGINA 156) 1. 3. 5. 7. 9. 15. 19. 23. 27. 31.
8 3 3x
y c 1 cos 5x c 2 sen 5x 2x cos 5x
57. y
59. 61. 63. 65. 67. 69. 71.
1
y c 1ex c 2e 3x e x 3 y c1 cos 5x c2 sen 5x 14 sen x 2 4x y c1 e 3x c2 xe 3x 491 xe4x 343 e 1 3 x 1 2 x 1 x x x y c1 e c2 e 6x e 4x e 4 xe 1 y ex (c1 cos 2x c2 sen 2x) 3 ex sen x
9. y
2x sen x, 0
y c 1e3x c 2 e 3x 6 y c 1 c 2ex 3x y c1 e 2x c2 x e 2x 12 x y c1 c2 x c3 e x 23 x4 y c1 e 3x c2 e4x 17 xe4x
x
33. x
4 sen 13x sen 13 13 cos 13
35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55.
11. 13. 15. 17.
c2 e
2x
1 4
e2x ln x
e
2x x0
0
y c 1ex c 2e2x (ex e2x) ln(1 e x) y c 1e2x c 2 ex e2x sen e x y c1 e t c2 te t 12 t2 e t ln t 34 t2 e t y c1 ex sen x c2 ex cos x 13 xex sen x 1 x 3 e cos x ln cos x
19. y
1 x/2 4e
3 x/2 4e
21. y
4 4x 9e
25 2x 36 e
1 2 x/2 8x e 1 2x 4e
1 x/2 4 xe 1 x 9e
23. y c 1x 1/2 cos x c 2x 1/2 sen x x 1/2 25. y c1 c2 cos x c3 sen x ln cos x sen x ln sec x tan x
e4t dt , t
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
5 35. y 365 36 e 37. y e 5x xe 5x 39. y 0
RES-5
●
EJERCICIOS 4.7 (PÁGINA 168) 1. y c 1x 1 c 2 x 2 3. y c 1 c 2 ln x 5. y c 1 cos(2 ln x) c 2 sen(2 ln x)
6/4/09 12:35:30 PM
RES-6
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR
●
7. y
c1 x(2
16)
9. y
c1 cos
( 15 ln x)
16)
c2 x(2
c2 sen
( 15 ln x)
11. y c 1x 2 c 2x 2 ln x
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS CON NUMERACIÓN IMPAR • CAPÍTULO 4
13. y 15. y
[c1 cos(16 13 ln x) c1 x3 c2 cos( 12 ln x ) x
(
)] c3 sen ( 12 ln x )
c2 sen 16 13 ln x
1/2
17. y c 1 c 2 x c 3 x 2 c 4 x 3 19. y
c1
c2 x
1 5 5x
5
33. y
c1 x
1
1 2 4x
35. y
x2 [c1 cos(3 ln x)
cc2 x2 x
10 10
2
4 13
c2 sen(3 ln x)]
3 10 x
y
1 2 c2
sen t
c1 sen t
7. x
c1 e2t
y
2t
c2 e
2t
c2 e
2t
c1 e
c3 sen 2t
1 t 5e
c4 cos 2t
1 t 5e
c3 sen 2t
9. x
c1
c2 cos t
c3 sen t
y
c1
c2 sen t
c3 cos t
4 3t 15 e
cos 12 13t
c3 e
y
c1 et
(
c2 e
3 2 c2
1 2
t/2
13. x
15. x y
3 4t 4 c1 e
(c1
c2
2)
(c 2
t/2
sen 12 13t
17. x
c1 et
c2 e
y
c1 et
(
1 2 c2
1 2 1 2 c3
z
( 12 13c2 c1 et ( 12 c 2 ( 12 13c2
1)t
)
t/2
)
)e
t/2
t/2
1 2
3 2
x
c21 x2
c2
1 2 2x
1 3 2x
1 4 6x
1 5 10 x
15. y
1
x
1 2 2x
2 3 3x
1 4 4x
7 5 60 x
11
17. y
x2
REPASO DEL CAPÍTULO 4 (PÁGINA 178) 1. 3. 5. 7.
y0 falso (, 0); (0, ) y c1e3x c2e5x c3xe5x c4ex c5xex c6x2ex; y c 1x 3 c 2 x 5 c 3 x 5 ln x c 4 x c 5 x ln x c 6 x (ln x) 2 c1 e(1
13) x
t/2
c2 e(1
c1 e 3x / 2
e
x/3
e
(c2 cos
13) x
c2 e2x
17. y
c1
cos 12 13t
19. y
e x (c1 cos x
sen 12 13t sen 12 13t
cos 12 13t
1 2
3x / 2
(c2 cos 12 17x
111x
c3 sen 12
)
c3 sen 12 17x
)
111x
4 3 5x
36 2 25 x
222 625
1 2 2t
t
cos 12 13t
13c3 e
1 2 c3
c4 e
t/2
),
1 2x
46 125 x
c3 e
13c3 e
)e
1 2
t
(14
1 11 c1
1 2 2t
c3 et
c2
x
15. y
c2 t
x
c2
11. y c 1 c 2 e5x c 3xe5x
5et c4 e
tan
1 x c1
1
1
13. y c2
c1 y
c2
13. y
9. y
) t / 2 cos 12 13t 3 t/2 sen 12 13t 2 c3) e
c1
08243_13_answers.indd 6
sen 12 13t
4 t 3e
c1 e4t
y
t/2
13c3 e
( 12 13c2
1 3 3y
x)
c4 cos 16t
c4 cos 2t 17 3t 15 e
11. x
2c4 cos 16t
c3 sen 16t
c2 cos t
ln cos (c1 1 ln c1 x c21
11. y
2c3 sen 16t
cos t
7.
9. y
EJERCICIOS 4.8 (PÁGINA 172) 1. x c 1e t c 2 te t y (c 1 c 2)e t c 2 te t 3. x c 1 cos t c 2 sen t t 1 y c 1 sen t c 2 cos t t 1 1 2 c1
3. y 5. y
37. y 2(x) 1/2 5(x) 1/2 ln(x), x 0
5. x
c4
EJERCICIOS 4.9 (PÁGINA 177)
2
1 2 30 x
8
c2 x
c3 t
ln x
31. yy c 11xx 31.
ln x
29. y
1 2 2 gt
y
21. y c 1x c 2 x ln x x(ln x) 2 23. y c 1x 1 c 2 x ln x 25. y 2 2x 2 27. y cos(ln x) 2 sen(ln x) 3 4
19. x 6c 1et 3c 2 e 2t 2c 3e3t y c 1e t c 2 e 2t c 3e 3t z 5c 1e t c 2 e2t c 3 e 3t 21. x e 3t3 te 3t3 y e 3t3 2te 3t3 23. mx 0 my mg; x c 11t c 22
c3 e3x
1 5 sen x
c2 sen x)
21. y c 1x 1/3 c 2 x 1/2 23. y c 1x 2 c 2x 3 x 4 x 2 ln x 25. a) y c1 cos x c2 sen x B sen x, ; y c1 cos x c2 sen x Bx sen x,
1 5 cos
x
e x cos x ln sec x
4 3x
tan x
A cos x Ax cos x
6/4/09 12:35:32 PM
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