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Cálculo Diferencial - Taller No. 1 Universidad de los Andes - Departamento de Matemáticas

1. Encuentre el dominio de f (x) =

ln (x2 − 4) . 2x2 + x − 15

2. Encuentre f ◦ g ◦ h y su dominio, donde f (x) =

√

x, g(x) = 2x − 1 y h(x) =

3. Halle la inversa de la función. (i) f (x) =

4x − 1 2x + 3

(ii) g(x) =

ln (x) + 1 . ln (x) − 1

4. Si g(x) =

x−1 , encuentre g −1 (−1). x+1

5. Resuelva cada ecuación para x. (i) ln (x − 2) + ln x = 1 (ii) ln (2x + 1) + ln (x − 3) − 2 ln x = 0 (iii) 5x

2 −12

= 252x

(iv) 22x + 2x − 12 = 0 6. Use transformaciones para trazar la gráca de la función. (i) f (x) = 1 − ln |x + 1| (ii) g(x) = |e|x| − 2| 7. Calcule el valor exacto. (i)

log10 25 + log10 4 e2 ln 3

(ii) tan(sec−1 4) 

(iii) sin 2 sin−1

 3  5

8. Calcule los siguientes límites, si existen. Si no existen justique por qué. (i) l´ım− x→1

6x2 − x − 2 x2 + x − 2

1 . x

x2 − 3x − 10 x2 − 10x + 25

(ii) l´ım+ x→5

x2 − 5x + 6 x→2 x2 − 4 √ 1 − 1 − x2 (iv) l´ım x→0 x2 √ 6−x−2 (v) l´ım √ x→2 3−x−1   1 1 (vi) l´ım − x→0 x x2 + x

(iii) l´ım

(vii) l´ım

x→−3

(viii) l´ım

x→0

3 − |x| x+3

|2x − 1| − |2x + 1| x √

9. Encuentre los valores de a y b para los cuales l´ım

x→0

ax + b − 2 = 1. x

10. Calcule los siguientes límites, si existen. Si no existen justique por qué. 4x4 + 5 x→∞ (2x2 − 5)(1 − 3x2 ) √ 16x2 + 2x − 3 (ii) l´ım x→−∞ x+9 √ (iii) l´ım ( 9x2 + x − 3x)

(i) l´ım

x→∞

√

(iv) l´ım (x + −x) x→−∞

11. Halle las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. x3 − x2 + x − 1 x − x3 √ 4x2 + 1 (ii) g(x) = 3x − 5

(i) f (x) =

12. Halle los valores de a, b y c para que las siguientes funciónes sean contínuas en (−∞, ∞). (i)

(ii)

 2 x −4    si x < 2, x−2 f (x) = 2 ax − bx + 3 si 2 ≤ x < 3,    2x − a + b si x ≥ 3.   x2 − c2 f (x) =  8x − c

si x 6= c, si x = c.