Taller Vectorial

Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´aticas Notas de C´alculo III - Ingenier´ıa Prof. Mario Hern´andez 23 de septiembre de 2009

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO Recordar el teorema fundamental del c´alculo ... Z b f 0 (x)dx = f (b) − f (a) a

Veamos una generalizaci´ on de este resultado desarrollado por George Green (17931841), f´ısico y matem´ atico ingl´es. Supongamos que C es una curva cerrada simple que forma la frontera de una regi´on S en el plano xy; suponga que C est´a dada orientada de tal forma que la regi´on S siempre est´e a la izquierda. Si F (x, y) = M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj, entonces la integral de linea de F respecto de la curva cerrada C se denota por I (M (x, y)dx + N (x, ydy)) C

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO: Sea C una curva cerrada simple, suave por partes, que forma la frontera de una regi´on S en el plano xy, si M (x, y) y N (x, y) tienen derivadas parciales continuas en S y en su frontera C entonces Z Z  I   ∂N ∂M  − dA = M (x, y)dx + N (x, y)dy ∂x ∂dy S C Similarmente al teorema fundamental arriba enunciado este teorema afirma que para calcular una integral sobre una regi´on S que cumple las condiciones descritas para M (x, y) y N (x, y) entonces basta con calcular una integral sobre la frontera de esta regi´on. No quiere decir que sea m´ as f´ acil, s´ olo que es equivalente. Veamos algunos ejemplos.

1. Aplicar el teorema de Green para evaluar I (5xydx + x3 dy), donde C es la curva cerrada que consta de las gr´ aficas y = x2 y y = 2x, hentre los puntos (0, 0) y (2, 4). NOTA: Al igualar x2 = 2x se obtiene los puni tos (0, 0) y (2, 4)

∂N ´ SOLUCION: Sea M (x, y) = 5xy y N (x, y) = x3 . Por tanto, = 3x2 y ∂x ∂M = 5x. Entonces por el teorema de Green tenemos que ∂y I  Z Z   ∂M  ∂N dA = − M (x, y)dx + N (x, y)dy ∂x ∂dy C S Calculemos cada una de estas integrales: Z 2 Z 2 Z 2x Z Z  ∂N ∂M  2 (3x2 − 5x)y |2x2 xdx (3x − 5x)dydx = dA = − ∂x ∂dy 0 x2 0 S Z =

2

(3x2 − 5x)(2x − x2 )dx =

0

2

Z

(−3x4 + 11x3 − 10x2 )dx = −

0

28 15

Por otra parte:

I





Z

2

M (x, y)dx+N (x, y)dy =

C1

2

3

Z

(5x(x )dx+x (2x)dx) = 0

0

2

(5x3 +2x4 )dx =

164 5

En este caso la frontera C1 es la gr´afica de y = x2 . Este valor de y se reemplaza en 5xy = 5x(x2 ) y en la parte donde est´a dy se tiene que como y = x2 entonces dy = 2xdx. Ahora, haciendo la integral sobre la frontera C2 que corresponde a y = 2x. En este caso se tendr´ a que dy = 2dx, y por tanto:

I C2



Z 2 Z 2  −104 M (x, y)dx+N (x, y)dy = − (5x(2x)dx+x3 (2)dx) = − (10x2 +2x3 )dx = 3 0 0

De las dos integrales anteriores se tiene que I

I =

C

I C1 +

C2 =

164 104 28 − =− 5 3 15 

2. Eval´ ue

I  C

(4 + e

√ x

 )dx + (sin y + 3x2 )dy ,

donde C es la frontera de la regi´on R entre dos cuartos de circunferencia de radios a y b y dos segmentos sobre los ejes coordenados.

√ ∂N ´ SOLUCION: Sea M = 4 + e x y N = sin y + 3x2 . Por tanto, se tiene = 6x ∂x ∂M y = 0. Aplicando el teorema de Green: ∂y Z Z I Z Z  ∂M  ∂N = − (6x − 0)dxdy (M dx + N dy) = ∂x ∂y R C Z Z Z π/2 Z b 6r cos θrdrdθ ... = 2(b3 −a3 ). Cambiando a polares ... (6x−0)dxdy = a

0

R



El teorema de Green sirve para deducir una f´ormula para calcular el ´area mathbf A de una regi´ on R acotada por una curvaZ regular parte Z I por parte y cerrada simple, definiendo M = 0 y N = x. Luego A =

dA =

xdy. ZC Z I Definiendo M = −y y N = 0 el resultado es A = dA = − ydx. R

R

C

De lo anterior se tiene: TEOREMA: Si la frontera de una regi´on R en el plano xy es una curva regular parte por parte y cerrada simple mathbf C, entonces el ´area de R es I A= .

I

1 xdy = − ydx = 2 C

I (xdy − ydx) C

 Aunque las 2 primeras f´ ormulas parecen m´as f´aciles de aplicar, se enuncia la tercera porque para ciertas curvas lleva a una interpretaci´on m´as sencilla. Veamos un ejemplo. x2 y2 + 2 = 1. 2 a b ´ SOLUCION: La elipse dada es la curva C y tiene ecuaciones param´etricas x = a cos t y y = b sin t, con

3. Calcular el ´ area de la elipse

0 ≤ t ≤ 2π. Entonces por el teorema anterior: A=

1 2

I (xdy − ydx) = C

1 = 2

Z 0

2π

1 2

Z

2π

  (a cos t)(b cos t)dt − (b sin t)(−a sin t)dt

0

Z   1 2π 2 2 ab cos t + sin t dt = (ab)dt = abπ 2 0 

4. EJERCICIO: Sean C1 y C2 dos curvas regulares parte por parte y cerradas simples que no se cortan y que tienen al origen O como punto interior. Pruebe que si −y x M= 2 yN= 2 entonces x + y2 x + y2 I I (M dx + N dy) = (M dx + N dy) C1

C2



H −yˆi + xˆj entonces C F~ · d ~r = 2π para toda curva C 5. Demostrar que si F~ (x, y) = 2 2 x +y regular parte por parte y cerrada simple que contiene al origen en su interior. ´ Sea F~ = M ˆi+N ˆj. Si tomamos a SOLUCION: C1 como la circunferencia de radio a con centro en el origen que se encuentra dentro de la regi´on C I y no la corta, I entonces por el ejercicio anterior ~ F · d ~r = F~ · d ~r. Como C1 tiene ecuaC

C1

ciones param´etricas x = a cos t y y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, entonces

I

F~ · d~r =

I C1

C

Z = 0

2π

"

"

−y x dx + 2 dy x2 + y 2 x + y2

#

# Z 2π a2 sin2 t a2 cos2 t dt = + dt = 2π a2 a2 0 

FORMA VECTORIAL DEL TEOREMA DE GREEN Suponga que C es una curva suave y cerrada simple en el plano xy cuya orientaci´on es contraria a las manecillas del reloj. Si su parametrizaci´on es x = x(s) y y = y(s) dx ˆ dy ˆ dy dx entonces sabemos que T~ = i+ j es un vector tangente unitario y ~n = ˆi− ˆj ds ds ds ds es un vector unitario que apunta hacia afuera de la regi´on S, cuya frontera es la curva C, es claro que T~ · ~n = 0. Luego, si F~ (x, y) = M (x, y)ˆi + N (x, y)ˆj entonces I I  dy  ~ ˆi − dx ˆj ds T · ~nds = (M ˆi + N ˆj) · ds ds C C " # I Z Z ∂M ∂N = (M dy − N dx) = + dA (1) dx dy C S Ahora por definici´ on sabemos que div F~ = ∇ · F~ =

∂M ∂N + ∂x ∂y

(2)

Luego, de (1) y (2) tenemos I C

F~ · ~nds =

Z Z

div F~ dA = S

Resultado conocido como Teorema

plano.

Z Z

∇ · F~ dA

(3)

S

de la divergencia de Gauss en el

F´ısicamente hablando este teorema se puede interpretar as´ı: Suponga que se tiene un flu´ıdo de densidad constante que se mueve a trav´es del plano xy y que es tan delgado que podemos despreciar su grosor. Nos interesa calcular la raz´on a la cual este flu´ıdo cruza la frontera de la regi´on S. Sea F (x, y) = ~v (x, y) el vector velocidad del flu´ıdo en el punto (x, y) y sea 4S la longitud del peque˜ no segmento de la curva C cuyo punto inicial es el punto (x, y). La cantidad de flu´ıdo que cruza este segmento por unidad de tiempo es aproximadamente el a´rea del paralelogramo. O sea ~v ·~n4S. A la cantidad de flu´ıdo que sale por unidad de tiempo se le llama flujo del campo F~ a trav´ es de C. Luego, ~ a trav´es de C es el flujo de F I F~ · ~nds. C

Ahora sea (xo , yo ) fijo en S y sea Cr un c´ırculo de radio r y centro en (xo , yo ), entonces la divF en Sr ser´a aproximadamente igual a divF en (xo , yo ), o sea divF (xo , yo ). As´ı, por el teorema de Green I Z Z ~ Flujo de F a trav´es de Cr = F · ~nds = divF dA Cr

Sr

≈ divF (xo , yo )(πr2 ) Es decir, esto se cumple bajo la suposici´on de que divF es continua. As´ı, se tendr´a que divF mide la raz´on con la que el flu´ıdo ”diverge hacia afuera” de (xo , yo ), esto si divF (xo , yo ) > 0, y tiende hacia (xo , yo ) si divF (xo , yo ) < 0. Cuando divF = 0 entonces existe un flujo neto igual a cero a trav´es de la frontera de S, esto es, lo que entra es igual a lo que ˆ sale. De otro lado, considere la siguiente figura. Sea F~ = Mˆi + N ˆj + 0k, entonces por el teorema de Green tenemos " # I I   Z Z ∂N ∂M F~ · T~ ds = M dx + N dy = − dA ∂x ∂y C C S

Pero sabemos que rotF = ∇ × F =

ˆ1 ∂ ∂x M

ˆj ∂ ∂y N !

kˆ ∂ ∂z 0

=

! ∂N ∂M ˆ − k ∂x ∂y

∂M ∂N − . ∂x ∂y

As´ı que rotF · kˆ =

Luego, elI teorema de ZGreen toma Z la forma F~ · T~ ds = (rotF ) · C

S

ˆ kdA, llamado Teorema de Stokes en el plano.

Al aplicar este resultado al c´ırculo Sr con centro en (xo , yo ) tenemos que I ˆ 2) T~ · T~ ds ≈ (rotF (xo , yo )) · k(πr Cr

Esta forma del teorema con el uso del rotacional mide la tendencia del flujo a girar en torno a (xo , yo ). Cuando rotF = 0 se dice que el flujo es irrotacional 6. Sea f (x, y) = x2 + y 2 . a) Examine el campo F y conv´enzase de que divF > 0 en S, donde S = {(x, y)/ − 3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ x ≤ 3}. b) Calcule el flujo de F a trav´es de la frontera de S. 

INTEGRALES DE SUPERFICIE Sabemos que una integral de linea generaliza una integral com´ un. As´ı mismo una integral de superficie generaliza una integral doble. En una secci´on anterior (que no se evalu´o en el curso) se di´o la f´ormula para a´rea superficial como A = Z Z el q fx2 + fy2 + 1 dA, para una S

funci´on f (x, y). Ahora lo que se busca es construir una f´ormula an´aloga para funciones g(x, y, z), con z = f (x, y). Considere una funci´on g(x, y, z) continua sobre una egi´on S y se efect´ ua la reespectiva partici´on de la regi´on D sobre la cual se encuentra S. La partici´on de D nos da diferenciales ∆i x − ∆i y y un ´area de medida ∆i A. Si (ui , vi ) es un punto cualquiera en el rect´angulo i-´esimo, entonces el punto Q(ui , vi , f (ui , vi )) ∈ S es tambi´en el punto donde se encuentra un plano tangente . Sea ∆i P la medida del ´area de esta proyecci´on, la cual es una aproximaci´on al a´rea de la superficie correspondiente al i-´esimo rect´angulo; entonces como sabemos que q ∆i P = fx2 (ui , vi ) + fy2 (ui , vi ) + 1 ∆i A (4) Si consideramos la suma n X

g(ui , vi , f (ui , vi ))∆i P

(5)

i=1

y tomamos

l´ım , tenemos que reemplazando (4) en (5) se tiene la

||∆||→0

integral: Z Z

Z Z

q g(x, y, f (x, y)) fx2 + fy2 + 1 dA

g(x, y, z)dP = S

S

N´otese que si g(x, y, z) = 1 la f´ormula es la que se estudi´o en el cap´ıtulo pasado. Si la ecuaci´on de la superficie es de la forma x = h(y, z) entonces el razonamiento es igual, con proyecci´on sobre el plano yz, y la f´ormula es de la forma Z Z Z Z q g(x, y, z)dP = g(h(y, z), y, z) fy2 + fz2 + 1 dA S

D

7. Calcule la masa de la porci´on del plano x + y + z = 1 que se encuentra en el primer octante si la densidad superficial en cualquier punto (x, y, z) de la superficie es kg kx2 2 , donde k es una constante. m ´ :Se tiene que z = 1−x−y. Por tanto, fx = −1, fy = −1. SOLUCION M (x, y) Como ρ(x, y) = entonces M (x, y) = ρ(x, y)P (x, y) o´ ∆M = P (x, y) ρ(x)∆P . Entonces: Z Z

Z Z ρ(x, y)dP =

M=

kx

S

Z Z

2

Z Z dP =

S

q fy2 + fz2 + 1 dA

D

Z p kx (−1)2 + (−1)2 + 1 dA = 2

D

kx2

0

1

Z

1−x

√ kx2 3dydx = · · · terminarla!!

0

 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS Y TEOREMA DE STOKES a) TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS Sean M (x, y, z), N (x, y, z y W (x, y, z) y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de R3 . Sea S una superficie cerrada suave a tramos, contenida en B y sea E la regi´on limitada por S, si Fˆ (x, y, z) = Mˆi + N ˆj + W kˆ y n ˆ es un vector normal unitario saliente de S, entonces: Z Z Z Z Z Fˆ · n ˆ dP = div Fˆ dV S

E

b) TEOREMA DE STOKES Sean M (x, y, z), N (x, y, z y W (x, y, z) y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de R3 . Sea C una superficie simple y suave a trozos que es la frontera de S. Si Fˆ (x, y, z) = Mˆi + N ˆj + W kˆ y si n ˆ es un vector normal ˆ unitario saliente de S, y T es un vector unitario tangente a C,

donde s unidades de la longitud de arco medida a partir de un punto particular Po de C hasta W , entonces: I Z Z ˆ ˆ rotFˆ · n ˆ dP F ·T = S

C

8. Si Fˆ (x, y, z) = x2 yˆi + y 2ˆj + xz kˆ y S es el cubo del primer octante limitado por los planos x = 1, y = 1, z = 1 y los planos coordenados, calcule el flujo de Fˆ a trav´es de S. ´ : Si se quiere calcular la integral por trayectorias se deben SOLUCION calcular 6 integrales, una por cada cara del cubo. Si aplicamos el teorema de la divergencia tenemos: divF =

∂ 2 (x y) + ∂∂y(y 2 ) + ∂∂z(xz) = 2xy + 2y + x ∂x

Luego, como en el cubo se tiene 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1. La integral queda as´ı: Z Z

Fˆ ·ˆ ndP = S

Z Z Z

div Fˆ dV = E

Z

1

Z

1

Z

1

(2xy+2y+x)dzdydx = 2 0

0

0

O sea, la tasa de flujo a trav´es de S es de 2 unidades c´ ubicas de volumen por unidad de tiempo. 

Referencias [1] Stewart James. C´ alculo, Trascendentes tempranas. Cuarta ed. Thomson Learning. 2002 [2] Stewart James. C´ alculo, conceptos y contextos. Internacional Thomson Editores S.A. 1999. [3] Leithold Louis. El C´ alculo.S´eptima ed. Oxford University Press. 2008. [4] Purcell Edwin J., Dale Varberg.C´ alculo. Octava ed. Pearson. 2001 [5] Stein Sherman K. C´ alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica. Quinta Ed. MaGraw-Hill Interamericana S.A. Mexico 1995.