Taller Probabilidades Metodo Conteo.pdf

1. De un grupo de 13 ingenieros con maestría se quiere formar un comité de cinco para enviarlos a un congreso en la Universidad de Cambridge, ¿a) Determine de cuantas maneras es factible elegir el comité b) Cuantas posibilidades hay si se desea que este incluya a tres de los siete mejores del grupo? Solucion Formula C

n k

Condicion (k) elementos (n)

n! k! (n-k)!

5 13

solo pueden ser 5 estudiantes aleatorios

a.

C

13 5

13! 5! (13-5)!

13*12*11*10*9*8 5 8

C

7 3

7! 3! (7-3)!

3

C

6 2

6! 2! (6-2)!

2

=

13*12*11*10*9 5*4*3*2*1

=

154440 120

=

=

7*6*5 3*2*1

=

210 6

=

=

6*5 2*1

=

30 2

=

1287

b.

7*6*5*4 4

6*5*4 4

35

15

2. Si entre las ciudades A y B existen 6 caminos: a.- ¿De cuántas maneras se puede ir y volver de A a B? b.- ¿De cuántas maneras se va y vuelve, pero por caminos distintos? Solucion a

principio de la multiplicacion 6^2

b

36

6*

5

30

1ra condicion: solo hay 2 caminos AyB elementos: Existen 6 caminos Formula nPr=

Condicion elemtos

2r 6n

n! (n-r)!

2 6 Simplificamos 6P2=

6! (6-2)!

=

6*5*4 4

=

6*5

=

30

3. En las pruebas de natación para los Juegos Suramericanos hay 7 rondas eliminatorias, de 10 competidores cada una. ¿De cuantas maneras se pueden repartir las tres medallas olímpicas (oro, plata, bronce)? a.- En una ronda b.en toda la competencia Solucion a.

1ra condicion: solo hay 3 medallas elementos: Existen 7 rondas

3r 7n

Formula C

Condicion elemtos C

n k

n! k! (n-k)!

7 3 7 3

7! 3! (7-3)!

7*6*5*4 3

=

4

7*6*5 3*2*1

=

210 6

=

4. Un automóvil solo tiene lugar para cinco personas, incluyendo al que lo conduce, Suponga que cinco amigos salen de una fiesta, y se irán en ese auto. a.-Determine de cuantas maneras se pueden acomodar? b.- ¿Determine de cuantas maneras se acomodarán, si solo dos de ellos no bebieron y pueden conducir? Solución a. Formula nPr=

Condicion elemtos

n! (n-r)!

1 5 5P1=

5! (5-1)!

5!

=

Simplificamos 5*4 4

120

b. 1 2 3 4 5

1 2 3 4 2 posibles condusctores 48

=

5

35

5. En un grupo de teatro hay 10 hombres y 6 mujeres. Cuatro de los hombres pueden actuar como actores masculinos principales y los otros actuarán en papeles secundarios, tres de las mujeres pueden actuar en papeles femeninos principales y las otras en papeles secundarios. a.- ¿De cuántas maneras pueden elegirse los actores para una obra de teatro a) si deben actuar 3 hombres y 4 mujeres? b.- De cuantas maneras si se exige un actor principal, una actriz principal, dos actores secundarios y tres actrices secundarias?

Formula a.

Cn k

Condicion elemtos C

1 4 1 4

Condicion elemtos C

1 3

1

4*3

3! 1! (3-1)!

1

6! 2! (6-2)!

2

3! 3! (3-3)!

3

3

=

4 1

=

=

3 1

=

=

30 2

=

=

6 6

=

4

3*2 2

3

2 6 2 6

Condicion elemtos C

4! 1! (4-1)! 1 3

Condicion elemtos C

n! k! (n-k)!

6*5*4 4

15

3 3 3 3

3*2*1 1

1

180 Condicion elemtos

3 10

C

3 10

Condicion elemtos

4 6

C

4 6

10! 3! (10-3)!

=

6! 4! (6-4)!

=

10*9*8*7 3

7

6*5*4*3*2 4

2

=

720 6

=

=

360 24

=

120

15

1800

6. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: a) Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. b. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos. Solucion Pn= P6! P4! P2!

n! 6*5*4*3*2*1 4*3*2*1 2*1

720 24 2 34560 *

3*2*1 6

m

q

207360

f x3!

7. Suponga que una persona que vive en el municipio de Bello (Antioquia) trabaja en el centro de la ciudad de Medellín. Para llegar a su sitio de trabajo, este tiene tres rutas distintas para llegar a la Autopista y de allí puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. En el centro, puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su oficina. ¿De cuántas maneras o rutas distintas podría tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su oficina? Solucion a.

P3! P3! P1!

3*2*1 3*2*1 1

6 6 1 36

8. En un estudio de economía de combustible se prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de prueba en distintas regiones, si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada conjunto de condiciones, ¿cuantas se necesitarán?

Solucion a.

principio de la multiplicacion 3 * 5

=

15 15 * 7

=

105 105

*

2

210

9. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer? Solucion a

Condicion (k) 5 pilotos elementos (n) 8 porque son 5 marcas diferentes etc

C

8 5

8! 5! (8-5)!

8*7*6*5*4*3 5 3

=

8*7*6*5*4 5*4*3*2*1

=

6720 120

=

56

10. En un estudio que realizaron en California, se concluyo que al seguir 7 reglas sencillas de salud la vida de un hombre puede alargarse, en promedio 11 años. Las 7 reglas son no fumar, hacer ejercicio regularmente, tomar alcohol solo en forma moderada, dormir 7 horas, conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos. En cuantas formas puede una persona adoptar 5 de estas reglas, si nunca toma bebidas alcohólicas y siempre desayuna Solución

5c3 Condicion elemtos C

formula

C

3 5 3 5

5! 3! (5-3)!

5*4*3*2 3!

n k

n! k! (n-k)!

=

2

60 3*2*1

60 6

=

10

=

11. En una urna se tienen 10 papeletas: 5 rojas, 3 blancas y 2 azules. Si se toman 3 papeletas con reemplazo, ¿de cuántas maneras se pueden sacar las tres papeletas de modo que todas sean del mismo color? Solucion por exponente 2^3 3^3 5^3 principio de la adicion

8 27 125 160

12. Un Testigo de un accidente de tránsito en el que el causante huyó le indica al policía que el numero de matricula tenia las letras RHL seguida por tres dígitos el primero de los cuales era cinco, el testigo no puede recordar los otros dos pero esta seguro que los tres números eran diferentes, encuentre el numero máximo de registros que debe verificar la policía

a. Formula nPr=

Condición elementos

2 4

n! (n-r)!

r n

Simplificamos 4P2=

4! (4-2)!

=

4*3*2 2

=

12 1

=

13. Una prueba de opción múltiple consta de 7 preguntas y cada una tiene cuatro opciones de respuesta, de las cuales sólo debe marcar una. ¿En cuántas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? Si solo una de las opciones es correcta, ¿De cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?

a.

b.

7^4

2401

7^3

343

12

14. En un examen de probabilidad un estudiante tiene que responder 7 de un total de 10 preguntas. Determinar ¿de cuantas maneras diferentes puede responder el examen? ¿De cuantas maneras si dentro de las 7 preguntas debe contestar la 2 y la 6 que son obligatorias? Solucion a.

Condicion (k) 7 responder elementos (n) 10 preguntas

C

10 7

Condicion elemtos

2 5

10! 7! (10-7)!

10*9*8*7*6*5*4*3 7 3

=

10*9*8*7*6*5*4 7*6*5*4*3*2*1

=

5*4 1

=

604800 5040

=

120

b. r n Simplificamos 5P2=

5! (5-2)!

=

5*4*3 3

20 1

=

=

20

16. En un computador los nombres de los archivos son palabras que tienen de uno a cinco caracteres, cada carácter puede ser alguno de los 36 alfanuméricos (26 letras y 10 dígitos) o cualquiera de otros 15 símbolos determinados. El computador no distingue mayúsculas de minúsculas. También es posible añadir al nombre del archivo una extensión de archivo opcional, la cual es de tres caracteres alfanuméricos, esta extensión se obtiene al escribir un punto y tres caracteres alfanuméricos. ¿Cuantos nombres de archivo pueden encontrarse? ¿Cuántos nombres de archivo utilizan solamente los 36 caracteres alfanuméricos, sin extensión? ¿Cuántos nombres de archivo utilizan extensiones

a. 51^5 36^3

= 345025251 = 46656 1,61E+13

17. El muy conocido BALOTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTO asegura también que usted puede ganar un monto determinado si acierta 3, 4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 y 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTO? a. Condicion elemtos

Formula 6 45

r n

C

45 6

45! 6! (45-6)!

45*44*43*42*41*40*39 6! 39

=

45*44*43*42*41*40 6*5*4*3*2*1

=

5864443200 720

=

Condicion elemtos

5 45

C

45 5

45! 5! (45-5)!

45*44*43*42*41*40 5! 40

=

45*44*43*42*41 5*4*3*2*1

=

146611080 120

=

Condicion elemtos

4 45

C

45 4

45! 4! (45-4)!

45*44*43*42*41 4! 41

=

45*44*43*42 4*3*2*1

=

3575880 24

=

C

n k

n! k! (n-k)!

8145060

1221759

148995

Condicion elemtos

3 45

C

45 3

45! 3! (45-3)!

45*44*43*42 3! 42

=

45*44*43 3*2*1

=

85140 6

=

14190

2,10394E+22 18. Cuantas formas hay de seleccionar 3candidatos de un total de 8 recién egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable? Solucion a.

Condicion (k) 3 candidatos elementos (n) 8 personas egresadas

C

8 3

8! 3! (8-3)!

8*7*6*5 3

5

=

8*7*6 3*2*1

=

336 6

=

56