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Taller III An´ alisis N´ umeros Reales: Propiedades de los reales y valor absoluto. 1. Si a, b, c ∈ R, probar los siguiente: a. b. c. d.

Si a + b = 0, entonces b = −a −(−a) = a (−a)a = −a (−1)(−1) = 1

2. Probar que si a, b ∈ R, entonces a. −(a + b) = (−a) + (−b) b. (−a).(−b) = a.b 1 c. (−a) = −( a1 ) d. −( ab ) =

−(a) b

si b 6= 0

3. Si a ∈ R satisface a.a = a, probar que o a = 0 o a = 1. 4. Si a 6= 0 y b 6= 0, mostrar que

1 ab

= ( a1 )( 1b )

5. Muestre que no existe un n´ umero racional s tal que s2 = 6. √  6. Sea K = s + t 2 : s, t ∈ Q . Mostrar que K satisface lo siguiente: a. Si x1 , x2 ∈ K, entonces x1 + x2 ∈ K y x1 x2 ∈ K. b. Si x 6= 0 y x ∈ K, entonces x1 ∈ K. 7. Suponga que a, b ∈ R, y suponga que para cada  > 0 tenemos que a ≤ b + . Mostrar que a ≤ b. 8. Probar que no existe un n ∈ N tal que 0 < n < 1. 9. probar que ning´ un n´ umero natural puede ser a la vez par e impar. 10. Si c > 1, mostrar que cn ≥ c para todo n ∈ N y que cn > c para n > 1. 11. Si 0 < c < 1, mostrar que cn ≤ c para todo n ∈ N, y que cn < c para n > 1. 12. Si a > 0.b > 0, y n ∈ N, mostrar que a < b si y solo si an < bn . 13. Si a, b ∈ R y b 6= 0, mostrar que : √ a. |a| = a2 b. | ab | =

|a| . |b|

14. Si a, b ∈ R, mostrar que |a + b| = |a| + |b| si y solo si ab ≥ 0. 15. Si x, y, z ∈ R y x ≤ z, mostrar que x ≤ y ≤ z si y solo si |x − y| + |y − z| = |x − z|. 16. Mostrar que |x − a| <  si y solo si a −  < x < a + . 17. Si a < x < b y a < y < b, mostrar que |x − y| < b − a. 18. Sea  < 0 y δ > 0, y a ∈ R. Mostrar que V (a) ∩ Vδ (a) y V (a) ∪ Vδ (a) son γ−vecindades de a para un γ apropiado. 19. Mostrar que si a, b ∈ R, y a 6= b, entonces existen −vecindades U de a y V de b tales que U ∩ V = φ.