Taller Estadistica 3 Puntos.docx

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES CURSO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL UNIDAD 2 ANÁLISIS DE CASO SOBRE INTERVALOS DE CONFIANZA

CASO 1 La empresa ELECTRODOMESTICAL COLOMBIA S.A.S, ubicada en la zona franca, se dedica a la fabricación de electrodomésticos desde el año 2000. Esta empresa tiene 50 empleados distribuidos en cada una de las áreas. Se realiza un estudio para revisar el nivel de ausentismo de sus trabajadores, para lo que se lleva a cabo un conteo del número de ausencias presentadas por cada uno de los trabajadores. La siguiente tabla muestra el número de ausencias de cada trabajador para los años 2015 y 2016. TRABAJADOR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

AUSENCIAS 50 65 50 60 75 70 50 59 55 65 45 55 68 75 70 55 56 50 55 65 68 56 57 58

TRABAJADOR 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

AUSENCIAS 68 74 74 70 78 70 66 74 69 70 70 56 65 80 66 68 78 56 78 70 66 68 80 70

25

67

50

67

La problemática llama la atención del gerente, por lo que solicita que se realice un estudio del número de ausencias, en el que se tenga en cuenta el nivel mínimo de confiabilidad debe ser del 92 %, hasta llegar al 99%. Recuerde que ustedes como investigadores para que puedan establecer los intervalos de confianza de los datos suministrados por parte de ELECTRODOMESTICAL COLOMBIA S.A.S. deben tener en cuenta establecer una hipótesis y tener en cuenta los intervalos solicitados por parte del gerente para: ● ● ● ● ● ● ● ●

92%. 93%. 94%. 95%. 96%. 97%. 98%. 99%.

Además, tenga en cuenta los siguientes elementos:  Tamaño de la muestra.  Media muestral.  Desviación estándar. Al finalizar los cálculos recuerde hacer un análisis de las situaciones y dar por lo menos 4 conclusiones a la problemática de ausentismos la empresa ELECTRODOMESTICAL COLOMBIA S.A.S SOLUCIÓN La tabla de frecuencias de la muestra es la siguiente

𝒙𝒊 45 50 55 56 57 58 59 60 65 66 67 68 69 70 74 75 78 80 𝚺

𝒇𝒊 1 4 4 4 1 1 1 1 4 3 2 5 1 8 3 2 3 2 50

̅ 𝒙 𝒔𝟐 𝒔

𝒙𝒊 𝒇𝒊 45 200 220 224 57 58 59 60 260 198 134 340 69 560 222 150 234 160 3250

̅ 𝒙𝒊 − 𝒙 -20 -15 -10 -9 -8 -7 -6 -5 0 1 2 3 4 5 9 10 13 15

(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅)𝟐 400 225 100 81 64 49 36 25 0 1 4 9 16 25 81 100 169 225

∑ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒏 ∑(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅ ) 𝟐 𝒇𝒊 𝒏−𝟏 √

(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅ ) 𝟐 𝒇𝒊 400 900 400 324 64 49 36 25 0 3 8 45 16 200 243 200 507 450 3870

65 78.9795918

∑(𝒙𝒊 − 𝒙 ̅ ) 𝟐 𝒇𝒊 𝒏−𝟏

8.88704629

Conclusión 1: De aquí se puede inferir que la media de ausencias durante el periodo es de 65 días y dentro de esta muestra, en promedio, ningún empleado supera los 74 días (aprox. 65+8.88) o es incapaz de completar menos de 56 días (aprox. 65-8.88) de inasistencia. Los intervalos de confianza son calculados de la siguiente forma: (𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓, 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓) = (𝒙 ̅ − 𝒁𝜶 𝟐

Por lo tanto,

𝒔 √𝒏

̅ + 𝒁𝜶 ,𝒙 𝟐

𝒔 √𝒏

)

𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝒁𝜶 𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

Límite Inferior 62.7997 62.7228 62.6362 62.5367 62.4188 62.2726 62.0762 61.7627

Límite Superior 67.2003 67.2772 67.3638 67.4633 67.5812 67.7274 67.9238 68.2373

Conclusión 2: Con un 99% de confianza, se puede afirmar que la cantidad de ausencias por empleado durante el periodo estudiando está entre los 61.76 y 68.23 días. Conclusión 3: Las frecuencias de la muestra anterior no están distribuidas de manera normal, sin embargo, las frecuencias de las medias de todas las posibles submuestras que se pueden tomar si sigue una distribución normal y se puede comparar con la función 𝑍. Conclusión 4: A medida que crece el nivel de confianza, el intervalo se estira ligeramente para incluir unos cuantos valores, de esta manera, se pasa de tener una media entre 62.80 y 67.2 días con una confianza del 92% a tener entre 61.76 y 68.23 días con una confianza del 99%.

CASO 2 La empresa COLOMBIA MOTOR, dedicada a la elaboración de piezas para motores de carros y camiones, tiene 400 empleados, a los cuales se les hace una encuesta acerca del momento en que desean tomar sus vacaciones anuales. Los resultados obtenidos son los siguientes: Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio

Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio

Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio

Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio

Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre

Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre

Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio

Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre

Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio

Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio

Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio

Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre

Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre

Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio

Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre

Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio Diciembre Julio Diciembre Diciembre Julio

El área de bienestar solicita a un grupo de investigadores se realice un estudio para determinar los límites de confianza de la encuesta, en la que el nivel mínimo de confiabilidad debe ser del 92 %, y el máximo, 99%.

Para establecer los intervalos de confianza de los datos suministrados por parte de COLOMBIA MOTOR S.A.S. se debe establecer una hipótesis y tener en cuenta los intervalos solicitados por parte del grupo de bienestar para: ● ● ● ● ● ● ● ●

92%. 93%. 94%. 95%. 96%. 97%. 98%. 99%.

También, tenga en cuenta los siguientes elementos:  Tamaño de la muestra.  Media muestral.  Desviación estándar. Al finalizar los cálculos, recuerde hacer un análisis de las situaciones y dar por lo menos 4 conclusiones del posible mes en el que se hace más viable dar las vacaciones a los empleados de la empresa COLOMBIA MOTORS S.A.S. Justifique su respuesta. Mes Diciembre Julio 𝚺

Frecuencia 249 151 400

La proporción de éxito es tomada a partir de las solicitudes de vacaciones en diciembre y la proporción de fracaso es tomada a partir de las solicitudes de vacaciones en julio. 𝒑 𝒒=𝟏−𝒑

249 400 151 400

0.6225 0.3775

Conclusión 1: De la presente muestra de 400 empleados, aproximadamente dos de cada tres empleados han solicitado vacaciones en diciembre.

El cálculo de los intervalos de confianza para las proporciones se hizo a partir de la siguiente formulación: Para la proporción 𝑝 de solicitudes en diciembre. (𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓, 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓) = (𝒑 − 𝒁𝜶 √ 𝟐

𝒁𝜶

𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

𝒑𝒒 𝒑𝒒 , 𝒑 + 𝒁𝜶 √ ) 𝒏 𝒏 𝟐

Límite Inferior 0.5801 0.5786 0.5769 0.5750 0.5727 0.5699 0.5661 0.5601

Límite Superior 0.6649 0.6664 0.6681 0.6700 0.6723 0.6751 0.6789 0.6849

Para la proporción 𝑞 de solicitudes en julio. (𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓, 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓) = (𝒒 − 𝒁𝜶 √ 𝟐

𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝒁𝜶 𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

𝒑𝒒 𝒑𝒒 , 𝒒 + 𝒁𝜶 √ ) 𝒏 𝒏 𝟐

Límite Inferior 0.3351 0.3336 0.3319 0.3300 0.3277 0.3249 0.3211 0.3151

Límite Superior 0.4199 0.4214 0.4231 0.4250 0.4273 0.4301 0.4339 0.4399

Conclusión 2: Con un nivel de confianza de entre 92% a 99% se puede afirmar que la proporción de solicitudes de vacaciones en julio dentro del grupo de empleados nunca supera el 56%.

Conclusión 3: Con un nivel de confianza de entre 92% a 99% se puede afirmar que la proporción de solicitudes de vacaciones en diciembre dentro del grupo de empleados siempre supera el 50%. Conclusión 4: Otorgar el periodo de vacaciones únicamente en el mes de diciembre será una decisión que tendrá acogida en la mayoría de los trabajadores de la compañía. CASO 3 Una fábrica de lámparas de alta gama tiene 200 empleados, los cuales han reportado que los cables empleados para las lámparas de oficina y de hogar presentan un nivel de vida útil muy bajo. Por esa razón, el gerente de la fábrica solicita a un grupo de investigadores que hagan una toma de datos para analizar el nivel de vida útil de los dos tipos de lámparas reportados con fallos. Los siguientes son los datos obtenidos sobre la vida útil de los cables. Lámparas de oficina 138 140 120 135 125 230 135 230 140 132 138 140 120 135 125 230 123 145 128 134 140 135 230 140

Lámparas tipo hogar 137 134 135 140 135 130 137 134 135 140 135 130 134 136 139 137 135 134 138 137 134 135 140

132 138 128 134 140 130 Teniendo en cuenta los datos proporcionados por parte la fábrica de lámparas de alta gama, determine los límites de confianza para los cables empleados en las lámparas para oficina y hogar. El área de calidad de la empresa solicita a un grupo de investigadores que realice un estudio para determinar los límites de confianza donde el nivel mínimo de confiabilidad debe ser del 92 %, y el máximo de al 99%. Además, pide buscar posibles soluciones a la vida útil de los cables utilizados. Recuerde establecer los intervalos de confianza de los datos suministrados por parte de la fábrica de lámparas de alta gama. Para ello, establezca una hipótesis y tenga en cuenta los intervalos solicitados por parte del grupo de calidad para: ● ● ● ● ● ● ● ●

92%. 93%. 94%. 95%. 96%. 97%. 98%. 99%.

También, tenga en cuenta los siguientes elementos:    

Tamaño de cada una de las muestras. Medias muestrales. Varianza de cada una de las muestras. Desviación estándar de cada una de las muestras.

Al finalizar los cálculos, haga un análisis de las situaciones y dar por lo menos 4 conclusiones del posible sobre qué tipo de lámparas está empleando cables de mejor calidad.

Cableado de oficina 𝒏𝟏 ̅̅̅ 𝒙𝟏 𝒔𝟏 𝒔𝟐𝟏

38 146.3333333 33.96786852 1153.816092

A partir de las medidas de tendencia central anteriores, se analiza el comportamiento de la media en la muestra de cableado de oficina. Para calcular los intervalos de confianza se utiliza la siguiente formulación: (𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓, 𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓) = (𝒙 ̅ − 𝒁𝜶 𝟐

𝒔 √𝒏

̅ + 𝒁𝜶 ,𝒙 𝟐

𝒔 √𝒏

)

Los límites son los siguientes 𝒁𝜶

𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

Límite Inferior 136.6865 136.3491 135.9696 135.5333 135.0165 134.3754 133.5144 132.1397

Límite Superior 155.9802 156.3175 156.6971 157.1334 157.6501 158.2912 159.1522 160.5270

Conclusión 1: Con un nivel de confianza del 99% se puede afirmar que la vida útil de todo el cableado existente de la oficina está entre los 132.13 y 160.53 días. Cableado del hogar Las medidas de tendencia central de la muestra de la vida útil de los cables del hogar es la siguiente: 𝒏𝟐 𝒙𝟐 𝒔𝟐 𝒔𝟐𝟐

23 135.6956522 2.704117779 7.312252964

Calculando los intervalos de confianza para la muestra se obtiene lo siguiente: 𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝒁𝜶 𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

Límite Inferior 134.7085 134.6740 134.6352 134.5905 134.5377 134.4721 134.3839 134.2433

Límite Superior 136.6828 136.7173 136.7561 136.8008 136.8537 136.9193 137.0074 137.1480

Conclusión 2: Se puede afirmar con un nivel de confianza del 95% que la vida útil de todo el cableado existente en el hogar está entre los 134.6 y 136.8 días.

Es importante conocer el comportamiento de diferencia entre las medias de las dos muestras. Por lo tanto, la forma empleada para conocer el intervalo donde oscilan las diferencias entre la media muestral de la vida útil de cada tipo de cableado es la siguiente: 𝒔𝟐𝟏 𝒔𝟐𝟐 𝒔𝟐𝟏 𝒔𝟐𝟐 ̅̅̅𝟏 − ̅̅̅) ̅̅̅𝟏 − ̅̅̅) 𝒙𝟐 − 𝒁𝜶 √ + , (𝒙 𝒙𝟐 + 𝒁𝜶 √ + ) ((𝒙 𝒏𝟐 𝒏𝟐 𝟐 𝒏𝟏 𝟐 𝒏𝟏 𝟏−𝜶 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

𝒁𝜶 𝟐

1.7507 1.8119 1.8808 1.9600 2.0537 2.1701 2.3263 2.5758

Límite Inferior 0.9405 0.6013 0.2198 -0.2187 -0.7382 -1.3826 -2.2482 -3.6301

Límite Superior 20.3349 20.6740 21.0556 21.4941 22.0136 22.6580 23.5235 24.9054

Conclusión 3: Se puede afirmar con un nivel de confianza del 92 al 94 por ciento que, al comparar la media muestral entre la vida útil de los dos tipos de cable, nunca son iguales. Conclusión 4: Existe una diferencia significativa entre los tipos de cableado. Con un nivel de confianza entre el 92 y 99 por ciento, se puede afirmar que existe un sesgo hacia el cableado de oficina, es decir, tiene más duración con respecto al cableado del hogar. Esto se explica dado que si 𝑥 ̅̅̅1 − ̅̅̅ 𝑥2 > 0 entonces 𝑥 ̅̅̅1 > ̅̅̅ 𝑥2 y todos los intervalos encontrados anteriormente tienen una mayor presencia de valores positivos que negativos, por lo tanto, se tiene en gran medida que la media muestral de la primera muestra (oficina) es mayor que la segunda (hogar).