Taller De Calculo[1]

Solución de Problemas por medio de Heurísticos A continuación se ejemplifica, un problema dado, las actividades para su resolución, de acuerdo con ejerció de Larson pag 837, quinta edición, Problema: Expresar la ecuación r= 2 (h cos θ + k senθ), en forma rectangular y verificar que es la ecuación de un circulo. Hallar su radio y las coordenadas rectangulares de su centro. 1. Análisis: Ecuación del circulo con centro en ( h,k) y la medida del radio r unidades es (x-h) elevado al cuadrado + (y-k) elevado al cuadrado = r elevado al cuadrado.

2. Exploración y realización r= 2 (h cosθ + k senθ) r=x2+y2 Se reemplaza r, y (sen θ; cosθ) cos=xr sen=yr x2+y2=2h.xr+k.yr

cos=cah

x2+y2=2h.x +kyx2+y2 Se aplica propiedad de producto radical x2+y2 x2+y2 =2(h.x +k.y) x2+y2 =2(h.x +ky) Se realiza propiedad distributiva de la multiplicación. x2+y2=2h.x+2k.y x2-2h.x+y2-2k.y=0

sen=coh

R: (x2-h2) + (y2-k2)= h2+k2 Centro: (h,k)

radio = h2+k2

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. El resultado ecuación (x2-h2) + (y2-k2)= (h2+k2), se comprueba dándole valores al su centro (h,k) en la grafica su radio r= h2+k2 y se obtiene además la ecuación general que corresponde con la original del la circunferencia (x2-h2) + (y2-k2)= r2 Mapa mental

identidades trigonometricas

circulo

pitagoras con centro (0,0),(h,k)

radio graficas conceptos

trinomio

r= 2 (h cos + k sen)

ciculos

(x2 - y2)

(x2 - bx + c)+n=n rectangulares (x,y)

geometria

polares (r,0)

usos

teoremas

y=rsen°

convercion de coordenadas x=r cos°

arquitectura

ingeneria

r2=x2+y2

¿Cómo hallar y expresar la ecuación r= 2 (h cosθ + k senθ) en forma

r= 2 (h cosθ + k senθ

Definición: identidades trigonometricas

circulo

pitagoras con centro (0,0),(h,k)

radio graficas conceptos

trinomio

r= 2 (h cos + k sen)

ciculos

(x2 - y2)

(x2 - bx + c)+n=n rectangulares (x,y)

geometria

polares (r,0)

usos

teoremas

y=rsen°

convercion de coordenadas x=r cos°

arquitectura

ingeneria

r2=x2+y2

Juicio de Valor: Curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia Hechos: Cualquier circunferencia cuya ecuación sea de la forma, (x2-h2) + (y2-k2)= r2 se puede resolver haciendo uso de ecuaciones rectangulares con centro (h,k) y también hallar su ecuación paramétricas por medio de ecuaciones trigonométricas. Procedimiento: r= 2 (h cosθ + k senθ)

x2+y2=2h.x +kyx2+y2 x2+y2 x2+y2 =2(h.x +k.y) x2+y2=2h.xr+k.yrx2+y2=2h.x+ 2k.y x2-2h.x+y2-2k.y=0 (x2-2(k.h)+h2)+ (y2-2(k.y)+k2)=0 Resultados hallados: R: (x2-h2) + (y2-k2)= h2+k2

ecuación

rectangular

Centro: (h,k)

radio = h2+k2

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. El resultado ecuación (x2-h2) + (y2-k2)= 2 2 (h +k ), se comprueba dándole valores al su centro (h,k) en la grafica su radio r= h2+k2 y se obtiene además la ecuación general que corresponde con la original del la

2. Ecuaciones hiperbólicas

Problema: Un círculo de radio 1 rueda alrededor de la parte externa de un disco de radio 2 sin deslizar. La curva trazada por un punto de la circunferencia del circulo pequeño se llama una epicloide, usa el ángulo θ de la figura para hallar la ecuación paramétricas de esa curva. 1. Análisis

Como lo muestra la figura se utiliza funciones trigonométricas. A través de semejanza de triángulos,

La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.

2. Exploración y Realización R-r R

r

b-y y

b

y Y a

x-a sen θ=b/R-r b=(R-r) senθ y = b + (y-b) Y=(R-r) sen θ +r senθ

x

Cos θ = a/R-r a (R-r)cos θ y = (R-r) cos θ+rcos θ x = (R-r) sen θ+rsen θ

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. El resultado de la ecuación x = (R-r) sen θ+rsen θ es obtenida a partir del uso de el teorema de pitagoras y la semajanza de triangulos. Posteriormente se reemplaza en senos y cosenos.

identidades trigonometricas

pitagoras angulo epicloide

epicicloide

graficas

y=rsen°

curva conceptos circunferencia

geometria

ecuaciones parametricas

epicicloide

teoremas

x = (a + b) cos q - b cos ((a +b)/ b) q y = (a + b) sen q - b sen ((a +b)/ b) q

ciculosdibujo tecnico

usos

aritmetica

¿Hallar una ecuación paratametrica de la curva a partir de la intrepretacion de en grafico epicicloide?

Juicio de Valor: Es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal. Hechos: Se puede realizar a partir de la ecuación original, la grafica de la ecuación parametrica y rectangular, con ayuda de las ecuación de las funciones trigonométricas. Procedimiento: sen θ=b/R-r Cos θ = a/R-r b=(R-r) senθ a (R-r)cos θ y = b + (y-b) y = (R-r) cos θ+rcos θ Y=(R-r) sen θ x = (R-r) sen θ+rsen θ senθ

Resultados hallados: x = (R-r) sen θ+rsen θ

y

=(R-r) sen θ +r senθ

+r

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. Definición: El resultado de la ecuación x = (R-r) sen θ+rsen θ es obtenida a partir del uso de el teorema de pitagoras y la semajanza de triangulos. Posteriormente se reemplaza en senos y cosenos identidades trigonometricas

pitagoras angulo epicloide

epicicloide

graficas

y=rsen°

curva conceptos circunferencia

geometria

ecuaciones parametricas

epicicloide

teoremas

x = (a + b) cos q - b cos ((a +b)/b) q y = (a + b) sen q - b sen ((a +b)/b) q

ciculosdibujo tecnico

usos

aritmetica

a (R-r)cos b=(R-r) senθ

θ

1. Problema: Análisis: Para tranporar un opeso cilíndrico de 100 libras, dos hombres tirran hacia arriba de dos cuerdas cortas atadas a una argolla en la parte superior del ciliondro. Si las cuerdas forman con la vertical angulos de 20° y 30°, hallar a. La tension en cada cuerda, supuesto que la fuerza resultante es vertical. b. La componetne vertical de la fuerza de cada uno de los hombres.

20° 30° 100 L 500N

2. Exploración y Realización

20°

30°

Cos θ

sen θ

mg T1 = (T1cos70°)i + (T1sen70)j T2 = (T2cos60°)i + (T2cos60°)J Fty = T1sen70° + T2sen60° T1sen70° + T2sen60° > 500N T(sen 70+sen60) > 500N T > 500N / (1.80)

mg =(50kg10m/s2)=500N

La fuerza se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles.

Se tiene en cuenta la tensión de la cuerda resultante, de los dos hombre halando, y el mg del cilindro se realiza la conversión de 100L a kg igual a 50Kg por g =10m/s2 igual 500N, como el cuerpo se mueve hacia arriba la fuerza resultante de la tensión debe ser mayor que la que el cilindro hace hacia abajo; para que se mueva hacia arriba. 3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. El resultado de la ecuaciones = cos θ -Tse concluye que para que el cuerpo sea levantado por los dos hombres la tensión resultante debe ser mayor que la fuerza ejecida por el peso ejerció por el cilindro.

y=rsen° identidades trigonometricas

pitagoras tencines epicloide

graficas ecuaciones parametricas conceptos

geometria

suma de vectores

F=m.a=mgsen0- t F=ma u+v=v+u teoremas

fisica

usos aritmetica

definición:

y=rsen° identidades trigonometricas

pitagoras

ecuaciones parametricas

Procedimiento:

conceptos

suma de vectores

T1

F=m.a=mgsen0- t F=ma u+v=v+u teoremas

fisica

de Valor: se denomina tensión mecánica al valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material y la fuerza se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos, modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles. Estos ejercicio se aplican y se utilizan mucho en la física para allar las resulatades e la fuerza de tensión.

graficas

geometria

Juicio

Hechos:

tencines epicloide

Como hallar la tensión resultante de la cuerda que halada por dos hombres formando doa angulos de 30° y 20°

=

(T1cos70°)i

+

(T1sen70)j

mg =(50kg10m/s2)=500N T2 = (T2cos60°)i + (T2cos60°)J Fty = T1sen70° + T2sen60° T1sen70° + T2sen60° > 500N T(sen 70+sen60) > 500N T > 500N / (1.80)

usos aritmetica

Resultados hallados: T1sen70° + T2sen60° > 500N concluye que para que el cuerpo sea levantado por los dos hombres la tensión resultante debe ser

Problema 3. Comprobación de la solución obtenida sen70° + T sen60° > Verificar la solución siguiendo Un bombardero vuela a obtenida 30000 pies de altura conT500N una velocidad de criterios específicos: utilización de todos los 540 mph (729 pies/s). ¿Cuándo debe soltar una bomba para dar en pertinentes. eldatos blanco? (Dar la respuesta en términos del ángulo de depresión del respecto blanco). ¿Qué velocidad llevaba la bomba en El avión resultado de la al ecuaciones = elcos momento del impacto? θ -T se concluye que para que el cuerpo 1

2

sea levantado por los dos hombres la tensión resultante debe ser mayor que la fuerza 1. análisis ejecida por el peso ejerció por el cilindro.

Para poder desarrollar el ejercicio primeramente hay que conocer para este caso las ecuaciones que intervienen en el movimiento de proyectiles.

1. Exploración y realización

En primer lugar se averigua el tiempo de vuelo del proyectil, para ello se utiliza la ecuación t=√(2d/g). t= (2*30000)/10 t= 77.45 segundos. Después se halla la x, como la x es una paralela de la trayectoria del avión, entonces es un movimiento rectilíneo, por lo tanto se aplica x=V0 * t X = 792 pies/s * 77,45 s X = 61348,05 pies

Con el valor de la altura como cateto opuesto y la de la distancia x como cateto adyacente se realiza la función tangente. tanθ= 3000061348,05 θ=tan-1 3000061348,05 θ =26o 3`33`` La respuesta a la primera pregunta es que el ángulo de depresión es de θ =26o 3`33``. Para saber el valor de la velocidad cuando cae se utiliza el teorema de Pitágoras para saber dicho valor, pero para ello primero hay que averiguar la velocidad en el eje de la x y en eje de la y. Vx = Vo * Cos θ Vx = 792pies/s * Cos 26o 3`33`` Vx = 711,48 pies/s Vy = Vo * Sen θ Vy = 792pies/s * Sen 26o 3`33`` Vy = 347,92 pies/s Vx2+Vy2=V2 506203,79+121048,32=V V = 791,99 pies/s

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. Los problemas de física se comprueban experimentalmente, haciendo un modelo a escala o con los teoremas propuestos. Seno

Coseno trigonometricas Tangente

grafico t=raiz(2d/g).

Funciones

d= Vot + 1/2gt^2 proyectiles

ecuaciones

vectores

teoremas

movimiento

conceptos Vx^2+Vy^2=V^2 Newton

Pitagoras

Seno

Coseno trigonometricas Tangente

grafico t=raiz(2d/g).

Funciones

d= Vot + 1/2gt^2 proyectiles

ecuaciones

vectores

teoremas

movimiento

conceptos Vx^2+Vy^2=V^2 Newton

Pitagoras

¿Cómo hallar el ángulo de de depresión Juicio valor. De un avión, y laEs velocidad la manera para saber que ángulo Con la que lleganecesita al suelo? ser lanzado un objeto para caer θ =26o 3`33``

en un lugar específico. Hechos: Hay que utilizar las ecuaciones y despejar las variables que se necesiten para el caso correspondiente, además de eso hay que tener conocimiento de vectores y sus operaciones. Procedimiento: t=√(2d/g).

t= (2*30000)/10 X = 792 pies/s * 77,45 s

tanθ= 3000061348,05 θ=tan-1 3000061348,05 Vx = Vo * Cos θ Vx = 792pies/s * Cos 26o 3`33`` Vy = Vo * Sen θ Vy = 792pies/s * Sen 26o3`33``

Vx2+Vy2=V2 506203,79+121048,32=V Resultados hallados: θ =26o 3`33`` t= 77.45 segundos.

3. Comprobación de la solución obtenida Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos: utilización de todos los datos pertinentes. Los problemas de física se comprueban experimentalmente, haciendo un modelo a escala o con los teoremas propuestos.

5. problema: Análisis Exploración y Realización. Comprobación d la Solución Obtenida. Mapa de ideas