Taller Calculo Integral

TIPO DE EJERCICIOS 1 - INTEGRALES INMEDIATAS.

Ejercicio (e.)

∫(𝑒 −2𝑥 + 5𝑥 )𝑑𝑥 = ∫(𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 + ∫(5𝑥 )𝑑𝑥

Solo basta resolver ∫(𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 Sea 𝑢 = −2𝑥, entonces 𝑑𝑢 = 𝑑(−2𝑥) 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 −2 Remplazando tenemos:

∫(𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 = ∫(𝑒 𝑢 )

𝑑𝑢 1 1 1 = − ∫(𝑒 𝑢 )𝑑𝑢 = − 𝑒 𝑢 + 𝐶 = − 𝑒 −2𝑥 + 𝐶 −2 2 2 2

Remplazando

1 5𝑥 ∫(𝑒 −2𝑥 + 5𝑥 )𝑑𝑥 = ∫(𝑒 −2𝑥 )𝑑𝑥 + ∫(5𝑥 )𝑑𝑥 = − 𝑒 −2𝑥 + +𝐶 2 ln(5)

Luego derivando tenemos:

𝑑 1 5𝑥 𝑑 1 𝑑 5𝑥 𝑑 (𝐶) (− 𝑒 −2𝑥 + + 𝐶) = (− 𝑒 −2𝑥 ) + ( )+ 𝑑𝑥 2 ln(5) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 ln(5) 𝑑𝑥 1 −2𝑥 5𝑥 (ln(5)) = −2 (− ) 𝑒 [𝑑(𝑥)] + = 𝑒 −2𝑥 (1) + 5𝑥 = 𝑒 −2𝑥 + 5𝑥 2 ln(5)

TIPO DE EJERCICIOS 2 – SUMAS DE RIEMANN

Ejercicio (e.)

TIPO DE EJERCICIOS 3 – TEOREMA DE INTEGRACIÓN.

2√𝑥

𝑆𝑒𝑛(𝑡 2 ) 𝑑𝑡

𝐹(𝑥) = ∫ √𝑥

2

2

𝐹′(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑡 2 )]2√√𝑥𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 ((2√𝑥) ) − 𝑆𝑒𝑛 ((√𝑥) ) = 𝑆𝑒𝑛(4𝑥) − 𝑆𝑒𝑛(𝑥)

TIPO DE EJERCICIOS 4 – INTEGRAL DEFINIDA.

𝜋

∫ ( 𝜋 2

𝑇𝑎𝑛(𝑥) ) 𝑑𝑥 + 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)𝑆𝑒𝑐(𝑥)

Desarrollamos 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑇𝑎𝑛(𝑥) = = 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)𝑆𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) 1 + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) + 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

=

𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) = 𝑇𝑎𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 1 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

Luego 𝜋 𝜋 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝜋 𝜋 ∫ ( ) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑆𝑒𝑐(𝑥)) 𝑑𝑥 = −𝐶𝑜𝑠(𝑥)] = −𝐶𝑜𝑠(𝜋) − (−𝐶𝑜𝑠 ( )) = −(−1) + 0 = 1 𝜋 𝜋 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)𝑆𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝜋 2 2 2

2

𝜋

Grafica de la función 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) y el área entre la región comprendida entre el intervalo [ 2 , 𝜋]