Taller Calculo Integral

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERIA CALCULO INTEGRAL TALLER Nº 1

I.

a) ∫ f ( x )dx R/:

∫ f ( x)dx

pero f ( x ) =

d ∫ dx (1 − x )dx ,

(

d 1− x dx

f ( x) =

1) Suponga que

(

)

y

g ( x) =

d ( x + 3) , HALLE: dx

)

d 1 − x , entonces reemplazamos: dx

cancelamos dx y queda la expresión así:

∫ d (1 −

x ) . Ahora

aplicando las propiedades de la integral nos queda: 1 − x b) ∫ [ − g ( x )]dx R/: d ( x + 3) por lo tanto reemplazamos en la integral: g ( x) = dx Cancelamos dx : es: 3− x

∫ − d ( x + 3)

c) ∫ [ f ( x) − g ( x )]dx R/:

(

 d



∫ −  dx ( x + 3) dx

y por propiedades de la integral el resultado

d 1− x dx

)

d ( x + 3) reemplazando en la dx d 1 − x + d ( x + 3) expresión a evaluar tenemos que: ∫ dx , dx se cancela dx con dx se aplican propiedades de linealidad y de las integrales y el resultado final es: x− x +4 f ( x) =

Tenemos que

d) ∫ [ x + f ( x)]dx R/: d  ∫  x + dx 1 + x d ∫ xdx + ∫ dx 1 +

(

(

y

g ( x) =

(

)

)dx Aplicando linealidad obtenemos lo siguiente: 

)

x dx , luego la respuesta es:

x2 +1 − x + c 2

e) ∫ [ g ( x ) − 4] dx R/: d ∫ dx ( x + 3) dx − 4∫ dx de forma análoga al ejercicio anterior obtenemos la siguiente respuesta: x + 3 − 4 x = −3 x − 3 = −3( x + 1)

2) Demuestre la formula

∫

2 g ( x ) f ' ( x) − f ( x ) g ' ( x ) 2[ g ( x ) ]

3 2

dx =

f ( x) +c g( x)

R/: Para demostrar esta formula se procede a diferenciar la expresión resultante de la integral así: g '( x) f '( x) g ( x) − f ( x)  2 g ( x) d  f ( x ) realizando las operaciones algebraicas + c =   dx  g ( x ) g ( x)  se tiene que:

 d  f ( x ) + c =  dx  g ( x ) 

2 f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) 2 g ( x) g ( x)

=

2 f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) 2[ g ( x ) ]

3 2

Separando variables tenemos:  f ( x)  2 f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x) d + c = dx , integrando en ambos miembros de la 3 2  g ( x)  ( ) 2 [ g x ]   igualdad.  f ( x)  2 f '( x) g ( x) − f ( x) g '( x) dx Luego: 3 2 ∫ d  g ( x ) + c  = ∫ ( ) 2 [ g x ]  

f ( x) 2 g ( x ) f ' ( x) − f ( x ) g ' ( x ) +c = ∫ dx 3 2 g ( x) 2[ g ( x ) ]

II. Calcular las siguientes integrales indefinidas.  x2m − 2 xm+ n + x 2n  x 2m x m+n x 2n xm − xn   dx − 2 dx + = 1) dx ∫ 12 ∫ 1 2 dx 1 2 ∫  =∫ 1 2 x x x x x  

∫

∫x

2 m− 12

dx − 2∫ x

m + n − 12

dx + ∫ x

2 n − 12

dx =

x

2 m+ 1

2

2m + 1

−2 2

x

m+n− 1

2

m+n− 1

+ 2

x

2n+ 1

2

2n + 1

+c

2

2λt 2λ T  2λt  + ϕ 0 dt , hacemos u = + ϕ 0 ⇒ du = dt ⇒ du = dt 2) ∫ sen T T 2λ  T  2λt T T T  2λt  + ϕ0 ⇒ − cos + ϕ0  + c senu.du = − cos u + c , pero u = Luego: ∫ T 2λ 2λ 2λ  T  2

  x   x   x   1 − 2 sen  + sen 2   1 − sen 2  2 2       dx 3) ∫ dx ⇒ ∫  x   x  sen sen    2  2 dx  x   x   x  ∫  x  − 2∫ dx + ∫ sen 2  = 2 Ln 2 2  − 2 x − 2 cos 2  + c sen   x x 4 − 5x 2 + 1 dx , aplicamos división de polinomios para encontrar una 3x − 1 expresión mas sencilla de calcular, aunque por tablas se puede encontrar el resultado inmediato de esta integral. La expresión resultante es: 4) ∫

1 1 44 44 x 4 − 5 x 2 + 1 37 1 , reemplazamos en la integral y + x3 + x2 − x− = 81 3 x − 1 3 9 27 81 3x − 1 1 1 44 44   37 1 + x3 + x 2 − x − dx , ahora se obtenemos la siguiente expresión: ∫  9 27 81   81 3 x − 1 3 procede a utilizar la propiedad de linealidad así: 37 dx 1 1 44 44 + ∫ x 3 dx + ∫ x 2 dx − xdx − dx , calculando las integrales el ∫ ∫ 81 3 x − 1 3 9 27 81 ∫ resultado es: 37 1 1 3 22 2 44 Ln( 3 x − 1) + x 4 + x − x − x+c 243 12 27 27 81

senx tan 2 x e dx , en primer lugar le damos otra forma a la integral, para cos 3 x 2 2 senx tan x tan 2 x e tan x dx = ∫ e dx = ∫ e tan x tan x sec 2 xdx facilitar su calculo: ∫ 2 2 cos x cos x cos x du = tan x sec 2 xdx , realizamos Hacemos u = tan 2 x , entonces, du = 2 tan x sec xdx ⇒ 2 1 u 1 u el cambio de variable y obtenemos: ∫ e du = e + c , regresamos a nuestra 2 2 1 tan 2 x +c variable original y el resultado final es: e 2 5) ∫

(

)

e arctan x + xLn 1 + x 2 + 1 dx . Aplicamos la propiedad de linealidad y la integral 1+ x2 resultante es: e arctan x xLn 1 + x 2 dx dx + ∫ 1+ x2 ∫ 1 + x 2 dx + ∫ 1 + x 2 , se procede a calcular cada una de las integrales como sigue: 6) ∫

(

)

Organizando la respuesta de la integral es:

e arctgx +

1 2 Ln (1 + x 2 ) + arctgx + c 4

dx ( a + b ) + ( a − b ) x 2 , para solucionar esta integral es necesario realizar una transformación algebraica del integrando para facilitar su calculo, en este 1 dx ∫ caso factorizamos ( a − b ) y nos queda: ( a − b )  a + b  2 . Luego la integral  + x a −b 7) ∫

1 du a+b m2 = y u = x ; por lo tanto el 2 2 , siendo ∫ a−b m +u a−b 1 1 u arctg   + c , realizando los cambios de variables nos resultado es: a−b m m queda: tiene la forma

 a−b  1 a−b +c = arctgx  a−b a+b a + b   8) ∫

3x − 2

 a−b  +c arctgx  a−b a +b a + b   1

dx . En este caso resulta útil completar cuadrado en la 19 − 5 x + x 2 expresión del radical para tener una integral más fácil de calcular. 3x − x dx ∫ 2 25 25 x − 5x + − + 19 4 4 3x − 2 3x − 2 5 dx = ∫ dx ∫  u = x− 2 25  51 hacemos 2 5 51 luego  2  x − 5x +  − x−  + 4 4   2 4 du = dx  5 x=u+ 2 51 51 a2 = ⇒a= 4 2 5  11 3 u +  − 2 3u + 2 , aplicamos linealidad y obtenemos la siguiente   2 ∫ u 2 + a 2 du = ∫ u 2 + a 2 du expresión: 3u 11 du ∫ u 2 + a 2 du + 2 ∫ u 2 + a 2

Realizando los cambios de variable respectivos nos queda: 11 3 x 2 − 5 x + 19 + Ln 2 x − 5 + 2 x 2 − 5 x + 19 + c 2 senx − cos x 14) ∫ . Hacemos u = senx + cos x ⇒ du = cos x − senx ⇒ −du = senx − cos x y senx + cos x du = − Ln( u ) + c ⇒ − Ln( senx + cos x ) + c realizando el cambio de variable: − ∫ u

)

(

III. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: dy  dy  1) a x + 2 y  = xy . Empezamos por realizar las operaciones algebraicas dx  dx  que nos permitan separar las variables adecuadamente. dy xy dy dy xy dy dy  y dy  y dx x + 2y = ⇒x − = −2 y ⇒ x 1 −  = −2 y ⇒  1 −  = −2 dx a dx dx a dx dx  a  y  a x 1 1 dx  − dy = −2 . Las variables han sido separadas adecuadamente, por tal x  y a motivo procedemos a integrar en ambos miembros de la igualdad par conocer la solución general a la ecuación diferencial que se nos ha pedido calcular. 1 1 dx y y Aplicamos ∫  y − a dy = −2∫ x ⇒ Ln( y ) − a = −2 Ln( x ) + c ⇒ a − Ln( y ) = 2 Ln( x ) + c . euler en ambos extremos.

e

y − Ln ( y ) a

y a

y

e =e ( ) ⇒ = kx 2 ⇒ e a = kx 2 y Ln x 2 + c

y

IX. Calcule las siguientes integrales utilizando la integración por partes 9) ∫ e

x

x2 +1

( x + 1) 2

dx . Para resolver esta integral resulta útil completar cuadrado en

el numerador, agregando y sustrayendo 2 x , por tanto la integral queda así: 2 x x + 2x + 1 − 2x e dx , organizando nos queda: ∫ ( x + 1) 2 2 2 ( x + 1) − 2 x xe x x ( x + 1) e dx = e dx − 2 ∫ ∫ ( x + 1) 2 ∫ ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 x

=

∫e

x

dx − 2∫

xe x

(1 + x ) 2

dx . Luego nos

queda calcular la segunda integral, pues la primera es inmediata como se ve; xe x e x + c − 2∫ dx . Procedemos a utilizar la integración por partes escogiendo (1 + x ) 2 adecuadamente las variables u y dv, para realizar un correcto calculo. −2 u = xe x dv = ( x + 1) dx du = e x ( x + 1) dx

v = −( x + 1)

−1

Por lo tanto nos queda: ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du reemplazando y calculando nos queda:  xe x  xe x   xe x  xe x e x ( x + 1)  xe x x x   − 2∫ dx = − 2 − + dx = 2 − e dx = 2 − e + c = 2 − 2e x + c     2 ∫ ∫   x +1 x +1 (1 + x )  x +1   x +1   x +1  Ya resuelta la integral que nos ocupaba, procedemos a escribir la respuesta completa de la integral que originalmente era objeto de estudio: 2 xe x xe x x x +1 x x = e dx e + c + 2 − 2 e + c = 2 − ex + c ∫ ( x + 1) 2 x +1 x +1