Taller Algebra Lineal.docx

Taller de Algebra Lineal Unidad 1

Trabajo Realizado por: Camilo Chica Sebastián Chica Vanessa Morales

Facilitador Carlos Andrés Agudelo González

Fundación Universitaria Católica del norte 2016

Ejercicio 1

a) x+y=3 x + 2y = -8

1* x + y = 3



-1* x + 2y = -8 

x+y=3 -x – 2y = 8

x+y=3 -x – 2y = 8 -y = 11

 y = -11

X – 11 = 3 X = 3 + 11 X = 14 Respuesta: x = 14 ; y = -11, se utilizó el método de eliminación

b) 7x + 4y = 1 -7x – 4y = -3 = -2 El sistema de ecuaciones no tiene solución.

c) -2x + 3y = 6



Ecuación A

−6x + 9y = 18



Ecuación B

Utilizamos el método de sustitución: Despejamos la variable x

-2x + 3y = 6 -2x = 6 – 3y X = (6 – 3y)/-2

-6*((6 – 3y)/-2) + 9y = 18 6 6 – 3𝑦 (− ) ∗ ( ) + 9𝑦 = 1 1 −2 −36 – 18𝑦 −2

+ 9y = 18

Eliminamos el denominador multiplicando este por todos los términos -36 – 18y - 18y = -36 -18y – 18y = -36 + 36 -36y = 0 Y = 0/-36 Y=0

X = (6 – 3*0)/-2 X = -3

Prueba: -2*-3 + 3*0 = 6 −6*-3 + 9*0 = 18 Respuesta: x = -3, Y = 0

Ejercicio 2 En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas ¿Cuantas aves y bestias viven en él? x + y = 60 2x + 4y = 200 Utilizamos el método de eliminación: Multiplicamos la primera ecuación por -2:

-2*(x + y) = 60 -2x -2y = -120 2x + 4y = 200 2y = 80 Y = 80/2 Y = 40 Reemplazamos en la segunda ecuación la y 2x + 4*40 = 200 2x + 160 = 200 2x = 200 – 160 2x = 40 X = 40/2 X = 20 Respuesta: Se tienen 20 aves y 40 bestias.

Ejercicio 3 Una tienda de helados vende solo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de Jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y una onza de Jarabe y 3 onzas de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿cuantos helados con soda y cuantas malteadas vende? 5 cuartos de jarabe = 160 Onzas 4 galones de helado = 4 cuartos = (4*4)*32=512 onzas 1 Helado con Soda = 1 Onza Jarabe + 4 Onzas Helado Malteada = 1 Onza Jarabe + 3 Onzas Helado Ecuación:

4x + 3y = 512 x + y = 160

Utilicemos sustitución, para esto despejamos la x en la segunda ecuación: X = 160 – y

Sustituimos la x en la primera ecuación: 4*(160 – y) + 3y = 512 640 – 4y + 3y = 512 640 + y = 512 Y = 512 – 640 Y = -128 X = 160 – 128 X = 32 Respuesta: Se vendieron 128 malteadas y 32 helados

Ejercicio 4: a) X -2Y +3Z =11 4X +Y –Z=4 2X –Y +3Z =10 Matriz Original 1 -2 3 11 4 1 -1 4 2 -1 3 10 El Renglón 1 la divido por 1 1 -2 3 11 4 1 -1 4 2 -1 3 10 Al Renglón 2 le sumo el Renglón 1 multiplicada por -4 1 -2

3 11

0 9 -13 -40 2 -1

3 10

Al Renglón 3 le sumo el Renglón 1 multiplicada por -2 1 -2 3 11 0 9 -13

-40

0 3 -3

-12

El Renglón 2 la divido por 9 1 -2

3

11

0 1 -1.444 -4.444 0 3

-3

-12

Al Renglón 3 le sumo el Renglón 2 multiplicada por -3 1 -2

3

11

0 1 -1.444 -4.444 0 0 1.333 1.333

El Renglón la divido por 1.333 1 -2

3

11

0 1 -1.444 -4.444 0 0

1

1

Al el Renglón 2 le sumo el Renglón 3 multiplicada por 1.444 1 -2 3 11 0 1 0 -3 0 0 1 1 Al el Renglón 1 le sumo el Renglón 3 multiplicada por -3 1 -2 0 8 0 1 0 -3 0 0 1 1 Al el Renglón 1 le sumo el Renglón 2 multiplicada por 2 y queda la matriz reducida 1 0 0 2 0 1 0 -3 0 0 1 1 Respuesta: X=2, Y=-3 y Z=1

b) -2X -6Y -6Z =9 -X +Y –Z =1

5X +28Y -26Z =-8 Matriz Original -2 -6 -6

9

-1 1 -1

1

5 28 -26

-8

La Fila 1 la divido por -2 1 3

3 -4.5

-1 1 -1

1

5 28 -26

-8

Al el Renglón le sumo el Renglón 1 multiplicada por 1 1 3

3 -4.5

0 4

2 -3.5

5 28 -26

-8

Al el Renglón 3 le sumo el Renglón 1 multiplicada por -5 1 3

3 -4.5

0 4

2 -3.5

0 13 -41 14.5 El Renglón 2 la divido por 4 1 3 3 -4.5 0 1 0.5 -0.875 0 13 -41

14.5

Al el Renglón 3 le sumo el Renglón 2 multiplicada por -13 1 3

3

-4.5

0 1 0.5 -0.875 0 0

25.875 47.5

El Renglón 3 la divido por -47.5 1 3 3

-4.5

0 1 0.5

0.875

0 0 1

0.544

Al el Renglón 2 le sumo el Renglón 3 multiplicada por -0.5

1 3 3

-4.5

0 1 0

0.602

0 0 1

0.544

Al el Renglón 1 le sumo el Renglón 3 multiplicada por -3 1 3 0

2.865

0 1 0

0.602

0 0 1

0.544

Al el Renglón 1 le sumo el Renglón 2 multiplicada por -3 y queda la matriz reducida 1 0 0

1.057

0 1 0

0.602

0 0 1

0.544

Respuesta: X=-1.057, Y=-0.602 y Z=-0.544

Ejercicio 5: Un viajero que acaba de regresar de Europa gasto $ 30 diarios en Inglaterra, $ 20 diarios en Francia y $ 20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gasto $ 20 diarios en Inglaterra, $ 30 diarios en Francia y $ 20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron $ 10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gasto un total de $ 340 en hospedaje, $320 en comida y $ 140 en gastos adicionales durante el viaje por estos tres países. Calcule el número de días que paso el viajero en cada país, o muestro que los registros son incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con la otra

Inglaterra Francia España total viaje

Hospedaje Comida Adicional 30 20 10 20 30 10 20 20 10 340 320 140

30I + 20F + 20E = 340 20I + 30F + 20E = 320 10I + 10F + 10E = 140

Matriz 30 20 10 340 20 30 10 320 20 20 10 140

Encontrar Determinante del sistema

Diagonal P

Diagonal S

30 20 20

9000

6000

20 30 20

4000

6000

10 10 10

4000

4000

30 20 20

17000

16000

20 30 20 Determinante Sistema 17000 – 16000= 1000

Encontrar Determinante I Diagonal P

Diagonal S

340 20 20

102000

84000

320 30 20

64000

68000

140 10 10

56000

64000

340 20 20

222000

216000

320 30 20 Determinante I 222000 – 216000 = 6000

Encontrar Determinante F Diagonal P

Diagonal S

30 340 20

96000

64000

20 320 20

56000

84000

10 140 10

68000

68000

30 340 20

220000

216000

20 320 20 Determinante F 220000– 216000 = 4000 Encontrar Determinante E Diagonal P

Diagonal S

30 20 340

126000

102000

20 30 320

68000

96000

10 10 140

64000

56000

30 20 340

258000

254000

20 30 320 Determinante F 258000– 254000 = 4000

Determinante Variable / Determinante Sistema

I = 6000 / 1000 = 6 F = 4000/1000 = 4 E = 4000/1000 = 4

Respuesta: pasó 6 Días en Inglaterra, 4 en Francia y 4 en España