Taller 4 2018-2.ecuaciones.pdf

Departamento de Matem´aticas Ecuaciones Diferenciales Taller 4 25 de octubre de 2018 1. Eval´ ue a) L{et sin 3t}. b) L{e3t (9 − 4t + 10 sin 2t )}. c) L{t(et + e2t )2 }. d ) L{(t − 1)U(t − 1)}. e) L{e2−t U(t − 2)}. f ) L{sin t U(t − π2 )}. g) L{cos t U(t − π)}. 2. Eval´ ue a) b) c) d) e) f)



 2s + 5 . s2 + 6s + 34   s L−1 . 2 s + 4s + 5   2s − 1 −1 . L s2 (s + 1)3   1 L−1 e−s . s(s + 1)   1 −1 −2s L e . s2 (s + 1)   (1 + e−2s )2 −1 L . s+2 L−1

3. Use la f´ ormula de la derivada de la transformada L{tf (t)} = −

d F (s) ds

para demostrar que L{t sin kt} =

1

(s2

2ks . + k 2 )2

(Esta f´ ormula puede ser usada en los pr´oximos ejercicios.) 4. Use la f´ ormula de la derivada de la transformada para evaluar    s−3 −1 . a) L ln s+1    1 b) L−1 arctan . s   f (t) existe y L{f (t)} = F (s), demuestre que 5. Si suponemos que L t   Z ∞ f (t) F (u)du. L = t s Use esta f´ ormula para hallar la transformada de sin t . t ebt − eat b) f (t) = . t

a) f (t) =

6. Use el teorema de convoluci´ on en su forma inversa Z t −1 f (y)g(t − y)dy L {F (s)G(s)} = 0

para demostrar que L−1



1 (s2 + k 2 )2

 =

sin kt − kt cos kt . 2k 3

7. Resuelva el PVI dado. a) y 0 + y = f (t), y(0) = 0, donde  f (t) =

1, 0≤t<1 −1, t ≥ 1.

b) y 0 + 2y = f (t), y(0) = 0, donde  f (t) =

t, 0 ≤ t < 1 0, t ≥ 1.

8. Use u ´nicamente argumentos de transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de masa-resorte. (Aceleraci´ on de la gravedad: 32 pies/s2 o 10 m/s2 ) a) Una masa de 1 slug est´ a unida a un resorte cuya constante es de 4 lb/pie. Al inicio la masa se libera del reposo desde la posici´on de equilibrio. El movimiento posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 5 veces la velocidad instant´ anea. Encuentre la ecuaci´on del movimiento si una fuerza externa igual a  1, 0 ≤ t < 2 f (t) = 0, t≥2 act´ ua sobre la masa. 2

b) Una masa que pesa 32 libras estira un resorte 32 pies. Si el peso se libera a partir del reposo y desde la posici´ on de equilibrio, determine la ecuaci´on del movimiento x(t) si no hay fuerzas de amortiguamiento y sobre el sistema act´ ua una fuerza externa de  cos 2t, 0 ≤ t < 2π f (t) = 0, t ≥ 2π. c) Una masa de 1/4 slug, cuando se une a un resorte, causa en ´este un alargamiento de 8 pies y luego llega al punto de reposo en la posici´on de equilibrio. Empezando en t = 0, una fuerza externa de  t 4, 0 ≤ t < 2 f (t) = 0, t≥2 se aplica al sistema. Encuentre la ecuaci´on del movimiento x(t) si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instan´anea. d ) Suponga que un peso de 32 libras estira un resorte 2 pies. Si el peso se libera a partir del resposo en la posici´ on de equilibrio, determine la ecuaci´on del movimiento x(t) si una fuerza de  f (t) =

20t, 0 ≤ t < 5 0, t≥5

act´ ua sobre el sistema. Desprecie cualquier fuerza de amortiguamiento. e) Resuelva el problema anterior si la fuerza aplicada en este caso es  f (t) =

sin t, 0 ≤ t < 2π 0, t ≥ 2π.

f ) Una fuerza de 10 newtons alarga 10 metros un resorte. Una masa de 1 kilogramo se une al extremo del resorte y se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 1 m/s. Determine la ecuaci´on del movimiento x(t) si no hay fuerzas de amortiguamiento y sobre el sistema act´ ua una fuerza externa de   0, 0 ≤ t < π 1, π ≤ t < 2π f (t) =  0, t ≥ 2π. g) Una masa que pesa 30 newtons estira un resorte 10 metros y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 4 N cuando la velocidad de la masa es 2 m/s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte del del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa f (t) (en N) dada por  72t, 0 ≤ t < 1 f (t) = 72, t≥1 determine la soluci´ on del problema de valor inicial que describe el movimiento de la masa. h) Un resorte de 5 metros mide 25 metros de largo despu´es de colocarle una masa que pesa 40 newtons. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 9 veces la velocidad instant´anea. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte del 3

reposo desde la posici´ on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa f (t) (en N) dada por  0≤t<1  0, 60t − 60, 1≤t<2 f (t) =  120t − 180, t ≥ 2, determine la soluci´ on del problema de valor inicial que describe el movimiento de la masa. 9. Determine la soluci´ on de las siguientes ecuaciones integrales e integro-diferenciales a) t

Z

0

y(τ ) cos(t − τ )dτ,

y (t) = cos t +

y(0) = 1.

0

b) Z

t

f (τ )f (t − τ )dτ = 6t3 .

0

c) t

Z

0

y (t) = 1 − sin t −

y(τ )dτ,

y(0) = 0.

y(τ )dτ = 1,

y(0) = 0.

0

d) t

Z

dy + 6y(t) + 9 dt

0

e) t

Z

0

y(θ)dθ = 1,

y (t) + 2y +

y(0) = 0.

0

f) t

Z

f (y)(t − y) dy = t.

f (t) + 0

g) Z

t

t − 2f (t) =

f (t − y)(ey − e−y ) dy.

0

h) Z f (t) + 2

t

f (τ ) cos(t − τ ) dτ = 4e−t + sin t.

0

i) f (t) = 1 + t −

8 3

t

Z

(t − y)3 f (y) dy.

0

j) t

Z

t

τ f (t − τ ) dτ.

f (t) = te + 0

k) Z f (t) = 2t − 4

sin τ f (t − τ ) dτ. 0

4

t

l) Z

t

Z f (y) sin(t − y) dy = −3

f (t) + 3 0

t

sin(2y) sin(t − y) dy. 0

m) Z

t

f (y) sin(2(t − y))dt = t − cos tU

f (t) − 2 0



t−

π . 2

n) f 0 (t) + 13

t

Z

f (x) dx − 6 f (t) = 13 t + 13 (t − 2)U (t − 2) ,

f (0) = 0.

0

n ˜) f 0 (t) + 18

Z

t

f (x) dx − 6 f (t) = 18t + 18 (t − 3)U (t − 3) , 0

5

f (0) = 0.