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1. Explique funciones vectoriales, propiedades, ejemplos y aplicaciones en la electrónica.  Funciones vectoriales

Una función vectorial de una variable real en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del tipo r :I  R V3

t  r (t )  f (t ) i  g (t ) j  h (t ) k  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) donde f , g y h son funciones reales de variable real t , llamadas funciones componentes de r . Nota: Si la función vectorial r describe el movimiento de una partícula, el vector r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) señala su posición en el instante t , en estos casos t representa la variable tiempo. Ejemplo 1: r : R  V 3 / r (t )  ( 2  3 t ) i  2 t j  (1  t ) k Ejemplo 2: r : R  V 3 / r (t )  ( t 2 , sen t , cos 3 t ) Dominio de una función vectorial

Esta dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) entonces



I  Dom (r )  Dom ( f )  Dom ( g )  Dom (h)

r (t )  1 t 2 , Ejemplo: Si I  t R / t  0 

t , ln t

 el

dominio

de

r

será

Límite y continuidad de una función vectorial

Sea la función vectorial

r : I  R  V 3 / r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) )

se define

  lim r (t )   lim f (t ) , lim g (t ) , lim h ( t )  t  a t a t a  t a  siempre que existan los límites de las funciones componentes.





2 2 t Ejemplo: Si r (t )  1 3 t , sen t , t  e entonces

  lim r (t )   lim (1  3 t ) , lim sen t , lim (t 2  e 2 t )   (1, 0,  1) t 0 t 0 t 0  t 0  lim r (t )  r (a ) a  I a r Si se dice que es continua en si t  a Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta: “La función vectorial r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) es continua en a sí y solo si sus funciones componentes f , g y h son continuas en a ”

Aplicación Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones 2. Explique el concepto de derivada parcial, reglas de derivación parcial, regla de la cadena y ejemplos.  Derivadas parciales Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivación parcial. Derivadas parciales de una función de dos variables Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como

siempre y cuando el límite exista. f se considera Y constante x f derivando con respecto a X y para calcular se considera x constante y

Nota. La definición indica que para calcular

derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas usuales de derivación. La derivada parcial en un punto de una función de dos variables es la derivada de la función de una variable, obtenida haciendo constante la otra variable. En consecuencia se pueden aplicar, con esta interpretación las reglas de derivación de una variable. Regla de la cadena La regla de la cadena se utiliza para poder calcular las derivadas parciales de funciones que dependes de más de una variable f(x,y), y a su vez estas dependen de una tercer variable f(x(t), y(t)), esta función se deriva siguiendo la siguiente estructura: dz z dx z dy  .  . dt x dt y dt

Para un caso más general de la regla de la cadena podemos analizar una función w=F(x,y), donde g(s,t) & h(s,t), esta función seria dependiente de 2 variables independientes y por lo tanto sus primeras derivadas parciales de primer orden estarían dadas por: w w x w y w w x w y y   .  .  . . s x s y s t x t y t