Taller 1

INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO Núcleo de Fundamentación en Ciencias Básicas Taller de Aprendizaje Tema: Integrales y Movimiento Docente: Jacqueline Palacio Fecha: 13 de Abril de 2005 Metas cognitivas: Con este taller, aprenderás los conceptos básicos sobre integrales y los aplicarás para analizar el movimiento de partículas de acuerdo a los fundamentos de la cinemática. Postulados básicos: El movimiento será analizado desde la física clásica que considera el tiempo y el espacio como entidades absolutas. Sugerencia: Debes leer cuidadosamente, entendiendo cada parte de este taller, si no entiendes con la primera lectura, no te des por vencido, vuelve a intentarlo, verás los resultados. Posteriormente trata de profundizar el tema con ayuda de algún libro de cálculo y/o física. DEFINICIONES BÁSICAS Cálculo Integral: El concepto clave del cálculo integral es la Integración, que es un procedimiento para calcular los límites de unas ciertas sumas, llamados integrales definidas. A menudo estos límites se pueden calcular invirtiendo el proceso de derivación, o sea hallando primitivas. Es decir, dada una función f hay que hallar otra, F, tal que F’= f . Esto se llama integración indefinida, y la ecuación F’= f es un ejemplo de ecuación diferencial. El calcular integrales y el resolver ecuaciones diferenciales son procesos extraordinariamente importantes en Cálculo. Contexto: Desde tiempos muy antiguos, el cálculo del área ha sido un problema de interés tanto teórico como práctico. El problema no es fácil, excepto en algunos casos. Por ejemplo, posiblemente sabrás cómo calcular el área de un rectángulo, de un cuadrado, de un triangulo, de un círculo y hasta de un trapecio y probablemente también hayas calculado áreas de regiones más complicadas que se descomponen en regiones de estos tipos. Sin embargo, ¿Cómo hallarías el área comprendida entre la parábola de la ecuación y = x2 y el eje x en el intervalo [0, 1]? La respuesta a esta pregunta la da el cálculo integral. Observe que, aunque no se puede calcular esta área usando una fórmula simple, podemos estimarla sumando las areas de rectángulos que la aproximen, cuyas bases sean subintervalos de [0,1], para simplificar los cálculos tomaremos rectángulos con la misma base, ∆x, y alturas iguales a las coordenadas de la función. Observe que si hacemos la base lo más pequeña posible (∆x 0), la estimación del área será más precisa y el número de rectángulos en los que se habrá dividido el área aumentará.

∑∑

Y = f(x)

Arect = ∆x f(x) 1.6

ATotal = ∑ ∆x f(x)

1.2

Area = Lim

y =f(x)= x2

∑ ∆x f(x)

∆x 0

Esto corresponde al concepto de integral que se simboliza así:

0.8 0.4

∆x

Area de un rectángulo.

∫ f ( x)dx

0 0

0.4

0.8

1.2

1.6

X

Existen dos tipos de integrales, la Integral Indefinida, que es aquella que no tiene límites de integración y que al integrarla siempre se le suma una constante C, que depende de las condiciones iniciales que se plantean en un problema en concreto. La integral indefinida de una función f(x) se representa así: = F(x) + C Tal que F’ = f

∫ f ( x)dx Y la Integral Definida, que es aquella que posee límites de integración. La integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], se representa por: b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b a

= F (b) − F (a )

Tal que F' = f

a

La expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. Para solucionar las integrales definidas se evalúa el resultado obtenido de acuerdo a las fórmulas de integración en el límite superior (b) y se le resta la función hallada evaluada en el límite inferior (a), como se observa en la fórmula anterior. Fórmulas de integración A continuación encontrarás las fórmulas más comunes para integrar funciones, debes saber que hay muchísimas más y que adicionalmente existen tablas de integrales muy completas. Consulta en los libros de cálculo si quieres profundizar en ello.

Vamos a hacer un ejemplo para que entiendas mejor y luego puedas realizar los ejercicios que se te presentan: Vamos a integrar:

∫ (3x

2

+ 5 x − 2)dx

Primero que todo, observa que es una integral indefinida porque no tiene límites de integración, por ello a la respuesta que resulta de aplicar las fórmulas anteriores se le debe sumar C (que representa un valor constante) La integral de este polinomio puede separarse (aunque no es necesario) y lo vamos a hacer para que comprendas mejor el ejercicio:

∫ (3x

2

+ 5 x − 2) dx = ∫ 3x 2 dx + ∫ 5 xdx − ∫ 2dx

3 x 2+1 5 x 1+1 2 x 0+1 ∫ (3x + 5 x − 2)dx = 2 + 1 + 1 +1 − 0 + 1 + C 3x 3 5 x 2 2 x 2 ∫ (3x + 5 x − 2)dx = 3 + 2 + 1 + C 5x 2 2 3 ( 3 x + 5 x − 2 ) dx = x + 2x + C ∫ 2 2

Esto último es la respuesta a la integral. Espero que hayas entendido, porque ahora vamos a ver si fuera la misma integral pero definida, es decir que nos piden que integremos en el intervalo [0,1]: 1

∫ (3x

2

+ 5 x − 2)dx

0

La respuesta de la integral, es la misma: x3 + 5x2/2 - 2x, pero en esta ocasión por ser definida, no se le suma la constante C, sino que se evalúa la función en el límite superior (o sea 1) y luego se le resta la función evaluada en el límite inferior (o sea 0) 1

2 3 ∫ (3x + 5x − 2)dx = x + 0

5x 2 − 2x 2

1 0

 3 5(1) 2   3 5(0) 2  ( 3 x + 5 x − 2 ) dx = 1 + − 2 ( 1 ) − 0 + − 2 ( 0 )     ∫0 2 2     1

2

1

∫ (3 x 0

2

+ 5 x − 2)dx =

3 2

Observa que después de realizar todas las operaciones, el resultado de la integral definida es un valor, en este caso 3/2. Ahora sí, vamos a los ejercicios:

I. Identifica si las siguientes integrales son indefinidas o definidas y resuélvelas: 1) 2) 3) 1

∫ (5 x

4

− 3 x 2 )dx

−1

4) 5) 3

1



∫  x + 3 dx 2

6)

7) 8)

∫ (2 x

3/ 2

−

1 x

1/ 2

+ e x )dx

9) 2

∫( 1

3

x2 +

4 4

x5

) dx

10)

∫ (senx + 3x

5

− 1)dx

Existen otro tipo de integrales, un poco más complejas en los que hay que realizar una sustitución para poder hacer más simple la función e integrarla (Esto se parece un poco a lo que aplicamos cuando hablamos en derivación de regla de la cadena). Vamos a verlo con un ejemplo:



1

∫  ( x − 10)

7

 dx 

Observa que no podemos resolver inmediatamente, antes debemos hacer una SUSTITUCIÓN. Si hacemos u lo del paréntesis del denominador, la función se simplifica: u = x-10 Como todo debe quedar ahora en términos de u, debemos derivar con respecto a x, es decir obtener la derivada du/dx, entonces tenemos que: u = x − 10 du =1 Despejando dx = du dx Reemplazando en la integral original tenemos : 1 ∫ u 7 du Que podemos integrar facilmente: 1 u −6 −7 du = u du = +C ∫ u7 ∫ −6 Re emplazandopor lo que representa u, tenemos que : dx ( x − 10) −6 1 = +C = − +C ∫ (x - 10)7 −6 6( x − 10) 6

II. Realiza las siguientes integrales utilizando el método de integración por sustitución: 1)

∫ ((x

2

(x3 + 2

)

1/ 3

dx

2)

∫ (x

)

3

x 2 + 4 dx

0

3)

∫ (Sen 3x Cos3x ) dx 2

4) .

5) 6)

∫e

2x

dx

Integrales y Movimiento: Cuando vimos derivadas concluimos que si tenemos la función que describe la posición de un cuerpo en términos del tiempo podemos derivarla y hallar la función de velocidad y si a esta la derivamos, podemos hallar la aceleración. Ahora, con la ayuda de las integrales vamos a poder devolvernos en esta secuencia es decir si integramos la aceleración vamos a obtener la velocidad y si integramos la velocidad vamos a obtener la función de posición. Integrando Derivando Función Función Función Velocidad Posición aceleración V(t) x(t) a(t)

Esto se debe a que recordemos que la integral representa el área bajo la curva y como vimos en el tema sobre movimiento rectilíneo: x

En un diagrama de Velocidad tiempo: el área bajo la curva representa el desplazamiento x: t

x = ∫ Vdt t0

O sea que la posición es la integral de la Velocidad con respecto al tiempo.

9 8

Velocidad

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

Tiempo

V

En un diagrama de Aceleración tiempo: el área bajo la curva representa La velocidad V: t

V = ∫ a dt t0

O sea que la velocidad es la integral de la aceleración con respecto al tiempo.

10

Aceleración

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo

Lo anterior nos sirve entonces para complementar lo aprendido con la derivada y a realizar ejercicios relacionados con el movimiento. Una de las aplicaciones más utilizadas es en caída libre, un tipo de movimiento rectilíneo acelerado donde actúa la aceleración de la gravedad (g). En este tipo de movimiento (que es verticalmente hacia abajo o hacia arriba, por ejemplo cuando dejamos caer una piedra), si consideramos los ejes positivos hacia arriba, la aceleración de la gravedad siempre actúa hacia abajo por ello será negativa, es decir, tendrá un valor de -9.8 m/s2. Vamos a realizar un ejemplo: Ej: Una persona arroja una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 15 m/s. Calcule la altura máxima alcanzada por la pelota. Observe que es un ejercicio de caída libre, por tanto la aceleración que actúa es -9.8m/s2 y es constante, además observe que en el ejercicio no nos hablan de posición inicial o sea que suponemos como nivel de referencia el suelo que es x0 = 0 y la velocidad inicial es V0 = 15 m/s como nos la da el problema, estas son por tanto las CONDICIONES INICIALES DEL PROBLEMA. Ahora vamos a resolverlo aplicando las integrales, sabemos que integrando la aceleración hallamos la velocidad e integrando la velocidad hallamos la posición. En estas integrales indefinidas la constante C, corresponde a las condiciones iniciales, así en la ecuación de posición x, la constante es la posición inicial x0 y en la de velocidad la constante es la velocidad inicial V0.

V = ∫ adt V = ∫ − 9.8dt

V = −9.8t + C V = −9.8t + 15

C = V0 = 15m / s Velocidad en función del tiempo.

x = ∫ Vdt x = ∫ ( −9.8t + 15)dt − 9.8t 2 + 15t + C C = x0 = 0 2 x = −4.9t 2 + 15t Posiciónen funcion del tiempo. x=

Con estas ecuaciones ya podemos describir el movimiento de la pelota lanzada. En concreto, nos preguntan cuánto sube la pelota, es decir, cuál es su altura máxima. Para ello trate de imaginarse el movimiento de la pelota, note que cuando llega a su altura máxima es porque instantáneamente se detiene o sea que su velocidad es cero en este punto y con este dato podemos hallar el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima con la fórmula de velocidad en función del tiempo y luego con el tiempo hallado lo reemplazamos en la fórmula de posición en función del tiempo y obtenemos así la altura máxima. Ahora sí, procedamos: Haciendo V= 0 en la ecuación V = -9.8 t2 + 15 0 = -9.8 t2 + 15 t2 = 15/9.8

Resolviendo t = 1.2 seg.

Este es el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima: 1.2 seg. Y lo reemplazamos en la ecuación de posición para obtener la altura máxima: x = -4.9 t2 + 15 t x = -4.9 (1.2)2 + 15 (1.2) x= 11 m La altura máxima alcanzada por la pelota es 11 metros. Después de haber leído y entendido lo anterior, resuelve los siguientes ejercicios que relacionan las integrales con el movimiento, en ellos encontrarás las respuestas para que puedas verificar si los hiciste bien. III. Resuelve los siguientes problemas aplicando integrales: 1. Una pelota se arroja directamente hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial 29m/s ¿A qué altura llega y cuánto tiempo vuela? (R/: 43 m, 6 s)

2. Se deja caer una piedra en un pozo y golpea en el fondo 3 segundos después ¿Qué profundidad tiene el pozo? (R/: 44 m) 3. Se deja caer una pelota desde lo alto de un edificio de 122 m de altura ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo y con qué velocidad? (R/: -49 m/s) 4. Una bola arrojada hacia arriba desde el suelo alcanza una altura máxima de 225 pies ¿Cuál es su velocidad inicial? (R/: 120 ft/s) 5. Un carro que viaja a 60 millas/h patina 176 ft después de ser aplicados los frenos. Si la desaceleración provocada por el sistema de frenado es constante ¿Cuál es su valor? (R/: 22 ft/s2)

Para Reflexionar… “Science is an adventure of the whole human race to learn to live in and perhaps to love the universe in which they are. To be a part of it is to understand, to understand oneself, to begin to feel that there is a capacity within man far beyond what he felt he had, of an infinite extension of human possibilities…