Tajribi Math Sx (12)

‫اﻣﺘــﺤـــــــــﺎن ﺗﺠــﺮﻳــﺒــــــــﻲ‬ ‫‪ 29-28-26‬ﻣﺎرس ‪2005‬‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳـﺔ ‪ :‬اﻟﻘﺎﺿﻲ ﻋﻴﺎض – ﻣﺮاآﺶ اﻟﻤﻨﺎرة‬

‫اﻟﻤــﺎدة ‪ :‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴــــﺎت‬

‫اﻟﺸﻌﺒﺔ ‪ :‬اﻟﻌﻠــــــﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴــــﺔ‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺛﺎﻧﻮ‬

‫) ﻳﺴﻤﺢ ﺑﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻵﻟﺔ اﻟﺤﺎﺳﺒﺔ ﻏﻴﺮاﻟﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺒﺮﻣﺠﺔ ( ‪rm‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻣﺒﺎﺷﺮ ‪ O, i, j , k‬اﻟﻨﻘﻂ ‪:‬‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪B ( −1, 2,1) ; A ( −2, 0, 4 ) ; Ω ( −1, 0, 2‬‬ ‫‪ (1‬ﺑﻴﻦ أن ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪ ( S‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ Ω‬واﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬هﻲ ‪x + y + z + 2 x − 4 z = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﻌﺮف ﺑﺎﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮي اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪⎧x = k‬‬ ‫⎪‬ ‫‪⎨ y = −2k‬‬ ‫‪⎪ z = −3 − 4 k‬‬ ‫⎩‬

‫) ∈ ‪(k‬‬

‫أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ) ) ‪ d ( Ω, ( D‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬ ‫ب‪-‬‬ ‫ج‪-‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪ B ∈ ( D‬وأن ) ‪( ΩB ) ⊥ ( D‬‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻤﺎس اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬واﻟﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ‬

‫‪ ( un )n≥0‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪ u0 = 0 :‬و‬

‫‪ (1‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ‬

‫‪n‬‬

‫‪un +1 = 3un − 2‬‬

‫) ∈ ‪( ∀n‬‬

‫‪un ≤ 0 :‬‬

‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ‪ ( un )n≥0‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‪.‬‬

‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ ( vn )n≥0‬ﺣﻴﺚ‬

‫‪vn = 2 n − un‬‬

‫) ∈ ‪( ∀n‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ ( vn )n≥0‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ ‪3‬‬

‫ب‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪ vn‬ﺛﻢ ‪ un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫ج‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪lim un‬‬ ‫∞‪n →+‬‬

‫‪ (4‬ﻧﻀﻊ ‪S n = u0 + u1 + u2 + .........un −1 :‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫‪1 + 3n‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Sn = 2n −‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫‪ (1‬اآﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺒﺮي اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي‬ ‫‪(2‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪n ≥ 1‬‬

‫) ‪(3 + i‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻟﻌﻘﺪﻳﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪: ( E‬‬ ‫وﻟﻴﻜﻦ ‪ z1‬و ‪ z2‬ﺣﻠﻲ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﺣﻴﺚ ‪ℜe ( z1 ) ≺ 0‬‬ ‫أ‪ -‬ﺣﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( E‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪z 2 − (1 + 3i ) z − 4 = 0‬‬

‫ب‪ -‬اآﺘﺐ آﻼ ﻣﻦ ‪ z1‬و ‪ z2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫ج‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫‪z13 = z2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ O, e1 , e2‬اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ M‬و ‪ N‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ ‪ i‬و ‪ α‬و ‪ 2α‬ﺣﻴﺚ ‪ α‬ﻋﺪد ﻋﻘﺪي ﻟﻴﺲ ﺗﺨﻴﻠﻴﺎ ﺻﺮﻓﺎ‪.‬‬ ‫‪α −i‬‬ ‫) ﻧﺬآﺮ أن ‪ α‬هﻮ ﻣﺮاﻓﻖ اﻟﻌﺪد اﻟﻌﻘﺪي ‪( α‬‬ ‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪⇔ α + α = 0 :‬‬ ‫∈‬ ‫‪2α − i‬‬ ‫ب‪ -‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ M‬و ‪ N‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‪.‬‬

‫اﻣﺘــﺤـــــــــﺎن ﺗﺠــﺮﻳــﺒــــــــﻲ‬ ‫‪ 29-28-26‬ﻣﺎرس ‪2005‬‬ ‫اﻟﻤــﺎدة ‪ :‬اﻟﺮﻳﺎﺿﻴــــﺎت‬

‫ﺛﺎﻧﻮﻳـﺔ ‪ :‬اﻟﻘﺎﺿﻲ ﻋﻴﺎض – ﻣﺮاآﺶ اﻟﻤﻨﺎرة‬ ‫اﻟﺸﻌﺒﺔ ‪ :‬اﻟﻌﻠــــــﻮم اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻴــــﺔ‬

‫‪rm‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‬ ‫‪(I‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺛﺎﻧﻮي‬

‫‪g ( x ) = 1 + ( x − 1) e‬‬

‫‪ (1‬اﺣﺴﺐ ) ‪ lim g ( x‬و ) ‪lim g ( x‬‬ ‫∞‪x →+‬‬

‫‪ (2‬اﺣﺴﺐ ) ‪ g ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ‬

‫‪ (3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪0 :‬‬ ‫‪(II‬‬

‫)‬

‫∞‪x →−‬‬

‫ﺛﻢ اﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬

‫) ‪( ∀x ∈ ]−∞, 0[ ) g ( x‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫ﺑﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫⎧‬ ‫‪− ln ( x + 1) ; x ≥ 0‬‬ ‫‪⎪ f ( x) = 2 −‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫⎨‬ ‫‪⎪ f ( x ) = x + 2 + ( x − 2) ex ; x ≺ 0‬‬ ‫⎩‬

‫(‬

‫)‬

‫‪ ( C f‬هﻮ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ) O, i, j‬وﺣﺪة اﻟﻘﻴﺎس ‪( 2cm‬‬

‫‪ (1‬أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ) ‪ lim f ( x‬و ) ‪lim f ( x‬‬

‫∞‪x →−‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. 0‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ lim‬وأول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ هﻨﺪﺳﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ lim‬وأن ‪= 0‬‬ ‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن ‪= 1 :‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x →0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x≺ 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪(3‬‬

‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أﻧﻪ ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [‪]−∞, 0‬‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن إﺷﺎرة ) ‪ f ' ( x‬ﻋﻠﻰ [∞‪]0, +‬‬

‫)‪f '( x) = g ( x‬‬

‫هﻲ إﺷﺎرة ‪1− x‬‬

‫ج‪ -‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪f‬‬

‫‪ (4‬أ ‪-‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪y = x + 2‬‬

‫⎞ ‪ln ( x + 1) ln x 1 ⎛ 1‬‬ ‫=‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪+ ln ⎜1 + ⎟ :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫⎠‪x ⎝ x‬‬

‫ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‬

‫‪ ( C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪−‬‬

‫) [∞‪( ∀x ∈ ]0, +‬‬

‫ﺛﻢ ادرس اﻟﻔﺮع اﻟﻼﻧﻬﺎﺋﻲ‬

‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪+‬‬

‫‪ (5‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪(6‬‬

‫ارﺳﻢ ) ‪( C‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪ f ( x ) = 0‬ﺗﻘﺒﻞ ﺣﻼ وﺣﻴﺪا ‪ β‬ﻓﻲ اﻟﻤﺠﺎل ]‪[3, 4‬‬ ‫) ﻧﺄﺧﺬ ‪ f ( 3) = 0,12‬و ‪( f ( 4 ) = −0, 01‬‬ ‫) ﻧﻘﺒﻞ أن ) )‪ ω ( 3, f ( 3‬هﻲ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( ( C f‬‬

‫‪ (III‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬

‫[∞‪[1, +‬‬

‫‪ (1‬ﺑﻴﻦ أن ‪ h‬ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1, +‬ﻧﺤﻮ ﻣﺠﺎل ‪ J‬ﻳﺠﺐ ﺗﺤﺪﻳﺪﻩ‬ ‫‪2‬‬

‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن ‪:‬‬

‫) ‪(1 + β‬‬ ‫=‬ ‫‪1− β‬‬

‫)‪( h ) ' ( 0‬‬ ‫‪−1‬‬

‫) وﻧﺄﺧﺬ ‪( ln 2 = 0, 7‬‬