Tablas De Derivadas

MAT 1101 Aux.: Univ. Oscar Manuel Paiva Ancalle Tema.: DERIVADAS DE FUNCIONES

1º Reglas principales para hallar la derivada.-

1. (c)' = 0

5. (u * v )' = u '×v + u × v'

2. ( x)' = 1

6.   ' =

3. (u ± v)' = u '± v'

7.   ' = −

u v

4. (c × u )' = c × u '

u '×v − u × v' v2 c × v' v2

c u

Donde:

c = cte. (Constante Numero cualquiera) u = ϕ (x ) (Función de “x”) v = ψ (x) (Función de “x”)

2º Tabla de las derivadas de las funciones principales.-

8. (arccos x )' = −

1. ( x n )' = nx n −1 2. ( x )' =

1

1 1 + x2 10. (a x )' = a x ln a

4. (cos x)' = − sin x

11. (e x )' = e x

1 cos 2 x

6. (cot an( x))' = − 7. (arcsin x )' =

1 − x2

9. (arctan x)' =

2 x 3. (sin x)' = cos x

5. (tan x)' =

1

12. (ln x)' =

1 sin 2 x 1

1 x

13. (log a x)' =

1 x ln a

1 − x2

3º Regla para derivar las Funciones Compuestas.Se tiene:

y = f [ g[h( x )]]

Su derivada respecto de “x” es:

y' =

MAT 1101 Cálculo I

dy = ( f [ g[h( x)]])'×( g[h( x)])'×(h( x))' dx

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MAT 1101 Aux.: Univ. Oscar Manuel Paiva Ancalle Tema.: DERIVADAS DE FUNCIONES

Dando otra explicación: Si y = f (u ) y tanto se tiene:

u = ϕ (x ) , es decir, y = f [ϕ ( x)] , donde las funciones “y” y “u” tienen derivada, por lo y ' x = y 'u ×u 'x

o en otra notación:

dy dy du = × dx du dx 4º Derivada de la función Implícita. Si la dependencia entre “x” y “y” viene dada de forma implícita, es decir que no se puede expresar la función en función de “x” o “y”, se realiza:

F ( x, y ) = 0 Para hallar su derivada se trabaja como una ecuación, es decir hallamos miembro a miembro la derivada respecto de “x”. Y se tiene:

d [ F ( x, y )] =0 dx Se debe hallar la derivada de “y” como si este fuese una función compuesta de “x”, luego despejar “y’ ”, y se tendrá:

y' =

dy = G ( x, y ) dx

(Donde la Función G(x , y) es la función derivada)

5º Máximos y Mínimos. Para poder hallar un máximo o mínimo de cualquier función se debe igualar a 0 la derivada de la función es decir: Se quiere hallar un máximo y un mínimo de la función:

y = f (x)

Derivando e igualando a cero:

y' =

Resolvemos la ecuación:

g ( x) = 0

dy = g ( x) = 0 dx

y sus raíces serán los posibles máximos y mínimos.

Sean las raíces: “a” y “b” Entonces si:

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y ' ' (a ) < 0 y ' ' (a ) > 0

es un máximo. es un mínimo.

(Criterio de la 2da derivada)

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