Tabla De Integrales

CÁLCULO DE PRIMITIVAS TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

p ≠ −1

∫

p ∫ x dx =

x p +1 +C p +1

1

∫ cos 2 x dx = tgx + C −1

dx = ln x + C x

∫ e dx = e x

x

2

x

dx = cot gx + C

dx

∫ cosh

+C

a > 0, ∫ a x dx = a > 0, ∫

∫ sen

ax +C ln a

∫

dx = log a x + C x ln a

∫

2

= tgh x + C

x

dx

= arcsen x + C

1 − x2 − dx

= arccos x + C

1 − x2 dx

∫ sen xdx = − cos x + C

∫ 1+ x

∫ cos xdx = sen x + C

∫

∫ senh xdx = cosh x + C

∫

∫ cosh xdx = senh x + C

∫ 1− x

2

= arctg x + C

dx x2 + 1 dx x2 −1

dx

2

= arg senh x + C

= arg cosh x + C

= arg tgh x + C

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si u = u( x ) , entonces

∫ u′( x ) f (u( x ))dx u′

es inmediata siempre que lo sea u′

∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien, ∫ 1 + u ln x (ln x ) 2 ∫ x dx = 2 + C

∫

ex x dx = arcsen e +C 2x 1− e

2

dx = arctg u + C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. - Cambio de variable: Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena. Queremos realizar la integral

∫ f ( x )dx

donde

f no

tiene una

primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces,

x = g (t )

para el cambio,

dx = g ′(t )dt

∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos. 2. - Integración por partes Se basa en la derivada de un producto.

u = u(x ) y (uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando Sean

obtenemos

v = v (x )

en ambos lados de la igualdad

uv = ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx .

Por tanto,

∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx Ejemplos: u = x → du = dx

∫ xe dx = dv = e dx → v = e x

x

x

entonces

 x x x x x  = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C 

dx   u = ln x → du = x  = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C ∫ ln xdx =    dv = dx → v = x 

3. - Integración de funciones trigonométricas: Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas: 1 (1 − cos( 2 x )) 2 1 cos 2 x = (1 + cos( 2 x )) 2

sen 2 x =

sen x + cos x = 1 2

2

cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x

Resultan:

sen( 2 x ) = 2 sen x cos x 2  x sen   = 1 − cos x  2 2

2  x cos  = 1 + cos x  2 2

1 − cos x  x tg  =  2 1 + cos x

sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y 2 sen x cos y = sen( x + y ) + sen( x − y ) 2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 sen x sen y = − cos( x + y ) + cos( x − y )

Ejemplos: i)

∫ sen

2

xdx =

1 1 1 1 1  (1 − cos( 2 x ))dx = ∫ dx − ∫ cos( 2 x )dx =  x − sen( 2 x ) + C ∫  2 2 2 2 2

ii) ∫ sen( 4 x ) cos( 2 x )dx =

1 11 1  (sen( 6 x ) + sen( 2 x ))dx =  ( − cos( 6 x )) + ( − cos( 2 x )) + C ∫  2 26 2

1 4

iii) ∫ cos x sen 3 xdx = ∫ sen 3 x (sen x )′dx = sen 4 x + C iv)

∫ sen

5

x cos 2 xdx = ∫ sen 4 x cos 2 x sen xdx = − ∫ (1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x (cos x )′ dx =

∫ (1 − 2 cos

2

x + cos 4 x ) cos 2 x (cos x )′ dx =

1 2 1 cos 3 x − cos 5 x + cos 7 x + C 3 5 7

1 1 (1 − cos( 2 x ))(1 + cos( 2 x ))dx = ∫ (1 − cos 2 ( 2 x ))dx = ∫ 4 4 v) 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ 1 + cos( 4 x )dx = x − x − sen( 4 x ) = x − sen( 4 x ) + C 4 8 4 8 32 4 32

∫ sen

2

x cos 2 xdx =

dx sen 2 x + cos 2 x vi) ∫ 2 = dx = sen x cos 2 x ∫ sen 2 x cos 2 x

dx

∫ cos

2

x

+∫

dx = tg x − cot x + C sen 2 x

5. - Integración de funciones hiperbólicas: Son integrales del tipo

∫ R(senh x, cosh x )dx

y se resuelven de alguna de

las siguientes formas: e x − e− x e x + e− x ; cosh x = 1) Teniendo en cuenta la definición: senh x = 2 2

2) Teniendo en cuenta las relaciones: cosh 2 x − senh 2 x = 1 senh( 2 x ) = 2 senh x cosh x cosh( 2 x ) = senh 2 x + cosh 2 x

1 2

1 2

de donde se deduce: senh 2 x = (cosh( 2 x ) − 1); cosh 2 x = (cosh( 2 x ) + 1)

Ejemplo:

1 (cosh( 2 x ) + 1)dx , 2∫ 1 1 ∫ cosh 2 xdx = 4 ∫ ( e x + e − x )2 dx = 4 ∫ (e 2 x + e −2 x + 2)dx

∫ cosh

2

xdx =

6. - Integración de funciones irracionales: p1 pk   q1 qk + ax + b ax b      1) Integrales del tipo ∫ R x,   dx  ,...,   cx + d     cx + d   

donde a, b, c, d ∈ R y

p1 p ,..., k son funciones irreducibles. q1 qk

Consideramos el cambio: t n = Ejemplos:

ax + b donde n = m. c. m.( q1 ,..., qk ) cx + d

i)

∫

6

x

x+ x 3

2

dx =

∫

x

1 6

1 2

x +x

dx como m.c.m.(6,2,3)=6

2 3

cambio t 6 = x

1

ii)

2x  2x  2 dx = ∫   dx  x + 1 x +1

∫

cambio t 2 =

2x x +1

2) Integrales del tipo:

∫ R( x,

a 2 − x 2 )dx

cambio: x = a sen t

dx = a cos tdt queda una trigonométrica.

∫ R( x,

a 2 + x 2 )dx

cambio: x = a senh t

dx = a cosh tdt queda una hiperbólica.

∫ R( x,

x 2 − a 2 )dx

cambio: x = a cosh t

dx = a senh tdt queda una hiperbólica.

Ejemplos:  x = 2 sen t  4 − x2 cos 2 t 1 − sen 2 t = = dx = dt  dx = 2 cos tdt  ∫ sen 2 t ∫ x2 ∫ sen 2 t dt =   x x − cot t − t + C = − cot(arcsen( )) − arcsen( ) + C 2 2

(a ) I =

 x = cosh t  1 2 dx = = cosh tdt = (cosh( 2t ) + 1)dt =   ∫ 2∫ x2 −1  dx = senh tdt  1 1 1 1 ( senh( 2t ) + t ) + C = senh( 2 arccos hx ) + arccos hx + C 2 2 4 2

( b) I = ∫

x2