Tabajo De Matematicas[2]

ECUEACIONES DIFERENCIALES – Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal de orden n es : Sujeta a:

Donde

son constantes arbitrarias

Buscamos una solución en el intervalo I que contiene el punto (x) En el caso de una ecuación lineal de segundo orden una solución de: la solución seria

Es una función de finida en I cuyo grafico es pasar por (

y tal que la

pendiente de la curva en el punto es un numero

DEPENDENCIA LIENEAL E INDEPENDENCIA LINEAL Se dice que un conjunto de funciones dependiente en un intervalo I si existen constantes nulas tales que se cumple

es linealmente no todas

Para toda equis en el intervalo Un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo I si las constantes para las cuales son

Para toda (x) en el intervalo son

TEOREMA Supongamos Tienes al menos n-1 derivadas

≠0

Si se cumple lo anterior entonces las funciones son linealmente independientes en el intervalo

El determinante que aparece en este se designa

Y recibe el nombre de wrosnskiano de las funciones Si tienen por lo menos n-1 derivadas son linealmente dependientes en el intervalo I entonces el wronskiano de las funciones es cero para toda x en el intervalo ejemplo: Determina si las funciones son lineales independientes :

,

….

=

≠ 0 en las funciones lineales Determina si las funciones solución:

≠0

Son Verifica si son LI o ID

1.-

≠ 0 Resolver

son linealmente independientes Una ecuación diferencial lineal de la forma

Recibe el nombre de ecuación diferencial homogénea Teorema Sean soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente si solo si para toda x en el intervalo Se llama conjunto fundamental de soluciones en I a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en I Sean un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación lineal homogénea, entonces se define como solución general a la siguiente ecuación

La ecuación diferencial de segundo orden

tiene dos soluciones

verifica que tipo de solución tiene y forma su solución general

Solución general

Actividad: Con la información que se te dio del tema realizar una metodología y realizar un ejerciciol.

Ecuaciones Lineales Homogéneas con coeficientes constantes Si consideramos el caso especial de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. a

+b +cy=o

Donde a, b y c son coeficientes. Podemos ensayar la solución y=

, su primera y segunda serán:

= = Quedando la ecuación diferencial a

+b

+c

=0

Como no es cero para ningún valor de “x” en el intervalo entonces se selecciona un valor de “m” que satisfaga a la ecuación a la ecuación. a

+b +c 0

Que recibe el nombre de ecuación auxiliar de la ecuación diferencial y que proviene de la expresión a

+b (a

+c

=0

+b +c)=0

CASO 1 Cuando las raíces son reales y diferenciales

a

+b +c 0

Las soluciones son: =

=

Satisfacen la ecuación diferencial y por el principio de superposición tenemos que y=

+

CASO 2 Cuando las raíces son reales e iguales es: y=

+

Donde

=

=

en este caso la solución general

CASO 3 Si las raíces son complejas conjugadas. Con complejas conjugadas = Donde

β

=

β

β son iguales

Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos. y=

+

.

Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con la formula de Euler para llegar a la formula general de este caso. y= Ejemplo =0

=0 =0 =0 =-2

=0 =-1

Caso 1 y=

+

y=

+

=0 =0 =0 =0 =0 =

=0

=1

Caso 1 y= y=

+ +

=0 =0 =0

Actividad: Resolver los siguientes ejercicios

Ecuaciones lineales no Homogéneas

Una ecuación (lineal) diferencial de la forma *+An-1 +… A1 D-1 A*y =g(x) donde A son constantes Y=Yc +Yp donde Yc se denomina función complementaria y se puede hallar la ecuación diferencial asociada mediante ella La ecuación diferencial particular (Yp) se puede obtener siguiendo diversos métodos uno de los cuales es de coeficientes indeterminados

Segundo miembro

Yp

20

A

Polinomio de 3er orden Ejemplo

(m+2) (m+1)

m=-2

m=-1

caso I Yc= Yp= Ax + B

Yp= A

Yp =0

0+3A+2(Ax+B)=8x +4 3A+2Ax+2B=8x+4

2Ax=8x A=4

3A+2B=4 B=4

3(4)+2B=4

2B= 4 -12

B=-8/2

Yp=Ax+B Yp=4x-4 Y=

(m+2) (m+1) Caso I

m=-2

m=-1

Yp= Yp´= Yp´´= Yp=

Termino cuadrado

Termino lineal

2(2)+3(-6)+2 Yp= YP= Y=

=0

Termino lineal

(

=12

Caso I Yc=

Yp=A

Yp´=0

Yp´´=0

0-4A=12

A=3 Y=

(

)

(

Caso I Yc= Yp=

Yp´=

Yp´´=

A=2 Sustituimos en Yp Yp=2 Y=

( (

0

m=0 Del caso I Yc= Yc= Yp=

Caso I

-9

Sustituir en Yp

Actividad: Escribir como tu realizarías el procedimiento y da un ejemplo.

Si consideramos el caso especial de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. a

+b +cy=o

Donde a, b y c son coeficientes. Podemos ensayar la solución y= = =

, su primera y segunda serán:

Quedando la ecuación diferencial a

+b

+c

=0

Como no es cero para ningún valor de “x” en el intervalo entonces se selecciona un valor de “m” que satisfaga a la ecuación a la ecuación. a

+b +c 0

Que recibe el nombre de ecuación auxiliar de la ecuación diferencial y que proviene de la expresión a

+b (a

+c

=0

+b +c)=0

CASO 1 Cuando las raíces son reales y diferenciales a

+b +c 0

Las soluciones son: =

=

Satisfacen la ecuación diferencial y por el principio de superposición tenemos que y=

+

CASO 2 Cuando las raíces son reales e iguales es: y=

+

Donde

=

CASO 3 Si las raíces son complejas conjugadas. Con complejas conjugadas

=

en este caso la solución general

=

β

Donde

=

β

β son iguales

Como formalmente no hay diferencia con el caso 1entonces tenemos. y=

+

.

Para no trabajar con cantidades imaginarias en el exponente nos auxiliamos con la formula de Euler para llegar a la formula general de este caso. y= Resolver =0 =0 =0 =0 =-2

=0 =-1

Caso 1 y= y=

+ +

=0 =0 =0 =0 =0 =

=1

=0

Caso 1 y= y=

+ +

=0 =0 =0

Caso 2

Caso 3

Caso 1

Actividad: Sacar tu propia secuela y tu metodología con un ejemplo.

TABLA DE ANULADORES CONSTANTES

Xn

Dn+1

ex

D-a

Xn enx

(D-a)n+1

senbxn,cosbx

D2+b2

Xn senbx,c Xn osbx

(D2+b2)n+1

ex senbx,excosbx

(D-a)2 + b2

Xn ex senbx

[(D-a)2 + b2]n+1

Xn ex cosbx

EJEMPLO

YII + 3YI + 2Y=4X2

D2+3D +2)Y=0 Se pasa a anular y luego se lleva ala forma homogenea (m2+3m+2)y=0 (m+2)(m+1)=0 m+2=0

m+1=0

m1=-2

m2=-1

m1 = m 2 caso 1

Yc=C1em1x+C2 em2x Yc=C1e-2x+C2 e-x

Se pone la ec. Homogenea con D3

D3 m3=0 m4=0 m5=0 m3= m4= m5 caso II Yp=C3em3x+C4 eXm4x + C5eXm5x Yp= C3e0 +C4X eO

+C5X2e0

Yp= C3 + C4X + C5X2 Yp= C5X2+ C4X + C3 Se deriva yp YIp=2 C5X + C4 YIIp=2 C5

sustituir en la ec . original

2 C5+3(2 C5X + C4)+2(C5X2+ C4X + C3)=4X2 2 C5+6 C5X +3 C4+2C5X2+ 2C4X + 2C3=4X2

2C5X2 =4X2

6 C5X +2C4X=0

C5=4X2 2X2

6(2)X+2C4X=0

2 C5+3 C4+ 2C3=0 2(2)+3(-6) + 2C3 =0

12X+2C4X=0

4-18+ 2C3=0

2C4X=-12X

-14+2C3=0

C5=2

C4=-12X 2X C4=-6

2C3=14 C3=14 2 C3=7

Yp= 2X2-6X +7 Yc= C1e-2x+C2 e-x+2X2-6X +7

y"−3 y '+2 y =2e 3 x D-a

a=3

D-3

D − 3( D 2 − 3D + 2) y = 2e 3 x

m 2 − 3m + 2 = 0 (m-1) (m-2)=0

m-1=0

m-2=0

m1 = 1 Caso 1

m2 = 2

m1 ≠ m 2

y c = C1e m1x + C 2 e m2 x y c = C1e x + C 2 e 2 x

D-3

m-3=0

m3 = 3 Caso 1

y p = C1e 3 x y ' p = 3C1 e 3 x y ' ' p = 9C1e 3 x Sustituir en

la ecuación original

9C1e 3 x − 3(3C1e 3 x ) + 2(C1e 3 x ) = 2e 3 x 9C1e 3 x − 9C1e 3 x + 2C1e 3 x = 2e 3 x 2C1e 3 x = 2e 3 x C1 =

2e 3 x 2e 3 x

C1 = 1 y p =1e 3 x y = yc + y p

y = C1e x + C 2 e 2 x + 1e 3 x

y ' '+y ' ' = 8 x 2

D n +1

n=2

D3 D 3 ( D 3 + D 2 ) y = 8x 2 D 3 D 2 ( D +1) y = 8 x 2 m 5 ( m +1) = 0

m5 = 0

( m +1) = 0

m2 = 0

m1 = −1

m3 = 0

m4 = 0 m5 = 0 m6 = 0

m1 = −1

Caso 1

y c = C1e m1x y c = C1e −x m 2 = m 3 = m 4 = m5 = m6

Caso 2

y p = C 2 e m2 x + C 3 xe m3 x + C 4 x 2 e m4 x + C5 x 3 e m5 x + C 6 x 4 e m6 x y p = C 2 e 0 x + C 3 Xe 0 x + C 4 X 2 e 0 x + C 5 X 3 e 0 x + C 6 X 4 e 0 x y p = C 2 + C3 X + C 4 X 2 + C5 X 3 + C6 X 4 y ' p = C 3 + 2C 4 X + 3C 5 X 2 + 4C 6 X 3 y ' ' p = 2C 4 + 6C 5 X +12 C 6 X 2 y ' ' ' p = 6C 5 + 24 C 6 X Sustituir en

la ecuación original

6C 5 + 24C 6 X + 2C 4 + 6C 5 X + 12C 6 X 2 = 8 x 2 12 C 6 x 2 = 8 x 2

C6 =

8x 2 12 x 2

C6 =

2 3

24 C 6 x + 6C 5 x = 0

2 24 ( ) x + 6C 5 x = 0 3 (

48 ) x + 6C 5 x = 0 3

6C 5 x = −16 x

C5 =

−16 x 6x

C5 =

−8 3

6C 5 + 2C 4 = 0

− 48 + 2C 4 = 0 3 C4 =

16 2

C4 = 8 y p = C 2 + C3 X + 8 X 2 −

8 3 2 4 X + X 3 3

y = C1e − x + C 2 + C 3 X + 8 X 2 −

EJERCICIO CASO ESPECIAL YII-3Y+2Y=2ex (D-1)(D2-3D+2)=0 (m-1)( m2-3m+2)=0

8 3 2 4 X + X 3 3

(m-1)(m+1)(m-2)=0 m-1=0 m-1=0 m-2=0 m1=1 m-1=1 m2=2

CASO II

caso I

Yp=C1ex+C2 eXx + C3eX2x YIp= C1ex+C2(XeXex )+2 C3eX2x YIp= C1ex+ C2XeX+c2ex

+2 C3e2x

YIIp= C1ex+ C2(XeX+ex)+ c2ex+4C3e2x YIIp=

C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x

C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3 (C1ex+ C2XeX+c2ex +2 C3e2x)+2(C1ex+C2 eXx + C3eX2x)=2ex

C1ex+ C2XeX+ C2ex+ c2ex+4C3e2x-3C1ex+3 C2XeX + 3c2ex eXx + 2C3eX2x=2ex

C1ex+ C2eX+ C2ex-3C1ex+3 C2eX + 3c2ex-2C2 ex=2ex C2ex=2ex C2=2ex =-2 ex C2XeX-3C2XeX+2C2 eXx =0 3C2XeX-3C2XeX=0 Y= C1ex-2C2 Xex + C3eX2x

VARIACION DEL PARAMETRO

+6 C3e2x+2C1ex+2C2

dy + p( x ) y = f ( x) dx y =e ∫

p ( x ) dx

∫e

∫ pdx f ( x ) +C e ∫ p ( x ) dx 1

Lo anterior tiene la forma y c = C1 e ∫ y p =e ∫

p ( x ) dx

p ( x ) dx

donde:

∫e

y = yc + y p

es una solución de

donde dy + p ( x) y = 0 dx

∫ p ( x ) dx f ( x ) dx

Veremos que para cada ecuación de segundo orden el método de variación de para metros tiene la ventaja de que siempre conducirá a la obtención de una solución particular y p , suponiendo que la ecuación homogénea asociada puede resolverse. Asi tenemos que:

0 U '1 =

f ( x) y ' 2 − y 2 f ( x) = y1 y2 w y '1 y ' 2 y1

U '2 =

y2

y '1 y1 y '1

0 f ( x) y f ( x) = 1 y2 w y'2

SECUELA DE CÁLCULO 1)YC = C1 y1 + C 2 y 2

y 2) w =  1  y '1

y2  y ' 2 

3) llevar la ecuación a la forma: y ' '+Py '+Qy = f ( x) 4) determinar f(x) 5) encontrar U '1 y U ' 2 6)Yp = U 1 y1 + U 2 y 2 7)Y = Yc + Yp EJEMPLO

y ' '−4 y '+4 y = ( x +1)e 2 x ( m 2 − 4m + 4) = 0

m−2 =0

m−2 = 0

m1 = 2 Caso 2

m2 = 2

m1 = m 2

y c = C1e m1 x + C 2 xe m2 x y c = C1e 2 x + C 2 xe 2 x

y2 = e 2x

y1 = e 2 x y w= 1  y '1  e2x w =  2x 2e

y2  y ' 2    +e 

xe 2 x 2 xe

2x

2x

w = e 2 x ( 2 xe 2 x + e 2 x ) − 2e 2 x xe 2 x

w = 2 xe 4 x + e 4 x − 2 xe 4 x w = e4x

Ubicamos f(x) f ( x ) = ( x +1)e 2 x f ( x ) = xe 2 x + e 2 x

− y 2 f ( x) w

U '1 =

U '1 =

− xe 2 x ( xe 2 x + e 2 x ) e 4x

U '1 =

− x 2 e 4 x − xe 4 x e4x

U '1 =

e 4 x ( −x 2 − x ) e4x

U '1 = −x 2 − x U '2 =

y1 f ( x ) w

e 2 x ( xe 2 x + e 2 x ) U '2 = e 4x U '2 =

xe 4 x + e 4 x ) e4x

U '2 =

e 4 x ( x + 1) e4x

U ' 2 = x +1

Integrando U '1 yU ' 2

∫U '

= ∫( x +1) dx = −∫− x 2 dx −∫ xdx

U1 =

− x3 x2 − 3 2

1

∫U '

2

= ∫( x +1) dx = ∫ xdx + ∫dx

U2 =

x2 +x 2

y p =U 1 y1 +U 2 y 2

 − x3 x 2 y p =  − 2  3

 2x  x2  e +  + x  xe 2 x   2 

y = yc + y p

 − x3 x 2 y = C1e 2 x + C 2 xe 2 x +  − 2  3

EJERCICIO 4YII+36Y=CSC3X Se divide entre 4 4YII+36Y=1 (x3X) 4

4

4

YII+36Y=1 (x3X) 4

m2+4=0 m2=-4 m=

-4

m=

-4

m=

9i

m1=3i

-1

m1 = α + iβx m 2 = α + iβ x

Caso II α =0

β =3

4

 2x  x 2  e +  + x xe 2 x   2 

SOLUCION β =3 yc = e

m

1

(c, cos βx + i ( 2sen βx )

yc = e 0 x (c, cos 5 x + i ( 2 sen + 3 x) yc = c, cos 3 x + i ( sen 3 x)

y1 = cos 3 x y1 x1

w=

y 2 = sen 3 x

y2 x2

=

cos 3 x

sen 3 x

−3sen 3 x

3 cos 3 x

W =cos 3x(3cos3x)-(-3cos3x)(sen3x) 2

W=3cos 3x+3sen

2

W=3 Ubicamos f(x) F(x)=csc3x U '1 =

− y 2 f ( x) w

U ' 2 = y1 f ( x )

U '1 =

− sen 3 x csc 3 x 3

U '2 =

U '1 =

cos 3 x cos 3 x 3

1 sen 3 x csc 3 x 3

U '2 =

1 cos 3 x csc 3 x 3

∫U

∫U

' 1

du = ∫

−1 sen 3 x csc 3 xdx 3

1 U ' 2 du = ∫ cos 3 x csc 3 xdx 3 cos = cot sen

1

1

= 3 ∫ sen 3 x sen 3 x dx 1

1

= 3 ∫ cos 3 x sen 3 x dx

1

= 3 ∫ cot 3 xdx v = 3x dv = 3dx

−1

= 3 x

1 cos 3 x dx 3 ∫ sen 3 x

1 1 1 ( ) ∫3 cot 3 xdx = λnsen 3 x 3 3 9 U '2 =

1 λnsen 3x 9

yp = u1 y1 + u 2 y 2 yp =

−1 1 λn cos 3 x + λnsenx 3 9

yp =

−1 1 x cos 3 x + (cos 3 x)λnsen 3 x 3 9

yp = yc + yp

Actividad: Realizar metodología