MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi… Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng trong giải toán sau: .
Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy
Vì
không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:
Nhân
vào hai vế của phương trình
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm
xét
ta được:
, chia cả hai vế của
và
(loại)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vậy phương trình
có hai nghiệm
và
.
Ví dụ 2: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Phương trình
tương đương với:
Vì Nhân
vào hai vế của phương trình
Nếu
hoặc
Nếu
ta thu được:
(loại)
, chia cả hai vế của phương trình cho
ta được:
Giải phương trình này ta được Vậy phương trình
có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Phương trình
Vì
và
.
tương đương với:
, nhân
vào hai vế của phương trình
ta thu được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
+Nếu +Nếu
, chia cả hai vế của phương trình cho
(vì Vậy phương trình
ta được:
)
có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy
Vì được:
không phải là nghiệm của phương trình
, nhân
+Nếu +Nếu
vào hai vế của phương trình
hoặc
.
, chia cả hai vế của phương trình cho
Giải phương trình này ta được Vậy phương trình có hai nghiệm
, viết lại phương trình dạng:
và
ta được:
ta thu
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công! Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút... Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng...
Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện: Phương trình
tương đương với:
Vì
Nhận thấy trình cho
. Ta có:
là một nghiệm của phương trình, xét ta được:
Dễ thấy Vậy phương trình
, chia cả hai vế của phương
. có nghiệm duy nhất
.
Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Lời giải: Điều kiện:
Vì
Nhận thấy trình cho
. Ta có:
là một nghiệm của phương trình, xét ta được:
, chia cả hai vế của phương
. Dễ thấy Vậy phương trình
. có nghiệm duy nhất
.
Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ...) Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy và cả hai vế của phương trình cho
là các nghiệm của phương trình. Xét ta được:
. Chia
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Dễ thấy
.
Vậy phương trình
có hai nghiệm
và
.
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra
là nghiệm... (^_^)
Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung...!) Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện:
Nếu
và
Xét
. Chia cả hai vế của phương trình cho
và
Vậy phương trình
ta được:
(loại!).
có ba nghiệm
,
và
.
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra
là nhân tử chung... (^_^)
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
.
------------------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công! Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẽ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức. Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi olympic để làm ví dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó.
Ví dụ 9: Giải phương trình ( Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006) Lời giải: Vì
không là nghiệm của phương trình
Vì
. Suy ra:
Nếu Nếu
ta viết phương trình dưới dạng:
và . Suy ra: ( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình
có 2 nghiệm là:
và
.
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp chung là . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.
để tìm ra nhân tử
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên. Xét phương trình:
Vì
. Suy ra:
Bây giờ ta chỉ cần xác định
sao cho: . Suy ra:
và
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.
Ví dụ 10: Giải phương trình
( Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007) Lời giải: Điều kiện:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vì
không là nghiệm của phương trình
Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được
Vì
ta viết dưới dạng:
. Vậy:
. Suy ra:
Nếu
và Nếu
. Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình
có 2 nghiệm là:
Ví dụ 11: Giải phương trình
( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A) Lời giải:
và
.
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Điều kiện:
Vì
. Suy ra:
Vì
. Suy ra:
Nếu Nếu
. . Suy ra:
Suy ra:
hay
( vì
)
Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên . Lại có là nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . Nghiệm này loại vì . Vậy phương trình
có nghiệm duy nhất
Ví dụ 12: Giải phương trình
( Toán học và tuổi trẻ 365/2007) Lời giải:
.
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp Điều kiện:
Vì
không là nghiệm của phương trình
Vì
. Suy ra:
Nếu Nếu
ta viết phương trình dưới dạng:
và . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm) Vậy phương trình
có 2 nghiệm là
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
và
.
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
( Đề đề nghị Olympic 30-4)
( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
( Toán học và tuổi trẻ)
( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B)
--------------------------------------
Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công! Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh