T Consumidor - Incertidumbre

Universidad Carlos III

Microeconomía

LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR: INCERTIDUMBRE

1. Un individuo padece una enfermedad grave que puede ser tratada con medicamentos o mediante una intervención quirúrgica. Los medicamentos le permitirán eliminar razonablemente bien la mayoría de los síntomas y le permitirían vivir 20 años con una probabilidad de 2/3 y solamente 10 con una probabilidad de 1/3. La intervención quirúrgica le curaría la enfermedad y le permitiría vivir 30 años más. Sin embargo existe un riesgo de muerte en la mesa de operaciones estimado en 0; 3. Las p preferencias del paciente están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u = x, donde x representa los años de vida estimados. ¿Qué decisión tomará? 2. Un estudiante recién graduado que ha recibido una herencia de 4 millones de euros está considerando iniciar un negocio que requiere una inversión de 2 millones de euros. Si tiene éxito, los bene…cios brutos obtenidos serían de 6 millones de euros, pero si no lo tiene perdería su inversión. La probabilidad de que el negocio tenga éxito es del 50%. (a) Si las preferencias del estudiante están representadas por la función de utilidad de Benoulli u(x) = x, ¿llevaría a cabo esta inversión? ¿Y si es u(x) = x2 ?¿Y si es u(x) = ln x? (b) Un estudio que cuesta a millones de euros predice con seguridad si la inversión tendrá éxito o no. ¿Debería el estudiante con función de utilidad de Benoulli u(x) = x2 comprar dicho estudio si a = 1?¿ Y si a = 0:5? p (c) Finalmente, suponga que la función de utilidad u(x) = x representa las preferencias del estudiante; y que se le ofrece una subvención de b millones de euros por realizar la citada inversión. ¿Debería el estudiante aceptar esa subvención si b = 1? ¿Y si b 6= 1? 3. El equipo de la NBA Memphis Grizzlies, cuyo manager tiene unas preferencias representadas p por función de utilidad de Bernoulli u(x) = x; quiere este año llegar a los playo¤s, y los directivos están considerando las posibles estrategias para lograrlo. Dado que el equipo se encuentra en una situación …nanciera muy estable, sus activos están valorados en $2500 millones, se les ofrece la posibilidad de contratar a Kobe Bryant. Si deciden contratarle, la probabilidad de clasi…carse en los playo¤s es de 0.6, mientras que sin Kobe esta probabilidad es solo del 0.1. El coste de contratar a Kobe es de $196 millones. Si los directivos de los Grizzlies deciden contratar a Kobe y el equipo llega a los playo¤s, el club podría …char a Shaquille O’Neil por $228 millones. El equipo con Shaq tiene una probabilidad del 90% de ganar la …nal, mientras que sin él esta probabilidad es sólo del 30%. Si el equipo no contrata a Kobe y llega a los playo¤s, ya no podrá …char a nadie antes de disputar los partidos, y la probabilidad de ganar la …nal en estas circunstancias es del 1%. Jugar los playo¤s asegura unos ingresos de $525 millones, y ganar la …nal otros $420 millones adicionales. (a) Represente el problema mediante un árbol de decisión. (b) Determine si el equipo debe contratar a Kobe y a Shaq, a Kobe solamente o a ninguno. Cual sería su respuesta si la función de utilidad u(x) = 3x representase las preferencias del manager. 1

(c) Suponga que el equipo ha contratado a Kobe Bryant y el equipo ha conseguido llegar a los playo¤s. Ahora se encuentran en la situación de decidir si deben contratar o no a Shaquille O’Neil. ¿Deberían hacerlo? 4. Pedro Banderas es propietario de una vivienda valorada en 40 mil euros y su salario actual es de 22.500 euros anuales. Pedro quiere dedicarse al cine, tiene una idea para dirigir una película con un presupuesto 300 mil euros, y está considerando pedir una excedencia de un año para este …n. Una productora le propone compartir riesgos (y bene…cios); especí…camente, le propone …nanciar 260 mil euros de la película a cambio de que Pedro aporte su vivienda como inversión (40 mil euros). Además le garantiza que su salario anual (22.500 euros) si …nalmente la película no resulta ser de su…ciente calidad como para que se estrene en cines. Pedro cree que si la película se estrena en cines obtendría una recaudación 363 mil euros si tiene una taquilla baja, cantidad que llegaría a 1,875 millones de euros si la taquilla fuera elevada. Se sabe que esta productora logra estrenar en cines 8 de cada 10 películas que produce y que 1 de cada 10 películas estrenadas obtienen una taquilla elevada. Las preferencias de Pedro p están representadas por función de utilidad u(x) = x: (a) Describa el problema de Pedro y determine decisión óptima. (b) Indique si Pedro mantendría la decisión adoptada en el apartado anterior si su sueldo fuera 12 mil euros. 5. Se lanza una moneda y se anticipa el resultado (cara o cruz). Si se acierta, se cobran 10 euros y se tiene la posibilidad de volver a jugar y, así, hasta tres lanzamientos de la moneda. Si se falla, se devuelve todo el dinero que se ha ganado y no se tiene la oportunidad de seguir jugando. Al …nal del juego hay que pagar 2 euros por cada apuesta. Represente este juego como un árbol de decisión, y determine la decisión óptima si las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x. 6. Un individuo está considerando realizar una inversión cuyos rendimientos posible y sus probabilidades están resumidos en la tabla siguiente: 20 Bene…cio -20 -10 0 : 0,2 0,2 0,4 0,2 Pr Si la inversión reporta 20 millones de bene…cio, se tiene opción a una segunda inversión cuyos rendimientos son Bene…cio 50 -10 Pr 0,8 0,2 Las preferencias del inversor están representadas por una función utilidad de Bernoulli que satisface x -20 -10 0 10 20 30 40 45 50 60 70 u (x) 0 0,3 0,5 0,65 0,75 0,825 0,9 0,93 0,95 0,975 1 (a) Represente mediante un árbol de decisión el problema del individuo considerando que si no acomete la primera inversión su bene…cio será cero. (b) Determine si el individuo debe o no realizar cada una de las dos inversiones citadas. 2

7. La compañía petrolera Tibitrol ha comprado terrenos desérticos en los Monegros. El geólogo jefe estima que la probabilidad de encontrar petróleo en ese terreno es de 1/5. Hacer una perforación para ver si realmente hay petróleo costaría 1 millón de euros. Si se encuentra petróleo se tendrán ingresos de 3 millones de euros. Si no se encuentra petróleo el gasto de perforación habrá sido totalmente inútil. Las posibles decisiones de la compañía son perforar y no perforar. Si la empresa es neutral frente al riesgo, ¿cuál de las dos acciones deberá tomar? ¿Y si fuera aversa al riesgo? 8. La riqueza de un consumidor consiste en una casa valorada en 250 mil euros y en 10 mil euros en efectivo. La probabilidad de que se destruya totalmente por un incendio accidental (en cuyo caso perdería todo su valor) es 1/100. p (a) Si las preferencias están representadas por la función de utilidad u (x) = x; donde x es la riqueza del consumidor al …nal del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por 3 mil euros? (b) Suponiendo que el riesgo de incendio es el mismo para todos los consumidores (e independiente entre ellos), ¿sería esta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (Suponga que la compañía es neutral al riesgo). (c) ¿Cuál es la cuota de seguro máxima que estaría dispuesto a pagar el consumidor? ¿Cuál es la cuota mínima que estaría dispuesta a ofrecer la compañía? ¿Qué relación hay entre estas cuotas y el equivalente de certeza y prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro? 9. El propietario de un comercio valorado en 64 millones de euros se enfrenta a una probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya completamente el p local. Las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad u (x) = x; donde x es la cantidad riqueza al …nal del año. (a) Calcule la utilidad esperada de la lotería que enfrenta el individuo y su equivalente de certidumbre. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones? ¿Y por 63 millones? (b) Una compañía de seguros le ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo por un millón de euros. ¿Aceptaría el individuo esta oferta? (c) Suponga para este apartado que el individuo dispone (además del comercio) de 1 millón de euros en efectivo. Una empresa le ofrece alquilar un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad de incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar 50.000 euros por el alquiler. ¿Cual es la cantidad máxima anual que el individuo estaría dispuesto a pagar por el alquiler de este equipo? 10. Un individuo acaba de asegurar contra el robo su nueva moto, cuyo valor es de 2500 Euros. Los robos son muy frecuentes en la ciudad donde vive y en todos ellos la moto no vuelve a aparecer. Las preferencias del individuo están representadas por la función de utilidad de p Bernoulli u(x) = x: (a) Sabiendo que la cuota máxima que está dispuesto a pagar el individuo es 99 euros, calcule el equivalente de certeza de la lotería que enfrenta el individuo. 3

(b) Si el individuo recibe ingresos inesperados de 3600 euros, ¿mantendrá su seguro? 11. Un concursante de un programa de televisión ha contestado acertadamente a todas las preguntas que le han planteado. Para la última pregunta le quedan dos posibles respuestas, entre las que se muestra totalmente indeciso – no tiene ni idea. Podría abandonar manteniendo sus ganancias acumuladas (361 euros), o responder, de forma que si acertara sus ganancias ascendería a 676 euros, pero si fallara descenderían hasta 100 euros. (a) ¿Debería arriesgarse si sus preferencias están representadas por p la función de utilidad u(x) = x? ¿Y lo estuvieran por la función de utilidad u(x) = x? (b) ¿Cuál es el equivalente de certeza de la lotería a la que enfrenta? ¿Cuál es la prima de riesgo? 12. En el mercado de seguro de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1, y ningún accidente con probabilidad 0,9), y los malos (que causan un accidente con probabilidad 0,1, dos accidentes con probabilidad 0,05 y ningún accidente con probabilidad 0,85). Los costes de reparación de los vehículos involucrados en un accidente son (en media) de 2.000 euros. La proporción de buenos y malos conductores en la población es de 2 a 1. (a) Si las compañías de seguros son neutrales al riesgo (su función de utilidad es u(x) = x) y no pueden distinguir entre buenos y malos conductores, ¿Cuál es la mínima cuota que estarían dispuestas a ofrecer por cubrir el riesgo de accidente? (b) Suponga que todos p los conductores tienen preferencias representadas por la función de utilidad u (x) = x; y que su riqueza inicial es de 5.000 euros. ¿Qué tipo de conductores (buenos y/o malos) suscribirían una póliza de seguro a la cuota mínima determinada en (a)? 13. Un agente de ventas por teléfono con función de utilidad u(x) = x posee una lista de consumidores potenciales, así como sus números de teléfono. Cada día puede hacer un número limitado de llamadas. Cada llamada telefónica le cuesta un euro y por cada venta que realiza recibe 20 euros de comisión. Su experiencia le dice que en sólo 3 de cada 10 llamadas consigue hablar con la persona indicada en la lista y que en este caso, dos de cada 10 de ellas compra el producto. (a) Representar el problema del individuo como un árbol de decisión. ¿Cuál es el valor esperado de cada llamada telefónica? (b) La compañía telefónica también ofrece el servicio “persona-a-persona”. Con este servicio se paga un precio p por llamada sólo si se consigue contactar con la persona deseada. ¿Cuál es el p máximo que el vendedor estaría dispuesto a pagar por cada llamada personaa-persona? 14. Un individuo neutral ante el riesgo (u(x) = x) necesita hipotecar uno de sus inmuebles para obtener 200.000 euros, que devolverá en dos pagos anuales de 100.000 euros cada uno más los correspondientes intereses. Los créditos hipotecarios entre los que puede optar son de tres modalidades: 4

Interés …jo del 10% anual. Interés del 9% el primer año, que podría subir al 14%, bajar al 8%, permanecer constante en el 9% el segundo año. Interés del 7% el primer año que podría subir al 20% el segundo, o permanecer constante en el 7%, o bajar al 6%. a. Determine la alternativa óptima sabiendo que la probabilidad de que los tipos de interés suban es 0,6, y la de que bajen es 0,2. b. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el decisor por saber si los tipos subirán, bajarán o permanecerán constantes? 15. Un individuo debe decidir si comprar un piso en la ciudad o una casa en las afueras. El coste de ambas viviendas es el mismo (120.000 euros) y el individuo es indiferente entre una y otra opción, excepto por las expectativas de revalorización. Si los precios de la vivienda continúan aumentando (E1 ) el valor del piso alcanzaría los 140.000 euros mientras que el valor de la casa llegaría los 340.000. La probabilidad de que ocurra esto es 0,3. Si la tendencia alcista de los precios se invierte (E2 ), el valor del piso se reduciría a 70.000 euros, mientras que el de la casa se reduciría p a 20.000. El decisor tiene unas preferencias expresadas por la función de utilidad u(x) = x, donde x viene expresada en euros, y dispone de una riqueza inicial de 140.000 euros. (a) Represente el problema del individuo y determine si comprará la casa o el piso. (b) ¿Pagaría el decisor 20.000 euros por conocer si los precios de la vivienda continuarán subiendo o no? 16. La introducción de un nuevo producto en el mercado se realiza en tres etapas: Diseño, Experimentación y Producción. De cada 10 productos, 7 mueren en la etapa de diseño. De los que sobreviven, solamente el 10% pasan la etapa de experimentación y se llegan a producir. Tan sólo 1 de cada 5 bienes producidos tienen éxito. Para cada nuevo producto, los costes asociados a cada etapa son 100.000, 20.000 y 200.000 euros, respectivamente. Los ingresos esperados para un producto que supera las tres etapas son de 60 millones de euros. (a) ¿Cuál es el valor esperado de construir una nueva maqueta? (b) Una consultora puede anticipar sin error si un prototipo que ha pasado con éxito la etapa de diseño pasará la etapa de experimentación. ¿Cuál es el valor de sus servicios? 17. La Empresa TOYSA es neutral al riesgo y está pensando si diseñar (D) o no un nuevo juguete. Si no diseña el nuevo juguete sus ingresos son nulos. Sabe que la fase de diseño le costará 500.000 euros y que la probabilidad de pasar el control de calidad (CD) en esta fase es de 0,6. Si efectivamente el nuevo juguete se diseña y pasa el control de calidad sobre el diseño, tendrá que decidir la forma de fabricación de las 10.000 unidades de ese juguete que espera producir. Si decide fabricar en sus instalaciones (FI) tendrá un coste de 400.000 euros y una probabilidad de que el juguete pase el control de calidad de fabricación (CF) de 0,7. Por el contrario si decide subcontratar la fabricación a otra Empresa (FE), la fabricación de las 10.000 unidades del nuevo juguete le costará 900.000 euros, pero los juguetes pasarán todos 5

los controles de calidad de fabricación. Finalmente, si la Empresa tiene el juguete terminado, lo intentará vender primero en el mercado nacional, aunque por las condiciones del mismo, sabe que venderá toda su producción (VT) en el mercado nacional con probabilidad 0,8 y con probabilidad 0,2 venderá en el mercado nacional sólo la mitad de la misma. Como la Empresa no quiere tener excedentes de esos juguetes, en el caso de que no venda toda su producción en el mercado nacional, el excedente lo colocará en el mercado exterior. El precio del nuevo juguete en el mercado nacional es de 200 euros, y en el mercado exterior es 20 euros. (a) Represente el problema mediante un árbol de decisión y determine la alternativa (secuencias de alternativas) que maximizan la ganancia esperada de la Empresa. (b) ¿Cuánto pagaría la Empresa por obtener información perfecta acerca de si el diseño pasará o no el control de calidad? 18. El Sr. Martínez dirige una agencia de la propiedad inmobiliaria especializada en la búsqueda de compradores para …ncas de tipo comercial. Recientemente ha recibido a un posible cliente que desea vender las dos propiedades siguientes por el precio (en euros) que …gura a continuación, pagando la correspondiente comisión (también en euros). Precio Comisión Leganés 250:000 10.000 20:000 Aravaca 600:000 Además, el cliente exige las siguientes condiciones para darle la exclusiva de venta a Martínez: “Debe vender la …nca de Leganés en primer lugar. Si no logra venderla en el plazo de un mes me veré obligado a retirarle la oferta y, por tanto, no tendrá ninguna posibilidad de vender la otra propiedad. Si vende Leganés en ese plazo, aparte de recibir la comisión correspondiente, tendrá la opción de (i) renunciar en ese momento a vender la otra propiedad, o (ii) intentar vender la de Aravaca, también en el plazo de un mes. Por supuesto, Martínez sólo percibirá la comisión de cada una de las propiedades si se realiza la venta correspondiente. Con esta propuesta en la mano, Martínez hizo unos cálculos basados en su experiencia en ese mercado que …guran resumidos en la siguiente tabla: Coste Probabilidad Venta Leganés 8:000 0,5 0; 7 Aravaca 2:000 Los costes (en euros) re‡ejan el esfuerzo en tiempo y gastos en publicidad que debería invertir Martínez para conseguir la venta. Como se puede apreciar a Martínez le parece menos probable vender la propiedad de Leganés que la otra, y por tanto, hubiera preferido empezar vendiendo Aravaca. Pero desafortunadamente no tiene esa opción. Los costes estimados se realizarán tanto si la propiedad acababa vendiéndose como si no; la única forma de no incurrir en ellos es decidiendo no intentar la venta de esa propiedad. Las preferencias de Martínez están representadas por la función de utilidad cuyos valores son (x está expresada en euros) x -8.000 -3.200 0 2.000 8.000 13.000 16.000 16.800 20.000 u (x) 0 0,3 0,5 0,6 0,75 0,85 0,9 0,92 1 6

(a) Represente el problema de Martínez mediante un árbol de decisión, considerando que si ínez no acepta la oferta en los términos que plantea el cliente, su bene…cio es cero. (b) Suponga que las preferencias de Martínez están representadas por la función de utilidad de Bernoulli u(x) = x: ¿Debería aceptar el encargo de venta? (c) ¿Para qué probabilidad de vender la propiedad de Leganés aceptaría Martínez la propuesta del cliente? (d) Suponga que, por las razones que sea, Martínez se encuentra en la situación de decidir si debe intentar o no vender la propiedad de Aravaca (es decir, previamente ha conseguido vender la de Leganés y ha obtenido ya 2.000, cantidad que ha de sumarse a cualquier bene…cio adicional). Si estuviera en estas circunstancias, ¿cree que debería decidirse a intentar vender Aravaca? ¿Cuál sería, aproximadamente, el equivalente cierto de esta segunda decisión? ¿Y la prima de riesgo? (e) Suponga que, antes de decidir sobre la oferta de su cliente, Martínez puede realizar un estudio de mercado que le indicará con certeza si venderá o no la …nca de Leganés. Si ese estudio cuesta 3.200 euros determine si le conviene realizarlo. 19. El jefe de marketing de una importante empresa productora de ordenadores, tiene que decidir si lanzar una nueva campaña antes (l1 ) o después del mes de Mayo (l2 ). Si la lanza antes tendrá asegurada unas ventas de 100 millones de euros. Si la lanza después, corre el riesgo de que la empresa competidora se adelante (C), lo que ocurrirá con probabilidad 0,4. Además las ventas también dependen de las previsiones de la coyuntura económica que se presente, que puede ser al alza (A) con probabilidad 0,5, estabilidad (E) con probabilidad 0,3 y recesión (R). Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas se dispararían hasta los 150 millones de euros y si la competidora ha lanzado la campaña las ventas serían de 120 millones. Si la economía está estable, las ventas serían de 90 millones de euros si la competidora lanza su campaña y de 110 si no la lanza. Por último, cuando la economía está en recesión, si la competidora ha lanzado su campaña las ventas serán de 70 millones de euros y si no la ha lanzado las ventas serán de 80 millones de euros. Suponiendo que la Empresa es neutral al riesgo (u(x) = x), ¿cuánto estaría dispuesta a pagar por conocer con certeza todas las variables inciertas del problema?. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar a un espía industrial que le dijera con certeza si la empresa de la competencia va a lanzar la campaña? 20. La renta de un profesional asciende a 250:000 euros y su tipo impositivo es el 50%. El individuo está considerando la posibilidad de declarar toda su renta, sólo la mitad de su renta, o incluso no hacer declaración alguna. Se sabe que sólo 1 de cada 10 contribuyentes es inspeccionado por Hacienda. Si una inspección detectase que el individuo ha ocultado renta, éste tendría que pagar, además de los impuestos evadidos, una multa por igual cantidad. Las preferencias p del individuo están representadas por la función de utilidad u(r) = 2 r , donde p r es su renta. Para cantidades negativas de r (deudas) la función de utilidad es u(r) = 2 r: (a) Represente el problema del individuo e indique cuál es la decisión óptima. (b) Suponga ahora que el individuo decide en un primer momento no declarar, pero que le asalta la paranoia de una posible inspección y recurre a un amigo con in‡uencias para que le saque de esta situación. Tras estudiar el caso, éste le pide m euros a cambio de la 7

seguridad de no ser molestado por una inspección. ¿Para qué valores de m aceptaría el individuo este trato? p (c) ¿Cambiaría su respuesta al apartado (a) si la función de utilidad fuera u(r) = r? ¿Y si fuera u(r) = 2r? (d) Suponga ahora que Hacienda ha decidido ya a qué contribuyentes inspeccionará y que su amigo le propone investigar si está o no en la lista a cambio de 20.000 euros. ¿Aceptará el trato? Plantee las condiciones para saber cuál es la máxima disposición a pagar por esta información. 21. En una región hay cinco contratistas neutrales ante el riesgo que acuden regularmente a las subastas de proyectos públicos. El contrato se adjudica a aquél que ofrece el precio más bajo. Suponga que es usted el dueño de la empresa de contratistas públicos Los Muhonestos. Hoy tiene lugar una comida de trabajo con los contratistas de la región. Se sabe que sólo en 1 de cada 10 de estas reuniones se discute sobre la adjudicación de contratos; esto es, qué contratistas van a pujar la oferta más baja para futuros contratos. (Sólo hay otros cuatro contratistas en la región y se decide quién hará la oferta más baja mediante un sorteo en el que todos tienen las mismas probabilidades de ganar). Hacerse cargo de un contrato (es decir, ser el que puje más bajo) supone unas ganancias de 100.000 euros por término medio. Alternativamente, también puede usted pasar la tarde jugando al golf en el club local. Por experiencia sabe que hay un 50% de probabilidades de conocer a alguien importante en el club y que los bene…cios medios derivados de este tipo de contactos son de 6.000 euros. (a) Determine qué actividad, ir a la comida de trabajo o a jugar al golf, maximiza su utilidad esperada. (b) ¿Cuál es el valor de conocer con antelación si en dicha comida se va a discutir la adjudicación de contratos? (c) Ralph Sonrisas, un asiduo de los almuerzos de trabajo, le garantiza que en caso de que se discuta de negocios, usted se quedará con el contrato. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por los servicios de Ralph?

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