1
Uitbreiding Speciale Relativiteitstheorie cursus 2005-2006 Gerard Nienhuis, Huygens Laboratorium, Universiteit Leiden Deze tekst is bedoeld als toevoeging aan hoofdstuk 37 (Relativity) in University Physics van Young and Freedman. Deze tekst en hoofdstuk 37 vormen samen de beschrijving van de stof van het college en het tentamen Speciale Relativiteitstheorie.
1
Tijd-ruimte-diagrammen
Een inertiaalstelsel S ′ beweegt met snelheid u in de x−richting ten opzichte van een stelsel S, waarbij de kloktijden in de oorsprongen O en O′ op nul zijn gezet op het moment dat die elkaar passeren. Een gebeurtenis (event) wordt aangegeven door een plaats en een tijd, die we aangeven in het stelsel S als de plaatsvector ~r = (x, y, z) en het tijdstip t, en in het stelsel S ′ als ~r′ = (x′ , y ′ , z ′ ) en t′ . De Lorentztransformatie, die het verband aangeeft tussen beide stelsels, kan op vele manieren worden afgeleid, door alleen gebruik te maken van de twee postulaten van de speciale relativiteitstheorie. De transformatie voor x en t luidt x′ = γ(x − ut) , t′ = γ(t −
u x) , c2
(1)
q
met γ = 1/ 1 − u2 /c2 . De ruimtelijke co¨ordinaten loodrecht op de bewegingsrichting veranderen niet, en de transformatie kan worden uitgebreid met y′ = y , z′ = z .
(2)
Een symmetrische vorm van de Lorentztransformatie vinden we door in te voeren de geschaalde tijd τ = ct, zodat τ de dimensie van lengte heeft. Als we verder de snelheid u uitdrukken in de dimensieloze parameter β = u/c, dan kunnen we de transformatie (1) ook schrijven in de symmetrische gedaante x′ = γ(x − βτ ) , τ ′ = γ(τ − βx) .
(3)
2
Uitbreiding SRT
In de limiet dat de snelheid u veel kleiner is dan de lichtsnelheid c gaat de Lorentztransformatie (1) over in de Galileitransformatie x′ = (x − ut) , t′ = t.
(4)
De Lorentztransformatie kan worden ge¨ıllustreerd met een tx-diagram, waarin de x-as en de t-as voor S loodrecht op elkaar zijn getekend. Dit diagram geeft dus zowel de plaats als de tijd weer, en elke gebeurtenis kan worden voorgesteld door een punt in het vlak. Het ondeelbare geheel van ruimte en tijd wordt in de relativiteitstheorie aangeduid als ruimtetijd. We kiezen de eenheden zodanig dat de lichtsnelheid c gelijk is aan 1. Dat betekent dat gelijke stukken langs de t-as en de x-as een tijdsverschil ∆t en een afstand ∆x aangeven waarbij ∆x = c∆t. Als we voor de eenheid van tijd een jaar kiezen, dan is de eenheid van lengte een lichtjaar, en als we de meter als lengte-eenheid kiezen, dan wordt de eenheid van tijd gelijk aan de tijdsduur die licht nodig heeft om ´e´en meter af te leggen. Dat komt erop neer dat we de tijd t weergeven als de afstand τ = ct. De tijdsas zullen we dan ook de τ -as noemen. Deze as bestaat uit de punten met x = 0. Evenzo kunnen we de lijn van punten met x′ = 0 beschouwen als de τ ′ -as. Deze as is ook de baan van de oorsprong O′ van S ′ , en wordt gegeven door de lijn x = ut. Uit de Lorentztransformatie (1) zien we dat inderdaad de lijn x′ = 0 hetzelfde is als lijn x = ut. Omdat de snelheid u kleiner is dan c, moet de hoek tussen de τ en de τ ′ -as kleiner zijn dan 45◦ . De tangens van deze hoek is dus gelijk aan β. Omgekeerd is de x-as de lijn τ = 0, de verzameling van punten met tijd nul in S. De x′ -as is de lijn waar in S ′ de tijd nul is. Uit de tweede vergelijking (3) zien we dat τ ′ = 0 als τ = βx. Het bijzondere van de relativiteitstheorie is nu dat de x′ -as niet samenvalt met de x-as, maar daarmee eenzelfde hoek maakt als die tussen de τ - en de τ ′ -as. Een gebeurtenis P wordt gegeven door zijn plaats xP en tijd tP in het stelsel S. Samen bepalen xP en tP een punt in het τ x-vlak. In het stelsel S ′ worden de plaats en tijd van dezelfde gebeurtenis bepaald door een andere plaats x′P en tijd t′P . De waarden daarvan kunnen worden afgelezen uit het diagram. Een lijn van gebeurtenissen die in S ′ op hetzelfde tijdstip plaatsvinden, dus een lijn waarop τ ′ een vaste waarde heeft, is een lijn die evenwijdig loopt aan de x′ -as. Dit wordt ge¨ıllustreerd in de Fig.1. Het is duidelijk dat de gebeurtenissen op die lijn niet alle dezelfde τ waarde hebben, dus dat ze gezien vanuit S niet gelijktijdig zijn. Zowel tijdsdilatatie als Lorentzcontractie is direct af te lezen uit de figuur. Een klok in
3
Uitbreiding SRT
x’=0 τ
x=1
x’=1
τ’ τ ’=1
P
A
τ =1
τ ’=0 x’
B
C
x
Figure 1: Diagram van de Lorentztransformatie bij β = 3/11. In het ruimtetijddiagram van stelsel S zijn aangegeven de lijnen waar τ ′ = 0 (de x′ -as), x′ = 0 (de τ ′ -as), en tevens de lijnen τ ′ = 1 en x′ = 1. Ook de lijnen τ = 1 en x = 1 zijn getekend. Een gebeurtenis P is aangegeven als een punt in het τ x-vlak. Plaats en tijd in S kunnen worden afgelezen door lijnen te trekken vanuit P evenwijdig aan de τ -as en evenwijdig aan de x-as, en de afgesneden lijnstukken van de assen te vergelijken met de eenheid. Plaats en tijd in S ′ kunnen worden afgelezen door lijnen te trekken vanuit P evenwijdig aan de τ ′ -as en evenwijdig aan de x′ -as, en de afgesneden stukken te vergelijken met de eenheid langs die assen. de oorsprong van S ′ volgt een baan die samenvalt met de τ ′ -as, en de klok geeft de tijd τ ′ aan. De gebeurtenis dat deze klok de tijd τ = 1 aangeeft is het snijpunt van de τ ′ -as met de lijn τ ′ = 1, aangegeven door het punt A. Direct is te zien dan de tijd τ van deze gebeurtenis groter is dan 1, zodat de tijd in S inderdaad later is dan de tijd in S ′ , zoals aangegeven door de bewegende klok. Bekijk nu een met S ′ meebewegende meetlat met lengte 1, die zich bevindt tussen de punten x′ = 0 en x′ = 1. De banen van de uiteinden van de lat zijn dus de τ ′ -as en de getekende lijn x′ = 1 die daaraan evenwijdig is. Op ´e´en tijdstip in S, bijvoorbeeld op het tijdstip τ = 0, zijn de posities van de
4
Uitbreiding SRT
uiteinden gegeven door de snijpunten B en C van deze lijnen met de x-as. Uit de figuur is te zien dat de afstand tussen deze gebeurtenissen minder is dan 1, zodat de meetlat gemeten in S korter is.
2
Verleden en toekomst
De Lorentztransformatie geldt niet alleen voor de plaats en de tijd van een enkele gebeurtenis, maar ook voor de afstand ∆x = x2 − x1 , en het tijdsverschil ∆t = t2 − t1 tussen twee gebeurtenissen 1 en 2. Immers, als x′1 en x′2 de posities, en t′1 en t′2 de tijdstippen zijn van deze gebeurtenissen in het stelsel S ′ , dan kunnen we de Lorentztransformaties (1) voor beide gebeurtenissen van elkaar aftrekken, met als resultaat ∆x′ = γ(∆x − u∆t) , ∆t′ = γ(∆t −
u ∆x) . c2
(5)
We stellen ons nu de vraag: als ∆x en ∆t gegeven zijn, is er dan een stelsel S te vinden waarin de twee gebeurtenissen op dezelfde plaats gebeuren? Ofwel, is er een stelsel waarin ∆x′ = 0? Volgens de eerste vergelijking (5) kan dat alleen als we de snelheid u zo kunnen kiezen dat ∆x − u∆t = 0, dus als ∆x/∆t = u < c. Als aan deze voorwaarde voldaan is, dan kan een waarnemer die meereist met S ′ beide gebeurtenissen meemaken, door ten opzichte van S te reizen met een snelheid u kleiner dan de lichtsnelheid. De tijd t′ in S ′ is dan eigentijd van de reiziger. Op grond van de tijdsdilatatie weten we dat ∆t0 = ∆t′ = ∆t/γ. (Dat volgt ook uit de tweede vergelijking (5), als we de waarde van u invullen.) Als we deze relatie tussen ∆t en ∆t′ kwadrateren, en gebruiken dat ∆x = u∆t, dan vinden we c2 (∆t0 )2 = c2 (∆t)2 − (∆x)2 . Het verloop van de eigentijd q van de reiziger die beide gebeurtenissen meemaakt is dus gelijk aan ∆t0 = (∆t)2 − (∆x)2 /c2 . Deze waarde moet dus in alle stelsels dezelfde zijn, ofwel c2 (∆t)2 − (∆x)2 is invariant voor Lorentztransformaties. Dat kan ook rechtstreeks nagegaan worden door de Lorentztransformatie (5) te gebruiken, en te controleren dat ′
c2 (∆t)2 − (∆x)2 = c2 (∆t′ )2 − (∆x′ )2 .
(6)
Als c2 (∆t)2 < (∆x)2 , dan geldt deze invariantie dus ook. Maar in dat geval is er geen stelsel waarin de twee gebeurtenissen dezelfde plaats hebben. Maar dan is er wel een stelsel waar beide gebeurtenissen op hetzelfde tijdstip
Uitbreiding SRT
5
plaatsvinden. Volgens (5) is dat het geval in het stelsel dat ten opzichte van S beweegt met de snelheid u = c2 ∆t/∆x, wat inderdaad kleiner is dan c. Twee gebeurtenissen waarvoor c2 (∆t)2 < (∆x)2 worden in het τ x-diagram weergegeven door twee punten waarvan de verbindingslijn een hellingshoek heeft die kleiner is dan 45◦ . Er is dan een stelsel S ′ waarvan de τ ′ -as evenwijdig is aan deze verbindingslijn. Dit is het stelsel waarin de beide gebeurtenissen gelijktijdig zijn. Op grond van de invariantie voldoet hun afstand ∆x′ = ∆x0 in dit stelsel S ′ aan de gelijkheid c2 (∆t)2 −(∆x)2 = −(∆x0 )2 . In geen ander stelsel is de afstand kleiner dan ∆x0 , en de positie van beide gebeurtenissen is verschillend in elk stelsel. Twee gebeurtenisen waarvoor c2 (∆t)2 > (∆x)2 worden in het τ x-diagram weergegeven door twee punten waarvan de verbindingslijn een hellingshoek heeft die groter is dan 45◦ . Er is dan een stelsel S ′ waarvan de x′ -as evenwijdig is aan deze verbindingslijn. Dit is het stelsel waarin de beide gebeurtenissen op dezelfde plaats gebeuren. Op grond van de invariantie voldoet hun tijdsverschil ∆t′ = ∆t0 in dit stelsel S ′ aan de gelijkheid c2 (∆t)2 − (∆x)2 = c2 (∆t′ )2 . Er is geen stelsel waarin de beide gebeurtenissen gelijktijdig zijn. Bovendien is de volgorde van beide gebeurtenissen in elk stelsel dezelfde. Als t2 > t1 , dan geldt t′2 > t′1 in elk stelsel. Als we door het punt 1 twee lijnen tekenen met hellingshoeken ±45◦ , dan wordt de ruimtetijd daarmee verdeeld in gebieden die ten opzichte van gebeurtenis 1 vallen in de toekomst, in het verleden, of in andere plaatsen (het ’elders’). In Fig. 2 wordt deze verdeling geschetst. Deze gebieden worden bij een Lorentztransformatie in zichzelf afgebeeld: een punt 2 dat in de toekomst van 1 ligt voor stelsel S, ligt voor alle stelsels in de toekomst. Het begrip toekomst is dus niet relatief, maar absoluut, en hetzelfde geldt voor de begrippen verleden en elders. Kenmerkend voor de relativiteitstheorie is dat de drie gebieden elkaar niet overlappen. Twee gebeurtenissen die ten opzichte van elkaar in elders liggen, kun je niet zeggen welke eerder en welke later plaats vindt. Dat hangt van het stelsel af, en in ´e´en stelsel zijn ze gelijktijdig. En als 2 ligt in de toekomst van 1, en dus 1 in het verleden van 2, dan is er ´e´en stelsel waarin ze dezelfde plaats hebben. In ´e´en ruimtelijke dimensie bestaat het elders uit twee gescheiden gebieden. Maar bij twee ruimtelijke dimensies (x en y) wordt het ruimtetijddiagram driedimensionaal, en de scheiding tussen de gebieden heeft de vorm van een kegel die onstaat door rotatie om een vertikale lijn door het punt 1. Toekomst en verleden bevinden zich dus in de binnengebieden van het
6
Uitbreiding SRT
kegeloppervlak. Bij drie ruimtelijke dimensies wordt de ruimtetijd natuurlijk vierdimensionaal. τ
toekomst
elders
1
elders
verleden x
Figure 2: Schets van toekomst, verleden en elders in het ruimtetijddiagram. De gebieden worden gescheiden door lijnen die de banen van licht in de positieve of de negatieve richting aangeven. Een gebeurtenis 2 die in het gebied toekomst valt heeft in elk stelsel een tijd t2 die groter is dan de tijd t1 van gebeurtenis 1. Er is dan precies ´e´en stelsel waarin 1 en 2 dezelfde plaats hebben. Als een gebeurtenis 2 die in het gebied elders valt, dan is er precies ´e´en stelsel waarin beide gebeurtenissen dezelfde tijd hebben. Er zijn stelsels waarin t1 > t2 , en stelsels waarin t1 < t2 .
3
Optellen van snelheden
We nemen weer aan dat stelsel S ′ een snelheid u in de x-richting heeft ten opzichte van het stelsel S. We bekijken nu een deeltje dat in het stelsel S ′ een snelheid ~v ′ heeft, met componenten vx′ , vy′ en vz′ . Dat betekent dus dat vx′ = dx′ /dt′ , enzovoort. Volgens de Lorentz-transformatie (5) geldt dan vx′ =
γ(∆x − u∆t) vx − u = , u γ(∆t − c2 ∆x) 1 − cu2 vx
(7)
7
Uitbreiding SRT ∆y vy = , u γ(∆t − c2 ∆x) γ(1 − cu2 vx ) vz ∆z = . = u γ(∆t − c2 ∆x) γ(1 − cu2 vx )
vy′ =
(8)
vz′
(9)
Volgens de Galileitransformatie zou uiteraard gelden dat vx′ = vx −u, vy′ = vy , en vz′ = vz . In de limiet dat ~v en u veel kleiner zijn dan c, zijn de relativistische uitdrukkingen (7)-(9) hiervan niet te onderscheiden. Het is opmerkelijk dat de factor γ niet voorkomt in de uitdrukking voor vx′ , maar wel in die voor vy′ en vz′ . Omdat het stelsel S ten opzichte van S ′ beweegt met de snelheid −u, vinden we de omgekeerde transformatie (van S ′ naar S) uit (7)-(9) door de substituties vx′ ←→ vx , vy′ ←→ vy en vz′ ←→ vz en u ←→ −u. Het resultaat luidt vy′ vx′ + u vz′ vx = , v = , v = . (10) y z 1 + cu2 vx′ γ(1 + cu2 vx′ ) γ(1 + cu2 vx′ ) In plaats van de snelheid van een deeltje kunnen we natuurlijk ook spreken van de snelheid van een derde stelsel ten opzichte van S en S ′ . We beschouwen nu alleen bewegingen in de x-richting. Als een derde stelsel S ′′ een snelheid v ′ heeft ten opzichte van S ′ , dan vinden we de snelheid v van S ′′ ten opzichte van S door de eerste transformatie (10) te gebruiken, met vx′ vervangen door v ′ . Het resultaat is dan v′ + u v= . (11) ′ 1 + vc2u Dit is de optelregel van snelheden in dezelfde richting. Het is gemakkelijk te controleren dat v niet groter kan zijn dan c. Immers, omdat u en v ′ niet groter kunnen zijn dan c is (1 − u/c)(1 − v ′ /c) nooit negatief. Dat betekent dat 1 + v ′ u/c2 ≥ v ′ /c + u/c. Als v ′ = c, dus als het deeltje ten opzichte van S ′ beweegt met de lichtsnelheid, dan is ook v = c.
4
Impuls en energie
In de mechanica zijn impuls en energie belangrijke begrippen, vooral omdat ze behouden zijn. Maar de waarde van energie en impuls van een systeem zal bij transformatie naar een ander inertiaalstelsel veranderen, net zoals dat in de klassieke mechanica het geval is. Het ligt voor de hand te verwachten
8
Uitbreiding SRT
dat de Lorentztransformatie ook gebruikt kan worden om impuls en energie tussen verschillende stelsels te transformeren. Een eerste vraag die opkomt is wat de uitdrukking is voor de energie en de impuls van een systeem. Het eenvoudigste systeem dat we kunnen bedenken is een puntvormig deeltje met massa m dat met een gegeven snelheid ~v beweegt. De klassieke definitie van de impuls is p~ = m~v , waarbij de snelheid gelijk is aan de afgeleide ~v = d~r/dt. In de relativiteitstheorie is de tijd niet invariant, maar afhankelijk van de beweging. Om een grootheid te vinden die zich gedraagt als een vector bij Lorentztransformaties ligt het nu voor de hand om de afgeleide te nemen, niet naar de stelseltijd t, maar naar de eigentijd van het deeltje t0 . Zoals we weten uit het effect van de tijdsvertraging verloopt de eigentijd volgens de differentiaal dt0 = dt/γ(v), waarbij γ(v) gegeven is door γ(v) = q
1 1−
v2 c2
.
Bij verandering van de snelheid verandert de factor γ dus mee. Dat suggereert de definitie van de impuls als p~ = md~r/ds, of, in ´e´en ruimtelijke dimensie, als p = mdx/dt0 . Omdat de eigentijd stelselonafhankelijk is, en dus invariant, zal deze grootheid, samen met de vierde component mdt/dt0 , een viervector vormen, waarvoor dus de Lorentz-transformatie geldt. We defini¨eren nu de driedimensionale impuls van het deeltje als p~ = md~r/dt0 . De impulsvector is dus gegeven door p~ = mγ(v)~v . (12) De bijbehorende vierde component moet dan zijn mdt/dt0 = mγ(v), en het ligt voor de hand te verwachten dat die component de energie van het deeltje bepaalt. Als dit de energie is in een stelsel van eenheden waarin c = 1, dan vinden we de uitdrukking in gewone eenheden door die te vermenigvuldigen met een macht van c zodanig dat die de dimensie van energie krijgt. Daarom schrijven we E = mγ(v)c2 . (13) Voor de eenvoud kiezen we de x-as in de richting van de impuls, en beperken we ons tot beweging in ´e´en ruimtelijke dimensie. De Lorentztransformatie voor impuls en energie vinden we dan uit vergelijking (3), door px = p te schrijven in plaats van x, en in plaats van τ = ct de grootheid E/c. Immers, deze grootheid is de energie in eenheden waarin c = 1, en in gewone eenheden
9
Uitbreiding SRT
heeft E/c de dimensie van impuls. Als het stelsel S ′ beweegt met snelheid u in de x-richting, dan vinden we de transformatie p′ = γ(p − β
E E′ E ), = γ( − βp) , c c c
(14)
waarbij we γ = γ(u) moeten nemen. Door te gebruiken dat β = u/c kunnen we dit herschrijven als p′ = γ(u)(p −
u E) , E ′ = γ(u)(E − up) . 2 c
(15)
Het is een nuttige oefening te controleren dat deze relatie inderdaad geldt voor de impuls en energie van een enkel deeltje met massa m. Daartoe moeten we de uitdrukkingen (12) en (13) nemen voor impuls en energie, waarbij het verband tussen de snelheid van het deeltje in S en S ′ door de relatie (11) wordt gegeven. Omdat het verband tussen impuls en energie in verschillende stelsels gegeven is door de Lorentztransformatie, is er naar analogie van de invariante grootheid c2 (∆t)2 − (∆x)2 ook een invariante grootheid die met impuls en energie samenhangt. Dat moet dus de grootheid E 2 /c2 − p2 zijn. In het geval van een enkel deeltje kunnen we meteen controleren dat deze uitdrukking in alle stelsels dezelfde waarde heeft, door de uitdrukkingen (12) en (13) in te vullen. We vinden E2 − p2 = m2 (γ(v))2 (c2 − v 2 ) = m2 c2 , c2
(16)
onafhankelijk van het stelsel. De invariante grootheid bepaalt dus de massa van het deeltje. De energie heeft de kleinste waarde E0 = mc2 in het stelsel waarin de impuls nul is. Dat is het stelsel dat met het deeltje meebeweegt. Door toepassing van de Lorentztransformatie (14) bij de snelheid u = v van het deeltje, vinden we inderdaad dat p′ = 0, terwijl de energie gegeven is door E ′ = E0 = mc2 . Deze energie in het ruststelsel van het deeltje wordt ook de rustenergie genoemd. Het verschil tussen de energie E en zijn rustenergie E0 kunnen we beschouwen als de kinetische energie. De relatie (16) kunnen we ook beschouwen als een uitdrukking voor het verband tussen energie en impuls. We kunnen de energie hieruit ook oplossen, in de gedaante E=
q
m2 c4 + c2 p2 .
(17)
10
Uitbreiding SRT
Deze relatie is ook toepasbaar voor een deeltje met massa m = 0, waarbij we vinden dat E = c|p|. Deze relatie geldt bijvoorbeeld voor een lichtflits met een enkele voortplantingsrichting, of voor een lichtquantum (foton). Algemeen zal een deeltje met niet-verdwijnende massa in elk stelsel lopen met de lichtsnelheid. Zo’n massaloos deeltje heeft dus wel een impuls en een energie die evenredig met elkaar zijn. In feite volgt al uit de Maxwelltheorie van het elektromagnetisme dat een hoeveelheid licht met energie E en een welbepaalde voortplantingsrichting ook een impuls ter grootte p = E/c heeft.
5
Samengestelde systemen
Voor een samengesteld systeem, bestaande uit niet-wisselwerkende deeltjes, zijn de impuls en de energie eenvoudig de som van de impuls en de energie van de afzonderlijke deeltjes. Als mi de massa van het ide deeltje geeft, en ~vi zijn snelheid, dan zijn de totale impuls en energie P~ =
X i
mi γ(vi )~vi , E =
X
mi γ(vi )c2 .
(18)
i
Impuls en energie zijn dus additief. Voor een systeem bestaande uit deeltjes met massa, en een aantal lichtflitsen kunnen we even gemakkelijk de totale uitdrukking opschrijven. Bovendien zijn energie en impuls van een gesloten systeem behouden: ze veranderen niet met de tijd, ook als er processen plaats vinden waarbij de samenstelling van het systeem verandert. Daarbij kunnen deeltjes verdwijnen, waarbij lichtquanta ontstaan, of omgekeerd kan lichtenergie overgaan in deeltjes met massa. In het algemeen zijn fysische systemen samengesteld: ze zijn opgebouwd uit grote aantallen bouwstenen. Vaak is het niet zonder meer duidelijk of een systeem samengesteld is of niet. Vroeger werden atomen als ondeelbaar beschouwd, terwijl we ze nu zien als opgebouwd uit elektronen en een kern. Op zijn beurt is de kern samengesteld uit protonen en neutronen, die zelf ook weer een inwendige structuur hebben, waarbij quarks een rol spelen. Het is dus van belang om te kunnen spreken over het ruststelsel van een systeem, ook als het systeem samengesteld is. We bekijken nu een willekeurig systeem, dat in een zeker inertiaalstelsel S een totale impuls P~ en energie E heeft. Voor het gemak kiezen we de x-as van S in de richting van P~ , zodat Py en Pz allebei nul zijn, en Px = P gelijk
11
Uitbreiding SRT
is aan de grootte van de impulsvector. Dan transformeren P en E volgens de Lorentztransformatie P ′ = γ(u)(P −
u E) , E ′ = γ(u)(E − uP ) . 2 c
(19)
Het ligt voor de hand om het ruststelsel S0 van het systeem te defini¨eren door de eis dat in dat stelsel de impuls nul is. Het is dan voldoende om de snelheid u te vinden van S0 ten opzichte van S. Door te eisen dat P ′ = 0 in de eerste vergelijking (19) vinden we de snelheid u waarmee het stelsel S ′ = S0 in de x-richting beweegt ten opzichte van S, met als resultaat u=
c2 P . E
(20)
Een ruststelsel bestaat alleen als cP < E, hetgeen voor systemen met massa altijd het geval is. De energie E0 = E ′ in dit stelsel is gelijk aan de rustenergie van het systeem. Op grond van de invariantie van E 2 − c2 P 2 moet gelden dat √ E0 = E 2 − c2 P 2 . (21) Men kan rechtstreeks controleren dat dit ook volgt uit de tweede vergelijking (19), als we de uitdrukking (20) voor de snelheid u gebruiken. Vergelijking (21) geeft dus de rustenergie van een systeem met impuls P en energie E. Andere informatie dan deze twee grootheden is niet nodig om de rustenergie te bepalen. Net zoals bij een puntdeeltje kunnen we aan het samengestelde systeem een massa M = E0 /c2 toekennen. Het zal onmiddellijk duidelijk zijn dat dan de massa niet additief is: de massa M van een systeem van deeltjes P is niet hetzelfde als de som mi van de massa’s van de afzonderlijke deeltjes, ook niet als er geen wisselwerking is. De snelheid ~u van het ruststelsel van een systeem van (niet wisselwerkende) deeltjes vinden we direct uit (20), met als resultaat P mi γ(vi )~vi c2 P~ = Pi ~u = . (22) E i mi γ(vi ) We zien dat de snelheid van het ruststelsel hetzelfde is als de snelheid volgens de klassieke (niet-relativistische) mechanica van het zwaartepunt van een systeem van deeltjes met snelheden ~vi , en massa’s γ(vi )mi . Voor een stralingsveld met een enkele voortplantingsrichting geldt cP = E, zodat er geen ruststelsel bestaat. Immers, de snelheid u van dat stelsel zou
Uitbreiding SRT
12
volgens (20) gelijk worden aan c. Wanneer een stralingsveld een superpositie is van verschillende velden met een verschillende voortplantingsrichting, dan is de impuls van dat veld kleiner dan E/c. In dat geval is er wel een ruststelsel van het systeem, met een snelheid u die kleiner is dan c. Ook zien we dan uit (21) dat de rustenergie positief is. Als voorbeeld nemen we een systeem bestaande uit twee lichtquanta met dezelfde energie, die in tegengestelde richting lopen. In het stelsel S noteren we de waarde van de energie van beide flitsen als e0 . De waarden van de impuls zijn dan p1 = e0 /c en p2 = −e0 /c. De totale impuls is dan uiteraard P = 0, zodat S het ruststelsel van het systeem is. De rustenergie is dus E0 = 2e0 . We moeten aan dit systeem dus ook een massa M = 2e0 /c2 toekennen, terwijl de samenstellende delen (de afzonderlijke flitsen) massaloos zijn. Het is ook mogelijk dat de massa van een samengesteld systeem kleiner is dan de som van de afzonderlijke massa’s. Dat is bijvoorbeeld het geval bij een gebonden systeem. In een waterstofatoom zijn het elektron en het proton aan elkaar gebonden, en de energie is lager dan wanneer de deeltjes ver van elkaar zijn. Omdat de rustenergie van het gebonden systeem lager is dan van de deeltjes op grote afstand, is ook de massa kleiner dan de som van de massa’s van een vrij elektron en een vrij proton. Hetzelfde is het geval bij lichte atoomkernen, die kunnen fuseren tot kernen met een massa die minder is dan de som van de massa’s van de samenstellende delen. Bij dit proces van kernfusie komt dus een hoeveelheid energie vrij die gelijk is aan c2 maal de verdwenen massa.