Switching Power Supply Introduction (french Text)

ALIMENTATION A DECOUPAGE

1

INTRODUCTION

Bien que posant de nombreux problèmes (fiabilité, bruit et perturbations, ...), l'introduction de l'alimentation à découpage dans notre secteur d'activité, nous a permis de proposer des produits globalement plus performants. En effet, l'augmentation continuelle du nombre de canaux proposés et de la qualité demandée (intermodulations) a fait croître de façon proportionnelle les puissances absorbées par nos équipements et ainsi les dissipations thermiques en résultant. Grâce à leurs caractéristiques de rendement très élevé, les alimentations à découpage ont souvent permis ces gains de puissance sans détérioration notable des caractéristiques thermiques des équipements. Dans les chapitres qui suivent, nous nous proposerons d'étudier successivement le redresseur, la conversion DC/DC de technologie classique (BUCK, FLYBACK, BOOST et FORWARD), les notions fondamentales de régulation et toutes les considérations qui nous ont amenés à faire des choix techniques particuliers.

2

SCHEMA BLOC

AC in

REDRESSEUR + LISSAGE

CONVERSION

DC out

DC/DC

REGULATION

fig.1

1

3

LE REDRESSEUR

3.1

Introduction

Avant de parler des considérations pratiques, nous étudierons d'un point de vue théorique le redressement à k alternances avec contre tension continue (lissage capacitif). Les équations qui vont suivre permettent l'analyse directe ou indirecte (cas des redressements multiplicateurs de tension) de la majorité des types de redresseur. Ceux-ci formant, généralement, la base principale des convertisseurs AC/DC.

3.2

Etude théorique du redressement

Ii

Io

rg k Vd C

Vi

Vo

fig.2 Afin de faciliter le développement théorique, nous considérerons dans un premier temps, que la valeur de la capacité C est suffisamment élevée pour pouvoir considérer que la tension de sortie Vo est constante.

Iip

k=2 Ii

Vp

U'

Vi

Io π

−π/2

x

π/2

2π

−δ δ

T k=1 fig.3 Vi

est la tension d'entrée.

Vi = Vp ⋅ cos x

(1)

2

Vp

est la tension crête à vide du générateur.

k

défini le nombre d'alternances redressées par cycle.

Vd

est la tension de seuil d'une diode de redressement.

rg

est la résistance équivalente de sortie du générateur.

δ

est l'angle de conduction de(s) diode(s) de redressement, ce qui correspond au moment où la tension d'entrée Vi égale la somme des tensions de sortie Vo et de seuil de(s) diode(s) de redressement kVd ; cette somme est notée U' à la figure 3.

U ' = Vo + k ⋅Vd = Vp ⋅ cos δ Iip

Vo + k ⋅Vd = Vp ⋅ cos δ

(2)

est le courant d'entrée crête lors de la conduction de(s) diode(s) de redressement.

Iip = Io

→

(Vp − U ')

→

rg

Iip =

Vp ⋅ ( 1 − cos δ ) rg

(3)

est le courant de sortie et égale le courant moyen d'entrée. π 2π

T

Imoyen =

1 1 1 2 ⋅ ∫ i ( x )dx → Io = ⋅ ∫ i ( x )dx → Io = ⋅ ∫ k ⋅ i ( x )dx (4) T 0 2π 0 2π π −

i(x)

2

est la forme du courant d'entrée pendant la conduction.

i( x) =

Vp ⋅ cos x − U ' Vp = ⋅ ( cos x − cos δ ) rg rg

(5)

Introduisons (5) dans (4)

→

Io =

k δ Vp ⋅ ∫ ⋅ ( cos x − cos δ ) dx 2π −δ rg

(6)

Intégrons (6)

⇒

Io =

k ⋅Vp ⋅ (sin δ − δ ⋅ cos δ ) π ⋅ rg

(7)

Anciennement, pour la résolution de l'équation (7), la littérature fournissait tables et abaques permettant de sortir δ . Actuellement de nombreuses machines à calculer scientifiques (HP, Texas ,Casio et autres) proposent des applications intégrées telles que solver ou décomposition en série de Taylor qui permettent aisément la résolution de tels problèmes. Dans la majorité des cas, connaissant k, Vp, rg, Io et Vd, (7) donne l'angle de conduction δ , (3) donne le courant d'entrée crête Iip et (2) donne la tension de sortie DC Vo. Comme le courant d'entrée n'est pas sinusoïdal, il est intéressant de calculer le courant efficace d'entrée Ieffi:

1 T 2 Ieff = ⋅ ∫ i ( x )dx T 0 Intégrons (8)

→

→

k δ Vp 2 Ieffi = ⋅ ∫ 2 (cos x − cos δ ) 2 dx 2π −δ rg

Ieffi =

Vp k ⋅ ⋅ δ − 3 ⋅ sin δ ⋅ cos δ + 2δ ⋅ cos2 δ rg 2 π

(8)

(9)

Pour exprimer le courant efficace d'entrée en fonction du courant de sortie, il suffit de diviser (9) par (7), ce qui nous donne:

3

π

Ieffi = Io

2k

⋅

δ − 3 ⋅ sin δ ⋅ cos δ + 2δ ⋅ cos2 δ sin δ − δ ⋅ cos δ

(10)

Toujours dans un but de simplification théorique, nous allons, considérant que la valeur de la capacité C est suffisante, estimer que les charges et décharges de celle-ci sont assimilables à des segments de droite.

i = C⋅

du dt

Io = C ⋅

→

∆u ∆t

(11)

V 2π/κ ∆U Uo

x 2δ

∆x

2δ

fig.4

∆x =

2π − 2δ k

(12)

∆t =

et

∆x

ω

(13) avec

ω=

2π = 2π ⋅ f T

(14)

En mettant (12) et (14) dans (13), on obtient:

Introduisons (15) dans (11)

⇒

∆t =

T T ⋅δ 1 δ  − = T ⋅ −  k π  k π

(15)

∆u =

Io ⋅ T  1 δ  ⋅ −  C k π 

(16)

L'équation (16) permet donc d'obtenir une valeur d'ondulation de la tension de sortie en fonction de la valeur de la capacité de lissage, du courant de sortie, du nombre d'alternances redressées et de l'angle de conduction. Dans la majorité des cas d'alimentation à redressement direct (sans transformateur AC d'entrée), le courant d'appel (inrush current) est dû à la charge brutale de la capacité de lissage C lors de la mise sous tension de l'alimentation. Ce phénomène peut simplement se modéliser par l'application d'un échelon de tension, égal à la valeur crête du signal AC d'entrée, sur un réseau RC où la résistance est rg (résistance équivalente du générateur) et la capacité est C (capacité de lissage).

4

Iinp rg x(t) Vp x(t)

i(t)

C

y(t) i(t) t fig.5

y (t ) − x (t ) i (t ) = rg

avec

x (t ) = Vp

et

−t   rg ⋅C y (t ) = Vp ⋅ 1 − e   

−t

i (t ) = −

→

Vp rg⋅C ⋅e rg

(17)

Pour t=0 l'équation (17) donne le courant d'appel crête:

Iinp =

Vp rg

(18)

En intégrant le carré de l'équation (17) on obtient l'énergie contenue dans l'impulsion de courant; énergie 2 exprimée en A ⋅ s : ∞

E inrush = ∫ i 2 ( t )dt = − 0

−2 t

Vp 2 ∞ rg ⋅C ⋅ ∫ e dt rg 2 0

⇒

Einrush =

Vp 2 ⋅ C 2 ⋅ rg

A2 ⋅ s

(19)

Les formules (18) et (19) nous montrent que le courant crête est directement proportionnel à la valeur crête de la tension d'entrée et n'a rien à voir avec la valeur de la capacité de lissage alors que l'énergie contenue dans l'impulsion de courant est proportionnelle au carré de la valeur crête de la tension d'entrée et à la valeur de la capacité de lissage.

3.3

Considérations pouvant influencer les choix de design

Les considérations qui vont suivre s'appliquent toutes à notre domaine de prédilection: la CATV 3.3.1 Les coûts nous imposent souvent des solutions simples. 3.3.2 Ces solutions doivent être fiables. 3.3.3 Le système de redressement ne peut pas consommer, en régime alternatif, de courant d'entrée avec composante continue, mais doit pouvoir être alimenté éventuellement par une source de tension continue (batteries de secours). Cette imposition élimine d'office le transformateur d'entrée AC (de toute façon inélégant dans le cas d'une alimentation à découpage) et le redressement simple alternance classique (voir Fourrier).

5

3.3.4 Dans les systèmes CATV télé alimentés, la masse d'entrée (conducteurs de masse des câbles coaxiaux) est la même que la masse du châssis (masse de la tension DC régulée).

ACin

Vo

masse du signal redressé

masse du câble fig.6

Ceci impose, si par exemple on décide d'utiliser un redresseur en pont (fig.6), d'avoir une isolation entre la masse du signal AC entrant et la masse du signal DC redressé. Cette isolation peut être réalisée, soit par l'utilisation d'un transformateur AC d'entrée (ce qui n'est pas heureux: voir point 3.3.3), soit par l'utilisation d'un transformateur HF dans la section de découpage de l'alimentation (solution en général adoptée). 3.3.5 Le doubleur de tension permettant de conserver la même masse partout dans le circuit est parfois utilisé (fig.7).

fig.7 S'il a l'avantage de permettre la réalisation de régulateurs à découpage relativement simples (BUCK non isolé), il a néanmoins un désavantage: Il double la tension redressée, ce qui impose des capacités de lissage ainsi qu'un régulateur à découpage devant pouvoir fonctionner a des tensions élevées (influence sur le coût). De plus, comme il ne fonctionne qu'en simple alternance, on obtient, pour des valeurs et des volumes raisonnables de capacité de lissage, une ondulation de la tension de sortie bien plus importante que dans le cas d'un redressement double alternances. Cette ondulation plus importante à la fréquence du réseau n'est pas toujours facile à rejeter (caractéristique de boucle du régulateur à découpage).

6

3.3.6 En pratique, avec un régulateur isolé, on préférera utiliser un redresseur à double alternance en pont (fig.6).Si on choisit un doubleur simple alternance, il ne faudra pas oublier de shunter la capacité d'entrée avec une diode afin de permettre l'alimentation à partir de batteries de secours DC (fig.7) et d'empêcher la polarisation inverse de cette capacité. 3.3.7 En ce qui concerne l'appel de courant au démarrage, le calibre des fusibles (s'il y en a sur la ligne) se choisira en fonction de la rapidité de réaction de ceux-ci : - Si le fusible est thermique et lent, c'est l'énergie contenue dans l'impulsion de courant qui devra être tenue en compte (voir équation (19)). - Si le fusible est électronique et rapide, c'est la valeur crête de l'impulsion de courant qui devra être tenue en compte (voir équation (18)). - En règle générale les fabricants de fusibles donnent les spécifications de coupure 2 en I ⋅ t . C'est beaucoup plus rare dans le cas des fabricants d'équipements comprenant des alimentations à découpage. 3.3.8 Il existe des systèmes passifs et actifs de limitation du courant d'appel. Quant aux systèmes passifs, en général une CTN en série avec rg, ils ne sont efficaces que quand le système est "froid", peuvent, de plus, poser des problèmes de démarrage à très basse température (valeur élevée de la CTN) et dégradent le rendement des alimentations. Les systèmes actifs ne poseront pas tant de problèmes mais grèveront les coûts et éventuellement la fiabilité de l'alimentation (cas des systèmes à relais). 3.3.9 Lorsqu'on utilise les équations vues précédemment, le seul paramètre difficile à estimer est la résistance rg. Celle-ci, appelée résistance du générateur, est en fait la somme de plusieurs résistances dont: la résistance de sortie du transformateur de ligne, la résistance des câbles coaxiaux s'il y a télé alimentation, la résistance équivalente des diodes de redressements, etc... La manière la plus simple de procéder afin de trouver la valeur de rg est de mesurer la forme du courant d'entrée, d'en extraire la valeur moyenne égale à Io, l'angle de conduction δ et connaissant Vp et k de résoudre l'équation (7) pour trouver rg.

7

4

LA CONVERSION DC/DC

4.1

Introduction

Dans ce chapitre nous allons présenter les trois principaux types de convertisseurs à découpage non isolés: le BUCK, le FLYBACK et le BOOST, puis nous détaillerons le fonctionnement du convertisseur BUCK isolé, aussi appelé FORWARD. De manière générale, on parlera de convertisseur s'il y a une liaison fixe entre les caractéristiques d'entrée et de sortie et de régulateur lorsqu'il s'agit de la caractéristique de sortie qui est fixée. Les chapitres suivants seront consacrés à la régulation des convertisseurs présentés ici. Le principe de base de la conversion DC/DC à découpage est fondé sur les caractéristiques de stockage de courant des inductances et de tension des capacités. Bien que basés sur les mêmes principes, nous ne parlerons ici que des convertisseurs à fréquence fixe et temps de conduction variable qui offrent le grand avantage d'être beaucoup plus faciles à filtrer que les convertisseurs à temps de conduction fixe et fréquence variable.

4.2

Le convertisseur BUCK

vQ

vL Io Q

L ∆ι1 vD

Vi

Rload

C

D

Vo ∆ι2

Contrôle du rapport cyclique d fig.8 L'étude du comportement du convertisseur BUCK représenté ci-dessus va se baser sur les équations régissant les relations courant tension des inductances et des capacités:

U = L⋅

di dt

(20)

et

T

est la période de découpage.

d

est le rapport cyclique de découpage

ton

est le temps de conduction de l'interrupteur Q.

toff

est le temps d'ouverture de l'interrupteur Q.

i = C⋅

du dt

(21)

8

d=

ton T

(22)

toff = T − ton

et

(23)

Nous allons utiliser les équations (20) et (21), en passant aux éléments finis, successivement pendant le temps de conduction et d'ouverture de l'interrupteur Q. - Pendant

ton

:

(Vi − Vo) = L ⋅

- Pendant

toff

:

Vo = L ⋅

Lorsque le système est en régime, divisant (25) par (24) on obtient:

∆i2 toff

∆i1 t on

(24)

(25)

∆i1 et ∆i2 doivent s'égaler pendant le temps d'une période T. En

∆i=∆i1=∆i2

Vo t t d = on = on = Vi − Vo toff T − ton 1 − d

Vo =d Vi

⇒

(26)

Comme d est compris entre 0 et 1, l'équation (26) nous montre que la tension de sortie est toujours inférieure à la tension d'entrée. Le convertisseur BUCK est abaisseur de tension (STEP DOWN).

iL

∆i1

∆i2

ILp Io ILm

∆i

t iQ IQp ∆i Ii

ton

toff

t

T fig.9

9

vL Vi-Vo

t

-(Vo+Vd) vQ Vi+Vd

t vD Vi

-Vd

t ton

toff

T fig.10 Les figures 9 et 10 ci-dessus montrent l'allure des courants et tensions prises à différents endroits. On remarque que le courant de sortie est continu et que, par contre, le courant d'entrée est discontinu. L'entrée de ce type de convertisseur sera "bruyante" et devra être filtrée par une capacité de valeur élevée alors que la sortie pourra se contenter d'une valeur plus faible de capacité car naturellement filtrée par l'inductance L (du moins en mode continu). Les courants crêtes dans l'interrupteur Q et dans la diode D seront égaux au courant crête dans l'inductance L: IQp=IDp=ILp. Le courant moyen d'entrée vaut:

Ii =

1 T ⋅ ∫ iQ( t )dt T 0

→

Ii = Io ⋅ d

⇒

Ii Vo = Io Vi

(27)

10

Ceci montre de manière triviale que la puissance d'entrée est idéalement égale à la puissance de sortie. De même le courant moyen dans la diode vaudra: ILp

est le courant crête maximum dans l'inductance L.

ILm

est le courant minimum dans l'inductance L.

Vd

est la tension de seuil de la diode D.

ID = Io ⋅ ( 1 − d )

∆i =

(24) et (22) donnent:

(28)

Vi − Vo Vo ⋅ ⋅T L Vi

(29)

L'équation (29) exprime l'ondulation de courant dans l'inductance L en fonction de la période de découpage et des tensions d'entrée et de sortie. Le courant moyen dans l'inductance L est égal au courant de sortie.

I L = Io Mettons (29) dans (30)

et

I Lp = Io +

→

I Lp =

(30)

Vi − Vo Vo ⋅ ⋅ T + Io 2 ⋅ L Vi

I Lm = Io −

De même

∆i 2

∆i 2

(31)

(32)

Afin d'avoir un courant de sortie continu et donc une tension de sortie facile à lisser (capacité de valeur raisonnable), il faut que le courant ne s'annule pas dans l'inductance L (mode continu).

I Lm ≥ 0

et de (32) on tire:

En remplaçant (29) dans (33) on trouve:

Iomin − Lmin ≥

∆i ≥0 2

(33)

Vi − Vo Vo ⋅ ⋅T 2 ⋅ Iomin Vi

(34)

L'équation (34) permet de dimensionner l'inductance L en fonction de la période de découpage, du courant de sortie et des tensions d'entrée et de sortie. Il est intéressant de pouvoir également dimensionner la capacité de sortie C afin d'obtenir une ondulation de tension ∆u sur la tension de sortie qui ne dépasse pas une valeur donnée. Malheureusement, la formule qui va suivre ne pourra être donnée qu'à titre indicatif. En effet, des éléments parasites, difficiles à quantifier, tels que l'E.S.R. (résistance équivalente série) des capacités pourront suivant de nombreux paramètres (température, lay-out, courant, fréquence, ...) influencer parfois fortement l'ondulation sur la tension de sortie.

Vi − Vo Vo  C≥ ⋅ ⋅ T ∆u ⋅ L  Vi 

2

(35)

11

4.3

Le convertisseur FLYBACK

vQ

vD Io Q

D vL

∆ι1

∆ι2

Rload

C

Vo

Vi L

Contrôle du rapport cyclique d fig.11 La figure 11 représentant un convertisseur FLYBACK élémentaire nous montre que celui-ci est inverseur de tension. Dans les équations qui vont suivre nous utiliserons les valeurs absolues des tensions et courants, ce qui est cohérent avec la manière dont nous les avons représentés à la figure 11. T

est la période de découpage.

d

est le rapport cyclique de découpage

ton

est le temps de conduction de l'interrupteur Q.

toff

est le temps d'ouverture de l'interrupteur Q.

d=

ton T

(36)

toff = T − ton

et

(37)

Nous allons utiliser les équations (20) et (21), en passant aux éléments finis, successivement pendant le temps de conduction et d'ouverture de l'interrupteur Q.

ton

:

Vi = L ⋅

∆i1 ton

(38)

- Pendant toff

:

Vo = L ⋅

∆i2 toff

(39)

- Pendant

Lorsque le système est en régime, divisant (39) par (38) on obtient:

∆i1 et ∆i2 doivent s'égaler pendant le temps d'une période T. En

∆i=∆i1=∆i2

Vo ton t d = = on = Vi toff T − ton 1 − d

⇒

Vo d = Vi 1 − d

(40)

12

L'équation (40) nous montre que la tension de sortie est, en valeur absolue, supérieure à la tension d'entrée pour d>0,5 et inférieure à celle-ci pour d<0,5. Le convertisseur FLYBACK est élévateur ou abaisseur de tension (STEP UP/DOWN) ILp

est le courant crête maximum dans l'inductance L.

ILm

est le courant minimum dans l'inductance L.

Vd

est la tension de seuil de la diode D.

Vo Vo + Vi

De (40) on tire:

d=

(36), (38) et (41) donnent:

∆i =

(41)

Vi ⋅Vo T ⋅ Vo + Vi L

(42)

L'équation (42) exprime l'ondulation de courant dans l'inductance L en fonction de la période de découpage et des tensions d'entrée et de sortie.

iL

∆i1

∆i2

ILp

∆i

ILm

t

iD IDp ∆i Io

t iQ IQp ∆i Ii

ton

toff

t

T fig.12

13

vL Vi-Vo

t

-(Vo+Vd) vQ Vi+Vd

t vD Vi

-Vd

t ton

toff

T fig.13 Les figures 12 et 13 ci-dessus montrent l'allure des courants et tensions prises à différents endroits. On remarque que les courants de sortie et d'entrée sont discontinus. L'entrée et la sortie de ce type de convertisseur seront "bruyantes" et devront être filtrées par des capacités de valeurs élevées.

∆i 2

Le courant moyen dans l'inductance L vaut:

I L = I Lm +

On trouve aisément que:

Io = I L ⋅ ( 1 − d )

(44)

De même:

Ii = I L ⋅ d

(45)

Ii Vo = Io Vi

(46)

En divisant (45) par (44) on trouve:

Ii d = Io 1 − d

→

(43)

Ceci montre de manière triviale que la puissance d'entrée est idéalement égale à la puissance de sortie.

14

De (41), (42), (43) et (44) on tire:

I Lm =

Pour ILm≥0 on obtient:

Io ≥

Vo + Vi T Vi ⋅Vo ⋅ Io − ⋅ Vi 2 ⋅ L Vo + Vi

(47)

T Vi 2 ⋅ Vo ⋅ 2 ⋅ L (Vi + Vo) 2

(48)

L'équation (48) donne le courant minimal de sortie pour lequel le convertisseur fonctionnera en mode continu. De la même manière que pour (47), on trouve:

I Lp =

Vo + Vi T Vi ⋅Vo ⋅ Io + ⋅ Vi 2 ⋅ L Vo + Vi

(49)

Les courants crêtes dans l'interrupteur Q et dans la diode D seront égaux au courant crête dans l'inductance L: IQp=IDp=ILp. La valeur minimale de la capacité de sortie C donnant une ondulation de tension ∆u sera:

C≥

T ⋅ Io ∆u

(50)

Plus encore que pour le convertisseur BUCK où le courant de sortie était continu, alors qu'ici il est discontinu, l'equation (50) ne peut être donnée qu'à titre indicatif. En effet, des éléments parasites, difficiles à quantifier, tels que l'E.S.R. (résistance équivalente série) des capacités pourront suivant de nombreux paramètres (température, lay-out, courant, fréquence, ...) influencer parfois fortement l'ondulation sur la tension de sortie.

4.4

Le convertisseur BOOST

vL

vD Io L

D ∆ι2 C

∆ι1

vQ

Vi

Rload Vo

Q

Contrôle du rapport cyclique d fig.14 T

est la période de découpage.

d

est le rapport cyclique de découpage

15

ton

est le temps de conduction de l'interrupteur Q.

toff

est le temps d'ouverture de l'interrupteur Q.

d=

ton T

(51)

toff = T − ton

et

(52)

Nous allons utiliser les équations (20) et (21), en passant aux éléments finis, successivement pendant le temps de conduction et de fermeture de l'interrupteur Q.

∆i1 ton

ton

:

Vi = L ⋅

- Pendant toff

:

(Vo − Vi ) = L ⋅

- Pendant

Lorsque le système est en régime, divisant (54) par (53) on obtient:

(53)

∆i2 t off

(54)

∆i1 et ∆i2 doivent s'égaler pendant le temps d'une période T. En

∆i=∆i1=∆i2

Vo − Vi ton t d = = on = Vi toff T − ton 1 − d

⇒

Vo 1 = Vi 1 − d

(55)

L'équation (55) nous montre que la tension de sortie est, pour d compris entre 0 et 1, toujours supérieure à la tension d'entrée. Le convertisseur BOOST est élévateur de tension (STEP UP) ILp

est le courant crête maximum dans l'inductance L.

ILm

est le courant minimum dans l'inductance L.

Vd

est la tension de seuil de la diode D.

Vo − Vi Vo

De (55) on tire:

d=

(51), (53) et (56) donnent:

 Vi 2  T ∆i = Vi − ⋅ Vo  L 

(56)

(57)

L'équation (57) exprime l'ondulation de courant dans l'inductance L en fonction de la période de découpage et des tensions d'entrée et de sortie. Comme le courant moyen dans l'inductance L est égal au courant d'entrée:

On trouve aisément que:

I L = Ii

(58)

Ii Vo = Io Vi

(59)

Ceci montre de manière triviale que la puissance d'entrée est idéalement égale à la puissance de sortie. De (56), (57), (58) et (59) on tire:

I Lm = I L −

∆i 2

et

I Lp = I L +

∆i 2

16

⇒

De même:

I Lm

Vo T  Vi 2  = ⋅ Io − ⋅ Vi −  Vi 2⋅ L  Vo 

(60)

Vo T  Vi 2  ⋅ Io + ⋅ Vi −  Vi 2⋅ L  Vo 

(61)

I Lp =

Les courants crêtes dans l'interrupteur Q et dans la diode D seront égaux au courant crête dans l'inductance L: IQp=IDp=ILp.

Io ≥

Pour ILm≥0 on obtient:

T Vi  Vi 2  ⋅ ⋅ Vi −  2 ⋅ L Vo  Vo 

(62)

L'équation (62) donne le courant minimal de sortie pour lequel le convertisseur fonctionnera en mode continu.

iL

∆i1

∆i2

ILp Ii

∆i

ILm

t

iD IDp ∆i Io

t

iQ IQp ∆i

ton

toff

t

T

fig.15

17

vL Vi

t Vi-Vo vQ Vo

t vD Vo

-Vd

t ton

toff

T fig.16 Les figures 15 et 16 ci-dessus montrent l'allure des courants et tensions prises à différents endroits. On remarque que le courant d'entrée est continu et que, par contre, le courant de sortie est discontinu. La sortie de ce type de convertisseur sera "bruyante" et devra être filtrée par une capacité de valeur élevée alors que l'entrée pourra se contenter d'une valeur plus faible de capacité car naturellement filtrée par l'inductance L (du moins en mode continu). La valeur minimale de la capacité de sortie C donnant une ondulation de tension ∆u sera:

C≥

T ⋅ Io ∆u

(63)

La remarque, ici, est identique à celle faite pour le convertisseur FLYBACK: l'équation (63) ne peut être donnée qu'à titre indicatif. En effet, des éléments parasites, difficiles à quantifier, tels que l'E.S.R. (résistance équivalente série) des capacités pourront suivant de nombreux paramètres (température, layout, courant, fréquence, ...) influencer parfois fortement l'ondulation sur la tension de sortie.

18

4.5

Le convertisseur FORWARD

vD1

vL Io

L L1 N1

L3 N3

∆ι1

D1 L2 N2

vL1

vL3

∆ι2 Rload

vL2 vD2

Vi

vQ

D2

C

Vo

vD3 Q

D3

Contrôle du rapport cyclique d fig.17 Comme on peut le remarquer, il s'agit du convertisseur BUCK dans lequel on a introduit un transformateur (constitué par L1,L2 et L3). L'interrupteur Q se trouvant au primaire L1, au secondaire L2 on a dû reconstruire l'interrupteur grâce aux diodes D1 et D2. Le troisième enroulement L3 sert à la démagnétisation du transformateur pendant un cycle. T

est la période de découpage.

d

est le rapport cyclique de découpage

ton

est le temps de conduction de l'interrupteur Q.

toff

est le temps d'ouverture de l'interrupteur Q.

d=

ton T

(64)

et

toff = T − ton

(65)

Nous allons utiliser les équations (20) et (21), en passant aux éléments finis, successivement pendant le temps de conduction et d'ouverture de l'interrupteur Q. 1°- Pendant

ton

:

Q1 est passant. D3 est bloqué. D1 est passant. D2 est bloqué.

Le courant de magnétisation dans le transformateur vaut:

19

i L1 = im = v L1 = Vi

v L3 = −

v L = vD2 − Vo =

 N 3 N3  ⋅Vi v D 3 = Vi ⋅ 1 +  N1 N1

N2 ⋅Vi − Vo N1

v L2 =

Vi ⋅ ton L1

N2 ⋅Vi N1

(66)

v D2 = v L 2

vL ⋅ ton L N2 ⋅Vi − Vo ∆i1 = N 1 ⋅ ton L ∆i1 =

→

(67)

2°- Pendant toff : a-

Pendant t' (temps de démagnétisation du transformateur) Q1 est bloqué. D3 est passant. D1 est bloqué. D2 est passant. 2

 N 3  L3 = L1 ⋅   N1 

(68)

Vi ⋅t′ L3

(69)

Le courant de magnétisation dans le transformateur vaut:

i L3 = im = Comme i L1

= i L3 = im , de (66), (68) et (69) on tire: 2

 N 3  ⋅t t′ =   N 1  on

(70)

L'équation (70) donne le temps de démagnétisation t' du transformateur, qui ne pourra pas dépasser le temps d'ouverture toff de l'interrupteur Q , sous peine de saturation du transformateur. On notera que si N3=N1 alors t'= ton et on remarque immédiatement que le rapport cyclique d ne pourra pas dépasser 50%.

v L3 = Vi

v L1 = −

N1 ⋅Vi N3

 N1 N2 N2  v L2 = vQ = Vi ⋅ 1 + ⋅ v L1 = − ⋅Vi  N 3 N1 N3

vD1 = v L2 b-

Pendant toff − t ′ (jusqu'à T) Q1 est bloqué. D3 est bloqué. D1 est bloqué. D2 est passant.

i L1 = i L3 = im = 0

vQ = vD3 = Vi

v L1 = v L2 = v L3 = 0

20

c-

Pendant toff

∆i 2 =

(t ′ +

(t

off

)

− t′ )

vL ⋅ toff L

∆i 2 =

→

d=

Comme ∆i=∆i1=∆i2, de (67) et (71) on tire:

Etant donné que

t ′ ≤ toff , on trouve:

Vo ⋅ toff L

N 1 Vo ⋅ N 2 Vi

d max =

1 2  N 3  1+   N1 

(71)

(72)

(73)

On remarquera que si N2=N1 on retrouvera les mêmes relations que pour le convertisseur BUCK excepté pour ce qui est de la démagnétisation du transformateur. Le convertisseur FORWARD pourra être élévateur de tension, abaisseur de tension, ou les deux suivant le rapport de transformation du transformateur. 3°- Calcul des valeurs de L, de C et des courants max. ILp

est le courant crête maximum dans l'inductance L.

ILm

est le courant minimum dans l'inductance L.

Vd

est la tension de seuil de la diode D.

De (64), (67) et (72) on tire:

 N2  T ⋅ ⋅ Vi − Vo   N1  N 1 ⋅ Vo ∆i = ⋅ L N 2 ⋅ Vi

(74)

Le courant min. dans l'inductance L vaut:

I Lm = Io −

∆i 2

(75)

Le courant max. dans l'inductance L vaut:

I Lp = Io +

∆i 2

(76)

Afin d'avoir un courant de sortie continu et donc une tension de sortie facile à lisser (capacité de valeur raisonnable), il faut que le courant ne s'annule pas dans l'inductance L (mode continu).

I Lm ≥ 0

et de (75) on tire:

En plaçant (74) dans (77) on trouve:

∆i ≥0 2 N2 Vi − Vo N 1⋅Vo ≥ N1 ⋅ ⋅T 2 ⋅ Iomin N 2 ⋅Vi

Iomin −

(77)

Lmin

(78)

L'équation (78) permet de dimensionner l'inductance L en fonction de la période de découpage, du courant de sortie, des tensions d'entrée et de sortie et du rapport de transformation du transformateur. Il est intéressant de pouvoir également dimensionner la capacité de sortie C afin d'obtenir une ondulation de tension ∆u sur la tension de sortie qui ne dépasse pas une valeur donnée. Malheureusement, la formule qui va suivre ne pourra être donnée qu'à titre indicatif. En effet, des éléments parasites, difficiles à quantifier, tels que l'E.S.R. (résistance équivalente série) des capacités pourront suivant de nombreux paramètres (température, lay-out, courant, fréquence, ...) influencer parfois fortement l'ondulation sur la tension de sortie.

21

N2 ⋅Vi − Vo C ≥ N1 ⋅ T 2 ⋅ d max ∆u ⋅ L

Remplaçons dmax par (73)

N2 ⋅ Vi − Vo N 1 C≥ ⋅ ∆u ⋅ L

→

iL

∆i1

T2 2  N 3  1+   N1

(79)

(80)

∆i2

ILp

∆i

Ii ILm iD1 pendant ton

iD2 pendant toff

t

iD3=iL3

im t

iL1=iQ ILp(N2/N1)+im (N2/N1)Io

∆i(N2/N1)

im t' ton

t

toff

T fig.18

22

vL1

vL2

Vi

Vi(N2/N1)

t

-Vi(N2/N3)

-Vi(N3/N1) vL3 Vi

t

-Vi(N3/N1)

vQ1 Vi(1+(N1/N3)) Vi

t

vD2 Vi(N2/N1)

t

vD1

t

-Vi(N2/N3) t' ton

toff

T

fig.19

23

Les figures 18 et 19 ci-dessus montrent l'allure des courants et tensions prises à différents endroits. On remarque que le courant de sortie est continu et que, par contre, le courant d'entrée est discontinu. L'entrée de ce type de convertisseur sera "bruyante" et devra être filtrée par une capacité de valeur élevée alors que la sortie pourra se contenter d'une valeur plus faible de capacité car naturellement filtrée par l'inductance L (du moins en mode continu). T

Le courant moyen d'entrée vaut:

1 Ii = ⋅ ∫ iQ( t )dt → T 0 ⇒

Ii = Io ⋅ d Ii Vo = Io Vi

(81)

Ceci montre de manière triviale que la puissance d'entrée est idéalement égale à la puissance de sortie.

N 1⋅Vo N 2 ⋅Vi

Le courant moyen dans la diode D1 vaudra:

ID1 = Io ⋅

Le courant moyen dans la diode D2 vaudra:

N 1 ⋅ Vo    ID2 = Io ⋅ 1 −  N 2 ⋅ Vi 

Les courants crête dans L2, D1 et D2 vaudront:

I L2 p = I D1p = I D2 p = Io +

(82)

(83)

∆i 2

Le courant dans L1 est égal au courant dans Q:

i L1 =

N2 Vi Vi ⋅ i L2 + im im = ⋅ ton = ⋅d ⋅T → N1 L1 L1

im =

N 1 Vo ⋅ T ⋅ N 2 L1

(84)

Le courant crête dans l'interrupteur Q vaudra:

iQp =

N2 ⋅ i L2 p + im = i L1p N1

→

i Qp =

∆i  N 1 Vo ⋅ T N2  ⋅  Io +  + ⋅ N1  2  N 2 L1

(85)

Le courant moyen dans l'interrupteur Q vaudra:

N 1 ⋅ Vo ⋅ T  N 1 ⋅ Vo  N2 ⋅ IQ1 =  ⋅ Io +  N1 2 ⋅ N 2 ⋅ L1  N 2 ⋅ Vi

(86)

Les graphiques et les équations qui précèdent vont permettre de dimmensionner les principaux composants du convertisseur.

24

5

NOTIONS ELEMENTAIRES DE REGULATION

5.1

Boucle de régulation.

+

F(p) -

Vi

Vc

Vo G(p) fig.20

Vc = Vi − Vo ⋅ G ( p)

Si g(p)>>>>

Vo = Vc ⋅ F ( p) = Vi ⋅ F ( p) − Vo ⋅ F ( p) ⋅ G ( p)

⇒

Vo F ( p) = Vi 1 + F ( p) ⋅ G ( p)

(87)

⇒

Vo 1 ≈ ≈0 Vi G ( p )

(88)

L'équation (87) est la fonction de transfert en boucle fermée. On remarque que si G(p) est très grand, Vo deviendra indépendant de F(p) et de Vi (88). La fonction de transfert en boucle ouverte vaut:

Fbo( p) = F ( p) ⋅ G ( p)

(89)

La fonction de transfert en boucle ouvert nous intéressera plus particulièrement du fait qu'elle permet l'étude de la stabilité relative du système.

5.2

Boucle de contrôle.

F(p) Vc

+

Vo

G(p) Vref fig.21

Vo = F ( p) ⋅ G ( p) ⋅ (Vo − Vref ) Si g(p)>>>>

⇒

⇒

Vo F ( p) ⋅ G ( p ) = Vref F ( p) ⋅ G ( p ) − 1 Vo ≈1 Vref

(90)

(91)

25

L'équation (90) est la fonction de transfert en boucle fermée. On remarque que si G(p) est très grand, Vo deviendra directement dépendant de Vref et indépendant de F(p) (91). La fonction de transfert en boucle ouverte vaut:

Fbo( p) = F ( p) ⋅ G ( p)

(92)

La fonction de transfert en boucle ouverte nous intéressera plus particulièrement du fait qu'elle permet l'étude de la stabilité relative du système.

5.3

Analyse d'une fonction de transfert.

H ( p) = K ⋅

Considérons:

(1 + Z 1⋅ p ) ⋅ (1 + Z 2 ⋅ p ) ⋅ (1 + Z 3 ⋅ p ) ⋅⋅⋅ (1 + P1⋅ p ) ⋅ (1 + P 2 ⋅ p ) ⋅ (1 + P 3 ⋅ p ) ⋅⋅⋅

(93)

H(p) est une fonction de transfert. ∞

p

est l'opérateur de Laplace. Pour rappel:

F ( p) = ∫ f (t ) ⋅ e − p⋅t dt 0

Px

est un pôle.

Zx

est un zéro.

K

est le gain statique (DC).

En régime sinusoïdal (analyse fréquentielle) p devient jw.

H ( p ) = H ( jω ) = K ⋅

→

(1 + Z 1⋅ jω ) ⋅ (1 + Z 2 ⋅ jω ) ⋅ (1 + Z 3 ⋅ jω ) ⋅⋅⋅ (1 + P1 ⋅ jω ) ⋅ (1 + P 2 ⋅ jω ) ⋅ (1 + P 3 ⋅ jω ) ⋅⋅⋅

(94)

0ù le gain en fonction de la pulsation est:

G (ω ) = 20 ⋅ log F ( jω )

(95)

et la phase en fonction de la pulsation est:

Φ(ω ) = Arg F ( jω )

(96)

Grâce à G(ω ) et Φ(ω ) nous tracerons le courbes de Bodes (fig.22) ou de nichols (fig.23) d'un système en boucle ouverte, ce qui permettra de trouver les marges de gain et de phase du système (stabilité relative).

G(w)

G

0

Marge de gain

Φ(w)

w

(G(w),Φ(w)) -180 Marge de gain

-180°

Φ

w Marge de phase

fig.22

Marge de phase

fig.23

26

Ces représentations sont, en général, les plus appréciées des électroniciens. Les automaticiens préfèreront souvent utiliser directement des représentations concrètes des pôles et des zéros d'une fonction F(p) dans le plan complexe ℜF ( p), ℑF ( p) .

6

MODELISATION DU REGULATEUR BUCK

6.1

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons étudier les schémas physiques de système de contrôle à fréquence fixe et temps de conduction variable appliqués à la régulation du convertisseur BUCK. Nous verrons successivement le contrôle en tension (voltage mode control) et le contrôle en courant (current mode control) et nous les ramènerons à la forme canonique (fig.20) présentée au chapitre précédent. Ces méthodes de contrôle sont applicables aux quatre types de convertisseurs vus au chapitre 4.

6.2

Contrôle en tension a-

Schéma physique

Q

L RL D

C

Vi

Vo

Z2 amp.

+ comp.

Z1

+

Vc

-

Vref

générateur de dents de scie fig.24 Le générateur de dents de scie et le comparateur constituent un modulateur de largeur d'impulsion (PWM) qui, travaillant à fréquence fixe, permet de faire varier le temps de conduction ton de l'interrupteur Q proportionnellement à Vc (figure 25).

27

générateur de dents de scie

Vc

t Q

t ton

toff

T fig.25 La tension de sortie Vo est comparée à une tension de référence Vref grâce à un amplificateur opérationnel où Z1 et Z2 servent à fixer le gain et les compensations de manière à assurer la stabilité du régulateur. b-

Modélisation

Nous allons décomposer le modèle physique de la figure 24 afin de retrouver la forme canonique de la figure 20. Modélisation de F(p)

PWM L

Vc

kVc

Resr

RL

Vo

C

fig.26

28

F ( p) =

Vo Vc

→

F ( p) = k ⋅ RL ⋅

1 + Resr ⋅ C ⋅ p p 2 ⋅ RL ⋅ C ⋅ L + p ⋅ ( L + Resr ⋅ C ) + 1

(97)

Modélisation de G(p)

Z2 -

Z1

amp.

+ Vc

Vo

fig.27

G ( p) =

Vc Vo

G ( p) =

→

Z2 Z1

(98)

La fonction de transfert totale en boucle ouverte vaudra:

Fbo( p) = F ( p) ⋅ G ( p) = k ⋅ RL ⋅

Z2 1 + Resr ⋅ C ⋅ p ⋅ 2 Z 1 p ⋅ RL ⋅ C ⋅ L + p ⋅ ( L + Resr ⋅ C ) + 1

(99)

On remarque donc qu'un régulateur de ce type sera difficile à stabiliser, surtout pour des valeurs élevées de résistance de charge RL. En effet, de manière pratique, pour que l'erreur de position soit la plus faible possible, il faudra que le gain statique de G(p) soit bien plus grand que celui de F(p). Or non seulement le gain statique (kRL) mais aussi les pôles de F(p) dépendront de RL. Ceci obligera, souvent, la limitation du gain statique de F(p) par l'adjonction d'une résistance en parallèle sur RL. c-

G(p) devra: -

-

En pratique:

avoir un gain élevé aux fréquences les plus basses afin de: -

assurer la meilleure stabilité possible de la tension de sortie (erreur de position en boucle fermée).

-

éliminer au maximum l'ondulation de la tension d'entrée due à un redressement éventuel placé en amont.

compenser le zéro de F(p) dû à l'ESR des capacités de sortie du convertisseur.

Fbo(p) devra: -

assurer des marges de gain et de phase raisonnables pour toutes les conditions de F(p) (variations de RL).

-

couper le gain au quart de la fréquence de découpage (arbitraire) afin que la boucle n'y réagisse pas.

29

d-

Conclusion

Ce type de méthode de contrôle présente l'avantage d'être simple à implémenter et le désavantage d'avoir une fonction de transfert difficile à stabiliser. Ce type d'alimentation à découpage est, historiquement, un des premiers à être apparu. Il est encore largement utilisé, surtout dans les cas où les caractéristiques principales sont connues et ne varient pas trop (RL).

6.2

Contrôle en courant a-

Schéma physique

iL L P RL

iL/k D

C Z1

Vi

Vo

Z2 + _ Q

S

comp.

-

R

amp.

Vc

+ Vref

générateur d'impulsions fig.28 Le générateur d'impulsions, la bascule RS et le comparateur constituent un modulateur de largeur d'impulsion (PWM) qui, travaillant à fréquence fixe, permet de faire varier le courant dans l'inductance L (et donc le temps de conduction ton de l'interrupteur P) proportionnellement à Vc (figure 29).

30

R générateur d'impulsions

t entrée du comparateur

Vc iL/k

t S sortie du comparateur

t _ Q

t ton

toff

T fig.29 La tension de sortie Vo est comparée à une tension de référence Vref gràce à un amplificateur opérationnel où Z1 et Z2 servent à fixer le gain et les compensations de manière à assurer la stabilité du régulateur. Ensuite, une image du courant (crête) passant dans l'inductance L est comparée à la tension de contrôle Vc et sert à activer l'entrée SET d'une bascule RS, l'entrée RESET étant pilotée par le générateur d'impulsions de période T et enfin la sortie inversée de la bascule commande l'interrupteur P.

31

b-

Modélisation

Le modèle du régulateur présenté à la figure 28 comprend deux boucles imbriquées, l'une contrôlant la tension de sortie, l'autre contrôlant le courant crête dans l'inductance L.

+

F1(p)

iL/k

F2(p)

Vi

Vo

G2(p)

G1(p)

+ Vc fig.30

Vo =

iL ⋅ F 2( p) k

Vc = Vo ⋅ G1( p) = G1( p ) ⋅ F 2 ( p) ⋅

iL k

  i L  iL  Vi −  G 2( p) ⋅ Vc −  ⋅ F 1( p) =  k  k  

Comme G2(p)>>>>

→

iL F 1( p ) F 1( p ) ⋅ G 2 ( p ) = − ⋅Vc k 1 − F 1( p ) ⋅ G 2 ( p ) 1 − F 1( p ) ⋅ G 2 ( p )

→

F 1( p ) ≈0 1 − F 1( p ) ⋅ G 2 ( p )

→

iL = Vc k

⇒

et

(100)

F 1( p ) ⋅ G 2 ( p ) ≈ −1 1 − F 1( p ) ⋅ G 2 ( p )

i L = k ⋅Vc

(101)

La double boucle de la figure 30 va donc se simplifier car elle devient indépendante de Vi et de F1(p). La figure 31 ci-dessous représente le modèle le plus proche de la forme canonique de la figure 20 mais sans variable d'entrée!

F(p) Vc

Vo G(p) fig.31

Cette simplification ne change rien à la fonction de transfert en boucle ouverte qui reste:

Fbo( p) = F ( p) ⋅ G ( p) .

32

Modélisation de F(p)

PWM

Vc

kVc

Resr

RL

Vo

C

fig.32

F ( p) =

Vo Vc

F ( p ) = k ⋅ RL ⋅

→

1 + Resr ⋅ C ⋅ p 1 + RL ⋅ C ⋅ p

(102)

Modélisation de G(p)

C2 R2 -

R1

amp.

+ Vc

Vo

fig.33

G ( p) =

Vc Vo

G ( p) =

→

R2 1 ⋅ R1 1 + R 2 ⋅ C 2 ⋅ p

(103)

La fonction de transfert totale en boucle ouverte vaudra:

Fbo( p) = F ( p) ⋅ G ( p) = k ⋅ RL ⋅

1 + Resr ⋅ C ⋅ p R2 ⋅ R1 ( 1 + RL ⋅ C ⋅ p) ⋅ ( 1 + R2 ⋅ C 2 ⋅ p)

(104)

Si le pôle formé par R2C2 est choisi pour compenser le zéro formé par ResrC:

R 2 ⋅ C 2 = Resr ⋅ C

→

Fbo( p) =

R2 k ⋅ RL ⋅ R1 ( 1 + RL ⋅ C ⋅ p)

(105)

33

On remarque donc qu'un régulateur de ce type sera bien plus facile à stabiliser qu'un régulateur contrôlé en tension. c-

-

En pratique:

G(p) devra: -

avoir un gain élevé aux fréquences les plus basses afin d'assurer la meilleure stabilité possible de la tension de sortie (erreur de position en boucle fermée).

-

compenser le zéro de F(p) dû à l'ESR des capacités de sortie du convertisseur.

Fbo(p) devra: -

assurer des marges de gain et de phase raisonnables pour toutes les conditions de F(p) (variations de RL).

-

couper le gain au quart de la fréquence de découpage (arbitraire) afin que la boucle n'y réagisse pas.

d-

Problème posé par cette topologie

Nous allons montrer que le mode de contrôle du courant crête dans l'inductance L (question de facilité) est inconditionnellement instable pour des rapports cycliques supérieurs à 50%. Pour ce faire nous allons graphiquement étudier l'influance, au niveau de la comparaison entre Vc et iL, d'une perturbation ∆i sur iL. iL d<50% Vc

∆i

t T iL d>50% Vc

∆i

t T

fig.34

34

Pour d<50%:

on remarque que, après quelques cycles, l'erreur ∆i introduite à t=0 fini par disparaître.

Pour d>50%:

on remarque que, d'un cycle à l'autre, l'erreur ∆i introduite à t=0 varie très fortement. Le courant iL deviens donc franchement instable. Ce phénomène pourra entre autre être responsable d'oscillations sub-harmoniques.

Il y a deux moyen d'éviter cet inconvénient. Premièrement, on peut superposer soit à la mesure de courant iL/k soit à la tension Vc une rampe de période T de manière à éliminer le problème (à montrer graphiquement). Deuxièmement, la méthode la plus sécurisante (car infaillible) est de limiter le rapport cyclique à 50% maximum. e-

Conclusion

Cette méthode de contrôle présente l'avantage d'avoir une fonction de transfert facile à stabiliser, du moins pour des rapports cycliques inférieurs à 50%. On peut montrer qu'il faudrait idéalement que la mesure du courant ne soit pas une mesure crête mais plutôt une mesure moyenne par période. Cette mesure moyenne étant compliquée à implémenter, on utilise dans la majorité des cas (figure 28) une mesure crête beaucoup plus facile à réaliser, en prenant garde à ne pas oublier le problème d'instabilité lié aux rapports cycliques supérieurs à 50%. Cette topologie de contrôle est devenue très populaire du fait qu'elle permet la régulation du convertisseur pour des dynamiques importantes de tension d'entrée et de variation de charge.

35