Suma Relativista De Velocidades

Universidad de La Laguna Facultad de Física

Relatividad General

TEMA 1: TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

Transformación de Lorentz La suma relativista de velocidades Velocidades en la dirección del movimiento relativo Consideremos un objeto que se mueve a una velocidad u’ en el sistema S’ en la dirección x’, de tal manera que pasa por el origen cuando t’ = 0. Su trayectoria viene descrita, en S’ por x' = u ' t ' =

x − vt 1 − v2

(21)

Su velocidad en el sistema S vendrá dada por u = x/t, puesto que t = 0 cuando t’ = 0 por construcción. Por tanto, utilizando la cuarta relación de (15) y (21), resulta que la velocidad de dicho objeto medida en S será: u=

u′ + v 1 + u′v

(22)

Expresión que se reduce al teorema de suma de velocidades de Galileo cuando u’, v << c. En cambio, si el “objeto” es un rayo de luz que se mueve a velocidad c = 1 (en nuestras unidades) con respecto a S’, el rayo de luz también se moverá, según S, a una velocidad u = 1, cumpliendo el segundo postulado (como no podía ser de otra manera al haberse deducido la expresión imponiendo dicha hipótesis). En consecuencia, cualquier velocidad inferior a la velocidad de la luz, sumada a la velocidad de la luz, da siempre como resultado la velocidad de la luz. Velocidades en la dirección perpendicular al movimiento relativo Suponiendo un objeto que se mueva paralelamente al eje y’ de S’, su velocidad u′y vendrá dada por la derivada de y’ con respecto a t’, y se trata de encontrar la relación con la velocidad u y con respecto a S, que será igual a la derivada de y con respecto a t. Derivando la segunda y la cuarta ecuaciones de (15), teniendo en cuenta que u x = dx dt ,

u ′y =

uy 1− v2 1− uxv

(23)

Análogamente para u z . La relación inversa se obtiene simplemente cambiando el signo del segundo término del denominador. Como puede comprobarse, las componentes de la velocidad de un objeto perpendiculares al movimiento relativo de S’ con respecto a S, también dependen de la componente

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longitudinal de la velocidad de dicho objeto. Incluso si el movimiento es solamente perpendicular al movimiento relativo, u x = 0 en (23) no conduce a la expresión galileana. La razón es que aunque las longitudes perpendiculares al movimiento relativo no se contraen, los tiempos del sistema en movimiento se dilatan, por lo que las velocidades son menores. Transformaciones de la aceleración Derivando la transformación inversa de (22) con respecto al tiempo t’, y diferenciando la cuarta ecuación de (15) teniendo en cuenta que u x = dx dt , se obtiene,

(1 − v )

2 3/ 2

a′x = ax

(1 − u xv )3

.

(24)

Análogamente se obtendrían ecuaciones más complejas para las demás componentes de la aceleración. Es interesante notar que, a diferencia del resultado galileano ( a′x = a x ), ahora la aceleración depende del sistema de referencia (ver el final del texto sobre “Equivalencia masa-energía”, ecuación 50). Cuando u y v son suficientemente pequeñas con respecto la velocidad de la luz, se obtiene el resultado de Galileo. El efecto Doppler relativista Es, como veremos, instructivo analizar, de entre las múltiples aplicaciones que tiene la Relatividad Especial, la relativa al efecto Doppler. Consideremos una onda plana monocromática que se desplaza en un medio homogéneo e isótropo en S’ (Figura 1). Su propagación viene dada por la soluciones de la ecuación de onda de la forma

A Re e i (k ⋅r − wt ) ,

(25)

donde A es el vector campo eléctrico o magnético, k es el vector de ondas, cuyo sentido es en la dirección de propagación y cuyo módulo es 2π/λ, y w es la frecuencia angular, relacionada con la frecuencia a través de la expresión 2πυ.

Figura 1.- Representación de los campos eléctricos y magnéticos variables que constituyen una onda electromagnética de longitud de onda λ que se propaga en la dirección k .

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Si confinamos la onda al plano x’y’, con una dirección de propagación θ ’ con respecto al eje x’, (25) se puede escribir, en unidades físicas, como,  x′ cosθ '+ y ' sin θ '  cos 2π  −υ 't' λ'  

(26)

De las relaciones de transformación (15) y ss., y dado que la transformación de Lorentz es lineal, el plano x’y’ se transforma en el plano xy. Por tanto la misma onda vista desde xy tendrá la forma,  x cosθ + y sin θ  cos 2π  −υ t  λ  

(27)

(nótese que no relacionamos amplitudes sino solamente la forma de la onda). Si aplicamos (15) a (26) e igualamos término a término con (27), considerando que λν = λ’ν’ =1 (aplicando el segundo postulado y recuperando nuestras unidades c = 1), se obtiene el sistema,

cosθ

λ

cosθ '+ v

=

λ' 1− v2 sin θ sin θ ' = λ λ' υ ' (1 + v cosθ ') υ=

(28)

1− v2

Dividiendo la segunda entre la primera obtenemos la relación entre la dirección de propagación θ ’en S’ con respecto la dirección θ en S. Es decir, la expresión relativista para la aberración de la luz,

tan θ =

sin θ ' 1 − v 2 cosθ '+ v

(29)

La relación inversa se obtiene simplemente cambiando el signo de la velocidad en el denominador. La tercera ecuación de (28) proporciona la ecuación relativista del efecto Doppler. La transformación inversa se obtiene cambiando el signo de v en el numerador. Nótese que, lógicamente, cuando v << c, si se desprecian los términos en segundo orden y se conservan los de primer orden, se obtiene la expresión clásica:

υ=

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υ ' (1 + v cosθ ') 1− v2

≈ υ ' (1 + v cosθ )

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(30)

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Teniendo en cuenta que (29) proporciona θ =θ’. Puede comprobarse que esas son las soluciones clásicas, repitiendo la deducción pero utilizando esta vez las transformaciones galileanas (20). En el caso clásico, cuando θ = 0 (π), correspondientes al caso de que la fuente se acerca (aleja) al observador S, la frecuencia observada por S es mayor (menor) que con respecto S’, equivalente a un desplazamiento de las longitudes de onda hacia el azul (rojo). Asimismo, cuando θ = π/2, la frecuencia es la misma en ambos sistemas. Sin embargo, en el caso relativista, cuando θ’ = 0 (π), casos en los que también θ = 0 (π) según (29), se obtiene, respectivamente, υ = υ ' c + v c − v y υ = υ ' c − v c + v . Además, y al contrario que en el caso clásico, existe un efecto Doppler transverso (cuando θ = π/2) que es por tanto puramente relativista:

υ = υ' 1− v2

(31)

Como se deduce de (30), teniendo en cuenta que, según (29), cuando θ = π/2 es cosθ ' = −v . Se observa, por consiguiente, desde S, una frecuencia menor. Ello es consecuencia de la dilatación del tiempo: desde S los relojes de S’ van más despacio, por lo que el período de oscilación que se mide es mayor es S y, por tanto, la frecuencia observada es menor. Es importante señalar que el efecto Doppler, relativista o no, no guarda ninguna relación con el desplazamiento al rojo observado en los espectros de galaxias, ni bajo el punto de vista funcional, ni conceptual. Su origen e interpretación se discutirán en el último tema del curso.

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