Suma
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Suma as PDF for free.
More details
- Words: 1,882
- Pages: 4
La Suma + Eduard Fugarolas 26 d’agost de 2005
Resum Primer av´ıs: aquest escrit ´es bastant est´ upid i tirant a poc u ´til. Es tracta d’una digressi´ o sobre el m`etode ampliament conegut de. . . sumar. S´ı, sumar! ` Tot el que aqu´ı est` a escrit ha sortit u ´nicament de la meva ment perversa, aix´ı que ning´ u garanteix que tot sigui correcte, ni complet, ni res de res. El que si garanteixo ´es que ´es un bon tractament contra l’insomni.
1
El sistema decimal
Hem de diferenciar cuidadosament entre un enter i un s´ımbol. Un enter ´es un nombre1 , i aquest nombre es representa per una s`erie de s´ımbols. Per dir-ho d’alguna manera: un nombre ´es una idea universal (per a la definici´o abstracta de nombre, aquest document no ´es l’adequat), per` o t´e diferentes representacions simb`oliques segons la base de numeraci´o escollida (base decimal, bin` aria, hexadecimal, etc.) Evidentment en el sistema decimal els s´ımbols emprats s´on: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.2 Amb aquests s´ımbols podem representar qualsevol nombre que ens passi pel cap. Tant sols hem de posicionar els s´ımbols en el lloc adequat, i per aix` o es diu que el sistema deciaml ´es un sistema de posici´ o. Comencem amb dos nombres qualssevol, z i z 0 . Aquests es simbolitzen de la seg¨ uent manera: z ≡ an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 z 0 ≡ a0n a0n−1 a0n−2 . . . a02 a01 a00 Repetim que aix` o no ´es una igualtat, sin´ o una forma de notaci´ o. El que vol dir aquesta notaci´o ´es: z = an · 10n + an−1 · 10n−1 + an−2 · 10n−2 + · · · + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100 z 0 = a0n · 10n + a0n−1 · 10n−1 + a0n−2 · 10n−2 + · · · + a02 · 102 + a01 · 101 + a00 · 100 1 Al llarg del document tractarem nom´ es amb els nombres enters, ´ es a dir els nombres naturals, els seus respectius negatius i el zero. 2 El 10 no ´ es un s´ımbol del sistema decimal, sin´ o la representaci´ o del nombre 1 · 101 + 0 · 100 , ´ es a dir el que resulta de combinar els s´ımbols 1 i 0, respectivament.
1
2
` METODE INFANTIL DE LA SUMA
En notaci´ o de sumatoris aix` o quedaria aix´ı: z=
n X
ai · 10i
i=0
z0 =
n X
a0i · 10i
i=0
Per il.lustrar la distinci´ o cuidadosa que hem mencionat abans, notem que z i z 0 s´on nombres, els ai s´ on els s´ımbols del sistema decimal (del 0 al 9) i els 10i s´on les diferents pot`encies del nombre 10, que ´es la base del sistema.
2
M` etode infantil de la suma
B´e, despr´es d’aquesta digressi´ o sobre el sistema decimal, passem a tractar les sumes. Qu`e vol dir aix` o del m`etode infantil ? Doncs m’ho acabo d’inventar, nom´es ´es un nom cariny´os per mencionar el rigur´ os m`etode que ens ensenyen quan som petits, i que tothom t´e per m`a (esperem!). Que quin m`etode? Home, doncs el que serveix per fer la t´ıpica suma de (posem un exemple): 4 +
5 7
5
2
En general, i seguint amb els nombres z = an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 i z 0 = a0n a0n−1 a0n−2 . . . a02 a01 a00 , la suma d’aquests dos nombres s’estructura d’aquesta manera:
+
an
an−1
an−2
a0n
a0n−1
a0n−2
...
a2
a1
a0
...
a02
a01
a00
B´e, tothom sap com funciona aquest m`etode. Quan dues de les xifres (els s´ımbols) es sumen i d´ona un nombre menor de 10, molt b´e, anem sumant i tal; si d´ona un nombre major o igual que 10, es passa un 1 a la columna seg¨ uent i aqu´ı no ha passat res, etc. D’acord, per` o permetem-nos preguntar perqu` e: –Perqu`e? Ja ens ho hem preguntat. Poca broma, per` o direu: “home, ´es evident: quan els dos s´ımbols sumen m´es de 10, es passa l’1 a les desenes i es deixen les unitats intactes, bla bla bla. . . ” D’acord, reconec que no t´e gaire secret, per`o em faria il.lusi´o veure-ho m´es. . . matem` aticament, per dir-ho d’alguna manera.
2
´ MATEMATICA ` VISIO DE L’ASSUMPTE
3
3
Visi´ o matem` atica de l’assumpte
Molt b´e, ara ens encarregarem de la visi´ o m´es matem`atica (sopor´ıfera, inservible, etc.) del problema. Anem a veure qu`e passa quan sumem els dos nombres z i z 0 . z + z0
=
an · 10n
+
an−1 · 10n−1
+
an−2 · 10n−2
+ +
··· a1 · 101
+ +
a0 · 100
a0n · 10n
+ +
a0n−1 · 10n−1 ···
+ +
a0n−2 · 10n−2
a02 · 102
+
a01 · 101
+
a00 · 100
(an + a0n ) · 10n
+
(an−1 + a0n−1 ) · 10n−1
+
(an−2 + a0n−2 ) · 10n−2
a02 )
+ +
··· (a1 + a01 ) · 101
+ +
(a0 + a00 ) · 100
a2 · 10
2
+
=
(a2 +
· 10
2
El que hem fet ´es molt simple, per` o es veu molt m´es clar amb la utilitzaci´o de sumatoris: z + z0
=
n X
ai · 10i +
i=0
=
n X
n X
a0i · 10i
i=0
(ai +
a0i )
· 10i
i=0 0
Com veiem, el nombre z + z (que el podem denotar per z¯) t´e la mateixa estructura que z i z 0 , cosa que ´es evident ja que no l’hem modificat per res, senzillament hem agrupat en factors comuns. Precisament per aix` o, ens podem veure temptats a pensar que els coeficients ai + a0i (que els podem denotar per a ¯i ) s´ on els d´ıgits de z¯, i que per tant el podem escriure aix´ı: z¯ ≡ (an + a0n ) (an−1 + a0n−1 ) (an−2 + a0n−2 ) . . . (a2 + a02 ) (a1 + a01 ) (a0 + a00 ) = a ¯n a ¯n−1 a ¯n−2 . . . a ¯2 a ¯1 a ¯0 Doncs no! Com a m´ınim no sempre. Per qu`e? Doncs perqu`e quan algun dels a¯i sigui major o igual que 10, l’estructura posicional es trenca! Vegem-ho: Sabem que z¯ = a ¯n · 10n + a ¯n−1 · 10n−1 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 Per` o hem d’anar amb compte. Pot passar que algun coeficient ai sigui major o igual que 10. De fet pot ser que n’hi hagi m´es d’un, per` o vaja. (ai + a0i ) = a ¯i ≥ 10
3
4
OBSERVACIONS
I per tant el podem expressar com 10 + el–que–sigui : ˆi ) ¯i = ai + a0i = (10 + a (ai + a0i ) ≥ 10 ⇒ a
z¯ ≡ (an + a0n ) . . . (ai+1 + a0i+1 ) (ai + a0i ) (ai−1 + a0i−1 ) . . . (a1 + a01 ) (a0 + a00 ) = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + a ¯i ·10i + a ¯i−1 · 10i−1 . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 |{z} ≥10
= a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + (10 + ˆ ai ) · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 10 · 10i + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 1 · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + ¯ ai+1 · 10i+1 + 1 · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + (¯ ai+1 + 1) · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 El a ˆi ´es el que es queda a la posici´ o i–`essima, i el 10 es multiplica per 10i i obtenim 10i+1 , ´es a dir 1 · 10i+1 , que es denota per un 1 a la posici´ o (i + 1)–`essima. Aix`o explica el 1 que salta! Aquesta era la visi´ o matem` atica que buscava!
4
Observacions • Es necessita avorrir-se molt per escriure una tonteria tant gran com aquesta. • Qui consideri que aquest document ´es pr`acticament inservible. . . tindr`a ra´o. • Aquest tractat no explica res que un nen de 6 anys no s`apiga. No, una observaci´ o poc u ´til per` o que fa gr` acia ´es aquesta: Hem vist que a que quan un coeficient a ¯i ´es major
o igual que 10, el seg¨ uent coeficient a ¯i+1 es transforma en 1 + a ¯i+1 . Aix`o indica que un s´ımbol posicional del resultat de la suma pot ser modificat com a molt per +1 pel s´ımbol precedent, en cas que sigui ≥ 10. Aix` o explica el fet que totes les sumes es comencin per la dreta, ´es a dir pel s´ımbol de 100 , ja que d’aquesta manera es garanteix que el nostre resultat ´es perfectament correcte (no hi ha cap s´ımbol anterior al primer, i per tant no pot ser modificat!). Aix` o tamb´e explica perqu`e les sumes en les que els coeficients ai i a0i sumen menys que 10 es poden efectuar en l’ordre que ens dongui la gana. Perqu`e un s´ımbol no afectar`a el seg¨ uent ni es veur`a afectat per l’anterior. I el millor de tot: Podem comen¸car qualsevol suma per on ens dongui la gana, sempre que despr´es ens assegurem de comprovar que cap dels s´ımbols es veu afectat per l’anterior. Primer obtindrem una suma aproximada, i al comprovar i corregir els +1 possibles, tindrem la suma exacta. Poc u ´til a la pr`actica, per`o te`oricament interessant. . . potser.
4
Resum Primer av´ıs: aquest escrit ´es bastant est´ upid i tirant a poc u ´til. Es tracta d’una digressi´ o sobre el m`etode ampliament conegut de. . . sumar. S´ı, sumar! ` Tot el que aqu´ı est` a escrit ha sortit u ´nicament de la meva ment perversa, aix´ı que ning´ u garanteix que tot sigui correcte, ni complet, ni res de res. El que si garanteixo ´es que ´es un bon tractament contra l’insomni.
1
El sistema decimal
Hem de diferenciar cuidadosament entre un enter i un s´ımbol. Un enter ´es un nombre1 , i aquest nombre es representa per una s`erie de s´ımbols. Per dir-ho d’alguna manera: un nombre ´es una idea universal (per a la definici´o abstracta de nombre, aquest document no ´es l’adequat), per` o t´e diferentes representacions simb`oliques segons la base de numeraci´o escollida (base decimal, bin` aria, hexadecimal, etc.) Evidentment en el sistema decimal els s´ımbols emprats s´on: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.2 Amb aquests s´ımbols podem representar qualsevol nombre que ens passi pel cap. Tant sols hem de posicionar els s´ımbols en el lloc adequat, i per aix` o es diu que el sistema deciaml ´es un sistema de posici´ o. Comencem amb dos nombres qualssevol, z i z 0 . Aquests es simbolitzen de la seg¨ uent manera: z ≡ an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 z 0 ≡ a0n a0n−1 a0n−2 . . . a02 a01 a00 Repetim que aix` o no ´es una igualtat, sin´ o una forma de notaci´ o. El que vol dir aquesta notaci´o ´es: z = an · 10n + an−1 · 10n−1 + an−2 · 10n−2 + · · · + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100 z 0 = a0n · 10n + a0n−1 · 10n−1 + a0n−2 · 10n−2 + · · · + a02 · 102 + a01 · 101 + a00 · 100 1 Al llarg del document tractarem nom´ es amb els nombres enters, ´ es a dir els nombres naturals, els seus respectius negatius i el zero. 2 El 10 no ´ es un s´ımbol del sistema decimal, sin´ o la representaci´ o del nombre 1 · 101 + 0 · 100 , ´ es a dir el que resulta de combinar els s´ımbols 1 i 0, respectivament.
1
2
` METODE INFANTIL DE LA SUMA
En notaci´ o de sumatoris aix` o quedaria aix´ı: z=
n X
ai · 10i
i=0
z0 =
n X
a0i · 10i
i=0
Per il.lustrar la distinci´ o cuidadosa que hem mencionat abans, notem que z i z 0 s´on nombres, els ai s´ on els s´ımbols del sistema decimal (del 0 al 9) i els 10i s´on les diferents pot`encies del nombre 10, que ´es la base del sistema.
2
M` etode infantil de la suma
B´e, despr´es d’aquesta digressi´ o sobre el sistema decimal, passem a tractar les sumes. Qu`e vol dir aix` o del m`etode infantil ? Doncs m’ho acabo d’inventar, nom´es ´es un nom cariny´os per mencionar el rigur´ os m`etode que ens ensenyen quan som petits, i que tothom t´e per m`a (esperem!). Que quin m`etode? Home, doncs el que serveix per fer la t´ıpica suma de (posem un exemple): 4 +
5 7
5
2
En general, i seguint amb els nombres z = an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0 i z 0 = a0n a0n−1 a0n−2 . . . a02 a01 a00 , la suma d’aquests dos nombres s’estructura d’aquesta manera:
+
an
an−1
an−2
a0n
a0n−1
a0n−2
...
a2
a1
a0
...
a02
a01
a00
B´e, tothom sap com funciona aquest m`etode. Quan dues de les xifres (els s´ımbols) es sumen i d´ona un nombre menor de 10, molt b´e, anem sumant i tal; si d´ona un nombre major o igual que 10, es passa un 1 a la columna seg¨ uent i aqu´ı no ha passat res, etc. D’acord, per` o permetem-nos preguntar perqu` e: –Perqu`e? Ja ens ho hem preguntat. Poca broma, per` o direu: “home, ´es evident: quan els dos s´ımbols sumen m´es de 10, es passa l’1 a les desenes i es deixen les unitats intactes, bla bla bla. . . ” D’acord, reconec que no t´e gaire secret, per`o em faria il.lusi´o veure-ho m´es. . . matem` aticament, per dir-ho d’alguna manera.
2
´ MATEMATICA ` VISIO DE L’ASSUMPTE
3
3
Visi´ o matem` atica de l’assumpte
Molt b´e, ara ens encarregarem de la visi´ o m´es matem`atica (sopor´ıfera, inservible, etc.) del problema. Anem a veure qu`e passa quan sumem els dos nombres z i z 0 . z + z0
=
an · 10n
+
an−1 · 10n−1
+
an−2 · 10n−2
+ +
··· a1 · 101
+ +
a0 · 100
a0n · 10n
+ +
a0n−1 · 10n−1 ···
+ +
a0n−2 · 10n−2
a02 · 102
+
a01 · 101
+
a00 · 100
(an + a0n ) · 10n
+
(an−1 + a0n−1 ) · 10n−1
+
(an−2 + a0n−2 ) · 10n−2
a02 )
+ +
··· (a1 + a01 ) · 101
+ +
(a0 + a00 ) · 100
a2 · 10
2
+
=
(a2 +
· 10
2
El que hem fet ´es molt simple, per` o es veu molt m´es clar amb la utilitzaci´o de sumatoris: z + z0
=
n X
ai · 10i +
i=0
=
n X
n X
a0i · 10i
i=0
(ai +
a0i )
· 10i
i=0 0
Com veiem, el nombre z + z (que el podem denotar per z¯) t´e la mateixa estructura que z i z 0 , cosa que ´es evident ja que no l’hem modificat per res, senzillament hem agrupat en factors comuns. Precisament per aix` o, ens podem veure temptats a pensar que els coeficients ai + a0i (que els podem denotar per a ¯i ) s´ on els d´ıgits de z¯, i que per tant el podem escriure aix´ı: z¯ ≡ (an + a0n ) (an−1 + a0n−1 ) (an−2 + a0n−2 ) . . . (a2 + a02 ) (a1 + a01 ) (a0 + a00 ) = a ¯n a ¯n−1 a ¯n−2 . . . a ¯2 a ¯1 a ¯0 Doncs no! Com a m´ınim no sempre. Per qu`e? Doncs perqu`e quan algun dels a¯i sigui major o igual que 10, l’estructura posicional es trenca! Vegem-ho: Sabem que z¯ = a ¯n · 10n + a ¯n−1 · 10n−1 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 Per` o hem d’anar amb compte. Pot passar que algun coeficient ai sigui major o igual que 10. De fet pot ser que n’hi hagi m´es d’un, per` o vaja. (ai + a0i ) = a ¯i ≥ 10
3
4
OBSERVACIONS
I per tant el podem expressar com 10 + el–que–sigui : ˆi ) ¯i = ai + a0i = (10 + a (ai + a0i ) ≥ 10 ⇒ a
z¯ ≡ (an + a0n ) . . . (ai+1 + a0i+1 ) (ai + a0i ) (ai−1 + a0i−1 ) . . . (a1 + a01 ) (a0 + a00 ) = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + a ¯i ·10i + a ¯i−1 · 10i−1 . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 |{z} ≥10
= a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + (10 + ˆ ai ) · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 10 · 10i + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + a ¯i+1 · 10i+1 + 1 · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + ¯ ai+1 · 10i+1 + 1 · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 = a ¯n · 10n + . . . + (¯ ai+1 + 1) · 10i+1 + ˆ ai · 10i + a ¯i−1 · 10i−1 + . . . a ¯n−2 · 10n−2 + · · · + a ¯1 · 101 + a ¯0 · 100 El a ˆi ´es el que es queda a la posici´ o i–`essima, i el 10 es multiplica per 10i i obtenim 10i+1 , ´es a dir 1 · 10i+1 , que es denota per un 1 a la posici´ o (i + 1)–`essima. Aix`o explica el 1 que salta! Aquesta era la visi´ o matem` atica que buscava!
4
Observacions • Es necessita avorrir-se molt per escriure una tonteria tant gran com aquesta. • Qui consideri que aquest document ´es pr`acticament inservible. . . tindr`a ra´o. • Aquest tractat no explica res que un nen de 6 anys no s`apiga. No, una observaci´ o poc u ´til per` o que fa gr` acia ´es aquesta: Hem vist que a que quan un coeficient a ¯i ´es major
o igual que 10, el seg¨ uent coeficient a ¯i+1 es transforma en 1 + a ¯i+1 . Aix`o indica que un s´ımbol posicional del resultat de la suma pot ser modificat com a molt per +1 pel s´ımbol precedent, en cas que sigui ≥ 10. Aix` o explica el fet que totes les sumes es comencin per la dreta, ´es a dir pel s´ımbol de 100 , ja que d’aquesta manera es garanteix que el nostre resultat ´es perfectament correcte (no hi ha cap s´ımbol anterior al primer, i per tant no pot ser modificat!). Aix` o tamb´e explica perqu`e les sumes en les que els coeficients ai i a0i sumen menys que 10 es poden efectuar en l’ordre que ens dongui la gana. Perqu`e un s´ımbol no afectar`a el seg¨ uent ni es veur`a afectat per l’anterior. I el millor de tot: Podem comen¸car qualsevol suma per on ens dongui la gana, sempre que despr´es ens assegurem de comprovar que cap dels s´ımbols es veu afectat per l’anterior. Primer obtindrem una suma aproximada, i al comprovar i corregir els +1 possibles, tindrem la suma exacta. Poc u ´til a la pr`actica, per`o te`oricament interessant. . . potser.
4
