Sucesiones Y Limites

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES 1. INTRODUCCIÓN.•

Relación Relación es toda propiedad que comunica los elementos de dos conjuntos o bien comunica entre sí los elementos de un mismo conjunto. En general, una relación se representará por la letra R. Las relaciones que permiten comparar elementos dos a dos reciben el nombre de RELACIONES BINARIAS.

•

Propiedades de las relaciones binarias.Consideremos un conjunto A y definimos una relación R entre los elementos de dicho conjunto. Las propiedades más importantes que puede tener R son: a. Propiedad reflexiva: aRa b. Propiedad simétrica. Si aRb ⇒ bRa c. Propiedad antisimétrica: Si aRb y bRa ⇒ a = b d. Propiedad transitiva: Si aRb y bRc ⇒ aRc e. Propiedad conexa: aRb ó bRa

•

Correspondencia entre dos conjuntos.Diremos que se ha establecido una correspondencia entre dos conjuntos A y B, cuando hemos fijado una relación entre los elementos de A y B. El conjunto A se llama conjunto inicial. Si a Є A elemento origen El conjunto B se llama conjunto final. Si b Є B, elemento imagen. El subconjunto de A formado por todos los elementos que tienen imagen en B se llama Conjunto original. El subconjunto de B formado por todas las imágenes se llama Conjunto imagen. ◘ APLICACIÓN.- Se denomina aplicación a toda correspondencia completa y unívoca establecida entre dos conjuntos. Clases de aplicaciones:
Aplicación inyectiva: Elementos distintos de A tienen imágenes distintas
Aplicación suprayectiva o sobreyectiva: Todo elemento de B es, como mínimo, imagen de un elemento de A.
Aplicación biyectiva: La que es inyectiva y suprayectiva.

2. DEFINICIONES DE SUCESIÓN INDEFINIDA.
Primera definición.- Se llama sucesión indefinida de números reales a una secuencia ordenada de números, denominados términos de la sucesión, que se designan por: a1, a2, a3, …… an, ….. donde el subíndice indica el lugar ocupado por el término en la sucesión y que cumplen las siguientes condiciones: 1.- Hay un primer elemento. 2.- No hay último elemento. 3.- Se ha dado una regla que permite determinar un elemento cuando se da como dato el lugar que ocupa. Se llama término general de una sucesión a la expresión de su término n-ésimo en función de n
Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N – {0} en el conjunto de los números reales 1

La imagen de un elemento n Є a N* la representaremos por una letra afectada del subíndice n, por ejemplo, an, que se llama término general de la sucesión. La sucesión de término general an se representa por: a1, a2, a3, …… an, ….. o, más sencillamente, por (an); significa que a1, es la imagen de 1, a2 la imagen de 2, etc… f:

N* n Define la sucesión:

→ R → n 2

an =

{ 2, 2

}

2 , 3 2 , ...., n 2 , ...

3. SUCESIONES MONÓTONAS.•

Se dice que la sucesión {an} de números reales es una sucesión creciente cuando para todo n ∈ N * se verifica que: an ≤ an+l es decir, cada término de la sucesión es menor o igual que el término que le sigue. Por tanto, en una sucesión creciente se tiene: {an} creciente ⇒ al ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 a6 ≤ ….. ≤ an

•

La sucesión {an} es estrictamente creciente cuando para todo n ∈ N* se cumple la relación an < an+l, es decir: {an} estrictamente creciente ⇒ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < … < an Ejemplos: a) La sucesión {an} = {2, 2,2, 2,23, 2,236, 2,2360,...}, que define al número real 5 , es una sucesión creciente, pero no es estrictamente creciente, ya que el término 2,2360 no es mayor que 2,236. n-4 1 1 2 = {-3, -1, − , 0, , , …}es estrictamente creciente, ya que cada b) La sucesión {bn} = 4 3 5 6 término es menor que el siguiente. c) La sucesión {cn} = {n} = {1, 2, 3, 4,5,..., n} es estrictamente creciente.

Cualquier sucesión estrictamente creciente es creciente, pero el recíproco no es cierto. •

Se dice que la sucesión {an} es una sucesión decreciente cuando para todo n ∈ N* se verifica que: an ≥ an+1 es decir, cada término de la sucesión es mayor o igual que el término que le sigue. Por tanto, en una sucesión decreciente, se tiene: {an}es decreciente ⇒ a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 ≥ a6 ≥ .., ≥ an

•

La sucesión {an}es estrictamente decreciente cuando para todo n ∈ N* se cumple la relación: an > an+1, es decir: {an} estrictamente decreciente ⇒ a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > ...> an Ejemplo:

1 1   1 1 1 1 La sucesión {an} =   = 1, , , , , ...,  es estrictamente decreciente. n n   2 3 4 5 •

Se llaman sucesiones monótonas todas las anteriores y a las sucesiones constantes

2

Ejemplos: Estudia la monotonía de las sucesiones: {a n } =  2n  ;  n + 1

{b n } =  1  n 

4. SUCESIONES ACOTADAS.Una sucesión {an} está acotada superiormente si existe un número real M, igual o mayor que todos los elementos de la sucesión: {an} está acotada superiormente ⇔ ∃ M ∈ R / M ≥ a n ; ∀ n ∈ N * Análogamente: • Una sucesión {bn} está acotada inferiormente si existe un número real m, igual o menor que todos los elementos de la sucesión: {bn} acotada interiormente ⇔ ∃ m ∈ R / m ≤ b n ; ∀ n ∈ N * • Una sucesión está acotada cuando lo está superior e interiormente. •

Ejemplos:


1 1 < 2 para La sucesión (an) =   está acotada, ya que todo término es menor que 2, es decir, n n todo n ∈ N*.

La sucesión (2n -1) de los números impares no está acotada superiormente, puesto que por grande que sea k 2n – 1 < k
En un diagrama cartesiano la sucesión está acotada superiormente cuando su gráfica está por debajo de la gráfica de la sucesión constante (k) = (k, k, k, ...).


Así en la figura aparece la gráfica de la sucesión a n = 1 +

(-1) n  3 2 5  =  0, , , , ... que está acotada n  2 3 5 

superiormente.


La sucesión (an) = (2n -1) está acotada inferiormente, ya que cualquier término es mayor que -1. 3


La sucesión (bn) dada por bn= (-1)n· n no está acotada inferiormente, puesto que existen términos de la sucesión que son menores que cualquier número k dado (-l)".n = (-1, 2, -3, 4, -5,...) •

Extremo superior o SUPREMO es la menor de las cotas superiores.
Si este extremo superior pertenece a la sucesión se llama MÁXIMO. Ejemplos: a. {an} = -1,-1/2, -1/3, -1/4,....... Cotas superiores: 0 → +∞

Extremo superior: 0

b. {bn} = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Cotas superiores: 1 → +∞

Supremo: 1 → Máximo

n } = { ¼,2/5.3/6,4/7,...} n+3 Cotas superiores: 1 → +∞

Máximo: No posee

c. {cn}= {

Cotas inferiores: 0 → -∞

d. {dn} = {2n}= {2,4,8,16,...} Cotas superiores: No posee •

Cotas inferiores: 2 → -∞¸ Ínfimo: 2; Mínimo: 2

Extremo inferior o ÍNFIMO es la mayor de las cotas inferiores.
Si este extremo pertenece a la sucesión, se denomina MÍNIMO. Ejemplos: a. {an}= { 1, 1/2, 1/3, 1/4, .....} Cotas inferiores: 0 → -∞

Ínfimo: 0; Mínimo: No posee.

b. {bn} = { 2n-1} Cotas inferiores: -1 → -∞; Ínfimo: -1; Mínimo: -1 c. {cn} = (-1)n.n

Sucesión no acotada inferiormente

5. OPERACIONES CON SUCESIONES.- (Ver libro) 6. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN.-

1. Límite finito.- Se dice que una sucesión indefinida de números reales, a1, a2, a3, ...., an, ..., tiene por límite L o tiende a L, y se expresa así: lim a n = L , si a partir de un término suficientemente x→+ ∞

avanzado de la misma, él y todos los que le siguen, se diferencia de l en un una cantidad menor que ε, siendo ε un número real positivo y tan pequeño como queramos. lim a n = L ⇔ │an - L│< ε

x→+ ∞

La sucesiones de límite finito se denominan Convergentes.


Ejemplos: 1.- ¿Tiene límite finito la sucesión de término general a n =

3n + 2 ?. 5n + 4

5 8 11 14 Si n = 1 → a 1 = = 0'5555 ; a 2 = = 0'5714; a 3 = = 0'5789; a 4 = = 0'5833 9 14 19 24 .....................................................................................................................................

4

302 1502 3002 = 0'59992; ..... a 500 = = 0'59998; ...., a 1000 = = 0'59999;....; 504 2504 5004 .............................................................................................................................. 30002 3000002 = 0'5999; ...., a 1000000 = = 0'59999;... a 10000 = 50004 5000004 Esto hace pensar que lim a n = 0'6 a 100 =

n →∞

Veamos a partir de qué término: │an – l │ se hace tan pequeña como se quiera. Elijamos ε = 0’0001. − 0 '4 3n + 2 0'4 − 0'6 < 0'0001;...... < 0'0001;.... < 0'0001 ⇒ n > 79'90 ⇒ n = 80 5n + 4 5n + 4 5n + 4 2 =0 n→∞ n +1

2.- lim

2

3.- Comprobar que :

elegimos є = 0’001 y sale n> 44’71.

3n − 8 3 lim = ; n → ∞ 4n + 1 4

elegimos є =0’01 y sale n >582’6

2. Límites infinitos: lim a n = +∞ , si n→∞ fijado un número real positivo K, tan grande como queramos y elegido un término suficientemente avanzado de la sucesión, se verifica que él y todos los que le siguen son mayores que K

a) Una sucesión indefinida de números reales tiene por límite +∞ y se indica así:

lim a n = +∞ ↔ an > K n→∞ Ejemplo:

lim 2n = +∞ ¸ 2n > K ; si K=1000 → 2n > 1000 → n > 500 n→∞

b) Una sucesión indefinida de números reales tiene por límite -∞ y se indica así lim a n = − ∞ , si fijado n →∞

un número real negativo K’, tan pequeño como queramos y elegido un término suficientemente avanzado de la sucesión, se verifica que él y todos los que le siguen son menores mayores que K’ lim a n = − ∞ ↔ an < K’ n →∞

Las sucesiones con límite más o menos infinito, se denominan Divergentes. c) Una sucesión que no es convergente ni divergente. se denomina oscilante. d) Unicidad del límite: Si una sucesión tiene límite, éste es único.

5

EJERCICIOS 1. Calcula los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son: a.- a n =

2n − 1 3n + 2

b.- b n =

e.- e n = ( −1) n

n2 − 9 8n + 12

c.- c n =

2n + 3 3n − 2

2n 2 + 6 3n 2 − 1

d.- d n =

f.- f n = (− 1)

n +1

3n 2 − 2n + 5 7n 2 + 10

n2 − 5 3n 2 + 4

2. Calcula los términos 12, 15, 18 y 20 de las siguientes sucesiones, expresadas por su término general:

1 − 5n   5n − 3    n 2n − 3  n −4 a ) {a n } =  2  b) {b n } = (− 1) ⋅ 2  c) {c n } = (− 1) ⋅  n − 4 3n − n 2   n − 5n + 6    3. Averigua la expresión del término general de las siguientes sucesiones: 1 2 3 4 5  a.-  , , , , , ... ; 2 3 4 5 6 

 1 2 3 4  b.- 0, , , , , ... ;  4 5 6 7 

 3 6 9 12 15  c.- − , , , , , ...;  3 1 5 9 13 

 3 2 8 32 128  d.-  , , , , , ...;  2 3 27 243 2187 

2 3 4  1  e.-  , , , , ...; 2 ⋅ 3 3⋅ 4 4 ⋅ 5 5 ⋅ 6 

 1 4 7 10  f.-  , , , , ...;  6 26 126 626 

 3 8 15 24  g.- 0, , , , , ...;  5 10 17 26 

 2 7 14 23 34  h.-  , , , , , ...;  2 6 12 20 30 

 5 8 11 14 17  i.-  , , , , , ...;  − 1 2 7 14 23 

 2 5 10 17 26  j.-  , , , , , ...  3 6 11 18 27  4. Deduce, razonadamente, si cada una de las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes:

n 2 + 1 a.- {a n } =  ; n  

n −1 b.- {a n } =  ; n + 2 

 3n + 5  c.- {a n } =  ;  1 − 4n 

n − 3  d.- {a n } =  ; n + 8 

5. Halla el extremo superior, el extremo inferior, el máximo y el mínimo. Si lo tienen, de las sucesiones siguientes: 1 1 1 1  a.-  , , , , ...; 2 3 4 5  1 1 1   e.- 2,1, , , , ...; 2 4 8  

1 3 5 7  b.-  , , , , ...;  5 7 9 11  9 9 9 9 9  f.-  , , , , , ...;  2 4 6 8 10 

 9 25 49 81  c.-  , , , , ...; 10 26 50 82   2n − 1  h.-  ;  3n + 2 

d,- {1, 2, 3, 4, 5, ...};

 n2 − 9  i.-  2 ;  2n + 1 

2n 2 + 5 6. Comprueba que la sucesión de término general 2 tiene límite 2. ¿Desde qué término en adelante los n +1 términos de la sucesión difieren de dos en menos de una centésima?. n +1 es 1. ¿Desde qué término en adelante los n+8 términos de la sucesión difieren de 1 en menos de una milésima?.

7. Prueba que el límite de la sucesión de término general

6

8. Calcula los siguientes límites:

 3n + 8  1. − lim  n →∞  3n 

 n +3 2. − lim n   n →∞ n + 2 3. − lim

n →∞

 n 3 + 3n − 2 2n 2 + 5   11. − lim : n →∞ 3   n+4

2n 2

2

 6n + 2 1 − n + 12. − lim n →∞ n  6n + 1 8n + 5 13. − lim n →∞ n 4 − 1 − 2n

2n 2 + n

4n - n + 3 n + 2 n2 +1

 3n + 8 n 2 + 1   4. − lim 2 n →∞   2 n +3   4n + 3  5. − lim  n →∞  n 

8n - n 4

n

 n +3- n   7. − lim  n →∞ n   3

3 n +7  8. − lim  n →∞ + n 3  

4n − 7 − n

 8n + 5  22. − lim  n →∞  9n 

n + n +3 2

2 n −1

4− 2 n n2

 3 n +1 − n   24. − lim  n →∞ − 6 n 5  

2 n +3 n −1

  5n − 4  25. − lim  1 n →∞  n −1 − n + 3 

n +3

 1− 4 n     3− 4 n 

2

 6n − 3  17. − lim  n →∞ 2 n + 5  

5 n

 2n     n+5

 4 n2 - 1   9. − lim n → ∞   2n + 8 

n →∞

2n + 1 + n + 3

 2n + 1 4 n − 7  3 n + 4  23. − lim ·  n →∞ n − 3 n 2  

 1 + n  n −8 16. − lim 2  n →∞ n − 1  

n +n 2n

  

n 2 + n −2 n +1

 n 2 − 2 − 5n   15. − lim 2 n →∞   n − 7 − 3n 

2n

 3 n2 + n +1   6. − lim 6 n →∞ n + 8  

 3n − 9  14. − lim  n →∞ 3n + 4  

2

21. − lim

6n−4

 n 2 + n − 15   18. − lim n →∞  2n + 3 

n -n

19. − lim

n + 2 − 1− n n+3

n →∞

n +1 3

 2n + n − 1   20. − lim n →∞ 2n 2   2

4n - n 2

3n − 4 2

6n +4 n

 2n + 1 - n + 8  n 2 + 3  10. − lim  3 n →∞ + n 2  

7

n −7