Subiecte Rezolvate Algebra2

Stabiliti daca 1. Fie V spatiul vectorial peste corpul numerelor reale al polinoamelor de grad mai mic sau egal

cu 3 cu coeficienti reali. Sistemul S = { X , x + 2, X 3 + 3} este sistem liniar independent si nu este sistem de generatori ? R: sistem liniar independent şi nu este sistem de generatori

2. Fie spatiul vectorial R 3 peste corpul numerelor reale si vectorii a = (1,1, 0 ) , b = ( 2, 0,1) si d = ( 3, k , 2 ) . k pentru care vectorul d apartine subspatiului generat de a si b este…

3. Fie spatiul vectorial R 3 peste corpul numerelor reale si subspatiul vectorial W = {( x, y, z ) 3x + 2 y + z = 0}

=-1

=3

. Dimensiunea lui W este…

4. Fie f : R 2 → R 2 , f ( x, y ) = ( 2 x + y,3 x + y ) . Suma elementelor matricii lui f în baza canonica este… 5. Fie f : R 4 → R 2 , f ( x, y, z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) . Suma elementelor matricii lui f în baza

canonica este… 6. Fie f : R 4 → R 2 , f ( x, y, z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) .Cate elemente are o baza a subspatiului

vectorial Kerf ? 7. Fie f : R 4 → R 2 , f ( x, y, z , t ) = ( 2 x − y − z , x + 3 y + t ) .Cate elemente are o baza a subspatiului

vectorial Im f ?

=5

=2 =2

8. Fie f : R3 → R3 , f ( x, y, z ) = ( x − y + z , y + z , x − z ) . Suma elementelor matricii lui f în baza canonica

este… 2

3  −1 0  , a ∈ R . a pentru care rangul matricii A este 2 este…  −1 2 a   

9. Fie matricea A =  1 

2

10. Sa se rezolve ecuatia matriciala

=

( ) 0 1

x − 2 y + z + t = 1

11. Suma solutiilor sistemului  x − 2 y + z − t = −1 este   x − 2 y + z + 5t = 6 

=0,75

1 0

= Sistemul este incompatibil

=7

=3

12. Suma solutiilor sistemului

este

13. Suma solutiilor sistemului

este

14. Suma solutiilor sistemului

15. Solutiile sistemului

11a,a apartine lui R

=1

este…

sunt…

= Sistemul este incompatibil

x=-2a,y=a+1,z=a,a aparine R

16. Sa se afle valorile lui a, pentru care sistemul urmator are solutii nenule

= 2/3

17. Rangul matricei

este 2 pentru a=…, b=…

a=1/2 , b = 1

18. Fie polinomul f = X 5 + 15 X 4 + 20 X 3 − 40 X + 35 . Polinomul are radacini rationale? 19. Fie polinomul f = X 3 − X + 1 . Polinomul are radacini întregi ?

=NU

20. Fie matricea A =  1 2  . Suma valorilor proprii asociate matricei A este…  2 4  1 0 0

=5

21. Fie matricea A =  0 0 0  . Suma valorilor proprii asociate matricei A este…   2 2 1  

=NU

=2

$ g = 2$ X 3 + 3$ X 2 + 1$ . Restul împartirii polinomului f la 22. Fie f , g ∈ Z 5 [ X ] , f = 3$ X 5 + X 3 + 2$ X + 4,

polinomul g este …

3x+2 Cu caciulite

23. Fie matricea A =  1 5  . Suma valorilor proprii asociate matricei A este… 0 0

=1

−1 −1  2 −1 . Suma valorilor proprii asociate matricei A este…  −1 −1 2    2

24. Fie matricea A =  −1 

=6

25. Fie matricea A =  1 1  . Suma elementelor matricei Jordan asociata matricei A este…  −1 −1

=0

x + y + z + t = 1

26. Fie sistemul  y + z + t = 0 

si A matricea sistemului. Suma elementelor matricei I 3 A este…

z + t = 0 

 1 0 0

 0 1 0

 0 0 0  

1 0 0  

27. Fie matricile A =  0 1 0  si B =  0 0 0  . Notam cu n cel mai mic numar natural nenul    

=9 =2

pentru care ( AB )n = 03 . Atunci n este…

 1 0 0

 0 1 0

 0 0 0  

1 0 0  

28. Fie matricile A =  0 1 0  si B =  0 0 0  . Notam cu p cel mai mic numar natural nenul    

=3

pentru care ( BA) = 03 . Atunci p este… n

3 2 1

29. Fie matricea A =  6 4 2  . Rangul matricei este…   9 6 3  

3 2 1

1 

9 6 3  

3  

=1

30. Fie matricile A =  6 4 2  , X =  2  , Y = ( 3, 2,1) . Suma elementelor matricei S=A-XY este…    

x + 2 y = 1

31. Suma solutiilor sistemului 6 x − 8 y = 1 este …  5 x + 2 y = 3 

32. Fie matricea

=0

=0,75

. Suma valorilor proprii asociate matricei A este…

=0

= ai

33. Fie matricea

. Valorile proprii asociate matricei A sunt…

34. Fie matricea

. Vectorii proprii asociati valorilor proprii ale matricei A

Alt Raspuns :)

sunt… x + y − z = 2

35. Suma solutiilor sistemului  x − y + z = 1 

=5,5

este …

2 x + y − 3z = 0 

in baza canonica din spatiul in baza

36. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1), 37. Aflati coordonatele vectorului x=(1,1,1),

din spatiul 38. Fie vectorii v1, v2 ∈ R

2

liniara a vectorilor v1, v2. 39.

Fie vectorii v1, v2 ∈ R2 liniara a vectorilor v1, v2.

40. Fie vectorii

=-ai

v1 = (1, 2 )

si

v2 = ( 3, 4 )

=1,1,1

=1/3,1/3,1/3

Sa se scrie vectorul

v = ( 4, 2 )

ca o combinatie

v= −5v1 + 3v2 v1 = (1, 2 )

si

v2 = ( 3, 4 )

Sa se scrie vectorul

ca o combinatie

v = 2 v1 + v2 B = {b1, b2, b3} baza în R3 . Sa se 3 13 6 3) ca o combinatie liniara în baza B = {b1, b2, b3} b3 v = b1 − b 2 + 22 11 11

b1 = ( 2, 4, 5 ) , b2 = ( -1, 1, 0 ) , b3 = ( -2, 0, 2 ) si

exprime vectorul

v = ( 2, 1,

41. Fie vectorii din spatiul R 3 : v 1 = ( 1, 4, 2 ); v 2 = ( -1, 2, 0 );

= ( 3, 2, 5 ). Stabiliti daca =vectorii sunt liniari independenti vectorii sunt liniari dependenti 42. Stabiliti daca “(1,2) este combinatie liniara de (1,1) si (1,0) pentru ca pentru orice numere reale a,b avem ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0)” ? =exista numere reale a,b asa ca (1,2)=a(1,1)+b(1,0) 43. Stabiliti daca “(1,1) si (1,0) formeaza un sistem liniar independent pentru ca exista numere

reale a,b asa ca (0,0)=a(1,1)+b(1,0)”? 44.

Cat este 2(1,1)+3(0,1)?

=(2,5)

45. Valorile proprii ale matricii

sunt…

46. Valorile proprii ale matricii

sunt…

daca (0,0)=a(1,1)+b(1,0) pentru doua numere reale a,b atunci a=b=0

=2

=8

=2

=2

47. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este

. Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt…

48. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt…

49. Se da o transformare liniara a carei matrice asociata in baza canonica este . Atunci valorile propriii ale transformarii liniare sunt

50. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci polinomul caracteristic al

acestei transformari este … 51. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci polinomul caracteristic al

acestei transformari este … 52. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este

. Atunci polinomul caracteristic al

acestei transformari este … 53. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este acestei transformari este …

. Atunci polinomul caracteristic al

P(λ) = λ 2 − 6λ + 8

54. Matricea asociata unei transformari in baza canonica este acestei transformari este …

55. Sa se rezolve ecuatia matriciala

56. În spatiul vectorilor coloana ℝ3 vectorii u1 , u 2 , u 3 , 1  1 1  ,  ,   u1 = 1 u 2 =  1  u 3 =  0  , 1   0 0      

. Atunci polinomul caracteristic al

formeaza o baza. Daca A∈ M 3 (

),

 2 −1 1   A =  − 3 2 1  si B = (u1 , u 2 , u 3 ) , atunci f A ( u1 ) = ...  0 −1 2  

57. În spatiul vectorilor coloana ℝ 3 vectorii u1 , u 2 , u 3 ,

formeaza o baza. Daca A∈ M 3 (

1  1 1       u1 = 1 , u 2 =  1  , u 3 =  0  , 1   0 0        2 −1 1 ) , A =  − 3 2 1  si B = (u1 , u 2 , u 3 ) , atunci f A ( u2 ) = ...  0 −1 2  

58. În spatiul vectorilor coloana ℝ 3 vectorii u1 , u 2 , u 3 ,

formeaza o baza. Daca A∈ M 3 (

1  1 1  ,  ,   u1 = 1 u 2 =  1  u 3 =  0  , 1   0 0        2 −1 1 ) , A =  − 3 2 1  si B = (u1 , u 2 , u 3 ) , atunci f A ( u3 ) = ...  0 −1 2  

, atunci ker T = ...

59. Fie

, atunci dim ker T = ...

60. Fie

ℝ

3

61. Fie

, atunci dim Im T = ...

62. Fie

, atunci Im T = ...

63. Fie

, atunci o baza pentru ImT o constituie…

64. Fie spatiul vectorial

. alt raspuns

. Determinati

=n-1

65. Fie spatiul vectorial

. O baza a acestui spatiu este…

66. Fie spatiul vectorial

. O baza a acestui spatiu este

67. Fie spatiul vectorial 68. Fie spatiul vectorial

. O baza a acestui spatiu este multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi. Determinati

=n

69. Fie spatiul vectorial multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi. O baza a acestui spatiu vectorial este 70. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci g o g =

gog=g

71. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci f o g = f o g = OV (functia nula pe V) 72. Se considera functiile f(x) = eax, g(x) = ebx , h(x) = ecx . Aceste functii sunt liniar independente in Rspatiul vectorial V = {f | f : R → R} daca: a, b, c sunt… a, b, c sunt diferite doua cate doua 73. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K si f : V → V o aplicatie liniara astfel incat f o f = f, iar functia g = 1V - f (unde 1V e functia identitate). Atunci g o f = g o f = OV (functia nula in V) 74. In R-spatiul vectorial R3 se considera vectorii (m,2,1), (0,n,1), (m,1,3), m si n numere reale. Pentru ce valori ale lui m si n cei trei vecori sunt liniar independenti?   a+b+e = 0     75. Fie L = (a, b, c, d , e) ∈ R 5 a − c + d + e = 0 . Dimensiunea lui L este…     2a − e = 0    3a − c + d = 0    

=2

76. Fie L = {(a,b,c,d)∈R4 | a+2b+2c+5d = 0} si S = {(a,b,c,d)∈R4 | -a+b-2d = 0} subspatii vectoriale ale lui R4. Atunci dimR(L ∩ S) este egala cu… =2 77. Fie L = {(a,b,c,d)∈R4 | a+2b+2c+5d = 0} si S = {(a,b,c,d)∈R4 | -a+b-2d = 0} subspatii vectoriale ale lui R4. Atunci dimR(L + S) este egala cu… 78. Se considera C - spatiul vectorial M2(C) al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe (spatiu vectorial in raport cu adunarea matricilor si inmultirea cu scalari numere complexe). Atunci dimCM2(C) este egala cu…

=4

79. Se considera R - subspatiul vectorial L =  z 

=4w

 − w

   z , w ∈ C ⊂ M 2 (C) (unde M2(C) este spatiul z 

=4

vectorial al matricilor patratice cu 2 linii si 2 coloane, avand elemente numere complexe, in rapot cu adunarea matricilor si inmultirea cu scalari numere reale). Atunci dimRL este egala cu:... 80. Se considera doua subspatii vectoriale L si S ale spatiului vectorial V peste corpul K. Suma lui L si S este directa daca:... dimK(L ∩ S) = 0 81. Se considera vectorii u = (2,-3,1), v = (1,-1,0), w = (3,0,1), z = (-7,3,0) din R3. Alegeti afirmatia adevarata: “vectorii sunt liniar independenti; o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z; nu se poate extrage o baza pentru R3 din cei patru vectori” o baza pentru R3 e formata cu vectorii v,w,z   82. Fie L={(a,b,c)∈R3|a+2b-xc=0} si S = (a, b, c ) ∈ R 3  − a + 3b = 0  doua subspatii vectoriale ale lui 2a + xb + 3c = 0



3

R . Sa se afle x∈R astfel incat suma L + S sa fie directa.

x este orice numar real

83. Se considera un spatiu vectorial V de dimensiune n si o multime de m vectori liniar independenti din V. Atunci relatia intre m si n care sa exprime toate situatiile posibile este:... m ≤ n 84. Determinati x ∈ R astfel încat sistemul de mai jos sa fie compatibil:  a + b + 3c + d = 4  3a + b − 4c − d = 3 a − b − 4c − 3d = x  1

85. Valoarea determinantului 2 x 4x

2

1 y y2

1 3 z este:… . 9z2

x + y2

y + z2

86. Valoarea determinantului x + y

y +z

2

3

x3 + y 4

2

3

y3 + z 4

z + x2

x=7

(2x-y)(y-3z)(3z-2x)

xyz(x-y)(y-z)(z-x) z 2 + x 3 este:… z3 + x4

87. Solutia sistemului de mai jos cu coeficienti in Z5 este: 2ˆa + 3ˆb + c = 2ˆ ˆ  2a + b + 3ˆc = 1ˆ  a + 3ˆb + 2ˆc = 3ˆ 

a = 3ˆ , b = 1ˆ , c = 3ˆ

88. Rezolvati ecuatia: 1− x 0 x 1

x

x

x1 = 1/2, x2 = 1+

2 2 , x3 = 1 − 2 2

x

89. Ecuatia x 1 x = 0 are solutiile… x

x 1

1

x

x

90. Ecuatia x 1 x = 0 are solutiile… x

0

1 − 2x 0 =0 0 1 − 3x

x1 = x2 = 1, x3 = -1/2

x1 = x2 = 1, x3 = -1/2

x 1

91. Determinati parametrii a si b reali astfel încat matricea de mai jos sa aiba rangul 2:  a 1 2 4    1 b 2 3  1 2b 2 4   

a=1, b = 1/2

92. Care dintre urmatoarele valori pentru parametrii a si b reali fac ca matricea de mai jos sa nu aiba rangul 3:  a 1 2 4    1 b 2 3  1 2b 2 4   

a = 1, b = 1/2

93. Determinati a real astfel încat matricea de mai jos sa nu fie inversabila:  2 −1 0    a 1 3  1 0 2  

a = -1/2

94. Care este rangul matricii:  −1 2  − 2 4 −3 6   − 5 12 

1 0 2  2 2 0 3 2 2  6 4 4 

=3

95. Care este rangul matricii: 1 3 0 3 8     0 0 12 16 9   1 3 2 1 − 1    1 3 − 2 5 17   4 12 6 6 5   

=3

96. Fie A, B, C matrice astfel încat AB = AC. Stabiliti daca” B = C daca A e inversabila” B = C daca A e inversabila 97. Solutia X a ecuatiei matriceale:  2 −1 3  4      3 − 2 2 ⋅ X =  3  5 − 4 0  2    

ecuatia nu are solutii

este:…

1⎛ 7 ⎜ 98. Solutia X a ecuatiei matriceale  2 1  X − X 1 − 1 = 1 1  este:… 1 1  1 − 1  1 2 5 ⎜⎝ − 3      

− 1⎞ ⎟ − 1⎟⎠

99. Care valoare a parametrului real λ face ca sistemul de mai jos sa aiba solutii nenule:  x+ y+ z +t = 0  x + (1 + λ ) y + z + t = 0    x + y + (2 + λ ) z + t = 0  x + y + z + (3 + λ )t = 0

λ = −2

100. Se considera sistemul:  x+ y =3  x + 2y = 5    2x + y = 4 2 x + 3 y = 1

sistemul e incompatibil

Atunci sistemul e compatibil determinat cu solutia x=1, y=2? 101. Se considera sistemul:

4m − 3 (4m − 3)(2m − 1) ,b = 2 2(m 2 + m − 1) 2(m − 1)(m + m − 1) 6m 2 − 12m + 5 ,c = 2(m − 1)(m 2 + m − 1) Atunci solutia lui, in cazul in care este compatibil determinat, este:  ma + b + c = 4  a + 2mb + c = 4  a + b + mc = 3 

a=

102. Fie A ∈Mn(C) o matrice. Daca x este un vector propriu, atunci se considera afirmatiile: 1. x e vector propriu al matricii A-1 (daca exista) 2. x e vector propriu al matricii A2 3. x e vector propriu al matricii Ak , k numar natural. Stabiliti valorile de adevar ale afirmatiilor anterioare.  8

9

 3 

4

 8

9

 3 

4

103. Fie matricea A=  − 3 − 2

104. Fie matricea A=  − 3 − 2

9   5  . Matricea Jordan JA astfel încat A ≈ JA este:… − 3 9   5  . Polinomul caracteristic al lui A este: . − 3

 − 4 0 2  1 0  ∈ M 3 (C) . Matricea Jordan JA asemenea cu A este:…  5 1 3  

105. Fie A=  0

⎛ −1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 2 1⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠

X -3X +4

⎛ − 2 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎠ ⎝

⎛ 0 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 0 3 0⎟ ⎜ 0 0 3⎟ ⎠ ⎝

 2 − 1 − 1 106.Fie A=  − 1 2 − 1 ∈M3(C). Matricea Jordan JA, A ≈ JA, este: −1 −1 2   

II. Stabiliti daca 1. Fie f : R 3 → R 3 , f ( x, y, z ) = ( x − y + z , y + z, x − z ) si baza B = {u , v, w} unde u = (1,1,1) , v = ( 0,1,1) , w = ( 0, 0,1) .

Suma elementelor matricii lui f in baza B este…

= -2

2

2 3  −1 0  , a ∈ R . a pentru care matricea este inversabilă este  −1 2 a   

2. Fie matricea A =  1 

3. Fie matricea A =  1 i  . Suma elementelor matricei A* este  −i 0 

4. Fie matricea

=0,75

=1

. Daca A* este matricea adjuncta a matricei A, sa se arate

ca

5. Fie matricea A =  8 4  . Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este  −4 0 

6. Fie matricea

. Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este

7. Să se afle a ∈ Z 7 astfel incat polinomul X 6 + aX + 5$ ∈ Z 7 [ X ] să fie ireductibil  a2

9. Fie matricea

=2

=Nu exista

ab ac 

8. Suma valorilor proprii asociate matricei A =  ab b 2 bc  , a, b, c ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 = 1 este    ac bc 

=9

c 

=1

2

. Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este

=0

10. Fie matricea

11. Fie matricea

12. Fie matricea

. Matricei Jordan asociată matricei A este

. Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este

. Suma elementelor matricei Jordan asociată matricei A este

13. Fie matricea

. Determinati

14. Fie matricea

. Determinati matricea Jordan

15. Cate subspatii vectoriale are R 2 ?

16. Cate subspatii vectoriale are R 3 ?

=2

=o infinitate

=o infinitate

17. Se consideră sistemul

. Sistemul este compatibil determinat pentru

m=… x + y + z + t = 1

18. Suma solutiilor sistemului  y + z + t = 0  z + t = 0 

este

=1

=0

x + y + z + t = 1

19. Fie sistemul  y + z + t = 0 

si A matricea sitemului. Cate solutii are ecuatia AX = I 3 ?

=o infinitate

z + t = 0 

x + y + z + t = 1

20. Fie sistemul  y + z + t = 0 

si A matricea sistemului. Cate solutii are ecuatia XA = I3 ?

=niciuna

z + t = 0 

1

0

0

0 

0

1 

21. Fie matricea A =  1 −1 0  . Determinantul matricei X = A + A2 + ... + A2004 este  

1

0

0

0 

0

1 

22. Fie matricea A =  1 −1 0  .Suma elementelor matricei A−1 este  

=0

=2

23. Fie matricea A =  2 1  . Determinantul matricei X = A + A2 + ... + A2003 este  −3 −1

24. Fie matricea A =  2 2  si n ∈ N * , n > 1 . Atunci det ( I 2 + An ) este  −2 −2 

=1

=1

25. Fie matricea A =  1 1  si matricea X = A + A2 + ... + A2004 − A2005 . Care din următoarele afirmatii  2 2 X are toate elementele strict negative este adevărată ?

’’ X are si elemente strict pozitive si elemente strict negative; X are toate elementele strict negative; X are toate elementele strict pozitive’’ 26. Fie V = M 2 ( R ) si A ∈ V o matrice fixată. Fie fucntia f : V → V , f ( X ) = AX − XA . Atunci f este

morfism de spatii vectoriale ?

f este morfism de spaţii vectoriale

2a + b − c − d + e = 1

27.

Cate solutii are sistemul a − b + c + d − 2e = 0

o infinitate de soluţii

3a + 3b − 3c − 3d + 4e = 2 

28. Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} .

Suma elementelor matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este

= -1

29. Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia

1 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 30. Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia

2 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 31. Fie spatiul vectorial real R3 si bazele B1 = {(1,1, 0 ) , (1, 0,1) , ( 0, 0,1)} , B2 = {(1, 2,3) , (1,1,1) , (1, 0,1)} . Linia

3 a matricei de trecere de la baza B1 la baza B2 este 32. Fie matricea X =  x y  , x, y ∈ R+ astfel incat X 2 − 4 X + 13I 2 = 02 . Valoarea sumei x+y este −y x  1 1 1

33. Fie matricea A =  0 1 1 . Suma elementelor matricei A10 este    0 0 1  

x + y + 2z = 1

34. Suma solutiilor sistemului 2 x + 2 y + z = −1 este… 

=5

=78

=0

 x + y − z = −2 

35. Fie

. Stabiliti daca

M formeaza un spatiu vectorial peste R, fata de operatiile de adunare a matricilor si de inmultire cu scalari. cu proprietatea ca astfel incat 36. Fie L multimea functiilor . Stabilti daca L formeaza un subspatiu liniar in spatiul functilor definite pe 37. Care din urmatoarele multimi ale lui a.

formeaza un subspatiu al sau? c.

b. 38. Fie tipul acestora.

, stabiliti daca matricile A,B sunt elementare si daca sunt, stabiliti

III. Stabilti daca 1. Fie f : R 2 → R 2 , f ( x, y ) = ( 2 x + ay, bx + y ) ,

=6

si c ∈ R astfel încat f o f = cf . Suma a + b + c este

2. Fie A o matrice cu coeficienti complecsi. Aratati ca, daca exista

astfel incat

,

−1

atunci matricea este inversabila si avem ( I − A ) =

ax + ay + 2 z = 1

3. Se considera sistemul ax + ( 2a − 1) y + 3 z = 1 

 ax + ay + ( a + 3) z = 2a − 1

x− p

4. Fie matricea A =  r 

 q 

q x− p r

, a ∈ R . Sistemul este incompatibil pentru a=…

a ∈ {−1, 0}

r  q  , p, q, r ∈ R . Suma patratelor radacinilor ecuatiei det ( A ) = 0 x − p 

este 5. Fie matricea A =  a 1  , a, b ∈ R . Calculati a 2 + b 2 astfel încât ( A − I 2 )2 = 02 b 0

6. Fie matricea urmatoare, de ordin n,

=5

este inversabila daca …

7. Fie V un spatiu vectorial real si f , g : V → V morfisme de spatii vectoriale. Atunci relatia f o g − g o f = 1V este posibila numai daca dimV=…

8. O matrice

dimV < ∞

se numeste involutiva daca . O matrice se numeste . Sa se arate ca daca B este o matrice idempotenta, atunci matricea

idempotenta daca este… . involutiva

9. O matrice

idempotenta daca .

se numeste involutiva daca . O matrice se numeste . Sa se arate ca daca A este o matrice involutiva, atunci matricea

este… . idempotenta

10. Fie

matricea patratica de ordinul n ale carei elemente sunt toate egale cu 1. Sa se arate ca −1

este inversabila si avem ( I n − En ) = ( unde I n este matricea unitate de ordinul n) 11. Daca A este o matrice cu 3 linii si trei coloane cu toate elementele egale cu 1 sau -1 , iar

D=det(A) , D este divizibil cu…. a b

D este divizibil cu 4

c

12. Fie matricea A =  b c a  unde a,b,c sunt radacinile ecuatiei X 3 − 2 X 2 + 2 X + 17 = 0 .   c 

a b 

Determinantul matricei A este a b

=4

c

13. Fie matricea A =  b c a  unde a,b,c sunt radacinile ecuatiei mX 3 + X 2 + ( m − 1) X + 3 = 0, m ∈ R* .   c 

a b 

Notam D ( m ) determinantul matricei A. Atunci lim mD ( m ) este m→∞

-3

14. Fie V = M 2 ( R ) si A ∈V o matrice fixata. Fie fucntia f : V → V , f ( X ) = AT X − X T A . Atunci f este

morfism de spatii vectoriale ?  x

15. Fie maticea A =  1 

 4a 2 

f este morfism de spaţii vectoriale

  , a ∈ R . Câte radacini reale are ecuatia det ( A ) = 0 ?  −5a 4 x  1 x

1 1

=1

16. Consideram expresiile f ( x ) = 1 + cos x , g ( x ) = 1 + sin x , h ( x ) = 1 − sin x , elementele a, b, c ∈ R si  f (a) g (a) h(a) 

matricea A =  f ( b ) g ( b ) h ( b )  . Determinantul matricei A este egal cu    f (c) 

g (c)

=0

h ( c ) 

17. Fie matricea A =  a b  , a, b, c, d ∈ R . Valoarea expresiei A2 − ( a + d ) A + ( ad − bc ) I 2 este c d 

a 0 a

=0

18. Fie matricea A =  0 0 0  , a ∈ R* si a este un numar real nenul. Sa se determine a astfel incat   a 0 a   egalitatea An = A sa aiba loc pentru un anumit numar natural n.

19. Fie matricea

. Rangul matricei A este 2 daca α = …

20. Fie matricea

. Rangul matricei A este 3 daca α =

21. Fie matricea

. Sa se determine

astfel incat matricea A sa fie

inversabila a + 2b + c + 2d = 1  22. Suma solutiilor sistemului 2a + 2c + d = 0 este…  + + = a 2 b d 0  2a + b + 2c + d = −1

a − 2b − 2c − 2d − e = 0

23. Fie sistemul a − b − c − 3d + e = 1 

sistemul are o infinitate de soluţii

. Sistemul este incompatibil?

a + b − 5c − d + 7e = 2 

Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor afirmatii 1. Fie V un K − spatiu vectorial. Atunci

0 x = aθ = θ , oricare ar fi a ∈ K si x ∈ V .

2. Fie V un K − spatiu vectorial. Atunci (− a )x = a(− x ) = −ax si (− a )(− x ) = ax , oricare ar fi a ∈ K si x ∈ V .

3. Fie V un K − spatiu vectorial. Daca ax = θ , atunci a = 0 sau x = θ . 4. Fie v1 , v2 , v3 ∈

3

Adevarat Adevarat

, v1 = (1,1,0 ) , v 2 = (0,1,1) , v3 = (1,0,1) . Avem ind K (v1 , v 2 , v3 ) în

5. Vectorii v1 , v2 , v3 ∈

3

Adevarat

− spatiul vectorial

, v1 = (1,−1,1) , v 2 = (2,−1,1) , v3 = (5,−3,3) sunt liniar dependenti.

Adevarat

3

.

Adevarat

6. Fie V =

n

{

si N = x ∈

vectorial V = 7. Fie V = n

.

8. Fie V =

n

n

n

}

x = ( x1 ,..., xn −1 , 0 ) . Atunci N este un subspatiu vectorial al

Adevarat

.

{

, n ≥ 2 si N = x ∈

Adevarat ={f f :

− spatiului

→

},

n

}

x = ( x1 , x2 ,..., xn ) , 2 x1 = x2 . Atunci N este subspatiu vectorial al lui

{

X = f ∈ V f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈

Atunci X si Y sunt subspatii vectoriale ale

} si Y = { f ∈V

− spatiului vectorial V =

f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈

si V = X ⊕ Y .

}.

Adevarat

9. Orice spatiu vectorial V finit generat, diferit de spatiul nul, admite cel putin o baza. Toate bazele sale sunt finite si au acelasi numar de vectori.

Adevarat

10. Fie V un spatiu vectorial nenul de dimensiune finita si u1 , u 2 ,..., u n un sistem finit de generatori pentru V . Atunci exista o baza B a lui V astfel încât B ⊆ {u1 , u 2 ,..., u n } .

Adevarat

11. Fie V un K − spatiu vectorial de dimensiune n ∈ încât v ∈ B .

*

si v ∈ V , v ≠ θ . Exista o baza B a lui V astfel

Adevarat

Fals 12. Daca V si V ′ sunt doua spatii vectoriale peste corpul K , aplicatia O : V → V ′ , O( x ) = θ′ , ∀x ∈ V , unde θ′ este vectorul zero a lui V ′ nu este transformare liniara de la V la V ′ ,

13. Daca V este un K − spatiu vectorial, aplicatia identica 1V : V → V , 1V ( x ) = x nu este transformare liniara. Fals 14. Fie V si V ′ doua K − spatii vectoriale si f : V → V ′ o transformare liniara. Avem: f (θ) = θ′ , f (− x ) = − f ( x ) oricare ar fi x ∈ V .

Adevarat

15. Fie V si V ′ doua K − spatii vectoriale si f : V → V ′ o transformare liniara. Avem:

Fals

Ker ( f ) = {x ∈ V f ( x ) = θ′} nu este subspatiu al lui V , iar Im( f ) = { f ( x ) x ∈ V } este subspatiu al lui V ′ . def

def

16. Fie V si V ′ doua K − spatii vectoriale si f : V → V ′ o transformare liniara. Avem: f este aplicatie injectiva daca si numai daca Ker ( f ) = O = {θ}.

Adevarat

17. Fie V si V ′ doua K − spatii vectoriale si f : V → V ′ o transformare liniara de la V la V ′ . Daca dim K V = n < ∞ , atunci dim K (Ker( f )) + dim K (Im( f )) = n = dim K V . 18. Daca V este un K − spatiu vectorial de dimensiune n ≥ 1 , atunci V ~ K n .

Adevarat

19. În spatiul vectorilor coloana

3

vectorii u1 , u 2 , u3 , 1  1 1  ,  ,   u1 = 1 u 2 =  1  u 3 =  0  , 1   0 0      

Adevarat

Adevarat

formeaza o baza. Daca A∈ M 3 (

),

 2 −1 1   A =  − 3 2 1  si B = (u1 , u 2 , u 3 ) , atunci  0 −1 2  

 1 −1 0    M B ( f A ) =  −1 0 −3  . 2 2 5  

{

20. Fie V = f ∈

[X ]

f = a + bX + cX 2 cu a, b, c ∈

}.

Atunci V

nu este spatiu vectorial în raport cu

operatia de adunare a polinoamelor si de înmultire a polinoamelor cu scalari α ∈ . 21.

Fals

Polinoamele f 1 = ( X − b )( X − c ) , f 2 = ( X − a )( X − c ) , f 3 = ( X − a )( X − b ) , ( a, b, c ∈ ), formeaza o baza pentru spatiul vectorial V , unde V = f ∈ [ X ] f = a + bX + cX 2 cu a, b, c ∈ , daca si numai daca

{

(a − b )(b − c )(c − a ) ≠ 0 .

}

Adevarat

22. Daca

− subspatiu al M 2 (

atunci nu este un

{

23. Fie L = ( x, y ) ∈

2

 z w  N =   z, w ∈  − w z 

).

  ⊂ M2 ( 

}

x = y . Atunci L este subspatiu vectorial al spatiului

)

(

Fals 2

)

, +, ⋅ peste corpul

Adevarat

numerelor reale. 

24. Fie L =  A ∈ M 2 ( 

a b   , b + d = 0, a, b, c, d ∈ c d

) A=

( M ( ) , +, ⋅) peste corpul numerelor reale. 2

25. Fie f :

3

→

2

  . Atunci L este subspatiu vectorial al spatiului 

Adevarat

, f ( x, y, z ) = ( 2 x + y − z ,3 x + 2 y + 4 z ) .Atunci f nu este aplicatie liniara.

Fals

26. Daca f : 4 → 2 , f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2 x1 − x2 − x3 , x1 + 3 x2 + x4 ) , atunci f este o aplicatie liniara de − spatii vectoriale. 27.

28. 29.

Fie vectorii b1 = ( 2, 4, 5) , b2 = ( -1, 1, 0 ) , b3 = ( -2, B = {b1, b2, b3} formeaza o baza în R3?

0, 2 ) .

Adevarat Adevarat Vectorii (1,5) si (2, -9) sunt liniar independenti. Vectorii (2, -1) si (3, 4) formeaza o baza a spatiului vectorial Adevarat

30. Vectorul (1, 10) este o combinatie liniara a vectorilor (1, 3) si (2, -1) deoarece 3(1, 3)-(2, -1)=(1, 10) 31. Vectorii (1, 2, -1), (3, 2, 5) si (4, 4, 4) sunt liniar independenti in 32. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 0 si 1.

Flas

Fals

Adevarat

Adevarat 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(2x, x+3y, 3x+y+z). Adevarat

33. Valorile proprii ale transformarii liniare T(x,y)=(5x, x+3y) sunt 3 si 5. 34.

35. 1, 2 si 3 sunt valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y, z)=(3x, 2x-y, x-y+z). 36.

este una din valorile proprii ale transformarii liniare T(x, y)=(3x+y, x+3y).

Fals Adevarat

  a+b+e = 0     5  37. Fie 5 a − c + d + e = 0  . Atunci L este subspatiu vectorial al lui R L = (a, b, c, d , e) ∈ R     2a − e = 0    3a − c + d = 0   

38. Numerele 1,

3

2 , 3 sunt liniar independente peste Q?

39. Numerele 1,

3

2,

3

22

sunt liniar independente peste Q?

 2a + b + c + 2d + 2e = 2

40. Este sistemul  a + 2b + c − d + e = 4 compatibil? 2a + 2b + c + 3d + e = −2 

Fals Adevarat Adevarat

Adevarat