Studiul Stabilitatii

CUPRINS Introducere…………………………………………………………………3 Capitolul I. Sisteme de ecuații diferențiale.................................................4 § 1. Noțiuni generale. Problema Cauchy.........................................................4 § 2. Spațiul soluțiilor sistemului omogen de ecuații diferențiale...................10 § 3. Sisteme liniare neomogene de ecuații diferențiale..................................15 § 4. Aplicarea teoriei generale a ecuațiilor diferențiale liniare asupra sistemelor liniare cu coeficienți constanți..............................................17 § 5. Studiul calitativ al sistemului liniar bidimensional.................................25 Capitolul II. Elemente ale teoriei stabilității..............................................34 § 6. Noțiune de stabilitate și stabilitate asimptotică a soluției........................34 §

7.

Stabilitatea

soluției

în

sistemele

liniare

cu

coeficienți

constanți..............40 §

8.

soluției

Stabilitatea

după

prima

aproximație............................................43 § 9. Metoda funcției Leapunov........................................................................46 Bibliografie.....................................................................................................51

2

CAPITOLUL I SISTEME DE ECUAȚII DIFERENȚIALE

§ 1. Noțiuni generale. Problema Cauchy Fie: ▪ I – un interval pe axa reală X, ▪ D – un domeniu din spațiul mărimilor (x, y1, y2, ..., yn). Vom nota: C(D) – mulțimea funcțiilor continuie pe D, C'(D) – mulțimea funcțiilor continuu derivabile pe D. ▪ fi(x, y1, y2, ..., yn) ϵ C(D), i = 1, ..., n – n funcții continuie pe D. Trebuie de determinat așa n funcții yi(x) ϵ C'(D), i = 1, ..., n, care să satisfacă identitățile: dy i ( x) = f i ( x, y1 ( x ),..., y n ( x)), i = 1,2,..., n; x ∈ I . dx

Altfel spus, se pune problema rezolvării unui sistem de n ecuații diferențiale de ordinul întâi: dyi = f i ( x, y1 ,..., y n ), i = 1,2,..., n. dx

(1.1)

Definiție. Totalitate de n funcții y1 = y1 ( x),..., y n = y n ( x) ,

(1.2)

definite și derivabile pe intervalul I, se numește soluție a sistemului (1.1) pe I, dacă ea transformă în identități toate n ecuații ale sistemului (1.1) pentru ∀x ∈ I . . Procesul de aflare a soluțiilor sistemului se numește integrarea acestui sistem. 3

Dacă sistemul de ecuații diferențiale este rezolvat în raport cu derivatele funcțiilor necunoscute, el se numește sistem normal. Așa este sistemul (1.1). Un sistem de ecuații diferențiale, ca și o ecuație diferențială , poate avea o mulțime infinită de soluții. Pentru a separa din această mulțime o soluție anumită sunt necesare condiții suplimentare, care sunt considerate, de obicei, condițiile inițiale. Fie că ( x0 , y10 ,..., yn0 ) un punct de pe domeniul D. Problema Cauchy pentru sistemul (1.1) constă în determinarea pe I a soluției y1 = y1(x), ..., yn = yn(x), care satisface condițiile inițiale date y1 ( x0 ) = y10 ,..., y n ( x0 ) = y n0 , x0 ∈ I .

Fiecare soluție y1 = y1(x), ..., yn = yn(x) ce se poate interpreta geometric ca o linie pe domeniul D al spațiului de dimensiunea (n+1) al mărimilor (x, y1, y2, ...,yn). Această linie se numește curbă integrală. Soluția problemei Cauchy reprezintă geometric o curbă integrală ce trece prin punctul ( x0 , y10 ,..., yn0 ) . O altă interpretare a sistemului (1.1), cât și a soluției lui, este cea din mecanică, care este comodă, dacă părțile drepte ale sistemului nu depind de variabila independentă. În problemele din mecanică rolul variabilei independente îl joacă timpul t. Scriem sistemul (1.1) astfel: dyi = f i (t , y1 ,..., yn ), i = 1,2,..., n. dt

(1.3)

Spațiul n-dimensional al mărimilor y1, ..., yn îl vom numi spațiul fazic ( pentru n = 2 avem plan fazic). Soluția sistemului y1 = y1 ( x),..., y n = y n ( x)

(1.4)

exprimă o mișcare (o lege de mișcare) a punctului mobil (y1, y2, ..., yn) în spațiul fazic, iar curba descrisă de el în acest spațiu se numește traiectoria mișcării ori traiectorie fazică, (1.4) constituie descrierea parametrică a acestei traiectorii fazice. Dacă (1.4) este legea mișcării punctului mobil (y1, y2, ..., yn), atunci

dy1 dy ,...., n sunt dx dx

componentele vectorului vitezei a acestei mișcări. Problema Cauchy pentru 4

sistemul (1.3) poate fi formulată astfel: cunoscând în fiecare moment de timp vectorul vitezei mișcării, adică funcțiile fi(t, y1, y2, ..., yn) să se determine legea mișcării punctului mobil în spațiul fazic, care în momentul t0 avea poziția ( y10 ,..., yn0 ) . Sistemul (1.3) se numește sistem dinamic. Dacă membrii din partea

dreaptă în (1.3) depind de timp, atunci câmpul de viteze în spațiul fazic se schimbă în raport cu timpul. În caz contrar, el este staționar, iar sistemul (1.3) îl vom numi autonom. Punctele spațiului fazic, în care se anulează vectorul vitezei, se numesc puncte staționare. Se spune, că în aceste puncte sistemul (1.3) are starea de repaus. Ele sunt imobile și traiectoria punctului coincide cu el însuși. Problema de bază a integrării sistemului (1.3) constă în aflarea tuturor mișcărilor, determinate de acest sistem, și studierea acestor mișcări. • x = − x Exemplu. Considerăm sistemul  • . Integrând, obținem o familie de  y = −2 y

mișcări:

 x = c1e −t   y = c2 e −2b , c1 , c 2 = const.

Traiectoriile mișcărilor pe planul fazic sunt: semiparabolele y = cx2, unde

c=

c1 c2

,

semiaxele de coordonate și originea. Pentru t → +∞ mișcarea se efectuează pe toate traiectoriile spre originea de coordonate. Originea este un punct staționar.

Fig.1 În continuare vom scrie sistemul (1.1) sub formă vectorială. Aceasta este comod atât pentru simplificarea notațiilor, cât și pentru ilustrarea sensului mecanic. Introducem funcțiile-vector:

5

 y1 ( x)    .  y ( x) =   .    y ( x)   n 

 f1 ( x, y1 ,..., yn )     .......................  f ( x, y ( x)) =  . .......................     f ( x, y ,..., y )  1 n   n

și

 y1| ( x)     d y . = Prin definiție  . În aceste notații sistemul se scrie astfel: dx  .   y | ( x)   n  dy = f ( x, y ) . dx

(1.5)

Soluția ecuației vectoriale (1.5) pe intervalul I este funcția-vector y (x) , deci, pentru x ∈ I , ( x, y ( x)) ∈ D , avem: d y ( x) ≡ f ( x, y ( x )) . dx

Condițiile inițiale se dau prin vectorul y ( x0 ) = y 0 = ( y10 ,..., y n0 ), ( x0 , y10 ,..., y n0 ) ∈ D .

(1.6)

Teorema 2.1 (de existență și unicitate a soluției sistemului normal de ecuații diferențiale (e.d.) (1.1)) Considerăm sistemul

dyi = f i ( x, y1 ,..., yn ), i = 1,..., n. Dacă pe domeniul deschis D dx

din spațiul mărimilor (x, y1,...,yn) funcțiile fi(x, y1,...,yn) sunt continue împreună cu derivatele lor parțiale

∂f i ( x, y1 ,..., yn ) , i = 1,..., n , ∂yi

atunci pentru fiecare punct

( x0 , y10 ,..., yn0 ) ∈ D există soluție a sistemului (1.1) yi = yi(x), i=1,...,n pe un interval I, x0 ∈ I , care satisface condițiile inițiale yi(x0) = yi0, i=1,...,n și această soluție este

unică. Formularea teoremei de existență și unicitate pentru sistemul normal scris sub forma vectorială:

6

Teorema 2.2. Dacă pe domeniul D funcția-vector

f ( x , y ) ∈ C ( D ) și

∂ f ( x, y ) ∈ C ( D), j = 1,..., n , atunci pentru orice valori inițiale ( x0 , y0 ) ∈ D există o ∂y j

singură soluție y (x) a ecuației (1.5), ce satisface condiția y ( x0 ) = y 0 . O ecuație diferențială de ordinul n, rezolvată în raport cu derivata de ordin superior dny dy d n −1 y = f ( x , y , ,..., dx dx n dx n−1

(1.7)

poate fi redusă la un sistem normal de ecuații diferențiale. Facem următoarele notări: dy dy1 d n −1 y dy n −1 d n y dy n y ( x) = y1 ( x ), = = y 2 ( x ),..., n−1 = = y n ( x), = . dx dx dx dx dx dx n

(1.8)

Astfel, ecuației (1.7) îi punem în corespondență sistemul normal:  dy1  dx = y2 ,   dy2 = y , 3  dx  ...  dy  n −1 = yn ,  dx  dyn = f ( x, y1 ,..., yn ).   dx

(1.9)

Fiecare soluție a ecuației (1.7) formează, după regula din (1.8), o soluție a sistemului (1.9). Este interesant faptul că și un sistem normal de n ecuații diferențiale poate fi redus la o singură ecuație deja de ordinul n. Într-adevăr, derivăm prima ecuație din (1.1) în raport cu x: d 2 y1 ∂f1 n ∂f1 dyi dy = +∑ , înlocuind i cu f i ( x, y1 ,..., y n ) , obținem: 2 ∂x i =1 ∂y1 dx dx dx d 2 y1 = F1 ( x, y1 ,..., y n ) , dx 2 d 3 y1 ∂F1 n ∂F1 = +∑ fi ∂x i =1 ∂yi dx 3

sau 7

d 3 y1 = F2 ( x, y1 ,..., y n ) ; dx 2

(1.101) (1.102)

… d n −1 y1 = Fn −2 ( x, y1 ,..., y n ) , dx n −1

(1.10n-2)

d n y1 = Fn −1 ( x, y1 ,..., y n ) . n dx

(1.10n-1)

Prima ecuație din (1.1), împreună cu ecuațiile (1.101)-(1.10n-2), formează un sistem de (n-2) ecuații, din care se pot determina y2, y3, ..., yn prin x, y1, y1| ,..., y1( n −1) , D( f , F ,..., F

1 1 n−2 dacă D( y , y ,..., y ) ≠ 0 pe un domeniu al variabilelor x, y1, y1| ,..., y1( n −1) . 2 3 n

Mărimile y2, y3, ..., yn le înlocuim în (1.10), obținând d n y1 dy1 d n −1 y1 = Φ ( x , y , ,..., ) . 1 dx dx n dx n−1

(1.10)

Dacă y1(x), y2(x),...,yn(x) este o soluție a sistemului (1.1), atunci, evident, y1(x) este soluție a ecuației (1.10). Aici a fost, în fond, expusă o metodă, care în unele cazuri ne permite reducerea integrării unui sistem normal de ecuații la integrarea unei singure ecuații de ordinul n. Aceasta este metoda excluderii și se folosește adesea în practică. • x = x + y Exemplu.  • .  y = 4 y − 2 x ••

•

•

•

1

••

•

Derivăm ultima ecuație în raport cu t: y = 4 y − 2 x . De aici x = − ( y − 4 y ) , iar 2 1

•

• din a doua ecuație a sistemului: x = − ( y − 4 y ). Înlocuind x și x în prima ecuație a 2 ••

•

sistemului, obținem ecuația: y − 5 y + 6 y = 0. Soluția ei este: y = c1e2 x + c2e3 x . Din 1 • 1 x = − ( y − 4 y ) găsim că x = c1e 2t + c1e3t . Soluția sistemului este: 2 2 1  2t 3t  x = c1e + c 2 e 2   y = c e 2 t + c e 3t . 1 2 

8

§2. Spațiul soluțiilor sistemului omogen de ecuații diferențiale Vom numi sistem liniar de ecuații diferențiale (sistem l.e.d.) sistemul de forma: n dy = ∑ aik ( x) yk + f i ( x), i = 1,..., n . dx k =1

(2.1)

Sistemul (2.1) se numește omogen, dacă fi(x) ≡ 0, i=1,..., n; în caz contrar – neomogen. Fie funcțiile aij(x), fi(x) ϵ C(I). Să considerăm vectorii y,

dy și f drept dx

matrici-coloană:  y1|   y1   f1        |  y2  d y  y2  f  y = , =  , f = 2 . ... dx  ...  ...     y    | y   n  fn   n

Fie că matricea A(x) ϵ Mn are aspectul:  a11 ( x).......a1n ( x )    A( x ) =  ............................  .  a ( x).......a ( x)  nn  n1 

Atunci sistemul (2.1) poate fi scris astfel: dy = A( x) y + f ( x ) dx

(2.2)

Teorema 2.1 (de existență și unicitate a soluției pentru sistemul l.e.d.) Dacă elementele matricei A(x) și componentele funcției-vector f sunt continui pe I, atunci pentru oricare condiție inițială y ( x0 ) = y 0 , x ∈ I există o singură soluție y ( x) ∈ I a ecuației (2.2), ce verifică acestei condiții:

9

 y10    y ( x0 ) = y 0 =  ...  .  0  yn 

Mulțimea funcțiilor-vector, a căror coordonate aparțin lui C'(I) o vom nota |

C ( I ) . Pe această mulțime introducem un operator L y ≡

dy − A( x ) y. Atunci sistemul dx

(2.2) se scrie: Ly = f (x)

(2.3)

iar cel omogen: Ly = 0 .

Operatorul L este liniar, adică verifică două condiții: |

10 L( y1 + y 2 ) = Ly1 + Ly2 , ∀ y1 , y 2 ∈ C ( I ) 20 L(c y) = cL( y ), c = const. Într-adevăr: d ( y1 + y 2 ) dy dy − A( y 1 + y 2 ) ≡ ( 1 − A( x ) y 1 ) + ( 2 − A( x) y 2 ; dx dx dx dy d (c y ) − A(c y ) ≡ c ( − A( x) y ). dx dx

Consecință. m

m

k =1

k =1

L(∑ c k y k ) = ∑ c k L y k , ck = const , k = 1,..., m.

Proprietățile soluțiilor sistemului liniar omogen de ecuații liniare (s.l.o.e.d.) Considerăm s.l.o.e.d.: dy = A( x ) y ori L y = 0 dx

(2.4)

Evident, că y ( x) ≡ 0 este soluție pentru (2.4). Problema inițială Cauchy: dy = A( x) y, dx

y ( x0 ) = y 0 dacă y 0 = 0 are soluție y ( x) ≡ 0 (vezi teorema 2.1).

10

Teorema 2.2 Dacă y 1 ( x), y 2 ( x),..., y m ( x) sunt soluții ale (2.4) și numerele m

c1,...,cm

– constante arbitrare, atunci vectorul y = ∑ ck y k ( x) este, de asemenea, k =1

soluție pentru (2.4). D e m o n s t r a ț i e. Deoarece L y k ≡ 0 și L este operator liniar, conform consecinței de mai sus avem: m

m

k =1

k =1

L(∑ c k y k ) ≡ ∑ c k ( L y k ) ≡ 0 .

Definiție. Funcțiile-vector y 1 ( x), y 2 ( x),..., y m ( x) se numesc liniar dependente (l.d.) pe intervalul I, dacă există așa constante α1 ,..., α m nu toate egal cu zero, încât pentru ∀x ∈ I are loc identitatea: α1 y 1 + ... + α m y m ≡ 0

(2.5)

Dacă, însă, identitatea (2.5) are loc numai în cazul când α1 = α 2 = ... = α m = 0 funcțiile-vector le vom numi liniar independente pe I (l.i.). Să observăm, că  y1k ( x)     y 2 k ( x)  y k ( x) =  , k = 1,..., m ...     y ( x)   nk 

(2.6)

și identitatea (2.5) este echivalentă cu n identități pe I: m

∑α k =1

k

y1k ( x) ≡ 0

k

y 2 k ( x) ≡ 0

k

y nk ( x) ≡ 0

m

∑α k =1

(2.7)

... m

∑α k =1

Să considerăm acum un sistem de n vectori y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) . Din componentele lor, conform (2.6), alcătuim următorul determinant:

11

y11 ( x)........... y1n ( x) y 21 ( x )........... y 2 n ( x) ............................. y n1 ( x)........... y nn ( x )

≡ W ( y 1 ,..., y n ) ≡ W ( x )

numit determinantul lui Wronski pentru sistemul dat de funcții-vector. Teorema 2.3 Pentru un sistem de vectori y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) l.d. pe I, determinantul lui Wronscki W ( y 1 ,..., y n ) ≡ 0, ∀x ∈ I . Într-adevăr, în acest determinant coloanele sunt liniar dependente pentru ∀x ∈ I . Atunci pe I, W ( y 1 ( x),..., y n ( x )) ≡ 0 .

Această teoremă este adevărată pentru oricare sistem de funcții-vector l.d. În caz particular vectorii y 1 , y 2 ,..., y n pot fi soluții ale sistemului l.o.e.d. (2.4). Următoarea teoremă este adevărată numai în cazul când y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) sunt soluții pentru (2.4). Teorema 2.4 Dacă pentru n soluții ale sistemului (2.4) Wronskianul lor W ( y 1 ,..., y n ) se anulează măcar într-un punct de pe I, atunci aceste soluții y 1 , y 2 ,..., y n sunt liniar dependente.

Folosind (2.7), demonstrarea acestei teoreme se face analogic cu teorema pentru cazul ecuațiilor d.l.o. de ordinul n. Din teoremele 2.3 și 2.4 rezultă următoarele. Consecință. Determinantul W ( y 1 ,..., y n ) ori este identic egal cu zero pe I și atunci soluțiile y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) sistemului (2.4) sunt l.d., ori nu se anulează nici într-un punct al intervalului I și atunci soluțiile y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) sunt l.i. pe I. Definiție. Fiecare sistem din n soluții y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) pentru (2.4) liniar independent pe I se numește sistem fundamental de soluții (s.f.) a s.l.o.e.d. (2.4).

12

Teorema 2.5 Sistemul fundamental de soluții există. Într-adevăr, în virtutea consecinței de mai sus este suficient să determinăm n 0 soluții y 1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) cu așa condiții inițiale y k ( x0 ) = y k , k = 1,..., n încât

valoarea în punctul x0 a determinantului W(x0) ≠ 0, atunci aceste soluții alcătuiesc s.f.. Definiție. Vom numi soluție generală a s.l.o.e.d. mulțimea tuturor soluțiilor acestui sistem, adică o formulă care conține toate soluțiile lui și numai pe ele. Teorema

2.6

(despre

soluția

generală

a

s.l.o.e.d.).

Dacă

y 1 ( x), y 2 ( x ),..., y n ( x) definite pe I alcătuiesc un sistem fundamental de soluții pentru

(2.4) și c1, ..., cn sunt constante arbitrare, atunci funcția-vector y = c1 y 1 + ... + cm y m

(2.8)

este soluție generală pentru s.l.o.e.d. (2.4). D e m o n s t r a ț i e. Pe baza teoremei 2.2, (2.8) reprezintă întotdeauna o soluție a sistemului (2.4), c1, ..., cn fiind constante arbitrare. Rămâne să arătăm, că oricare soluție se poate obține din (2.8) prin alegerea unor valori anumite ale constantelor c1, ..., cn. Fie y (x) o soluție particulară arbitrară pentru (2.4) care satisface condițiile inițiale:  y10    y ( x0 ) = y 0 =  ... ,  0  yn 

x0 ∈ I .

Putem oare determina așa constante concrete

c1, ..., cn încât

c1 y 1 ( x0 ) + ... + cm y m ( x0 ) = y 0 , adică aceste valori ale constantelor să verifice sistemul

(2.9) ? Determinantul acestui sistem algebric liniar față de c1, ..., cn este chiar W(x0) și W(x0) ≠ 0 deoarece y1 ,..., y n este s.f. pe I. După regula lui Cramer așa valori concrete ale constantelor c~1 ,..., c~n se pot determina în mod unic și ele verifică

13

sistemul (2.9). Pe baza teoremei 2.2 y ( x) = c~1 y 1 + ... + c~m y m este soluție pentru (2.4) și satisface condițiile inițiale y ( x0 ) = y 0 , iar conform teoremei 2.1 așa soluție este unică. Prin urmare, ecuația liniară a soluțiilor s.f., adică (2.8) este soluția generală a sistemului l.o.e.d. (2.4). Definiție. Considerăm s.f. de soluții a sistemului (2.4) y1 ,..., y n unde  y1k ( x)    y k ( x ) =  ... ;  y ( x)   nk 

 y11 ( x )...... y1n ( x)    M ( x) =  ...........................  .  y ( x)...... y ( x)  nn  n1 

k = 1,..., n.

M(x) se numește matrice fundamentală. Să considerăm încă o matrice constantă  c1    c =  ...  . c   n

Atunci soluția generală pentru (2.4) se poate scrie astfel: y = M ( x)c .

§3. Sisteme liniare neomogene de ecuații diferențiale (sisteme l.n.e.d.) Sistemul l.n.e.d. în forma vectorială se scrie: dy = A( x) y + f ( x) sau Ly = f (x) , dx

iar

dy = A( x) y sau dx

Ly = 0

(3.1) (3.2)

este sistemul l.o.e.d. corespunzător lui (3.1). Teorema 3.1 Dacă Y (x) este o soluție pentru (3.1), iar z (x) o soluție pentru (3.2), atunci funcția-vector z ( x) + Y ( x) este soluție a s.l.n.e.d. (3.1). Între-adevăr: L( z + Y ) ≡ L z + LY ≡ 0 + f ( x) .

14

Teorema 3.2 Dacă Y 1 ( x) și Y 2 ( x) sunt soluții ale sistemului (3.1), atunci diferența lor este soluție pentru (3.2). Într-adevăr: L(Y 1 − Y 2 ) ≡ LY 1 − LY 2 ≡ f ( x) − f ( x) ≡ 0 .

Teorema 3.3 (despre soluția generală a s.l.n.e.d.). Dacă z 1 ( x),..., z n ( x) s.f. de soluții pentru (3.2) și Y (x) o soluție a s.l.n.e.d. (3.1), atunci: y ( x) = Y ( x) + c1 z 1 ( x) + ... + cn z n ( x )

(3.3)

(c1, ..., cn – constante arbitrare ) este soluția generală a s.l.n.e.d. (3.1). D e m o n s t r a ț i e. Fie că Y 1 ( x) este o soluție arbitrară pentru (3.1). După teorema 3.2 Y 1 ( x) − Y ( x) ≡ z ( x) este soluție pentru (3.2). Conform teoremei z ( x) = c1 z 1 ( x) + ... + c n z n ( x ) . Astfel, soluția

2.4 există așa constante c1,...,cn încât

particulară Y 1 ( x) = Y ( x) + c1 z 1 ( x) + ... + cn z n ( x) are aspectul (3.3) pentru valori concrete ale constantelor. Deci, (3.3) reprezintă soluția generală pentru (3.10). Consecință.

Soluția generală a unui s.l.n.e.d. este suma unei soluții

particulare a lui și a soluției generale a s.l.o.e.d. corespunzător celui neomogen. Dacă, însă, nu se cunoaște o soluție particulară a sistemului neomogen, soluția generală a lui se poate obține, totuși, prin metoda variației constantelor. Teorema 3.4 Fie cunoscut s.f. de soluții pentru (3.2) z 1 ( x),..., z n ( x) , atunci soluția generală a s.l.n.e.d. (3.1) se poate afla prin cuadraturi. D e m o n s t r a ț i e. Vom căuta soluția ecuației (3.1) sub forma n

y ( x) = ∑ Ck ( x)z k ( x) ,

(3.4)

k =1

unde funcțiile cn(x) trebuie determinate din clasa funcțiilor continuu derivabile pe intervalul I. Substituim (3.4) în L y = f și obținem: n

n

k =1

k =1

n

∑ ck| ( x) z k ( x) + ∑ ck ( x) z k ( x) = A( x)(∑ ck ( x) z k ( x)) + f ( x) |

k =1

sau 15

n

∑c k =1

| k

n

( x ) z k ( x ) + ∑ c k ( x )( z k − A z k ) = f ( x ) . |

k =1

|

Deoarece z k − A( x) z k ≡ 0, k = 1,..., n trebuie să se respecte condiția n

∑C

|

( x)z k ( x) = f ( x)

k

k =1

(3.5)

 c1 ( x)    Să folosim matricea fundamentală M(x) pentru z 1 ( x),..., z n ( x) și c( x) =  ...  .  c ( x)   n  |

Scriem (3.5) astfel: M ( x)c = f ( x). Deoarece DetM ( x) = W ( z 1 ,..., z n ) ≠ 0 , atunci există | −1 matricea inversă M ( x) și c ( x) = M −1 ( x) f ( x) ≡ Φ( x) .

Φ (x) este o matrice dintr-o singură coloană, termenii căreia ϕ1 ( x),..., φ n ( x) sunt

funcții continui. Astfel c k| ( x) = ϕ k ( x ),

k = 1,..., n .

Ck ( x) = ∫ ϕ k ( x)dx + γ k

γk,

(3.6)

k = 1,..., n - constante arbitrare.

Înlocuim (3.6) în (3.4) și obținem n

n

k =1

k =1

y ( x) = ∑ γ k z k ( x ) + ∑ z k ( x ) ∫ ϕ k ( x)dx . n

Primul termen

∑γ k =1

k

(3.7)

z k ( x) este soluția generală a s.l.o.e.d. (3.2), iar termenul al

doilea este o soluție particulară pentru (3.1). În baza consecinței (3.7) este soluție generală a sistemului (3.1) și ea s-a obținut prin cuadraturi. §4. Aplicarea teoriei generale a ecuațiilor diferențiale liniare asupra sistemelor liniare cu coeficienți constanți Să considerăm un sistem l.o.e.d. n dyi = ∑ aik y k , dx k =1

16

i = 1,..., n ,

(4.1)

unde toți coeficienții aik sunt numere reale. Sistemul (4.1) în formă vectorială se scrie: dy = Ay , dx

(4.2)

unde A este o matrice constantă de ordinul n pătratică. Vom arăta, că în acest caz construirea s.f. de soluții se reduce la operații algebrice. Să amintim unele noțiuni din algebra liniară. Vectorul γ~ ≠ 0 se numește vector propriu al matricei A, dacă există un așa număr λ încât are loc egalitatea Aγ~ = λγ~ . Numărul λ se numește valoare proprie a matricei A (corespunzătoare γ~

vectorului propriu

). \El este rădăcina ecuației numită ecuația caracteristică: det( A − λE ) = 0

(13.3)

unde cu E s-a notat matricea unitate. În algebra liniară se demonstrează următoare teoremă. Teorema 4.1 Dacă valorile proprii ale matricei A - λ1 ,..., λn sunt distincte, atunci vectorii proprii γ 1 ,..., γ n sunt liniari independenți. Vom căuta soluția pentru 4.2 în forma y ( x ) = γ e λx

(4.4)

γ 1    unde γ =  ...  este un vector constant γ ≠ 0 , λ – număr constant. După regula de γ   n

derivare a unui vector, obținem

dy = γ λe λx . Substituim în (4.2) și obținem că dx

γ λe λx ≡ Aγ e λx ,

ceia ce este echivalent cu Aγ = λ γ sau ( A − λE )γ = 0. Astfel am ajuns la următoarea afirmație. Teorema 4.2 Pentru ca funcția-vector y ( x) = γ e λx să fie soluție netrivială a sistemului (4.2) este necesar și suficient ca numărul λ să fie valoare proprie a matricei A, iar γ - vectorul lui propriu corespunzător.

17

Altă formulare a teoremei 4.2: Teorema 4.3 Funcția-vector y ( x) = γ e λx este o soluție netrivială pentru (4.2) atunci și numai atunci, când λ este o rădăcină a ecuației caracteristice a11 − λ a 21 ... a n1

a12 a 22 − λ ... an 2

... a1n ... a 2 n =0, ... ... ... a nn

(4.5)

iar vectorul γ este o soluție netrivială a sistemului algebric ( A − λE )γ = 0 sau, mai desfășurat, (a11 − λ )γ 1 + a12γ 2 + ... + a1nγ n= 0,  a21γ 1 + (a22 − λ )γ 2 + ... + a2 nγ n = 0,  ........................................................ an1γ 1 + an 2γ 2 + ... + (ann − λ )γ n = 0. 

Determinarea s.f. de soluții pentru: I.

Cazul rădăcinilor simple ale ecuației caracteristice

Fie că ecuația caracteristică det( A − λE ) = 0 are n rădăcini distincte între ele: λ1 ≠ ... ≠ λn și fie că vectorii proprii corespunzători ai matricei A sunt γ 1 ,..., γ n ,  γ 1k    γ k =  ... , γ   nk 

k = 1,...n .

Să demonstrăm că soluțiile y 1 ( x) = γ 1e λ1x , y 2 ( x) = γ 2 e λ2 x ,..., y n ( x) = γ n e λn x

(4.6)

alcătuiesc un sistem fundamental de soluții pentru (4.1) pe intervalul (−∞,+∞) . Într-adevăr, deoarece coeficienții sistemului (4.1) aik i, k = 1,…, n sunt numere constante, ele rămân continui pentru x ∈ (−∞,+∞) și pe baza teoremei 2.1 soluțiile (4.6) sunt determinate pentru x ∈ (−∞,+∞) . Pentru soluțiile (4.6) calculăm W(0):

18

γ 11 γ 12 γ γ 22 W ( y 1 ,..., y n ) | x =0 = 21 ... ... γ n1 γ n 2

... γ 1n ... γ 2 n ≠0, ... ... ... γ nn

deoarece vectorii γ 1 ,..., γ n sunt liniari independenți (teorema 4.1). Pe baza teoremei 2.6 soluțiile (4.6) alcătuiesc un s.f. II. Cazul rădăcinilor complexe. Considerăm o funcție-vector complexă, adică componentele acestui vector sunt funcții complexe:  u1 ( x) + ivi ( x)   u1 ( x)   v1 ( x)        y ( x) =  .......................  =  ....  + i ...  = u ( x ) + i v( x) .        u n ( x) + iv 2 ( x)   u n ( x )   v n ( x)  |

Dacă u ( x), v( x) ∈ C ( I ) , atunci se poate vorbi despre derivata funcției-vector complexă. Prin definiție: d y du dv = +i . dx dx dx

Definiție. Funcția-vector y ( x) = u ( x) + iv( x) se numește soluție a sistemului (4.2) dacă: d (u ( x ) + iv ( x )) ≡ A(u ( x) + iv ( x)) dx

(4.7)

Din (4.7) urmează: du dv +i ≡ Au + iAv dx dx du ≡ Au; dx

sau

dv ≡ Av . dx

Astfel, fiecărei soluții complexe y ( x) = u ( x) + iv( x) a sistemului (4.2) îi corespund două soluții reale ale aceluiași sistem. Fie că ecuația caracteristică det( A − λE ) = 0 are rădăcina complexă λ = α + iβ . Deoarece elementele matricei A sunt numere reale, ecuația caracteristică are drept rădăcină și λ = α − iβ . Valorii proprii λ = α + iβ îi corespunde un vector propriu al matricei A - γ , care este un vector complex: γ = R + iI . Soluția pentru (4.2) va fi 19

y ( x) = γ e (α +iβ ) x = u ( x) + i v( x) . Rădăcinii λ = α − iβ îi corespunde

un vector propriu,

componentele căruia sunt numere complexe conjugate celor din

γ . Soluția

corespunzătoare pentru (4.2) va fi ~y ( x) = u ( x) − i v( x) . După cum se vede, acestei soluții nu-i corespund soluții reale noi, liniar independente, pentru (4.2) în comparație cu cele pentru y ( x) = u ( x) + iv( x) . Pornind de la formulele lui Euler e iβx = cos βx + i sin βx , e −iβx = cos βx − i sin βx

conchidem: unei soluții complexe a sistemului (4.2) îi corespund două soluții reale u ( x ) = ( R cos βx + I sin β x)eαx , v ( x) = ( I cos βx + R sin βx)eαx

ale acestui sistem. Fie că ecuația caracteristică det( A − λE ) = 0 are n soluții diferite, printre care 2s sunt complexe și (n-2s) sunt reale: λ1 ,..., λs , λ 1 ,..., λ s , λ2 s +1 ,..., λn . Considerăm n soluții reale ale sistemului (4.2): u1 ( x), v1 ( x),..., u s ( x), v s ( x), y 2 s +1 ( x),..., y n ( x ) .

(4.8)

Primele 2s soluții corespund rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice. Se poate arăta, că soluțiile reale (4.8) alcătuiesc un s.f.s. III.

Cazul rădăcinilor multiple ale ecuației caracteristice

Fie că ecuația caracteristică det( A − λE ) = 0 are și rădăcini de multiplicitate m ≥ 2 . Construirea sistemului fundamental de soluții se bazează pe unele rezultate

importante din algebră ce țin de aducerea matricei la forma Jordan. Aici ne vom limita doar la unele recomandări pentru determinarea s.f. de soluții, care sunt utile în practică. Este vorba despre metoda coeficienților nedeterminați. Aceste recomandări au la baza lor următoarele: în §2 s-a arătat cum, la îndeplinirea unor condiții, un sistem normal de n ecuații diferențiale se poate reduce la o singură ecuație diferențială de ordinul n. Să considerăm sistemul l.o.e.d. cu coeficienți constanți (4.1): n dyi = ∑ ain y n ; dx k =1

20

i = 1,...n.

Interesant, că acest sistem se reduce la o singură ecuație de ordinul n și ea va fi, de asemenea, liniară, omogenă și va avea coeficienți constanți (acest fapt poate fi controlat ușor). Are loc așa teoremă. Teorema 4.4 Fiecare componentă yi(x) a soluției y (x) a sistemului (4.2) este soluție a ecuației diferențiale de ordinul n, ecuația caracteristică a căreia coincide cu det( A − λE ) = 0 . Fie ca rădăcina λ are multiplicitatea m. Acestei rădăcini îi corespunde soluția sistemului y (x) , componenta j – a cărei yj pe baza teoremei 4.4 și a m −1 λx teoremei 8.2 are forma y j = ( A1 j + A2 j + ... + Am x )e

, Akj- coeficienții constanți

nedeterminați,  A11 + A12 x + ... + Am1 x m−1     A12 + A22 x + ... + Am 2 x m−1  λx y = e . ...    A + A x + ... + A x m−1  n2 mn  1n 

(4.9)

În practică, pentru determinarea s.f. de soluții, se recomandă de scris (4.9) pentru fiecare λ , de înlocuit în sistemul (4.1) și în sistemul algebric obținut de exprimat toate constantele prin constante independente. Numărul constantelor independente coincide cu multiplicitatea m a rădăcinii λ . Numărul maximal de soluții liniar independente ale sistemului (4.1) este egal cu n. Observație. Considerăm un sistem l.n.e.d. de forma specială dy = Ay + C x s e λx , dx

(4.10)

unde A(n × n) este o matrice constantă reală, C un vector constant, s ≥ 0 - număr întreg. Pentru determinarea soluției particulare putem aplica atât metoda variației a constantelor, cât și metoda coeficienților nedeterminați. La aplicarea metodei a doua trebuie să deosebim două cazuri: 1) dacă λ nu coincide nici cu una din rădăcinile ecuației caracteristice det( A − λE ) = 0 , atunci soluția o căutăm sub forma: 21

y ( x) = (l 0 + l1 x + ... + l s x s )e λx ,

(4.11)

unde l 0 , l 1 ,..., l s - vectori constanți nedeterminați; 2) dacă λ coincide cu o rădăcină caracteristică și aceasta are multiplicitatea m,

atunci soluția o căutăm sub forma y ( x) = (l 0 + l1 x + ... + l s x s ) x m e λm .

(4.12)

Substituind aceste funcții–vector în (4.10) obținem un sistem algebric pentru determinarea componentelor vectorilor l 0 , l 1 ,..., l s .

Exemplul 1. Să se rezolve sistemul: Rezolvare. Det ( A − λE ) =

 x = x + 8 y, .   y = x + y.

−1− λ 8 = 0 . De aici rezultă: λ1 = 3, λ2 = −3 . 1 1− λ α   β1 

1 Pentru λ1 = 3 determinăm vectorul propriu γ 1 =   . Rezolvăm sistemul:

α 1 ⋅ (−1 − 3) + β1 ⋅ 8 = 0 − 4α1 + 8β1 = 0 ⇔ ⇒ α 1 = 2 β1 , β1 ∈ R .  α 1 + β1 ⋅ (1 − 3) = 0 α 1 − 2 β1 = 0  2 1 

Pentru β1 = 1 ⇒ α1 = 2 . Vectorul propriu este γ 1 =   și soluția particulară:  − 4 x1 = 2e 3t , y1 = e 3t . Analogic, pentru λ2 = −3 ⇒ α 2 = −4β 2 , γ 2 =   . A doua soluție 1 

este: x2 = −4e −3t , y 2 = e −3t . Soluția generală a sistemului este combinația liniară a soluțiilor obținute:  x = 2C1e3t − 4C2e −3t ,   y = C1e3t + C2e − 3t .  x = x − 5 y,

Exemplul 2. Să se rezolve sistemul    y = 2 x − y. Rezolvare. Det ( A − λE ) =

1− λ 2

−5 = 0 . De aici rezultă: λ1 = 3i, λ2 = −3i . −1− λ α   β1 

1 Pentru λ1 = 3i determinăm vectorul propriu γ 1 =   . Rezolvăm sistemul:

22

α 1 ⋅ (1 − 3i ) + β1 ⋅ (−5) = 0 5 ⇒ α1 = β1 , β1 ∈ R .  1 − 3i 2α 1 − β1 ⋅ (1 + 3i ) = 0 5   1 − 3 i  

Pentru β1 = 1 − 3i ⇒ α 1 = 5 . Vectorul propriu este γ 1 = 

5

și soluția 

 . A doua particulară: x1 = 5e 3it , y1 = (1 − 3i)e 3it . Analogic, pentru λ2 = −3i ⇒ γ 2 =  1 + 3i 

soluție este: x2 = 5e −3it , y 2 = (1 + 3i )e −3it . În acest caz avem două soluții complexe, care formează un sistem fundamental de soluții. Vom determina soluțiile reale ale sistemului. Folosind formula lui Euler: e ±ϕix = cos ϕt + i sin ϕt ,  x1 = 5(cos 3t + i sin 3t ),  y1 = (1 − 3i )(cos 3t + i sin 3t ).

prima soluție o scriem astfel: 

 x2 = 5(cos 3t − i sin 3t ),  y2 = (1 − 3i )(cos 3t − i sin 3t ).

Respectiv a doua:  Re x1 = 5 cos 3t ,

Im x1 = 5 sin 3t ;

Re y1 = cos 3t + 3 sin 3t ,

Im y1 = sin 3t − cos 3t .

Perechea de soluții complexe liniar independente o înlocuim cu perechea de soluții liniar independente reale. I soluție: ~x1 = Re x1 , ~y1 = Re y1 , II soluție: ~x2 = Im x1 , ~y 2 = Im y1 . Soluția generală reală este:  x = 5C1 cos 3t + 5C2 sin 3t ,   y = C1 (cos 3t + 3 sin 3t ) + C2 (sin 3t − 3 cos 3t ).  x = 3 x − y

. Exemplul 3. Să se rezolve sistemul    y = 4x − y

Rezolvare. Det ( A − λE ) =

3−λ 4

−1 = 0 ⇒ λ1 = λ2 = 1 . −1− λ

 x = (α1 + β1t )et , Căutăm soluția în forma:   y = (α 2 + β 2t )et .

(4.13)

Aici α1 ,α 2 , β1 , β 2 sunt constante nedeterminate. Pentru a le determina, substituim (4.13) în sistemul dat. Obținem: 23

β1 + α1 + β1t = 3α 1 + 3β1t − α 2 − β 2 t α 2 = 2α1 − β1 , unde α1 , β1 sunt variabile independente. Notăm α1 = C1 , β1 = C 2 . β 2 = 2β1 ,

ori 

Atunci α 2 = 2C1 − C 2 , β 2 = 2C2 . Soluția generală este:  x = (C1 + C2t )et ,   y = (2C1 − C2 + 2C2t )et .

§ 5. Studiul calitativ al sistemului liniar bidimensional x 

1 Considerăm planul fazic ( x1 , x2 ) , vectorul x =   , variabila independentă t  x2 

și s.l.o.e.d.  x1 = a11 x1 + a12 x2 ,   x 2 = a21 + a22 x2

ori a

a 

a

x = Ax ,

(15.1) (15.2)

a

11 12 11 12 unde A =  a a  și a a ≠ 0, aij = const., i, j = 1,2 . 22  21 22  21

Sistemul (15.1) are un singur punct singular care este x1 = x2 = 0 . Ne interesează comportarea soluțiilor sistemului (15.1) în vecinătatea punctului singular (0,0). Vom vedea în continuare, că comportarea traiectoriilor în vecinătatea originii depinde de structura rădăcinilor ecuației caracteristice a matricei A: det( A − λE ) = 0, λ1 ( A), λ2 ( A) . Mai întâi ne vom referi la următoarea situație din geometria analitică. Fie că pe un plan este dată o linie, fie o parabolă. Poziția ei pe plan este fixată. Ecuația parabolei poate fi diferită: totul depinde de alegerea sistemului de coordonate pe acest plan, care poate fi nu doar cartezian, dar și oblic. Putem simplifica puțin situația, fixând originea sistemului de coordonate, de pildă, în vârful parabolei.

24

Este clar că doar pentru un anumit sistem de coordonate ecuația parabolei va fi cea mai simplă. Adică să trecem de la sistemul de coordonate ( x1 , x2 ) la ( y1 , y2 ) prin transformarea liniară nesingulară:  y1 = c11 x1 + c12 x2 ,   y2 = c21 x1 + c22 x2

(15.3)

sau y = Cx , det C ≠ 0,

(15.4)

și coeficienții matricei C trebuie aleși astfel, ca ecuația liniei noastre în coordonatele y1 , y 2 să fie cât mai simplă. O problemă similară se examinează și pentru sistemul l.o.e.d.

(15.1). În el trebuie să facem o transformare liniară

nesingulară (15.3) astfel ca sistemul (15.1) în variabilele noi să fie scris mai simplu, atunci și legea mișcării, adică traiectoriile fazice vor avea înscrierea cea mai simplă. După cum vedem (15.3) păstrează pe loc punctul singular în origine. Potrivit regulii de derivare, din (15.4) avem y = Cx = CA x = CAC −1 y,

y = CAC −1 y.

Matricea CAC-1 se numește asemenea cu matricea A. În algebră sunt obținute următoarele rezultate, referitoare la matricele asemenea: 1) Pentru matricele asemenea ecuația caracteristică este una și aceeași; 2) Pentru matricea nesingulară A se poate indica așa o matrice C, detC ≠ 0

încât matricea CAC-1 devine o matrice de forma Jordan, pe care o vom nota cu B, B=CAC-1. Pentru cazul matricei (2×2) matricea Jordan are una din următoarele forme:  λ1  0

0 , λ2 

λ 0  λ 1    sau   . 0 λ 0 λ

Aici λ1 , λ2 , λ sunt rădăcini ale ecuației caracteristice: det( A − λE ) = 0 . În primele două cazuri matricea B se numește diagonală. Matricea are forma diagonală, dacă pentru sistemul nou de coordonate axele de coordonate sunt orientate pe vectorii proprii ai matricei A. 25

Cazul I. λ1 ≠ λ2 ∈ R 1) λ1 ⋅ λ2 < 0 , adică λ1 și λ2 au semn opus.  y = λ1 y1 , λ 0   , y = By ,  1 B =  1  0 λ2   y 2 = λ2 y2 .

(15.5)

 y1 = C1 e λ1t , Soluția generală:   y2 = C2e λ2 t .

Sistemul (15.5) nu se schimbă la înlocuirea lui y1 cu –y1, y2 cu –y2. Prin urmare, soluții ale sistemului (15.5) vor fi și funcțiile  y1 = −C1 eλ1t ,  ,  y2 = C2e λ2 t ,

 y1 = C1 e λ1t ,  ,  y2 = −C2e λ2 t ,

 y1 = −C1 eλ1t ,  .  y2 = −C2e λ2 t .

Adică traiectoriile fazice sunt simetrice față de axa 0y1 și 0y2. De aceea, este suficient să examinăm doar traiectoriile din cadranul I: C1 ≥ 0, C2 ≥ 0 . Fie λ1 > 0,

 y (t ) ≡ 0, λ2 < 0 . Dacă C1=0 și C2=0, soluția  1 este cea trivială, adică (0, 0) e  y 2 (t ) ≡ 0

punct staționar și traiectoria mișcării constă doar din punctul (0, 0). Dacă C1=0 și  y1 (t ) ≡ 0,

C2≠0, atunci avem soluția 

 y2 (t ) ≡ C2e

λ2 t

și traiectoria este semiaxa 0y2;

t → ∞, y 2 → 0 . Mișcarea este îndreptată spre origine. Dacă C1≠0 și C2=0, atunci  y1 (t ) ≡ C1e λ1t soluția  și traiectoria este semiaxa 0y2, t → ∞, y1 → 0 , iar mișcarea  y 2 (t ) ≡ 0  y1 (t ) ≡ C1eλ1t , decurge de la origine. Dacă C1≠0 și C2≠0, soluția   y2 (t ) ≡ C2e λ2 t .

Ecuația

λ1

dy λ y λ traiectoriei mișcării 1 = 1 ⋅ 1 ; y1 = Cy 2λ2 ; 1 < 0 și atunci traiectoria fazică este dy 2 λ2 y 2 λ2

o ramură a hiperbolei cu asimptotele 0y1, 0y2. Deoarece avem un singur punct singular, atunci prin fiecare punct al planului fazic, diferit de (0, 0), trece o singură curbă integrală. În acest caz punctul singular – originea de coordonate – se numește ”punct de tipul șa”. 26

Acum putem trasa traiectoriile mișcării și direcția mișcării pe ele pe planul fazic.

Fig.2( λ1 > 0, λ2 < 0)

Fig.3( λ1 < 0, λ2 > 0)

Axele 0y1 și 0y2 s-au presupus perpendiculare între ele pentru a simplifica desenele. Ele puteau fi oblice. La fel axele 0x1 și 0x2 nu vor fi, în general, perpendiculare între ele. Tabloul fazic pe planul (x1, x2) poate fi reprezentat astfel:

Fig.4 2) λ1 ⋅ λ2 > 0  λ1 0   ,  0 λ2 

 y 1 = λ1 y1 ,   y 2 = λ2 y2 ,

 y1 = C1eλ1t ,   y2 = C2 e λ2 t .

Ca și în cazul precedent avem simetrie față de axele y1 și y2 și este suficient să considerăm: C1 ≥ 0, C 2 ≥ 0 . Din nou obținem soluția trivială (C1=0 și C2=0), care este un punct staționar. Fie λ1 < 0, λ2 < 0 .  y1 (t ) ≡ 0 , traiectoria  y2 (t ) ≡ C2e λ2 t ,

Pentru C1=0, C2≠0, soluția 

– semiaxa 0y2,

t → ∞, y 2 → 0 , mișcarea pe traiectorie este spre origine.

Dacă C1≠0, C2=0, soluția

 y1 (t ) ≡ C1eλ1t ,   y2 (t ) ≡ 0,

traiectoria – semiaxa 0y1,

t → +∞, y1 → 0 , mișcarea din nou spre punctul singular.  y1 (t ) ≡ C1eλ1t , t → +∞, y1 → 0, y 2 → 0 . Dacă C1≠0, C2≠0, soluția   y2 (t ) ≡ C2e λ2 t , 27

λ1 λ1 dy1 λ1 y1 λ1 λ2 > 1, = ⋅ ; y = Cy > 0 . Dacă Ecuația traiectoriei mișcării este 1 2 ; λ2 dy 2 λ2 y 2 λ2

λ

1 traiectoriile fazice prezintă o ramură a parabolei de gradul λ > 1 . Dacă C=0, 2

dy

1 obținem y1 (t ) ≡ 0 , adică semiaxa 0y2. Avem că dy → 0 când y 2 (t ) → 0, (t → +∞) . 2

λ1

Deci, parabola y1 = Cy 2λ ”intră” în punctul singular (0, 0) tangent la semiaxa 0y2, 2

care ea singură este traiectorie. Este traiectorie și semiaxa 0y1. Punctul singular în acest caz se numește ”nod” de genul întâi. Când λ1 < 0, λ2 < 0 mișcarea pe toate traiectoriile este spre origine. Comportarea traiectoriilor este reprezentată în figura λ

1 5. Dacă λ > 1 însă λ1 > 0, λ2 > 0 , traiectoriile rămân aceleași, iar mișcarea pe ele 2

este de la origine. În figura 6 este arătat portretul fazic pentru cazul λ1 > λ2 > 0 .

Fig.5

Fig.6

Pe planul (x1, x2) prezentăm un tablou fazic posibil:

Fig.7 λ 0  , λ = λ1 = λ2 . Soluția generală: 3) B =  0 λ

 y1 (t ) ≡ C1eλt ,  λ t  y2 (t ) ≡ C2e .

Din nou sistemul admite soluție trivială și, deci, (0, 0) este punct staționar.

28

 y1 (t ) ≡ 0, λ t traiectoria – semiaxa 0y2.  y2 (t ) ≡ C2e ,

Dacă C1=0 și C2≠0, avem soluția 

 y1 (t ) ≡ C1eλt , Dacă C1≠0 și C2=0,  traiectoria este semiaxa 0y1. Dacă C2≠0,  y2 (t ) ≡ 0, y1 C1 = , traiectoriile sunt raze: y1 = Cy2, ce pornesc din origine. Dacă λ < 0 pentru y 2 C2 t → +∞, y1 → 0, y2 → 0 mișcarea este spre origine. Punctul singular este un ”nod

dicritic”. Tabloul fazic este arătat în figura 8, iar pentru λ > 0 în figura 9.

Fig.8

Fig.9

Cazul II. Rădăcinile caracteristice sunt egale

λ = λ1 = λ2 și matricea B nu

este diagonală: λ 1  , B =  0 λ

 y 1 = λy1 + y2 ,   y 2 = λy2

y2 = C1e λt

(15.6)

y 2 = λy1 + C1e λt - ecuație liniară neomogenă. O rezolvăm prin metoda de variație a  y1 (t ) ≡ (C1 + C2t )eλt , constantelor: y1 = C (t )e . Soluția generală pentru (15.6) este:  λ t  y2 (t ) ≡ C2e . λt

Sistemul (15.6) nu se schimbă, dacă înlocuim în același timp y1, y2 cu -y1, -y2. Adică, traiectoriile fazice sunt simetrice față de origine. Este suficient să studiem cazul C 2 ≥ 0 .  y1 (t ) ≡ C1e λt Dacă C1≠0 și C2=0,  , traiectoria este semiaxa 0y1. Deoarece  y 2 (t ) ≡ 0 det B ≠ 0 ⇒ λ ≠ 0 . Ecuația traiectoriilor mișcării se obțin din (15.6) împărțind prima

29

dy

y

dy

1

y

1 1 1 1 ecuație la a doua: dy = y + λ . Rezolvăm întâi dy = y , y1 = Cy 2 . Aplicăm metoda 2 2 2 2

variației constantelor: y1 = C ( y2 ) y2 . C | ( y 2 ) y 2 + C ( y2 ) = C ( y 2 ) +

1 dC 1 1 1 , = ⋅ , C = ln y2 + γ . λ dy2 λ y2 λ

1 dy1 1 1 y2 > 0, y1 = ( ln y2 + γ ) y2 ; = + ⋅ ln y2 + γ . λ dy2 λ λ dy

dy

1 = +∞, λ < 0; lim 1 = −∞, λ > 0. Când y2 → 0, lim y →0 dy y →0 dy 2 2 2

2

Adică traiectoria fazică este tangentă la axa 0y1, care este la fel o traiectorie. Cealaltă semiaxă 0y2 nu e traiectorie. Tabloul fazic este dat în figura 10 pentru λ < 0 , în figura 11 pentru λ > 0 . Punctul singular se numește în acest caz ”nod de

genul al doilea”.

Fig.10( λ < 0 )

Fig.11( λ > 0 )

Pe planul (x1, x2) comportarea traiectoriilor fazice este aproximativ astfel:

Fig.12 Cazul III. Rădăcinile caracteristice sunt complexe: λ 0  , B =  1  0 λ2  30

 y 1 = (α + iβ ) y1 ,   y 2 = (α − iβ ) y2 .

După cum s-a arătat în §4 vectorii proprii γ 1 , γ 2 sunt complecși conjugați. Pentru a obține soluția generală reală, vom lua constantele arbitrare complexe conjugate  y1 = C1γ 11e (α + iβ ) t + C1γ 11e(α − iβ ) t ,   y1 = C2γ 22e (α + iβ ) t + C2γ 22e (α − iβ ) tt .

Folosind formula lui Euler e ± βit = cos βt ± i sin βt obținem:  y1 = eαt ( p1 cos βt + q1 sin βt ),   y1 = eαt ( p2 cos βt + q 2 sin βt ).

(15.7)

a) α = 0 . Observăm, că funcțiile din (15.7) sunt periodice cu perioada T=

2π . Atunci traiectoriile fazice sunt niște curbe închise, ce înconjoară originea. β

Mișcarea pe ele este ori numai în direcția mișcării acelor de ceasornic ori în sens opus. Punctul singular se numește ”centru”. Despre natura curbelor integrale se poate arăta, că ele sunt elipse.

Fig.13

Fig.14

b) α ≠ 0, ρ 2 = y12 + y22 = e 2αt [( p1 cos βt + q1 sin βt ) 2 + ( p2 cos βt + q2 sin βt ) 2 ] . 2π

La schimbarea lui t cu β vedem, că ρ 2 ori crește ( α > 0 ), ori descrește ( α < 0 ). Traiectoriile fazice nu mai sunt curbe închise. Dacă α < 0 pentru t → +∞

traiectoriile se comportă ca niște spirale, ce se înfășoară pe punctul singular (fig.15). Dacă α > 0 situația aceasta are loc pentru t → −∞ . Deci, cât t → +∞ punctul mobil se îndepărtează de la punctul singular (fig.16). În ambele cazuri punctul singular se numește ”focar”.

31

Fig.15 ( α < 0 )

Fig.16 ( α > 0 )

Cazul IV. Să presupunem, că matricea B este degenerată, adică cel puțin una din rădăcinile caracteristice se anulează. a) λ1 ≠ 0, λ2 = 0 .  y 1 = λ1 y1 ,  y1 = C1eλt ,    y 2 = 0,  y 2 ≡ C2 .

Puncte staționare sunt (0, C2), adică fiecare punct de pe axa 0y2. Traiectoriile fazice sunt semidreptele paralele la 0y1 și punctele axei 0y2

Fig.17 ( λ < 0 ) λ

Fig.18( λ > 0 )

0  0 1

 =   , b) λ1 = λ2 = 0 . B =   0 λ   0 0  y 1 = y2  y1 = C2t + C1 ,   .  y 2 = 0  y2 ≡ C2

Traiectoriile constau din drepte paralele la axa 0y1, și din punctele de pe 0y1 care sunt puncte staționare.

Fig.19 λ

 y 1 = 0  y1 = C1 ,   .  y 2 = 0  y2 = C2

0  0 1

 =   , c) λ1 = λ2 = 0 . B =   0 λ   0 0

Oricare punct al planului fazic (y1, y2) este punct staționar. 32

Fig.20

CAPITOLUL II ELEMENTE ALE TEORIEI STABILITĂȚII §6. Noțiune de stabilitate și stabilitate asimptotică a soluției Problemele din practică, care aduc la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, cer aflarea unor soluții particulare, determinate de anumite condiții inițiale. Valorile inițiale sunt niște numere, care apar în rezultatul unor măsurări și, prin urmare, nu sunt exacte, ele conțin careva erori. Se pune problema, cum influențează schimbarea destul de mică a condițiilor inițiale asupra comportării soluțiilor. Dacă la schimbarea mică a condițiilor inițiale soluțiile se schimbă simțitor, atunci așa soluții nu are nici o aplicare în practică. Prezintă o mare însemnătate acele soluții, pentru care o perturbare destul de mică a condițiilor inițiale atrage o abatere oricât de mică a soluțiilor (în acest caz se spune, că soluția inițială este stabilă față de schimbarea condițiilor inițiale). Anume această proprietate este pusă la baza definiției stabilității soluției ecuației diferențiale. Teoria stabilității studiază proprietăților soluțiilor stabile, oferă criterii, care permit pentru ecuația

33

diferențială ori sistemul dat și soluția indicată să conchidem dacă este stabilă sau nu această soluție. Teoria stabilității este o ramură importantă a teoriei ecuațiilor diferențiale și joacă un rol important în mecanică și tehnică. Ea a fost creată prin efortul a mai multor matematicieni și fizicieni: A.Liapunov, A.Poincare, I.Bendixon și alții. Problema despre stabilitatea mișcării a fost pusă în modul cel mai serios de savantul rus A.M.Liapunov, care a obținut rezultate fundamentale în teoria stabilității, metode stricte de stabilitate și nestabilitate a mișcării. Cercetările lui A.M.Liapunov au fost continuate cu succes de către alți matematicieni. Vom da acum definiții stricte și vom lua cunoștință de unele elemente ale teoriei stabilității. Considerăm sistemul de ecuații diferențiale dy = f (t , y ) dt y (t 0 ) = y 0

unde f (t , y )

y1 ,..., yn

soluția

(6.1)

,

(6.2)

sunt componentele funcției-vector

, iar componentele lui

y

f i (t , y1 ,..., yn ) ∈ C ( D), i = 1,..., n și D – domeniul din spațiul mărimilor

sunt

(t , y1 ,..., y n )

,

. Prin modulul vectorului y = ϕ (t )

y

înțelegem

y =

n

∑y

2 i

i =1

a sistemului (6.1) satisface condițiile inițiale

determinată pentru orice

t ≥ t0

, i = 1,..., n

ϕ (t 0 ) = y 0

. Fie că și este

.

Definiția 1. Vom spune, că soluția sistemului (6.1) este stabilă după Leapunov, dacă pentru orice soluție

y =ψ (t )

t ≥ t0

există așa

δ =δ(ε)

>0

a sistemului (6.1), definită pe semiaxa

satisface condiției fiecare

ε >0

ψ(t 0 ) −ϕ(t 0 ) <δ

se respectă relația:

t ≥ t0

încât pentru fiecare și care pentru ψ (t ) −ϕ(t ) <δ

t = t0

pentru

.

Interpretarea geometrică este următoarea: să considerăm spațiul mărimilor ( y1 ,..., yn , t )

. Pentru fiecare soluție, care începe într-un punct 34

ψ (t 0 )

situat la o

distanță mai mică ca

δ

de la

ϕ (t0 )

timp t de pe traiectoriile soluțiilor află la o distanță mai mică ca

punctele corespunzătoare aceluiași moment de și

ϕ (t )

ψ (t )

în spațiul (n+1) dimensional, se

pentru toate valorile

ε

t ≥ t0

.

Fig.21 Definiția 2. Soluția

y =ϕ(t )

se numește stabilă asimptotic, dacă:

1) ea este stabilă; 2) există așa un

încât pentru fiecare soluție

γ >0

y =ϕ(t )

pentru care

ψ (t0 ) − ϕ (t0 ) < γ ⇒ lim ψ (t ) − ϕ (t ) = 0 . t → +∞

Punctul al doilea exprimă, că toate soluțiile cu condițiile inițiale puțin abătute de la condițiile inițiale date, se apropie nemărginit către soluție dată, când t → ∞

. Deoarece soluția ecuației diferențiale ori a unui sistem exprimă un proces

mecanic, tehnic sau de altă natură, putem face și astfel de concluzii: stabilitatea după Leapunov garantează, că greșeala dintre procesul real și cel calculat va fi fixată și ea poate fi comisă oricât de mică. Dacă vrem să studiem mai amănunțit un fenomen, atunci este puțin ca el să fie doar stabil. Stabilitatea asimptotică garantează, că după un timp îndelungat procesul real se apropie anume de acela dorit. Exemplul 1.

Considerăm ecuația diferențială scalară

Soluția corespunzătoare este și anume

( y0 + ∆y0 )

Analizăm

ψ(t ) −ϕ(t ) = ∆y0 e λ( t −t

ϕ(t ) = y0 e λ( t −t

0

)

)

. 35

.

. Acum să luăm condiții inițiale vecine

. Soluția cu aceste condiții inițiale este: 0

y = λy, y (t0 ) = y0

ψ(t ) =( y +∆ y0 )e λ( t −t

0

)

.

1) Fie

λ <0

. Pentru orice

t ≥ t0

ψ(t ) −ϕ(t ) < ∆y0 < ε

(aici

δ ≤ε

). Soluția

ϕ (t )

este stabilă în sensul lui Liapunov. limψ(t ) −ϕ(t ) =lim ∆y0 e λ( t −t 0 ) =0 t→ ∞

Soluția

y =ϕ(t )

2) Fie

λ =0

pentru ,

λ <0

t→ ∞

este stabilă asimptotic (fig.22). ,

ϕ(t ) ≡ y0

ψ(t ) −ϕ(t ) = ∆y0 <ε, (δ ≤ε)

.

iar

ψ(t ) ≡ y0 +∆y0

pentru

orice

. Soluția este stabilă, dar nu este stabilă

asimptotic (fig.23). 3) Fie

λ >0

. Pentru t destul de mare,

mare. Prin urmare, soluția și y0=0. Atunci

y =ϕ (t ) ≡0

y =ϕ(t )

ϕ(t ) −ψ(t )

devine și rămâne destul de

nu este stabilă (fig.24). Este admis aici

, adică soluția este trivială.

Exemplul 2. Considerăm ecuația

y = y 2

. Soluția particulară cu condițiile

inițiale y(-1)=1 (t0=-1) este y(t)=-1/t. Această soluție nu poate fi studiată la stabilitate după Leapunov deoarece ea există doar pentru t>0 și nu pentru orice t>t0, după cum cere definiția.

Fig.22

Fig.23

Fig.24

Fig.25

Condițiile inițiale y(0)=0 determină soluția y(t)=0 definită pe

[t0 , ∞),

t0 = 0

.

Dar această soluție nu se poate studia la stabilitate, pentru că soluțiile particulare 36

perturbate

~y (t )

~y (t ) = − 1 1 t− a

, determinate de condiția y(0)=a, adică

există doar pentru

0≤t <

1 a

pentru a>0

.

Din aceasta concludem că: înainte de a pune problema de cercetare a soluției la stabilitate, trebuie de verificat, dacă această soluție și fiecare soluție perturbată există pe

[ t0 , ∞ )

.

Fig.26 Remarca 1. Studierea stabilității soluției

y =ϕ(t )

a sistemului (6.1) se poate

reduce la studierea stabilității soluției triviale ale unui alt sistem. Într-adevăr, fie x =y −ϕ(t )

dx dy dϕ  (t ) = − ≡ f (t , y (t )) −ϕ dt dt dt

. Atunci

Să notăm

ori

. Evident

 (t ) ≡F (t , x ) f (t , x +ϕ(t )) −ϕ

dx  (t ) = f (t , x +ϕ (t )) −ϕ dt F (t , 0 ) = 0

.

.

Deci, sistemul dx = F (t , x ) dt

(6.3)

admite soluție trivială. Fără a diminua generalitatea vom presupune, că (6.1) admite soluția trivială

y ≡0

.

Definiția 3. Soluția trivială lui Leapunov, dacă pentru urmează, că

y (t ) < ε

a sistemului (6.1) este stabilă în sensul

y (t ) ≡0

(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) > 0

pentru fiecare

Definiția 4. Soluția trivială

încât din condiția

.

t ≥ t0

y (t ) ≡0

a sistemului (6.1) este stabilă asimptotic,

dacă: 1) această soluție este stabilă, 2) există așa

γ >0

y (t0 ) < δ

astfel încât pentru

y (t0 ) < γ

37

avem că

lim y (t ) = 0 t →∞

.

Despre punctul staționar (aici origine) în acest caz se spune, că el este respectiv stabil ori stabil asimptotic. Să dăm interpretarea geometrică. Întreaga traiectorie a soluției triviale este un punct – originea spațiului fazic. Relațiile

y (t ) < δ

și

în spațiul fazic

y (t ) < ε

sunt două „sfere” cu centrul în origine și razele respective

δ

și

ε

.

Stabilitatea soluției triviale exprimă următoarele: dacă în momentul inițial punctul s-a aflat în

- vecinătatea sferică a originii, atunci, mișcându-se pe

δ

traiectorie mai departe, el pentru totdeauna se va găsi înăuntrul sferei cu raza

ε

(fig.27). Stabilitatea asimptotică se poate înțelege astfel: dacă deplasăm puțin poziția punctului staționar, atunci acest punct tinde pe parcurs să se reîntoarcă în poziția sa inițială (fig.28). Luând în considerație remarca 1, este suficient ca la stabilitate să studiem doar soluția trivială.

Fig.27 Remarca 2.

Fig.28

În definiția stabilității asimptotice (definiția 2 și 4)

respectarea condiției a doua nu asigură îndeplinirea condiției întâi. Să considerăm sistemul:  x 2 (2 y − x) + 5 y 6  x =  ( x 2 + y 2 )[1 + ( x 2 + y 2 ) 2 ]   8 y 2 ( y − x)  y =  ( x 2 + y 2 )[1 + ( x 2 + y 2 )]

.

El admite soluție trivială. O analiză riguroasă demonstrează, că există așa astfel încât, dacă

ϕ (t0 ) < γ

,

lim ϕ (t ) = 0 t →∞

γ >0

. Tabloul fazic în vecinătatea originii poate

fi reprezentat astfel: 38

Fig.29 Dacă l-am lua pe

ε >0

este mai mic decât amplitudinea lațului, atunci oricât de mic nu

δ >0

vor fi traiectorii, care, deși au începutul în cercul cu raza

ε

,

fiind silită să ocolească lațul; în viitor aceste traiectorii se apropie nemărginit de origine. Stabilitate în sensul Liapunov a soluției triviale aici nu este și, prin urmare, nici stabilitate asimptotică. §7. Stabilitatea soluției în sistemele liniare cu coeficienți constanți Considerăm s.l.o.e.d. cu coeficienți constanți: dy = Ay , dt

(7.1)

 y1    unde y =  ...  , A – matrice (n×n) cu coeficienți reali. y   n

Ecuația caracteristică pentru (7.1) este: det( A − λE ) = 0

(7.2)

Teorema 7.1 (despre stabilitatea soluției triviale a s.l.o.e.d cu coeficienți constanți). Dacă pentru fiecare rădăcină λm a ecuației caracteristice se respectă una dintre următoarele două condiții a) Re λm<0

(7.3)

b) Re λm=0

(7.4)

și pentru cazul al doilea λm este simplă, atunci soluția trivială pentru (7.1) este stabilă după Leapunov, iar dacă pentru toate rădăcinile λm avem Re λm<0, soluția trivială este stabilă asimptotic. D e m o n s t r a ț i e. Ecuația (7.2) are n rădăcini. Fie că 2p rădăcini sunt complexe diferite λ1 ,.., λ p , λ1 ,..., λ p de multiplicitate corespunzător r1,…, rp și q 39

rădăcini reale diferite λ2 p +1 ,..., λ2 p + q de multiplicitate corespunzător r2 p +1 ,..., r2 p + q , p

q

j =1

k =1

2∑ rj + ∑ r2 p + k = n .

Fiecărei rădăcini λm de multiplicitate rm îi corespunde un sistem de rm soluții liniar independente ale sistemului (7.1) (complexe pentru m

p) și soluția corespunzătoare lor are aspectul: y (t ) = (γ 0 + γ 1t + ... + γ rm −1t rm −1 )eλm t

unde γ 0 , γ 1 ,..., γ r

m

−1

(7.5)

- vectori constanți.

Pentru cazul Reλ=0 prin ipoteză, λm era rădăcină simplă și atunci avem: y (t ) = γ 0e λm t

(7.6)

Fie ϕ1 ,..., ϕ n sistemul fundamental de soluții reale pentru (7.1). unele au aspectul (7.6) pentru fiecare rădăcină λm reală, m=2p=1, …, 2p+q, iar celelalte reprezintă partea reală și partea imaginară a soluție complexe (7.5), la număr ele sunt 2rm pentru fiecare soluție complexă λm , m=1,…,p.  ϕ1 j (t )    ϕ j (t ) =  ... , j = 1,..., n .  ϕ (t )   nj 

Să analizăm componentele ϕ jk (t ) acestor funcții-vector pentru t ∈ [ t0 , ∞ ) . Fie λ t Re λm<0. Dacă λm este real, ϕkj (t ) = Pm −1 (t )e . m

αt Dacă λm = α + iβ , ϕkj (t ) = Pm −1 (t )e (cos βt + i sin βt ) . Deoarece cos βt + i sin βt = 1

P (t )

m −1 = 0 , aceasta se verifică ușor cu avem | ϕ kj (t ) |=| Pm −1 (t )eαt |, (α = Re λm < 0) ; lim t → ∞ e − Re λ t m

ajutorul regulii lui L’Hospital. Dacă Re λm=0 folosim (7.6): | ϕ kj (t ) |=| γ k 0 (cos βt + i sin βt ) |≤ γ k 0 , (∀)t ≥ t0 și este just pentru β ≠ 0 și β = 0 . Evident, pentru fiecare componentă modulul | ϕ kj (t ) | este mărginit pe [ t0 , ∞ ) și este adevărat max sup ϕ kj (t ) = M j < +∞, j + 1,..., n. 1≤ k ≤ n t ≤ t < ∞ 0

40

(7.8)

Fie ψ s (t ) - soluție pentru (7.1), ce satisface condițiile inițiale  δ1s    1, s = k , s = 1,..., n. ψ s (t0 ) =  ...  , unde δ ks =  δ s  0, s ≠ k .  n

(7.9)

Deoarece ϕ1 ,..., ϕ n este sistem fundamental de soluții, avem: ψ s (t ) = C1( s )ϕ1 (t ),..., Cn( s )ϕ n (t ), s = 1,..., n ,

unde Cn(s ) sunt constante, n

max sup ϕ ks (t ) = N s ≤ ∑ C (j s ) M j < +∞ . 1≤ k ≤ n t ≤ t < ∞ 0

(7.10)

j =1

N s = N > 0 . Soluțiile ψ 1 (t ),...,ψ n (t ) formează, de asemenea, un sistem Notăm max 1≤ s ≤ n

fundamental pentru (6.1). Fie ε > 0 un număr arbitrar. Să luăm δ (ε ) <

ε . Acum n2 N

considerăm o soluție arbitrară y (t ) pentru (7.1) cu condițiile inițiale  y10    y (t0 ) = y0 =  ...   y0   n 0 și y j < δ (ε ), j = 1,...n. Să luăm t0=0.

Evident, că y (t ) ≡ y10ψ 1 (t ) + ... + yn0ψ n (t ) . Folosind (7.9), obținem n

max sup yk (t ) ≤ ∑ y 0j N < nδN , 1≤ k ≤ n 0 ≤ t < ∞

y (t ) =

j =1

n

∑ y (t ) k =1

k

2

< n ⋅ n 2δ 2 N 2 < n 2δN < ε .

Conform definiției 3, y (t ) ≡ 0 este stabilă după Liapunov. Dacă Re λm<0 ϕkj (t ) = 0 și, deci, lim || ϕ j (t ) ||= 0, j = 1,..., n. pentru toți m, atunci lim t →∞ t →∞ || y (t ) ||= 0 . Deoarece y (t ) se exprimă liniar prin ϕ1 ,..., ϕ n vom avea lim t →∞

Soluția

y (t ) fiind stabilă după Leapunov, devine și acest caz stabilă

asimptotic. Remarcă. Se poate demonstra că dacă măcar pentru o rădăcină a ecuației (7.2), Reλm>0 atunci soluția trivială nu e stabilă după Liapunov. 41

Concluzie. Pentru un s.l.o.e.d. cu coeficienți constanți, stabilitatea soluției triviale ori nestabilitatea ei este determinată doar de proprietățile rădăcinilor ecuației caracteristice. În §6 au fost studiate soluțiile pentru ecuația (7.1), unde A este o matrice (2×2). Din cele demonstrate putem trage anumite concluzii despre punctul staționar din origine, și anume: 1)

nodul și focarul pentru Re λm<0, m=1,2 este stabil asimptotic (vezi figurile 5, 7, 8, 10, 12, 13);

2)

centrul este stabil în sensul lui Leapunov, dar nu este stabil asimptotic (fig.13, 14)

3)

punctul de șa este întotdeauna nestabil. De asemenea este nestabil nodul și focarul, dacă Re λm>0, m=1,2 (fig.2, 3, 4, 6, 9, 11, 16). §8. Stabilitatea soluției după prima aproximație

Să considerăm acum unele sisteme mai complicate decât cele liniare, și anume, sistemele autonome, partea dreaptă a cărora nu depinde de timp: dy = f ( y) , dt

(8.1)

 y1   f1 ( y1 , , yn )      y =   , f ( y ) =   . y   f ( y , , y )  n   n  n 1

Vom studia la stabilitate soluția trivială și, prin urmare, vom cere respectarea condiției f (0) = 0 . Deoarece stabilitatea soluției triviale se examinează într-o vecinătate mică a originii, este natural să așteptăm, ca comportarea soluțiilor sistemului (8.1) să fie determinată de termenii liniari în descompunerilor funcțiilor fi(y1, …,yn) după formula lui Teylor, și anume: n

f i ( y1 ,..., yn ) = ∑ aik yk + Ri

( 2)

k =1

aik =

n ∂f i (0,...,0) ∂ 2 f i (θy1 ,..., θyn ) , Ri( 2) = ∑ yk y j ,0 < θ < 1 ∂yk ∂yn ∂y j k , j =1

42

(8.2) (8.3)

(termenii liberi lipsesc, deoarece f (0) = 0 ). Astfel, în (8.2) descompunerile încep cu termenii liniari, care reprezintă prima aproximație a funcțiilor. Dacă în (6.2) înlăturăm termenii neliniari, obținem sistemul n dyi = ∑ aik yk , i = 1,..., n dt k =1

(8.4)

dy = Ay . dt

sau

Sistemul (8.4) este un sistem liniar și totodată este o prima aproximație a sistemului (8.1). În §7 s-a arătat, că stabilitatea sau nestabilitatea soluției triviale a sistemului (8.4) este determinată de rădăcinile ecuației caracteristice. Putem oare aștepta, că stabilitatea soluției triviale a sistemului liniar (8.4) să caracterizeze stabilitatea soluției triviale a sistemului inițial? Aceeași întrebare referitor la stabilitatea asimptotică ori la nestabilitate. Să analizăm această problemă pentru următorul sistem.  x = − y + ax 3 , Exemplul 3.   y = x + ay 3 , a = const.  ϕ (t ) 

1 Rezolvare. Fie că ϕ (t ) = ϕ (t )  este o soluție arbitrară netrivială, definită



2



pentru t ≥ 0 . Avem că d ϕ (t )

2

d 2 dϕ (t ) dϕ (t ) [ϕ1 (t ) + ϕ 22 (t )] = 2ϕ1 (t ) 1 + 2ϕ 2 (t ) 2 = dt dt dt dt 3 3 4 2ϕ1 (t )[−ϕ 2 (t ) + aϕ1 (t )] + 2ϕ 2 (t )[ϕ1 (t ) + aϕ 2 (t )] = 2a[ϕ1 (t ) + ϕ 24 (t )].

Cazul a > 0 .

=

d ϕ (t ) dt

2

> 0 adică ϕ (t )

este o funcție monoton crescătoare

pentru t ∈ [ 0, ∞ ) . Atunci există așa număr k>0 încât a(ϕ14 (t ) + ϕ 24 (t )) ≥ k , adică d ϕ (t ) dt 2

2

≥ 2k . Integrăm această inegalitate în limitele de la 0 la t. Obținem 2

ϕ (t ) + ϕ (0) ≥ 2kt sau

2 ϕ (t ) = ∞ și soluția nulă a ϕ (t ) > 2kt . Rezultă, că lim t →∞

sistemului dat nu este stabilă. 43

Cazul a < 0 .

d ϕ (t ) dt

2

< 0 , adică ϕ (t ) monoton descrește pe [ 0, ∞ ) rămânând

ϕ (t ) = 0 , iar soluția trivială a sistemului este stabilă mereu pozitiv. Prin urmare, lim t →∞

asimptotic. Să cercetăm acum soluția trivială a sistemului de prima aproximație:  x = − y ,   y = x

det( A − λE ) = λ2 + 1 = 0, λ1, 2 = ±i.

Soluția nulă este stabilă neasimptotic (cazul centrului). Cât privește soluția trivială a sistemului cu termeni neliniari, ea este ori nestabilă ( a > 0 ) ori stabilă asimptotic ( a < 0 ). Astfel, într-un sistem neliniar termenii de grad superior determină gradul

mișcării. Totuși, dacă f ( y ) satisface unor anumite condiții, problema despre stabilitatea soluției triviale a sistemului (8.1) se reduce la aceeași problemă pentru sistemul linearizat. Teorema lui Leapunov (despre condiții suficiente de stabilitate și nestabilitate după prima aproximație) Fie că într-o vecinătate a punctului y1=0, …,yn=0, fi(y1, …, yn), i=1,…,n este continuă împreună cu derivatele sale parțiale până la ordinul doi inclusiv. Arunci dacă pentru sistemul (8.4) toate rădăcinile ecuației det( A − λE ) = 0 satisfac condiției Re λi < 0 soluția trivială a sistemului (8.1) este stabilă asimptotic. Dacă măcar pentru o rădăcină λi , avem că Re λi > 0 , atunci soluția trivială a sistemului (8.2) nu este stabilă. Să studiem la stabilitate soluția trivială prin câteva exemple. Exemplul 4. Părțile drepte ale

ecuațiilor sunt continui împreună cu  x = 2 xy − x + y ,

derivatele lor de ordinul întâi și al doilea 

4 3  y = 5 x + y + 2 x − 3 y.

Rezolvare. Să studiem sistemul linearizat:

44

 x = − x + y ,   y = 2 x − 3 y

det( A − λE ) =

−1− λ 2

1 = 0 , λ1, 2 = −2 ± 3; −3−λ

Re λ1 < 0, Re λ2 < 0 .

Punctul singular (0, 0) este stabil asimptotic pentru sistemul inițial.  x = e x + 2 y − cos 3 x, Exemplul 5.   y = 4 + 8 x − 2e y .

Rezolvare. Descompunem în serie de puteri părțile drepte:  1 (3 x ) 2 2  x = [ 1 + ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) + ...] − [ 1 − + ...],  2! 2!  . 2  y = 2(1 + 1 ⋅ 2 x + ...) − 2(1 + y + y + ...).  2 2!

Sistemul liniar corespunzător este:  x = x + 2 y ,   y = 2 x − 2 y

det( A − λE ) =

1− λ 2

2 = 0, −2−λ

λ1 = −3, λ2 = 2; Re λ2 > 0.

Punctul staționar (0, 0) nu este stabil în sensul lui Liapunov. §9. Metoda funcției lui Leapunov Metoda de cercetare a stabilității, expusă mai înainte, dă răspuns doar în anumite situații. A.M.Leapunov a propus încă o metodă, destul de generală, de studiere a stabilității. Fie că sunt garantate condițiile necesare, pentru studierea la stabilitate a soluție triviale a sistemului: dy = f (t , y ) dt

sau

dyi = f i (t , y1 ,..., yn ), dt

i = 1,..., n,

(9.1) t ∈ [ t0 , ∞ ) .

Să considerăm un punct mobil, care se deplasează doar pe traiectoriile acestui  y1 (t )    sistem: M(y1(t), …, yn(t)), unde y =    - soluție a sistemului (9.1).  y (t )   n 

Distanța de la acest punct până la punctul staționar-originea este 45

ρ (t ) = y (t ) =

n

∑y i =1

2 i

(t )

.

(9.2)

Dacă punctul mobil de pe fiecare traiectorie, în mișcarea sa de mai departe (t > t0 ) se apropie către origine, ori măcar nu se îndepărtează de la ea, atunci punctul staționar este stabil. S-ar crede, că pentru aceasta trebuie, în primul rând, să cunoaștem ecuațiile traiectoriilor ori să știm să rezolvăm sistemul, lucru care îl putem face nu întotdeauna. Interesant este, că în realitate rezolvarea problemei, puse mai sus, nu cere un lucru atât de mare, ca determinarea soluțiilor. Și iată de ce. Să calculăm derivata totală: n dρ ∂ρ dyi (t ) =∑ dt i =1 ∂yi dt

Aici figurează mărimile

(9.3)

dyi (t ) , care se pot înlocui din (9.1) ca mărimi identice cu dt

 y1 (t )    părțile drepte ale ecuației respective fi(t, y1(t), …, yn(t)), deoarece y =    este  y (t )   n  n dρ ∂ρ = soluția a acestui sistem. Astfel: dt ∑ ∂y f i (t , y1 ,..., yn ) . i =1 i

Așa procedeu de derivare se numește derivare în virtutea sistemului dat. Dacă

dρ < 0 soluția trivială este stabilă după Liapunov. Deseori se lucrează nu cu dt

2 ρ (t ) , dar cu ρ 2 (t ) . Derivatele ambelor funcțiilor au același semn: dρ = 2 ρ dρ . dt dt

Exemplul 6. Funcția v( y ) = v( y1 ,..., yn ) se numește pozitiv determinată pe domeniul y < h dacă v( y ) > 0, 0 < y < h și v(0)=0. Consideram funcția scalară v( y ) = v( y1 ,..., yn ) ∈ C1 . Fie y (t ) soluția sistemului (9.1). Alcătuim v( y (t )) . n dv ∂v |( 9.1) = ∑ f i (t , y1 ,..., yn ) dt i =1 ∂yi

46

(9.4)

este derivata funcției v( y ) în virtutea sistemului (9.1). Teorema lui Leapunov despre stabilitatea soluției triviale Considerăm sistemul (9.1)

dy = f (t , y ) . dt

Fie că pe y < h există funcția v( y ) cu următoarele proprietăți: 1) Este pozitiv determinată: v ( y ) > 0, 0 < y < h , v(0)=0. 2) v ( y ) ∈ C1 . 3)

dv( y ) |( 9.1) ≤ 0 . dt

Atunci soluția trivială a sistemului (9.1) este stabilă după Liapunov. D e m o n s t r a ț i e. Considerăm ε > 0, ε < h . Pe ”suprafața” y = ε , mărginită și închisă, funcția continuă v( y ) atinge într-un punct al ei valoarea sa cea mai mică m>0. Tot din continuitatea funcției v( y ) și condiția v(0)=0 urmează m existența numărului δ = δ (ε ) așa încât pentru y < δ , v( y ) < . Să demonstrăm, că 2

traiectoria, ce pornește din vecinătatea y < δ nu poate să iasă din vecinătatea lui ε , y (t ) < ε , t ∈ [ t0 , ∞ ) . Presupunem contrariul, că aceasta are loc într-un moment de timp t = t1 > t0 . Atunci v( y (t1 )) ≥ m . Avem v( y (t1 )) − v( y (t0 )) ≥ m − condiției 3 avem: v( y (t1 )) − v( y (t0 )) =

m m = > 0 . Pe de altă parte, în baza 2 2

dv(t * ) (t1 − t0 ) ≤ 0, dt

t0 < t * < t1 .

Contrazicerea obținută demonstrează stabilitatea după Liapunov a soluției triviale a sistemului (9.1). Teorema lui Leapunov despre stabilitatea asimptotică Considerăm sistemul (9.1)

dy = f (t , y ) . dt

Fie că pe y < h există funcția v( y ) cu următoarele proprietăți: 47

1 1) v ( y ) = v ( y1 ,..., yn ) ∈ C ,

2) v ( y ) > 0, dacă 0 < y < h , v(0)=0, 3) există așa funcție W ( y ) ∈ C ,W ( y ) > 0 încât

dv( y ) |(9.1) ≤ −W ( y ) < 0 . dt

Atunci soluția trivială a sistemului (9.1) este stabilă asimptotic. D e m o n s t r a ț i e. Deoarece sunt satisfăcute condițiile teoremei precedente, urmează, că y (t ) ≡ 0 este stabilă după Liapunov. A rămas să demonstrăm, că toate soluțiile y (t ) cu condițiile inițiale în momentul t0 dintr-o vecinătate a punctului staționar, tind spre origine, când t → +∞ . A fost demonstrat, că pentru ε > 0 există δ = δ (ε ) > 0 astfel încât y (t0 ) < δ , y (t ) < ε , t ≥ t0 . Fie ε < h . Pentru

0 < y < ε,

dv( y (t )) dv = ≤ −W ( y ) < 0 . dt dt

Urmează, că

v( y (t ))

este strict

descrescătoare. Deoarece v(y)>0, atunci există lim v( y (t )) = a ≥ 0 . t →∞

(9.5)

Să demonstrăm că a=0. Fie α>0, v( y (t )) se apropie sus de limita sa: v( y (t )) ≥ a > 0 . Să arătăm, că în astfel condiții soluția y (t ) nu se poate apropia nemărginit de origine. Din continuitatea v( y ) și v(0) = 0 urmează, că există așa δ 0 ≤ δ (ε ) încât pentru y < δ 0 , a v ( y ) < . Atunci v( y ) ≥ a poate fi doar pentru δ 0 ≤ y ≤ h1 < h . Considerăm domeniul 2

mărginit și închis δ 0 ≤ y ≤ h1 . Aici W ( y ) = W ( y1 ,..., yn ) este continuă și pe acest domeniu primește valoarea sa minimală m0:

dv( y ) dv( y ) ≤ −W ( y ) ≤ −m0 ori ≤ −m0 . dt dt

Integrăm inegalitatea pe [t0, t]. Obținem: v( y (t )) − v( y (t0 )) ≤ − m0 (t − t0 ) → −∞, t → +∞.

Aceasta este imposibil, deoarece v( y ) ≥ 0 . v( y (t )) = 0 . Astfel, a=0, lim t →∞

(16.3)

Să demonstrăm, că y (t ) → 0 pentru t → +∞ . 48

Presupunem contrariul, că există așa {tk }, tk → ∞ încât pentru y (tk ) ≥ b > 0. Fie b0 și, deci, v( y (t )) = 0 . v ( y (tk )) ≥ m > 0 , ceea ce contrazice faptului că lim t →∞

Deci, soluția trivială este stabilă asimptotic. Exemplul 7.  x = 5 y − 2 y 3 , De studiat la stabilitate soluția trivială a sistemului:   y = −3x − 5 y 3 .

Rezolvare. Căutăm funcția lui Liapunov sub forma v = ax 2 + by 2 , a > 0, b > 0. dv dx dy = 2ax + 2by = 2ax(5 y − 2 x 3 ) + 2by (−3 x − 5 y 3 ) = −2((3b − 5a ) xy + 5by 4 + 2ax 4 ). dt dt dt

Pentru a=3, b=5 se respectă condițiile teoremei a doua lui Liapunov și soluția trivială este stabilă asimptotic. Savantul N.G.Cetaev a propus criterii pentru nestabilitatea soluției triviale. Remarcă. Cusurul metodei funcțiilor lui Leapunov constă în faptul că lipsește o metodă constructivă pentru determinarea acestor funcții. Pentru clase largi de sisteme de ecuații diferențiale așa posibilități sunt.

49