Studio Di Funzioni

Studio di funzioni Giacomo Palazzi

26 Ottobre 2008

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Studio del gra…co di una funzione

Per studiare il gra…co di una funzione occorre essenzialmente determinare: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1.1

Dominio della funzione; Segno della funzione; Intersezioni con gli assi; Asintoti; Crescenza e decrescenza Punti di massimo e minimo; Concavità e ‡essi

Dominio

Occorre anzitutto determinare dominio. Bisogna stabilire per quali valori della variabile la funzione sia de…nita. Elementi critici usuali nella determinazione del dominio sono: a bp; b 6= 0 n b; b > 0 se n è pari ln b; b > 0

1.2

Segno della funzione

Per determinare il segno della funzione è su¢ ciente risolvere le disequazioni f (x) > 0 e f (x) < 0. Chiaramente se S è l’insieme di soluzioni della disequazione f (x) > 0, allora DnS, con D dominio di f (x), è l’insieme di soluzioni della disequazione f (x) < 0. Cioè se una funzione è positiva in un certo insieme, sarà negativa nell’insieme opposto. Basta fare lo studio del segno. Esercizio 1. Determinare il segno della funzione y = x + 6. Soluzione. x + 6 > 0 => x > 6. Dunque la funzione ha segno positivo per x > 6 e segno negativo per x < 6. 1

1.3

Intersezioni con gli assi cartesiani

Per lo studio del gra…co è utile la determinazione delle intersezioni con gli assi cartesiani. Ricordando che y = 0 rappresenta l’equazione dell’asse x e che x = 0 rappresenta l’equazione dell’asse y si ha che le intersezioni della funzione y = f (x) si ottengono risolvendo i sistemi di equazioni seguenti. y = f (x) f (x) = 0 f =f Intersezione tra la funzione y = f (x) e l’asse x y=0 y=0 y = f (x) y = f (0) f =f Intersezione tra la funzione y = f (x) e l’asse y x=0 x=0

1.4

Asintoti

Analizziamo ora la ricerca dei diversi tipi di asintoti. Ci sono tre tipi possibili di asintoti: asintoti verticali, asintoti orizzontali, asintoti obliqui. Asintoti verticali Per trovare gli eventuali asintoti verticali è su¢ ciente calcolare: limx >c f (x). con c punto critico del dominio. Se limx >c f (x) = +1, allora la retta x = c è un asintoto verticale. Esempio. se una funzione è de…nita in Rnf0g si calcola limx >0 f (x). Asintoti orizzontali Per trovare gli eventuali asintoti orizzontali è su¢ ciente calcolare: limx >1 f (x). Se limx >1 f (x) = k, con k …nito (k < +1), allora la retta y = k è un asintoto orizzontale. limx >+1 f (x) = w Se , con w e h …niti (w < +1, h < +1), allora le limx > 1 f (x) = h rette y = w, y = hsono due asintoti orizzontali. Asintoti obliqui Se limx >1 f (x) = 1, allora è possibile che ci siano degli asintoti obliqui. Per trovarli si calcola: limx >1 f (x) x . Se limx >1 f (x) x = 1, allora non esistono asintoti obliqui. Se invece limx >1 f (x) x = m, con m …nito e non nullo (m < +1, m 6= 0), allora si calcola limx >1 (f (x) mx). Se limx >1 (f (x) mx) = 1, allora non esistono asintoti obliqui. Se invece limx >1 (f (x) mx) = q, con q …nito (q < +1), allora si ha che la retta y = mx + q è asintoto obliquo per f (x). 2 Esercizio 2. Trovare gli eventuali asintoti della funzione y = xx+14 . Soluzione. Chiaramente il dominio è dato da D = Rnf 1g. Dunque posso cercare asintoti verticali per c = 1 Calcolo 2

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limx >c f (x) = limx > 1 xx+14 = +1. Dunque x = 1 è asintoto verticale. Cerco asintoti orizzontali. 2 limx >1 xx+14 = limx >1 2x 1 = +1 usando teorema di de l’Hopital. Dunque non ci sono asintoti orizzontali, ma potrebbero essercene di obliqui. x2 4 x2 4 2x 2 limx >1 f (x) x = limx >1 x(x+1) = limx >1 x2 +x = limx >1 2x+1 = limx >1 2 = 1:Allora m = 1.Ora basta calcolare: 2 2 2 limx >1 [f (x) mx] = limx >1 xx+14 x = limx >1 x 4x+1x x = limx >1 (x+4) x+1 = limx >1 11 = 1ancora usando teorema di de l’Hopital. Allora q = 1. Allora y = mx + q = x 1 è asintoto obliquo per f (x).

1.5

Crescenza e decrescenza

Per scoprire dove una funzione f (x) sia crescente e dove sia decrescente basta calcolare f 0(x). La disequazione f 0(x) > 0 dice dove la funzione è crescente. La disequazione f 0(x) < 0dice dove la funzione è decrescente Esempio. La funzione y = x2 + 3x + 1 è tale che f 0 (x) = 2x + 3. Dunque 2x + 3 > 0 => x > 23 . Dunque la funzione y = x2 + 3x + 1 è crescente se x > 23 ed è decrescente se x < 32 .

1.6

Punti di massimo e minimo

Per calcolare i punti di massimo e minimo si usa sempre la derivata prima f 0(x). Bisogna risolvere l’equazione f 0(x) = 0 e si trovano i candidati punti di estremo. Per vedere se sono veramente punti di massimo e minimo bisogna calcolare la derivata seconda f 00 (x). Supponiamo ad esempio di avere trovato x1 , x2 soluzioni di f 0(x) = 0. Allora bisogna calcolare f 00 (xi ), i = 1; 2 Se f 00 (xi ) > 0 allora xi è un minimo relativo ed il punto (xi ; f (xi ))è un punto di minimo relativo. Se f 00 (xi ) < 0 allora xi è un massimo relativo ed il punto (xi ; f (xi ))è un punto di massimo relativo. Se f 00 (xi ) = 0 allora esiste la derivata terza f”’(xi ) diversa da zero e xi non è né un massimo relativo, né un minimo relativo, ma un ‡esso e il punto (xi ; f (xi )) sarà un punto di ‡esso.

1.7

Concavità e ‡essi

De…nizione 1. Sia I D un intervallo. Una funzione f (x) di dominio D f (a) si dice convessa nell’intervallo I se f (x) f (a) + f (b) a) per ogni (b a) (x coppia di punti a; b 2 I. Si dice invece concava nell’intervallo I se f (x) > f (a) f (a) + f (b) a) per ogni coppia di punti a; b 2 I. (b a) (x

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Se una funzione è convessa rivolge la sua concavità verso l’alto (è fatta come una pista da skateboard). Se una funzione è concava rivolge la sua concavità verso il basso (è fatta come una montagna). Per determinare la concavità di una funzione f (x) basta calcolare la sua derivata seconda f 00 (x). Bisogna risolvere le disequazioni f 00 (x) > 0 e f 00 (x) < 0. Risolvendo la disequazione f 00 (x) > 0 si trovano i punti dove la funzione f (x) è convessa. Risolvendo invece la disequazione f 00 (x) < 0 invece si trovano i punti dove la funzione f (x) è concava. Risolvendo in…ne l’equazione f 00 (x) = 0 e veri…cando se le sue soluzioni x siano tale che f 000 (x ) 6= 0, si trovano i cosiddetti punti di ‡esso, che si troveranno calcolando (x ; f (x )).

Esercizio 3. Studiare il gra…co della funzione y = x3 Soluzione. D=R f 0 (x) = 3x2 3 f 00 (x) = 6x f 000 (x) = 6 f (x) > 0 quando x3 3x = x(x2 ++++++

3x.

3) > 0. Studio segno. x > 0, x2 3 > 0, + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ p p 3— — — – 0 — — — – 3— — — — — — ——– + p + p da cui p si ha che f (x)pè positiva per 3 < x < 0 e x > 3 ed è negativa per x < 3 e 0 < x < 3. Studiamo asintoti. Non ci sono asintoti verticali poichè non ci sono punti critici del dominio. limx >1 x3 3x = 1. Quindi non ci sono asintoti orizzontali, ma potrebbero esserci asintoti obliqui. 3 2 limx >1 x x 3x = limx >1 3x 1 3 = +1. Dunque non ci sono neanche asintoti obliqui. Vediamo crescenza e decrescenza. f 0 (x) = 3x2 3 > 0 => 3(x2 1) > 0 => (x2 1) > 0. Studio del segno. +++++ +++++++ ——— 1 ————————- 1 ————– + + Pertanto se x < 1, x > 1 si ha che f 0 (x) = 3x2 3 > 0 e dunque f (x) è una funzione strettamente crescente. Se invece 1 < x < 1 si ha che f 0 (x) = 3x2 3 < 0 e dunque f (x) è una funzione strettamente decrescente. Calcoliamo i punti di massimo e minimo. f 0 (x) = 3x2 3 = 0 => 3(x2 1) = 0 => (x2 1) = 0 => x1 = 1, x2 = 1 sono i punti candidati ad essere estremi locali della funzione f (x). f 00 (x1 ) = f 00 (1) = 6, dunque x1 = 1 è un minimo. f (x1 ) = 1 3 = 2, dunque (1; 2) è un punto di minimo per la funzione f (x).

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f 00 (x2 ) = f 00 ( 1) = 6, dunque x2 = 1 è un massimo. f (x2 ) = 1+3 = 2, dunque ( 1; 2) è un punto di massimo per la funzione f (x). Studiamo ora la concavità della funzione. f 00 (x) = 6x > 0 => 6x > 0 => x > 0. Dunque per x > 0 la funzione f (x) è convessa mentre per x < 0 la funzione f (x) è concava. Calcoliamo ora i punti di ‡esso. f 00 (x) = 6x = 0 => 6x = 0 => x = 0. 000 f (0) = 6 6= 0. Dunque il punto (0; f (0)) = (0; 0) è un punto di ‡esso per la funzione f (x).

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