Studio Di Funzioni Con Moduli

Materiale didattico di Matematica –Studio di funzioni con moduli Anna Mineo

STUDIO DI FUNZIONI CON MODULI Le situazioni che di solito si presentano quando si deve studiare una funzione che contiene dei moduli sono le seguenti: 

tutta l’espressione analitica della funzione è interna al modulo ovvero l’equazione si presenta nella forma y  f x  .

 f x  se f x   0 Si osserva che f x    .  f x  se f x   0 Nel caso dato è conveniente studiare la funzione di equazione y  f x  e rappresentarne il grafico. Il grafico di y  f x  si ricava dal grafico della funzione y  f x  per quegli intervalli in cui f x   0 e dal grafico di  f x  per quegli intervalli in cui f x   0 . In concreto si opera una simmetria rispetto all’asse delle x dei soli archi di curva i cui punti hanno ordinata negativa. Sarà poi necessario studiare la continuità e la derivabilità della funzione per i punti in cui f x   0 . 

La funzione è del tipo y  f x  dove f x  è un’espressione che contiene alcuni termini in modulo e altri senza. Ad esempio y  x  x 3  1 . In questo caso si deve conoscere come varia il segno degli argomenti di tali moduli e poi studiare la funzione che si ottiene quando: o

essi sono positivi o nulli;

o essi sono negativi. Infine si uniscono i due grafici trovati.

ESEMPIO: Studiare la funzione di equazione y 

x2 . x 1

La funzione data è del tipo evidenziato sopra, si procede quindi studiando la funzione di equazione y 

x2 . x 1



Il dominio della funzione è l’insieme D   ,  1   1,   .



La curva passa per l’origine degli assi ed è positiva per x>-1 ( negativa per x<-1)



La funzione non presenta simmetrie particolari.



Comportamento della funzione agli estremi degli intervalli del dominio:

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lim

x  1

x2   x 1

lim

x  1

x2   x 1

 la retta x = -1 è un asint. verticale

x2    la funzione non ammette asintoti orizzontali x   x  1 lim

Si ricerca la presenza di asintoti obliqui:

m  lim

x  

f x  x2  lim 2 1 x   x  x x

 x2  q  lim  f x   mx  lim   x   1 x   x   x  1  

La retta y  x  1 è un asintoto obliquo. 

f ' x  

La derivata prima della funzione è x  0 e x  2 .

x 2  2x

x  12

.

Essa si annulla in

Con lo studio del segno della derivata prima, analizzando gli

intervalli di monotonia si deduce che: x=0 è un punto di minimo relativo mentre x=-2 è un punto di massimo relativo. 

La derivata seconda della funzione è f

''

x  

2

x  13

. La derivata seconda non si

annulla mai e quindi non ci sono punti di flesso; inoltre essa è positiva per x>-1 e quindi in tale intervallo volge la concavità verso l’alto ( nell’intervallo x<-1 volge la concavità verso il basso).

Il grafico della funzione studiata è quindi:

-15

-10

-5

0

5

10

15

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Il grafico della funzione y 

-15

x2 è invece: x 1

-10

-5

0

5

10

15

ESEMPIO 1

Studiare la funzione y 

x 2  x  x 1 x 2 1

e disegnarne il grafico.

La funzione data è definita nell’insieme R -  1 La presenza del termine x  1 impone di definire f x  nel seguente modo:

 x 2  x  x 1 x 2  2x 1  se x  1  2 2 x  1 x  1 f x    2 2  x  x  x 1  x 1 se x  1, x  1  x 2 1 x 2 1 Di seguito si riportano tre grafici: i primi due sono i grafici delle due funzioni razionali fratte, mentre il terzo grafico è l’unione dei due grafici precedenti.

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ESEMPIO 2 4x 2 Studiare la funzione y  x4  x

e disegnarne il grafico.

Per determinare il campo di esistenza della funzione bisogna risolvere l’equazione (*)

x - 4 + x= 0.

È evidente che questa equazione non ammette soluzioni, in quanto non esistono valori della variabile che annullano contemporaneamente i due moduli. Ne consegue che la (*) non ammette soluzioni, e che il campo di esistenza della funzione è l’insieme R dei numeri reali. La funzione data si decompone nelle seguenti tre funzioni razionali :

Si osservi che la decomposizione della funzione y nelle funzioni y1 , y2 , y3 si può determinare analizzando i termini che si presentano in valore assoluto. Infatti, osservato che:

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e costruito il seguente grafico:

si deduce che il denominatore della funzione assegnata si decompone come: 

4 - x - x = 4 - 2x



4-x+x=4



x - 4 + x = 2x - 4 se x > 4.

se x < 0, se 0  x  4,

Il grafico della funzione data è riportato nella figura.