Struttura Della Materia Ii - Esercizi 1

Esercizi di Struttura della Materia. V (A)

Si consideri una particella di massa m in 3D sottoposta ad un potenziale armonico. L’operatore Hamilatoniano `e p2 1 + mω 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2m 2 i) Assegnare energie, autofunzioni (a meno della costante di normalizzazione) e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato. ii) Supponendo che la particella abbia carica q e venga illuminata con un’onda elettromagnetica polarizzata linearmente, si determini frequenza e direzione di polarizzazione dell’onda affinch`e sia possibile una transizione dallo stato fondamentale al primo stato eccitato in approssimazione di dipolo. Si giustifichi il risultato. H=

(B) Calcolare la lunghezza di legame, il quanto di energia vibrazionale e la separazione in energia dei primi tre livelli rotazionali della molecola di HF assumendo che il potenziale d’interazione tra i due atomi di H e F in funzione della lunghezza di legame r della molecola sia dato da V (r) = Vo (1 − e−a(r−ro ) )2 ˚−1 . con Vo =5.875 eV, ro =0.917 ˚ A e a=2.25 A (C) Si consideri un elettrone in 2D sottoposto ad un potenziale armonico con Hamiltoniana p2y 1 p2x + + mω 2 (x2 + y 2) H= 2m 2m 2 e ω = 10 Thz. i) Calcolare energie (in eV) e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato. ii) Calcolare il momento di dipolo relativo alla transizione dallo stato fondamentale al primo stato eccitato per luce incidente polarizzata lungo l’asse x. Si usino le seguente propriet`a dei polinomi di Hermite Hn (y): Hn+1 (y) = 2yHn(y) − 2nHn−1 (y) ;

Z

+∞

−∞

2

1

dyHn2(y)e−y = π 2 2n n!

(D) Lo spettro rotazionale della molecola H127 I `e formato da righe separate di 12.8 cm−1 . i) Calcolare la lunghezza di legame della molecola. ii) Calcolare la transizione rotazionale pi` u probabile a temperatura ambiente. (E) Calcolare energia, funzioni d’onda e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato di un elettrone confinato in una scatola a forma di parallelepipedo di lati Ly = 2˚ A, Lx , Lz = 5˚ A. Calcolare il momento di dipolo relativo alla transizione dallo stato fondamentale al primo stato eccitato per luce polarizzata lungo l’asse z. Suggerimento: Z

0

π

dxsen3 x =

4 3

(F) Predire la posizione (in cm−1 ) delle prime tre bande di assorbimento nello spettro rotazionale di 14 N2 (re = 1.094˚ A) e 2 H2 (re = 0.7417˚ A) usando il modello del rotatore rigido. (G) Si consideri una particella di massa m = melettrone in 2D confinata in una buca di potenziale infinita quadrata di lato L = 1 nm. i) Calcolare energia, funzione d’onda e grado di degenerazione dello stato fondamentale e del primo stato eccitato. ii) Calcolare il momento di dipolo della transizione dallo stato Rfondamentale al primo stato eccitato per luce polarizzata lungo l’asse x. Suggerimento: oπ dxsen3 x = 43 iii) Si ripeta l’esercizio dei punti i) e ii) per due particelle distinguibili con spin 0.